Petr Zikán. Studentský seminář, Březen 2011

Transkript

1 Sondová měření v plazmatu Petr Zikán Studentský seminář, Březen 2011

2 Přehled prezentace 1 Child-Langmuirův zákon

3 Přehled prezentace 1 Child-Langmuirův zákon 2 Sheath a pre-sheath

4 Přehled prezentace 1 Child-Langmuirův zákon 2 Sheath a pre-sheath 3 VA charakteristika

5 Přehled prezentace 1 Child-Langmuirův zákon 2 Sheath a pre-sheath 3 VA charakteristika 4 Teorie sondových měření

6 Přehled prezentace 1 Child-Langmuirův zákon 2 Sheath a pre-sheath 3 VA charakteristika 4 Teorie sondových měření 5 Iontové trajektorie

7 Přehled prezentace 1 Child-Langmuirův zákon 2 Sheath a pre-sheath 3 VA charakteristika 4 Teorie sondových měření 5 Iontové trajektorie 6 Bibliography

8 Child-Langmuirův zákon[4] Dvě nekonečné rovinné elektrody ve vzdálenosti d od sebe. Elektroda A emituje částice s nulovou počáteční rychlostí, V A = 0 V, elektroda B absorbuje dokonale a V B > 0 V.

9 Child-Langmuirův zákon[4] Dvě nekonečné rovinné elektrody ve vzdálenosti d od sebe. Elektroda A emituje částice s nulovou počáteční rychlostí, V A = 0 V, elektroda B absorbuje dokonale a V B > 0 V. 2eV (x) v(x) = m m ρ(x) = j 2eV (x)

10 Child-Langmuirův zákon[4] Dvě nekonečné rovinné elektrody ve vzdálenosti d od sebe. Elektroda A emituje částice s nulovou počáteční rychlostí, V A = 0 V, elektroda B absorbuje dokonale a V B > 0 V. 2eV (x) v(x) = m m ρ(x) = j 2eV (x) Z Poissonovy rovnice lze určit průběh potenciálu mezi elektrodami d 2 V dx 2 = j m ɛ 0 e 2eV (x) (1)

11 Předchozí rovnici (1) lze analyticky vyřešit vzhledem k j j = 4 2e ɛ 0 V m d 2

12 Odpovídají-li rychlosti emitovaných částic Maxwellově distribuci j = 4 ( ) 2e ɛ 0 (V 0 V min ) m (d d min ) η η je normalizované napětí η = ev kt

13 n [m 3 ] r [mm] n e ni ϕ n ϕ [V]

14 Bohmovo kritérium stability vrstvy[5] Předpoklady: elektrony s Maxwellovským rozdělením o teplote T e teplota iontů T i 0 n e = n i na rozhraní plazmatu a sheathu

15 Bohmovo kritérium stability vrstvy[5] Předpoklady: elektrony s Maxwellovským rozdělením o teplote T e teplota iontů T i 0 n e = n i na rozhraní plazmatu a sheathu Pak zákon zachování energie pro ionty dává 1 2 Mv 2 (x) = 1 2 Mv s eϕ(x) Neuvažujeme-li ionizaci v sheathu n i (x)v(x) = n is v s

16 Bohmovo kritérium stability vrstvy[5] Předpoklady: elektrony s Maxwellovským rozdělením o teplote T e teplota iontů T i 0 n e = n i na rozhraní plazmatu a sheathu Pak zákon zachování energie pro ionty dává 1 2 Mv 2 (x) = 1 2 Mv s eϕ(x) Neuvažujeme-li ionizaci v sheathu n i (x)v(x) = n is v s Předchozí rovnice lze vyřešit vzhledem k n i ( ) 1 n i = n is 1 2eϕ 2 Mvs 2

17 Elektronová hustota je dána Boltzamanovým rozdělením ( ) ϕ(x) n e (x) = n es exp T e

18 Elektronová hustota je dána Boltzamanovým rozdělením ( ) ϕ(x) n e (x) = n es exp T e Průběh potenciálu lze pak obdržet z Poissonovy rovnice [ ( ) ( d 2 ϕ dx 2 = e (n e n i ) = en s ϕ(x) exp ɛ 0 ɛ 0 T e 1 2eϕ Mv 2 s ) 1 2 ]

