IB112 Základy matematiky
|
|
|
- Daniela Pavlína Švecová
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček
2 IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic Vektor a matice násobení matic maticový zápis soustavy lineárních rovnic schodovitý tvar Řešení soustavy lineárních rovnic Gaussova eliminace Zpětná substituce Geometrický význam lineárních rovnic s dvěma neznýmými s třemi neznámými
3 Soustava lineárních rovnic IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 3/53
4 IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 4/53 Lineární rovnice Definice (Lineární rovnice) Lineární rovnicí o n neznámých x 1, x 2,..., x n rozumíme rovnici tvaru a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b, kde a 1, a 2,..., a n jsou koeficienty a b je absolutní člen. Příklad x + 3 = 2y 4 x 2y = 7 lze chápat i jako rovnici nad 3 neznámými: x 2y + 0z = 7
5 Soustava lineárních rovnic IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 5/53 Definice (Soustava lineárních rovnic) Je-li dáno m rovnic o n neznámých x 1, x 2,..., x n, hovoříme o soustavě lineárních rovnic nebo systému lineárních rovnic. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Řešením soustavy rozumíme n-tici čísel (u 1, u 2,..., u n ), po jejichž dosazení za proměnné (x 1, x 2,..., x n ) se levá strana každé rovnice vyhodnotí na odpovídající pravou stranu.
6 Motivační příklad 1 IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 6/53 Příklad 2x 3y = 7 x +2z = 1 3x +3y +2z = 14
7 IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 7/53 Motivační příklad 1 Příklad 2x 3y = 7 x +2z = 1 3x +3y +2z = 14 Řešení Soustava má jediné řešení (5, 1, 2). Jinak zapsáno: x = 5, y = 1, z = 2
8 Motivační příklad 2 IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 8/53 Příklad 2x 3y = 7 x +2z = 1 3x 3y +2z = 8
9 IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 9/53 Motivační příklad 2 Příklad 2x 3y = 7 x +2z = 1 3x 3y +2z = 8 Řešení Soustava má řešení (5, 1, 2). Existují další řešení: ( 1, 3, 1), (2, 1, 1 2 ), (11, 5, 5),...
10 Motivační příklad 2 IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 10/53 Příklad 2x 3y = 7 x +2z = 1 3x 3y +2z = 8 Řešení Soustava má řešení (5, 1, 2). Existují další řešení: ( 1, 3, 1), (2, 1, 1 2 ), (11, 5, 5),... Řešením je každá trojice (t, 2t 7 ), kde t je libovolné. 3, 1 t 2 Řešení je tedy nekonečně mnoho. Tato situace obvykle nastává, je-li rovnic méně než proměnných (v tomto příkladu třetí rovnice nepřidává žádnou informaci, je pouze součtem prvních dvou rovnic).
11 Motivační příklad 3 IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 11/53 Příklad 2x 3y = 7 x +2z = 1 3x 3y +2z = 9
12 IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 12/53 Motivační příklad 3 Příklad 2x 3y = 7 x +2z = 1 3x 3y +2z = 9 Řešení Neexistuje žádné řešení: součtem prvních dvou rovnic dostáváme 3x 3y + 2z = 8, což odporuje třetí rovnici.
13 IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 13/53 Vyřešení a ekvivalence soustavy rovnic Vyřešením soustavy rovnic rozumíme nalezení všech řešení. Obvyklým postupem je převod soustavy na jednodušší soustavu se stejnou množinou řešení. Definice (Ekvivalence soustav lineárních rovnic) Soustavy lineárních rovnic se nazývají ekvivalentní, mají-li stejnou množinu řešení.
14 IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 14/53 Úpravy soustavy Následujícími úpravami získáme vždy ekvivalentní soustavu lineárních rovnic: 1 výměna libovolných dvou rovnic soustavy 2 vynásobení obou stran libovolné rovnice nenulovým číslem c 3 přičtení c-násobku i-té rovnice k j-té rovnici (i j) Každá z uvedených úprav je vratná. Původní soustavu dostaneme 1 opakováním výměny rovnic. 2 vynásobením stejné rovnice číslem 1 c. 3 k j-té rovnici přičteme ( c)-násobek i-té rovnice.
