V: Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti:

Transkript

1 Zpracoval: Základní vlastnosti abstraktních lineárních prostorů. Lineární závislost, nezávislost, báze, souřadnice vzhledem k bázi, matice lineárního zobrazení vzhledem k bázím.skalární součin, geometrické interpretace. (A7B01LAG) pozn.: lineární závislost a nezávislost jsem zpracoval v otázce 01, naopak jsem přidal vlastní číslo a vlastní vektor, protože se týkají lineárního zobrazení I. Lineární prostor. Def.: Lineárním prostorem nazýváme každou neprázdnou množinu L, na které je definováno sčítání +: L L -> L a násobení reálným číslem : R L -> L a tyto operace splňují pro každé x L, y L, z L, α R, β R vlastnosti: V: Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti: Př.: Je množina R s operacemi sčítáním + : R R -> R a násobením : R R -> R (například: (1,) (,)=(,4); 3 (,3)=(6,9)) 1. nejprve zjistíme, zda jsou operace +, definovány dle definice lin. prostoru (+: L L->L, : R L->L ) zde jsou. Součet dvou R je R a násobení RR je zase R.. dále zjistíme, zda platí vlastnosti 1 až 7. (1) (x,y) + (z,w) = (x+z,y+w)=(z,w)+ (x,y) kde x,y,z,w R. To platí. () (x,y) + {(z,w) +(r,s)} = (x,y) +(z+r,w+s) = (x+ z+r,y+ w+s) = {(x,y) + (z,w)} +(r,s) pro x,z,r,y,w,s R. Také platí. (3) α (β (x,y))=α (β x,β y)=(α β x,α β y)=α β (x,y), kde α,β,x,y R. To také platí. Body 1 až 3 vyplívají z komutativiti a asociativiti sčítání a násobení čísel z R. (4) α {(x,y)+(u,v)} = α (x+u,y+v)=( α x+ α u, α y+α v) = (α x, α y)( α u, α v)= α (x,y)+ α (u,v) kde α,x,y,u,v R. Platí a plyne také s distributivity násobení vzhledem ka sčítání v R. (5) (α+β)(x,y)=(αx+βx,αy+βy)=α(x,y)+β(x,y). α,β,x,y R. Taky platí a plyne distributivity R. (6) Vlastnost R čísla 1 také platí. (7) Nulový prvek je (0,0) Množina R je lineární prostor.

2 V: Báze lineárního prostoru L je taková podmnožina B L, pro kterou platí: Def. Dimenze lineárního prostoru L je počet prvků báze tohoto prostoru L. Dimenzi prostoru L označujeme symbolem dim L. Dimenzi jednobodového lineárního prostoru L = {o} pokládáme rovnu nule. Def.: Nechť (B) = (b1, b,..., bn) je uspořádaná báze lineárního prostoru L a x L je libovolný vektor. Uspořádanou n-ticí reálných císel (1,,..., n) nazýváme souřadnicemi vektoru x vzhledem k uspořádané bázi (B), pokud platí: V.: Nechť (B) je uspořádaná báze lineárního prostoru L. Pak pro každý prvek x vzhledem k bázi (B) určeny jednoznačně. L jsou souřadnice x II. Lineární podprostor Def.: Nechť L je lineární prostor. Lineární obal skupiny vektorů x1, x,..., xn je množina všech lineárních kombinací vektoru x1, x,..., xn. Lineární obal konečné množiny K L, K = {x1, x,..., xn} ztotožňujeme s lineárním obalem skupiny vektorů x1, x,..., xn. Lineární obal nekonečné množiny M L je sjednocení lineárních obalů všech konečných podmnožin množiny M. Lineární obal skupiny vektoru x1, x,..., xn značíme x1, x,..., xn. Lineární obal množiny M značíme symbolem M. V: Nechť L je lineární prostor, M L, N L. Pokud je M V.: Nechť L je lineární prostor a M L. Pak platí: N, pak platí M N. V.: Nechť L je lineární prostor, M L. Množina M je lineárním podprostorem lineárního prostoru L právě tehdy, když M = M. III. Lineární zobrazení. Def.: Nechť L1 a L jsou libovolné množiny. Zobrazením A z množiny L1 do množiny L rozumíme jakýkoli předpis, který každému prvku z množiny L1 přiradí jednoznačným způsobem nějaký prvek z množiny L. Skutečnost, že A je zobrazení z množiny L1 do množiny L zapisujeme A: L1 -> L. Je-li x L1, pak zobrazení A: L1 -> L přiradí prvku x jednoznačné nějaký prvek z množiny L. Tento prvek označujeme symbolem A(x) L a říkáme mu hodnota zobrazení A v bodě x. Je-li M podmnožinou L1, pak definujeme:

3 Def.: Nechť L 1 a L jsou libovolné množiny a uvažujme A: L 1 -> L. Pokud platí A(L 1 ) = L, říkáme, že A je zobrazení z množiny L 1 na množinu L (nebo říkáme, že zobrazení je surjektivní). Def.: Nechť L 1 a L jsou libovolné množiny a uvažujme A: L 1 -> L. Zobrazení A je prosté (injektivní), pokud pro každé dva prvky x 1 L 1, x L 1, x 1 x platí A(x 1 ) A(x ). Def.: Nechť L1 a L jsou lineární prostory, A: L1 -> L je zobrazení z L1 do L. Zobrazení A nazýváme lineárním zobrazením, pokud pro všechna x L 1, y L 1, R platí V: (princip superpozice). Nechť L 1 a L jsou lineární prostory. Zobrazení A: L 1 -> L je lineární právě tehdy, když pro všechna x L 1, y L 1, α R, β R platí: V: Pro lineární zobrazení A: L 1 -> L platí A(o 1 ) = o, kde o 1 je nulový vektor lineárního prostoru L 1 a o je nulový vektor lineárního prostoru L. Př.: Ověříme, zda je zobrazení A: R -> R3, definované vzorcem: lineární. Ověříme vlastnosti (1) a () z definice: V.: Jádro lineárního zobrazení A: L 1 -> L tvoří lineární podprostor lineárního prostoru L 1. V.: Množina A(L 1 ) všech hodnot lineárního zobrazení A: L 1 -> L tvoří lineární podprostor lineárního prostoru L. V.: Nechť A: L 1 -> L je lineární zobrazení, M L 1. Pak A( M )=A(M). Def.: Nechť L 1, L jsou lineární prostory, o je nulový vektor v lineárním prostoru L a A: L 1 -> L je lineární zobrazení. Množinu: nazýváme jádrem lineárního zobrazení A. Def.: Defekt lineárního zobrazení A: L 1 -> L je definován, jako dim KerA a hodnost lineárního zobrazení A je definována jako dima(l 1 ). Defekt A značíme def A a hodnost A značíme hoda. Je tedy:

4 IV. Matice lineárního zobrazení. Def.: Nechť L 1 a L jsou lineární prostory konečné dimenze, A: L 1 -> L je lineární. Nechť (B)=(b 1,b,...,b n ) je uspořádaná báze L 1 a (C) = (c 1, c,..., c m ) je uspořádaná báze L. Matici typu (m, n), která splňuje maticovou rovnost nazýváme maticí zobrazení A vzhledem k uspořádaným bázím (B) a (C). Př.: Předpokládejme, že A: R 3 -> R 4 je lineární zobrazení. Najdeme vzorec pro výpočet hodnoty zobrazení A(x1, x, x3), je-li známo: Protože jsou vektory (1, 1, ), (1,, ), (, 1, 5) lineárně nezávislé a jsou tři, tvoří bázi lineárního prostoru R 3. Nechť (x 1, x, x 3 ) je libovolný vektor z R 3. Najdeme souřadnice tohoto vektoru vzhledem k uspořádané bázi ((1, 1, ), (1,, ), (, 1, 5)): To vede na soustavu tří rovnic o třech neznámých α,β,. Eliminujme její rozšířenou matici: Platí tedy: Najdeme matici A tohoto zobrazení vzhledem ke standardním bázím Vypočítali jsme: Spočítáme matici lin zobrazení..

5 V. Lineární prostory se skalárním soucinem. Def.: Nechť L je lineární prostor. Operaci : L L -> R nazveme skalárním součinem, pokud splňuje x L, y L, z L, α R následující vlastnosti: V.: Nechť L je lineární prostor se skalárním součinem, o je jeho nulový vektor. Pak pro všechna x L, y L a z L platí: (1) x o = o x = 0, () z (x + y) = zx + zy. Př.: Pro x R n Ukážeme, že takto definovaný součin vektoru x a y je skalárním součinem. Ověříme postupně vlastnosti (1) až (4): Skalární součin na R n definovaný v příkladu nazýváme standardním skalárním součinem. Součin může být definován např. takto: Def.: Nechť L je lineární prostor se skalárním součinem. Pro x hodnotou. Velikost vektoru x značíme x, takže je L definujeme velikost vektoru x Místo pojmu "velikost vektoru" se často používá pojem norma vektoru. V.: Nechť x je prvkem lineárního prostoru se skalárním součinem, α R. Pak Def.: Nechť L je lineární prostor se skalárním součinem a x L, y L, x o, y o. Pak úhel mezi vektory x a y je takové číslo ϕ 0, ), pro které platí

6 Skalární součin určuje úhel mezi dvěma vektory. V geometrii se používá standartní skalární součin, který určí úhel mezi dvěma vektory.