Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +,

Transkript

1 Příklad Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: a) =, 0= b) =, = c) =2, = d) =2, 0= e) =, 0= f) 2 =0, = g) + =0, h) =, = 2 = i) =, 0= j) sin+cos=0, 2 =0 Řešení a Máme řešit LDR =, 0= Ze zadání není definiční obor řešení ničím omezen, tedy =. Nejprve budeme hledat obecné řešení rovnice pomocí separace proměnných = ln =+, Obě strany uplatníme jako argument exponenciální funkce = vyjádříme neznámou a upravíme = =, =, dostáváme obecné řešení LDR =,, = Nyní budeme řešit Cauchyho úlohu, neboli budeme hledat konkrétní K vyhovující počáteční podmínce. Obecné řešení dosadíme do počáteční podmínky =

2 Řešení Cauchyho úlohy tedy je =, = = = = = 0= = Řešení b Máme řešit LDR =, = Nejprve si musíme uvědomit, že oblast řešení je = 0, protože zlomek na pravé straně je definován v tomto oboru. Nyní budeme hledat obecné řešení rovnice pomocí separace proměnných = ln =ln +, Obě strany uplatníme jako argument exponenciální funkce vyjádříme neznámou a upravíme = = =, =, dostáváme obecné řešení LDR =, Nyní budeme řešit Cauchyho úlohu, neboli budeme hledat konkrétní K vyhovující počáteční podmínce. Obecné řešení dosadíme do počáteční podmínky = = Řešení Cauchyho úlohy tedy je =, = 0 = 2

3 = = = = Řešení c Máme řešit LDR =2, = Ze zadání není definiční obor řešení ničím omezen, tedy =. Nejprve budeme hledat obecné řešení rovnice pomocí separace proměnných =2 ln = +, Obě strany uplatníme jako argument exponenciální funkce vyjádříme neznámou a upravíme = = =, =, dostáváme obecné řešení LDR =,, = Nyní budeme řešit Cauchyho úlohu, neboli budeme hledat konkrétní K vyhovující počáteční podmínce. Obecné řešení dosadíme do počáteční podmínky = Řešení Cauchyho úlohy tedy je = = =, =2 =2 2=2 = = 3

4 = = = Řešení d Máme řešit LDR =2, 0= Ze zadání je definiční obor řešení omezen na nezáporné hodnoty hledané funkce. Nejprve budeme hledat obecné řešení rovnice pomocí separace proměnných =2 =2+, 2 =2+ =+ 2 =+, = 2, Umocníme na druhou a dostáváme řešení, definiční obor není omezen podmínkou zmíněnou v počátku řešení (řešení má nezáporné hodnoty) =+,, = Nyní budeme řešit Cauchyho úlohu, neboli budeme hledat konkrétní K vyhovující počáteční podmínce. Obecné řešení dosadíme do počáteční podmínky 0+ = = Protože není možné, aby druhá mocnina reálného čísla byla záporná, nemá Cauchyho úloha v reálném oboru řešení. =2 + =2+ 2+=2+ Řešení e Máme řešit LDR =, 0= 4

5 Ze zadání není definiční obor řešení ničím omezen, tedy =. Nejprve budeme hledat obecné řešení rovnice pomocí separace proměnných 2 = 2 = +, = +2= +, =2, dostáváme obecné řešení LDR = +, Nyní budeme řešit Cauchyho úlohu, neboli budeme hledat konkrétní K vyhovující počáteční podmínce. Obecné řešení dosadíme do počáteční podmínky Tudíž Řešení Cauchyho úlohy tedy je += 0 += = = +, = = + = = + 0= 0 += Řešení f Máme řešit LDR 2 =0, = Ze zadání není definiční obor řešení ničím omezen, tedy =. Nejprve budeme hledat obecné řešení rovnice pomocí separace proměnných =2 5

6 ln =2 2 += +, Obě strany uplatníme jako argument exponenciální funkce vyjádříme neznámou a upravíme = = =, =, dostáváme obecné řešení LDR =,, = Nyní budeme řešit Cauchyho úlohu, neboli budeme hledat konkrétní K vyhovující počáteční podmínce. Obecné řešení dosadíme do počáteční podmínky = Řešení Cauchyho úlohy tedy je = = = = =, 2 =0 2 = 6 =0 2 2 =0 2 2 =0 = = = Řešení g Máme řešit LDR + =0, = Ze zadání je definiční obor řešení omezen přípustností zlomku na pravé straně, tedy =. Nejprve budeme hledat obecné řešení rovnice pomocí separace proměnných = +

7 = + Pravou stranu rozložíme na parciální zlomky (abychom mohli poté rozumně integrovat) + = + + =++ = Koeficienty u stejných mocnin se musí rovnat, dostáváme soustavu rovnic +=0, = =, = Tedy = + + = + ln =ln ln + +, za použití vlastností logaritmu ln =ln + +, Obě strany uplatníme jako argument exponenciální funkce = vyjádříme neznámou a upravíme = + = +, =, dostáváme obecné řešení LDR = +,, = Nyní budeme řešit Cauchyho úlohu, neboli budeme hledat konkrétní K vyhovující počáteční podmínce. Obecné řešení dosadíme do počáteční podmínky = + = Řešení Cauchyho úlohy tedy je 2 = =2 =2 +, = + = =0 7