15 Poznámky k úpravám soustavy IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 15/53 Obecně nelze kombinovat více úprav v jednom kroku (mohlo by to vést k neekvivalentní soustavě rovnic): 2x 3y = 7 x +2z = 1 3x +3y +2z = 14 Současným přičtením 2. rovnice k 3. a 3. rovnice k 2. dostaneme 2x 3y = 7 4x +3y +4z = 15 4x +3y +4z = 15 Tato soustava není ekvivalentní: původní soustava má jedno řešení, upravená soustava jich ma nekonečně mnoho.
16 Vektory a matice IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 16/53
17 Vektory IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 17/53 Definice (Vektor) Vektor je uspořádaná n-tice prvků. Vektor se zapisuje do řádku či do sloupce jedním z následujících způsobů (vpravo jsou sloupcové vektory): ( ) ( 3, 2, 8) x 1 ( ) 2 x 2 (x 1, x 2, x 3 ) x1 x 2 x 3 8 x 3 Vektory stejného typu lze sčítat po složkách: ( 3, 2, 8) + (5, 5, 0) = (2, 3, 8) Násobení vektoru číslem: 5 ( 3, 2, 8) = ( 15, 10, 40)
18 Matice IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 18/53 Definice (Matice) Maticí typu m/n rozumíme obdélníkové schéma a 11 a a 1n a 21 a a 2n A =... a m1 a m2... a mn Zápis A = (a ij ) znamená, že prvky matice A označujeme jmény tvaru a ij dle uvedeného schématu.
19 Součin matic IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 19/53 Definice (Součin matic) Součinem matic A = (a ij ) typu m/n a B = (b jk ) typu n/o je matice C = (c ik ) typu m/o splňující c ik = n a ij b jk. j=1 Příklad ( ) = 2 0 3
20 Součin matic IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 20/53 Definice (Součin matic) Součinem matic A = (a ij ) typu m/n a B = (b jk ) typu n/o je matice C = (c ik ) typu m/o splňující c ik = n a ij b jk. j=1 Příklad ( ) ( ) =
21 Maticový zápis soustavy lineárních rovnic IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 21/53 Soustavu lineárních rovnic a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m lze zapsat pomocí matic následovně: a 11 a a 1n x 1 b 1 a 21 a a 2n... x 2. = b 2. a m1 a m2... a mn x n b m Označíme-li matici a vektory pořadě A, x, b, dostáváme rovnici A x = b.
22 Maticový zápis soustavy lineárních rovnic IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 22/53 Soustavu lineárních rovnic lze ještě úsporněji reprezentovat tzv. rozšířenou maticí soustavy: a 11 a a 1n b 1 a 21 a a 2n b 2 (A b) =.... a m1 a m2... a mn b m Příklad 2x 3y = 7 x +2z = 1 3x +3y +2z =
23 Schodovitý tvar matice Definice (Schodový tvar matice) Vedoucí prvek i-tého řádku matice je nejlevější nenulový prvek na i-tém řádku (nulový řádek nemá vedoucí prvek). Matice je v (řádkově) schodovitém tvaru, jestliže 1 za nulovým řádkem následují už jen nulové řádky a 2 vedoucí prvek v každém nenulovém řádku je v pravějším sloupci než vedoucí prvky všech předcházejících řádků. Příklad Vedoucí prvky jsou červené. Pouze matice vlevo je ve schodovitém tvaru. IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 23/53
24 Řešení soustavy lineárních rovnic IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 24/53
25 IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 25/53 Elementární řádkové transformace matic Dříve zmíněné úpravy soustavy lineárních rovnic, které zachovávají ekvivalenci, přesně odpovídají následujícím elementárním řádkovým transformacím provedeným na rozšířené matici soustavy. Definice (Elementární řádkové transformace) Elementární řádkové transformace matic jsou 1 výměna dvou řádků matice, 2 vynásobení jednoho řádku nenulovým číslem, 3 přičtení násobku některého řádku k jinému řádku.
26 Gaussova eliminace IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 26/53 Věta (Gaussova eliminace) Každou matici lze pomocí konečně mnoha elementárních řádkových úprav převést na řádkově schodovitý tvar. Důkaz Převod do schodovitého tvaru lze provést následujícím algoritmem. 1 Necht j-tý sloupec je nejlevější nenulový sloupec matice. Vyměníme řádky tak, aby na prvním řádku byl v j-tém sloupci nenulový prvek a 1j. 2 K ostatním řádkům, které mají v tomto sloupci nenulový prvek a ij přičteme ( a ij a 1j )-násobek prvního řádku. Tím vynulujeme celý j-tý sloupec až na a 1j. 3 Tím jsme dostali první řádek do požadovaného tvaru. Opakovanou aplikací kroků 1 a 2 na zbylé řádky převedeme matici do požadovaného tvaru.