19 Elektronová hustota je dána Boltzamanovým rozdělením ( ) ϕ(x) n e (x) = n es exp T e Průběh potenciálu lze pak obdržet z Poissonovy rovnice [ ( ) ( d 2 ϕ dx 2 = e (n e n i ) = en s ϕ(x) exp ɛ 0 ɛ 0 T e 1 2eϕ Mv 2 s ) 1 2 ] První integraci lze provést analyticky ( ) 2 [ ( ) ) 1 ] 1 dϕ = en s ϕ T e exp T e + 2ε s (1 ϕεs 2 2ε s 2 dx ɛ 0 T e

20 Elektronová hustota je dána Boltzamanovým rozdělením ( ) ϕ(x) n e (x) = n es exp T e Průběh potenciálu lze pak obdržet z Poissonovy rovnice [ ( ) ( d 2 ϕ dx 2 = e (n e n i ) = en s ϕ(x) exp ɛ 0 ɛ 0 T e 1 2eϕ Mv 2 s ) 1 2 ] První integraci lze provést analyticky ( ) 2 [ ( ) ) 1 ] 1 dϕ = en s ϕ T e exp T e + 2ε s (1 ϕεs 2 2ε s 2 dx ɛ 0 T e pokud se omezíme na malá napětí a rozvedeme pravou stranu předešlé rovnice do Taylorovy řady do druhého řádu 1 ϕ 2 1 ϕ T e 4 ε s

21 po dosazení a úpravě u s ete M = u B, což je známé Bohmovo kritérium stability vrstvy.

22 Sondová charakteristika I [ma] U [V]

23 Plovoucí potenciál V tomto bodě sondové charakteristiky jsou si elektronové a iontové proudy rovny. Sonda musí být na záporném potenciálu vzhledem k plazmatu. S využitím Bohmova kritéria můžeme přibližně odhadnout kt I +f = ej + S en + S (2) m +

24 Přechodová část sondové charakteristiky V případě Maxwellova rozdělení bude přechodová část exponenciála ( ) e(v p V s ) I e = I es exp kt e kde V s je potenciál plazmatu, V p napětí na sondě a I es = 1 4 n kt e eesv = n e es (4) 2πm e (3)

25 Přechodová část sondové charakteristiky V případě Maxwellova rozdělení bude přechodová část exponenciála ( ) e(v p V s ) I e = I es exp kt e kde V s je potenciál plazmatu, V p napětí na sondě a I es = 1 4 n kt e eesv = n e es (4) 2πm e Tedy sklon fitu logaritmem proudu v této oblasti bude α = e kt e Je však nutné mít čistě elektronový proud - nejjednodušším způsobem je fit iontového nasyceného proudu přímkou, její extrapolace až k potenciálu plazmatu a následné odečtení od původní charakteristiky. (3)

26 Plazmový potenciál Nachází-li se sonda na plazmovém potenciálu neexistuje mezi ní a plazmatem žádný potenciálový spád. Sondový proud je tvořen především elektrony, které mají mají mnohem větší pohyblivost.

27 Plazmový potenciál Nachází-li se sonda na plazmovém potenciálu neexistuje mezi ní a plazmatem žádný potenciálový spád. Sondový proud je tvořen především elektrony, které mají mají mnohem větší pohyblivost. Metody určení: průsečík fitů zlogaritmovanym proudem přechodové a nasycené elektronové části

28 Plazmový potenciál Nachází-li se sonda na plazmovém potenciálu neexistuje mezi ní a plazmatem žádný potenciálový spád. Sondový proud je tvořen především elektrony, které mají mají mnohem větší pohyblivost. Metody určení: průsečík fitů zlogaritmovanym proudem přechodové a nasycené elektronové části maximum první derivace, resp. nulovost druhé derivace