8 + + + =0 = 2 + = 2 2 = Řešení h Máme řešit LDR =, = 2 Ze zadání je definiční obor řešení omezen přípustností zlomku, tedy = 0. Nejprve budeme hledat obecné řešení rovnice pomocí separace proměnných = = +, = = Vyjádříme neznámou a dostáváme obecné řešení =,, = 0 Nyní budeme řešit Cauchyho úlohu, neboli budeme hledat konkrétní K vyhovující počáteční podmínce. Obecné řešení dosadíme do počáteční podmínky = 2 = 2 = Řešení Cauchyho úlohy tedy je = = +, = = 0 8

9 = 9 = = = 2 + = 2 Řešení i Máme řešit LDR =, 0= Ze zadání není definiční obor řešení ničím omezen, tedy =. Dále je třeba si uvědomit, že v tomto případě je jedním z možných obecných řešení takzvané triviální řešení. V tomto případě existují triviální řešení dokonce dvě, protože pravou stranu můžeme psát = Je tedy zřejmé, že řešením obecné rovnice jsou konstantní funkce =0, =, = Dále budeme hledat řešení netriviální. Nejprve budeme hledat obecné řešení rovnice pomocí separace proměnných = Před integrací provedeme rozklad na parciální zlomky = = + = + = ++ Koeficienty u stejných mocnin se musí rovnat, dostáváme soustavu rovnic +=0, = =, = = + = To ale není příliš šťastné. V následné integraci dostaneme dva kladné členy v logaritmech a to by vedlo k potížím při vyjádření hledané funkce. Proto obě strany rovnice vynásobíme konstantou - a dostaenme = + = + =

10 ln +ln = +, Obě strany uplatníme jako argument exponenciální funkce Využijeme vlastností logaritmu = = =, =, Dostaneme = v několika krocích vyjádříme neznámou a upravíme =, = = = dostáváme obecné řešení LDR = = =,, = ; = neboli =ln Nyní budeme řešit Cauchyho úlohu, neboli budeme hledat konkrétní K vyhovující počáteční podmínce. JE zřejmé, že ani jedno z obou triviálních řešení nevyhovuje počáteční podmínce. Obecné řešení dosadíme do počáteční podmínky 0= = = =2 Řešení Cauchyho úlohy tedy je = 2, = ; =2 neboli =ln2 = = = = 0

11 0= 2 = 2 = Řešení j Máme řešit LDR sin+cos=0, 2 =0 Ze zadání není definiční obor řešení ničím omezen, tedy =. Měli bychom si povšimnout, že úloha má triviální řešení =0. Nyní budeme hledat řešení netriviální. Nejprve budeme hledat obecné řešení rovnice pomocí separace proměnných sin+cos=0 sin= cos = cos sin (pravou stranu pomocí substituce =sin,=cos) ln = ln sin +, Obě strany uplatníme jako argument exponenciální funkce vyjádříme neznámou a upravíme = = = sin = sin, =, dostáváme obecné řešení LDR = sin,, =, Nyní budeme řešit Cauchyho úlohu, neboli budeme hledat konkrétní K vyhovující počáteční podmínce. Obecné řešení dosadíme do počáteční podmínky 2 =0 sin =0 2 =0 =0 Řešením Cauchyho úlohy tedy je pouze triviální řešení =0, =

12 sin+cos=0 sin sin+ sin cos=0 cos sin+ sin sin cos=0 cos sin + cos sin =0 2 =0 0=0 2

13 Příklad 2 Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (s homogenní funkcí) a řešení Cauchyho úlohy: a) =, b) = 2, 0= 0= c) = +, = d) = 2, e) = +, = =0 Řešení 2a Máme řešit rovnici =, 0= Pokud vydělíme čitatele i jmenovatele pravé strany dostaneme = = = Je zřejmé, že se jedná o diferenciální rovnici s homogenní funkcí. To je ale již v zadání vyzrazeno, můžeme tedy přímo zavést substituci Dosadíme do zadané rovnice =, =, = + + = = = = Tím se nám podařilo převést danou rovnici na separovatelný tvar. Separujeme a pokračujeme v úpravách = = + 3

14 = = = ln =ln +, Obě strany použijeme jako argument exponenciální funkce a dostaneme Provedeme zpětnou substituci = = =, =, =, = dostáváme obecné řešení zadané rovnice (v implicitním tvaru) =, Nyní budeme řešit Cauchyho úlohu. Dosadíme počáteční podmínku 0= do obecného řešení 0= = Na pravé straně máme zlomek s nulou ve jmenovateli. Výraz není přípustný, proto Cauchyho úloha nemá řešení. Vzhledem k tomu, že jsme získali řešení v implicitním tvaru, nelze ho dosadit do dané rovnice. Ověření správnosti řešení je v této situaci komplikované. Řešení 2b Máme řešit rovnici = 2, 0= Pokud vydělíme čitatele i jmenovatele pravé strany dostaneme 2 = 2 2 = = Je zřejmé, že se jedná o diferenciální rovnici s homogenní funkcí. To je ale již v zadání vyzrazeno, můžeme tedy přímo zavést substituci 4