27 IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 27/53 Řešení soustavy lineárních rovnic Postupujeme následovně: 1 Zapíšeme soustavu pomocí rozšířené matice soustavy (A b). 2 Rozšířenou matici převedeme Gaussovou eliminací na matici (A b ) ve schodovitém tvaru. Jelikož eliminace používá pouze elementární úpravy, reprezentuje výsledná rozšířená matice ekvivalentní soustavu lineárních rovnic. 3 Z rozšířené matice (A b ) vyčteme kolik řešení má soustava rovnic. Rozlišujeme tři situace: Matice (A b ) obsahuje řádek tvaru ( k), kde k je nenulové číslo. Tento řádek odpovídá rovnici 0 = k a soustava proto nemá řešení. V opačných případě soustava má řešení a nastává jeden z následujících případů. Matice A má v každém sloupci nějaký vedoucí prvek. Pak má soustava právě jedno řešení. V matice A existuje sloupec, ve kterém není vedoucí prvek. Pak má soustava nekonečně mnoho řešení. 4 Řešení spočítáme pomocí tzv. zpětné substituce.
28 Zpětná substituce Necht (A b ) je matice ve schodovitém tvaru neobsahující řádek tvaru ( k) s nenulovým k. Proměnné odpovídající sloupcům matice A bez vedoucího prvku nahradíme parametrem. Tyto proměnné mohou nabývat libovolné hodnoty. Hodnoty ostatních proměnných jsou v každém řešení závislé na konkrétních hodnotách parametrů. Každý neprázdný řádek převedeme na rovnici ( a ij a i(j+1)... a in b i ) x j = 1 a ij (b i a i(j+1) x j+1... a in x n) tyto rovnice postupně odspodu řešíme dosazením níže spočítaných hodnot a parametrů. IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 28/53
29 Příklady IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 29/53 Příklad 1 2x 1 3x 2 = 7 x 1 +2x 3 = 1 3x 1 3x 2 +2x 3 = 9
30 Příklady IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 30/53 Příklad 1 2x 1 3x 2 = 7 x 1 +2x 3 = 1 3x 1 3x 2 +2x 3 =
31 Příklady IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 31/53 Příklad 1 2x 1 3x 2 = 7 x 1 +2x 3 = 1 3x 1 3x 2 +2x 3 = Uvedená soustava lineárních rovnic nemá řešení.
32 Příklady IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 32/53 Příklad 2 2x 1 3x 2 = 7 x 1 +2x 3 = 1 3x 1 3x 2 +2x 3 = 8
33 Příklady IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 33/53 Příklad 2 2x 1 3x 2 = 7 x 1 +2x 3 = 1 3x 1 3x 2 +2x 3 =
34 Příklady IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 34/53 Příklad 2 2x 1 3x 2 = 7 x 1 +2x 3 = 1 3x 1 3x 2 +2x 3 =
35 Příklady IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 35/53 Příklad 2 2x 1 3x 2 = 7 x 1 +2x 3 = 1 3x 1 3x 2 +2x 3 = x 1 = 1 2x 3 x 2 = 1 3 (5 + 4x 3)
36 Příklady IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 36/53 Příklad 2 2x 1 3x 2 = 7 x 1 +2x 3 = 1 3x 1 3x 2 +2x 3 = x 1 = 1 2x 3 x 2 = 1 3 (5 + 4x 3) x 1 = 1 2t x 2 = 1 3 (5 + 4t) x 3 = t 1 Řešením je tedy každá trojice (1 2t, 3 (5 + 4t), t) kde t je libovolné. To je totéž jako (t, 2t 7 3, 1 t 2 ).
37 Příklady IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 37/53 Příklad 3 2x 1 3x 2 = 7 x 1 +2x 3 = 1 3x 1 +3x 2 +2x 3 = 14...
38 IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 38/53 Efektivita Gaussovy eliminace Gaussova eliminační metoda je velmi efektivní při ručním řešení malých soustav rovnic i pro počítačové řešení větších soustav (stovky až tisíce rovnic). Pro rozsáhlejší soustavy existují efektivnější algoritmy.