29 Plazmový potenciál Nachází-li se sonda na plazmovém potenciálu neexistuje mezi ní a plazmatem žádný potenciálový spád. Sondový proud je tvořen především elektrony, které mají mají mnohem větší pohyblivost. Metody určení: průsečík fitů zlogaritmovanym proudem přechodové a nasycené elektronové části maximum první derivace, resp. nulovost druhé derivace z plovoucího potenciálu ((2) = (4)) ( V s = V f + kt e 2e ln 2m i πm e )

30 Plazmový potenciál Nachází-li se sonda na plazmovém potenciálu neexistuje mezi ní a plazmatem žádný potenciálový spád. Sondový proud je tvořen především elektrony, které mají mají mnohem větší pohyblivost. Metody určení: průsečík fitů zlogaritmovanym proudem přechodové a nasycené elektronové části maximum první derivace, resp. nulovost druhé derivace z plovoucího potenciálu ((2) = (4)) ( V s = V f + kt e 2e ln 2m i πm e ) emitující sonda

31 Určení koncentrace Z předchozího vztahu (4) lze vyjádřit koncentraci elektronů n e = 4 I ep πme es 8kT e I ep je hodnota elektronového proudu při plazmovém potenciálu

32 Určení koncentrace Z předchozího vztahu (4) lze vyjádřit koncentraci elektronů n e = 4 I ep πme es 8kT e I ep je hodnota elektronového proudu při plazmovém potenciálu Podobně lze z (2) určit i koncentrace iontů n i = I if es mi kt e I if je hodnota proudu při plovoucím potenciálu.

33 Určení koncentrace Z předchozího vztahu (4) lze vyjádřit koncentraci elektronů n e = 4 I ep πme es 8kT e I ep je hodnota elektronového proudu při plazmovém potenciálu Podobně lze z (2) určit i koncentrace iontů n i = I if es mi kt e I if je hodnota proudu při plovoucím potenciálu. Očekávat však shodu takto určených koncentrací (kvazineutralita plazmatu) by bylo poměrně naivní, uvedená teorie je velmi nepřesná z různých důvodů, avšak jistý odhad může poskytnout.

34 Teorie sondových měření OML (orbital motion limited) teorie [4]

35 Teorie sondových měření OML (orbital motion limited) teorie [4] ABR (Allen-Boyd-Reynold) teorie [8]

36 Teorie sondových měření OML (orbital motion limited) teorie [4] ABR (Allen-Boyd-Reynold) teorie [8] BRL (Bernstein-Rabinowitz-Laframboise) teorie [6],[2]

37 Teorie sondových měření OML (orbital motion limited) teorie [4] ABR (Allen-Boyd-Reynold) teorie [8] BRL (Bernstein-Rabinowitz-Laframboise) teorie [6],[2] teorie zahrnující srážky, případně i přítomnost magnetického pole

38 Teorie sondových měření OML (orbital motion limited) teorie [4] ABR (Allen-Boyd-Reynold) teorie [8] BRL (Bernstein-Rabinowitz-Laframboise) teorie [6],[2] teorie zahrnující srážky, případně i přítomnost magnetického pole možnost určení EEDF (Druyvesteinova formule)

39 OML teorie V podstatě se jedná o původní Langmuirův článek[7], neznal však Bohmovo kritérium, pro korektnější popis iontového proudu je třeba vyhledat novější články[6]. žádné srážky, bez magnetického pole, problém centrální síly

40 OML teorie V podstatě se jedná o původní Langmuirův článek[7], neznal však Bohmovo kritérium, pro korektnější popis iontového proudu je třeba vyhledat novější články[6]. žádné srážky, bez magnetického pole, problém centrální síly problém vyvstává s určení potenciálu ve vrstvě, Poissonova rovnice již není analyticky řešitelná nicméně v jistých situacích může být sondový proud zjištěn i bez znalosti přesného průběhu potenciálu ve vrstvě

41 Proudový příspěvek je obecně dán následujícím integrálem I = nq vx2 vy2 vz2 ds dv x dv y v x f (v x, v y, v z ) dv z v x1 v y1 v z1 Problém spočívá "pouze" v určení itegračních limit a volby vhodné soustavy souřadnic.