15 Dosadíme do zadané rovnice =, =, = + + = 2 = 2 = 2 = 2 Tím se nám podařilo převést danou rovnici na separovatelný tvar. Separujeme a pokračujeme v úpravách = = + = + = Výraz na levé straně rozložíme na parciální zlomky + = =+ + 5 = Koeficienty u stejných mocnin neznámé musí být stejné. Dostáváme tedy soustavu rovnic +=, =0, = Která má řešení =, = 2, =0 Dosadíme do posledního tvaru rovnice = 2 + = ln ln + =ln +, Obě strany použijeme jako argument exponenciální funkce a dostaneme = = + =, =, + =,

16 Provedeme zpětnou substituci + = + = + = + = + = dostáváme obecné řešení zadané rovnice (v implicitním tvaru) = +, Nyní budeme řešit Cauchyho úlohu. Dosadíme počáteční podmínku 0= do obecného řešení 0=0 +0 =0+ již přímo = Řešení zadané Cauchyho úlohy tedy je = + Vzhledem k tomu, že jsme získali řešení v implicitním tvaru, nelze ho dosadit do dané rovnice. Ověření správnosti řešení je v této situaci komplikované. Řešení 2c Máme řešit rovnici = +, = Pokud vydělíme čitatele i jmenovatele pravé strany dostaneme + = = + = + =+ Je zřejmé, že se jedná o diferenciální rovnici s homogenní funkcí. To je ale již v zadání vyzrazeno, můžeme tedy přímo zavést substituci Dosadíme do zadané rovnice =, =, = + 6

17 + = + = + =+ = + = =ln +, Provedeme zpětnou substituci =ln +, dostáváme obecné řešení zadané rovnice (v implicitním tvaru) =ln +, Nyní budeme řešit Cauchyho úlohu. = ln += = Řešení Cauchyho úlohy tedy je =ln + = + ln + = +ln + ln ++ =+ln + ln ++=+ln + = ln += Řešení 2d Máme řešit rovnici = 2, = Pokud vydělíme čitatele i jmenovatele pravé strany dostaneme = = 2 2 Je zřejmé, že se jedná o diferenciální rovnici s homogenní funkcí. To je ale již v zadání vyzrazeno, můžeme tedy přímo zavést substituci 7

18 Dosadíme do zadané rovnice =, =, = + + = 2 = 2 = 2 = 2 Tím se nám podařilo převést danou rovnici na separovatelný tvar. Separujeme a pokračujeme v úpravách = 2 2 = 2 = = 2 + = ln + = ln +, Obě strany použijeme jako argument exponenciální funkce a dostaneme Provedeme zpětnou substituci = = + =, =, + =, + = + = + = + = = dostáváme obecné řešení zadané rovnice (v explicitním tvaru) =, 8

19 Nyní budeme řešit Cauchyho úlohu. Dosadíme obecné řešení do počáteční podmínky = Řešení Cauchyho úlohy tedy je = = = =2 =2 = 2 = 2 2 = 2 2 = 2 = 2 = = Řešení 2e Máme řešit rovnici = +, =0 Pokud vydělíme čitatele i jmenovatele pravé strany dostaneme = + = + = + Je zřejmé, že se jedná o diferenciální rovnici s homogenní funkcí. To je ale již v zadání vyzrazeno, můžeme tedy přímo zavést substituci Dosadíme do zadané rovnice 9 =, =, = + + = = = + + +

20 = + Tím se nám podařilo převést danou rovnici na separovatelný tvar. Separujeme a pokračujeme v úpravách + = + = = = = Před integrací převedeme výraz vlevo na parciální zlomky + 2+ = + 2+ =2++ = Koeficienty u stejných mocnin neznámé musí být stejné. Dostáváme tedy soustavu rovnic +=, 2= Která má řešení Dosadíme do posledního tvaru rovnice = 2, = = + 2+ = 2 ln +ln 2+ = 2ln +, Obě strany použijeme jako argument exponenciální funkce a dostaneme = = 2+ =, =, Provedeme zpětnou substituci 2+=, 2+ = 20

21 Za předpokladu 0 můžeme zjednodušit 2+ = 2+= A to je obecné řešení zadané rovnice (v implicitním tvaru) 2+=, Nyní budeme řešit Cauchyho úlohu. Dosadíme počáteční podmínku 0= do obecného řešení 2 += 02+0= =0 Cauchyho úloha má tedy řešení 2+=0 Vzhledem k tomu, že jsme získali řešení v implicitním tvaru, nelze ho dosadit do dané rovnice. Ověření správnosti řešení je v této situaci komplikované. 2