39 Geometrický význam lineárních rovnic IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 39/53
40 Lineární rovnice o dvou neznámých IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 40/53 Lineární rovnice o dvou neznámých má nekonečně mnoho řešení, které tvoří přímku v dvojrozměrném prostoru. Řešením x + 2y = 8 je každá dvojice tvaru (t, 4 t 2 ).
41 Soustava lineárních rovnice o dvou neznámých IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 41/53 Řešením soustavy lineárních rovnic o dvou neznámých je průnik odpovídajících přímek. x + 2y = 8
42 Soustava lineárních rovnice o dvou neznámých IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 42/53 Řešením soustavy lineárních rovnic o dvou neznámých je průnik odpovídajících přímek. x + 2y = 8 x + 2y = 10
43 Soustava lineárních rovnice o dvou neznámých IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 43/53 Řešením soustavy lineárních rovnic o dvou neznámých je průnik odpovídajících přímek. x + 2y = 8 x + 2y = 10 nemá řešení
44 Soustava lineárních rovnice o dvou neznámých IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 44/53 Řešením soustavy lineárních rovnic o dvou neznámých je průnik odpovídajících přímek. x + 2y = 8
45 Soustava lineárních rovnice o dvou neznámých IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 45/53 Řešením soustavy lineárních rovnic o dvou neznámých je průnik odpovídajících přímek. x + 2y = 8 2x 3y = 3
46 Soustava lineárních rovnice o dvou neznámých IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 46/53 Řešením soustavy lineárních rovnic o dvou neznámých je průnik odpovídajících přímek. x + 2y = 8 2x 3y = 3 má řešení ( 18 7, 19 7 )
47 Lineární rovnice o třech neznámých IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 47/53 Lineární rovnice o třech neznámých má nekonečně mnoho řešení, které tvoří rovinu v trojrozměrném prostoru. Řešením 2x 3y + 0z = 7 je každá trojice tvaru (t, 2t 7 3, r).
48 Soustava lineárních rovnic o třech neznámých IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 48/53 Řešením soustavy lineárních rovnic o třech neznámých je průnik odpovídajících rovin. 2x 3y +2z = 7
49 Soustava lineárních rovnic o třech neznámých IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 49/53 Řešením soustavy lineárních rovnic o třech neznámých je průnik odpovídajících rovin. 2x 3y +2z = 7 x +2z = 1
50 Soustava lineárních rovnic o třech neznámých IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 50/53 Řešením soustavy lineárních rovnic o třech neznámých je průnik odpovídajících rovin. 2x 3y +2z = 7 x +2z = 1 řešení tvoří přímku (t, 2t 7 3, 1 t 2 )
51 Soustava lineárních rovnic o třech neznámých IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 51/53 Řešením soustavy lineárních rovnic o třech neznámých je průnik odpovídajících rovin. 2x 3y +2z = 7 x +2z = 1 3x +3y +2z = 14
52 Soustava lineárních rovnic o třech neznámých IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 52/53 Řešením soustavy lineárních rovnic o třech neznámých je průnik odpovídajících rovin. 2x 3y +2z = 7 x +2z = 1 3x +3y +2z = 14 jediné řešení je (5, 1, 2)
53 IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 53/53 Soustava lineárních rovnic o třech neznámých Všechna řešení soustavy lineárních rovnic o třech neznámých mohou tvořit: rovinu (typicky pokud máme jednu rovnici) přímku (typicky pokud máme dvě rovnice) bod (typicky pokud máme tři rovnice) Soustava také nemusí mít žádné řešení (typicky pokud máme více jak tři rovnice nebo pokud nějaké dvě rovnice odpovídají rovnoběžným rovinám).
Soustavy lineárních rovnic
Přednáška MATEMATIKA č 4 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz 27 10 2010 Soustava lineárních rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
Základy matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 3. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 21 Co nás dneska čeká... Co je to soustava lineárních
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
Lineární algebra. Soustavy lineárních rovnic
Lineární algebra Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/28.0326
10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo
0. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo (PEF PaA) Petr Gurka aktualizováno 9. prosince 202 Obsah Základní pojmy. Motivace.................................2 Aritmetický vektorový
1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu.