42 Proudový příspěvek je obecně dán následujícím integrálem I = nq vx2 vy2 vz2 ds dv x dv y v x f (v x, v y, v z ) dv z v x1 v y1 v z1 Problém spočívá "pouze" v určení itegračních limit a volby vhodné soustavy souřadnic. obecně I = Sj r F S je plocha sondy, j r = 1 4 n 8kT πm rozměry a tvar sondy a F je faktor zahrnující

43 Pokud je částice sondou přitahována (qv < 0), pak pro sférickou symetrii a pro cylindrickou symetrii F = r s 2 rp 2 (1 e Φ ) + e Φ F = s a erf( Φ) + e η (1 erf( η + Φ)) η = ev p kt, Φ = r p 2 rs 2 + rp 2 η

44 Pokud je částice sondou přitahována (qv < 0), pak pro sférickou symetrii a pro cylindrickou symetrii F = r s 2 rp 2 (1 e Φ ) + e Φ F = s a erf( Φ) + e η (1 erf( η + Φ)) η = ev p kt, Φ = r p 2 rs 2 + rp 2 η Uvažujeme-li, že r p r s a η 1, pak F sphere = η + 1, Fcylin = 2 π η + 1

45 Předchozí rovnice naznačuje, že ze sklonu elektronového nasyceného proudu lze určit koncentraci, pro válcovou sondu I 2 = 4 π S2 j 2 r (η + 1) α = 2 π 2 S2 e m n2

46 Předchozí rovnice naznačuje, že ze sklonu elektronového nasyceného proudu lze určit koncentraci, pro válcovou sondu I 2 = 4 π S2 j 2 r (η + 1) α = 2 π 2 S2 e m n2 pro nasycený ionotvý proud dává OML teorie ( ) κ I i = I i0 1 eu kt e

47 EEDF Maxwellova rozdělovací funkce se pozná podle toho, že proud tekoucí sondou je v přechodové části exponenciální funkcí napětí Druyvesteyn dokázal, že EEDF lze určit z této části charakteristiky f (e U ) = 2 2m U e 5 2 S d 2 I e du 2 Uvedené odvození vychází z faktu, že záporná sonda je schopna vybrat z plazmau pouze ty elektrony, jejichž energie je větší nebo rovna eu.

48 Ukázky iontových trajektorií s/bez srážek[3] Figure: Simulace deseti iontových trajektorií při U p = 2 V, n e = cm 1, r s = 0.31 mm. Ionty začínají pohyb na hranici sheathu s Maxwellovským rozdělením(t + = 300 K).

49 Figure: U p = 2 V, n e = cm 1, r s = 1.1 mm, T + = 300 K.

50 Figure: U p = 2 V, n e = 10 7 cm 1, r s = 6.7 mm, T + = 300 K.

51 Děkuji Vám za pozornost!

52 Bibliography [1] BETTINGER, R. T., a WALKER, E. M., Phys. Fluids 8 (1965) 748. [2] LAFRAMBOISE, J. G., U.T.I.A.S. Report, No. 100, (1966). [3] TRUNEC, D., ŠPAŇEL, P., a SMITH, D., Contrib. Plasma Phys. 35 (1995) 203. [4] CHEN, F. F., Plasma Diagnostic Techniques, kap. 4, ed. HUDDLESTONE, R. H. a LEONARD, L. S. (1965). [5] LIEBERMAN, M. A. a LICHTENBERG, A.J., Principles of Plasma Discharges and Materials Processing (Wiley, New York, 1994). [6] BERNSTEIN, I.B. a RABINOWITZ, I.N., Phys. Fluids 2, 112 (1959). [7] MOTT-SMITH, H. a LANGMUIR, I., Phys. Rev. 28, 27 (1926). [8] ALLEN, J.E., Boyd, R.L.F. a REYNOLDS, P., Proc. Phys. Soc. (London), B70, 297 (1957).