Determinanty Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Determinanty Definice determinantu Sarrusovo a křížové pravidlo Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu Výpočet determinantů 2 Inverzní
Úvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
Soustavy lineárních rovnic a determinanty
Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny
1 Determinanty a inverzní matice
Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého
SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny
Úvodní informace Soustavy lineárních rovnic. 12. února 2018
Úvodní informace Soustavy lineárních rovnic Přednáška první 12. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace 2 Soustavy lineárních rovnic 3 Matice Frobeniova věta Úvodní informace Olga Majlingová : Na Okraji, místnost
Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34
Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická
Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
1 Vektorové prostory.
1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Báze vektorových prostorů, transformace souřadnic Michal Botur Přednáška
1/10. Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic
1/10 Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic Soustavy lineárních algebraických rovnic 2/10 Definice: Soustavou m lineárních algebraických rovnic o n neznámých rozumíme soustavu rovnic a 11
Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití)
Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 2. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 40 Obsah 1 Vektory
Matice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule.
Matice Definice. Maticí typu m n nazýváme obdélníkové pole, tvořené z m n reálných čísel (tzv. prvků matice), zapsaných v m řádcích a n sloupcích. Značíme např. A = (a ij ), kde i = 1,..., m, j = 1,...,
MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
![MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]](/thumbs/58/41721403.jpg "MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]")
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku
VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m
Soustavy linea rnı ch rovnic
[1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n
Matematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
Lineární algebra Operace s vektory a maticemi
Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................
Operace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
Operace s maticemi
Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =
Aplikovaná numerická matematika - ANM
Aplikovaná numerická matematika - ANM 3 Řešení soustav lineárních rovnic iterační metody doc Ing Róbert Lórencz, CSc České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových
1 Soustavy lineárních rovnic
1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem
Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.
[1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.
LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25
Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
Cvičení z Numerických metod I - 12.týden
Máme systém lineárních rovnic Cvičení z Numerických metod I - týden Přímé metody řešení systému lineárních rovnic Ax = b, A = a a n a n a nn Budeme hledat přesné řešení soustavy x = x x n, b = b b n, x
Přednáška 4: Soustavy lineárních rovnic
Přednáška 4: Soustavy lineárních rovnic Touto přednáškou vrcholí naše snažení o algebraický popis řešení praktických problémů. Většina inženýrských úloh má totiž lineární charakter (alespoň přibližně)
[1] LU rozklad A = L U
![[1] LU rozklad A = L U](/thumbs/62/48401420.jpg "[1] LU rozklad A = L U")
[1] LU rozklad A = L U někdy je třeba prohodit sloupce/řádky a) lurozklad, 8, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l. Viz p. d. 4/2010 Terminologie BI-LIN, lurozklad,
Soustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného
Drsná matematika I 5. přednáška Vektory a matice
Drsná matematika I 5. přednáška Vektory a matice Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 20. 3. 2007 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Vektory 3 Matice nad skaláry 4 Ekvivalentní úpravy matic
7. Důležité pojmy ve vektorových prostorech
7. Důležité pojmy ve vektorových prostorech Definice: Nechť Vje vektorový prostor a množina vektorů {v 1, v 2,, v n } je podmnožinou V. Pak součet skalárních násobků těchto vektorů, tj. a 1 v 1 + a 2 v
Obsah. Lineární rovnice. Definice 7.9. a i x i = a 1 x a n x n = b,
Obsah Lineární rovnice Definice 77 Uvažujme číselné těleso T a prvky a 1,, a n, b T Úloha určit všechny n-tice (x 1,, x n ) T n, pro něž platí n a i x i = a 1 x 1 + + a n x n = b, i=1 se nazývá lineární
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n
[1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem
Číselné vektory, matice, determinanty
Číselné vektory, matice, determinanty Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny
9 Kolmost vektorových podprostorů
9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.
Vektory a matice. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Vektory a matice Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1
Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném
Základy matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé
Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém
1 1.2. Soustavy lineárních rovnic Soustava lineárních rovnic Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2...
Lineární algebra. Matice, operace s maticemi
Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo
Matematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s.
3.4. Výklad Předpokládejme, že v prostoru E 3 jsou dány body A, B, C neležící na jedné přímce. Těmito body prochází jediná rovina, kterou označíme ABC. Určíme vektory u = B - A, v = C - A, které jsou zřejmě
3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost
3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární
příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.
Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl
Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory
Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy
1 Projekce a projektory
Cvičení 3 - zadání a řešení úloh Základy numerické matematiky - NMNM20 Verze z 5. října 208 Projekce a projektory Opakování ortogonální projekce Definice (Ortogonální projekce). Uvažujme V vektorový prostor
a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se
Kapitola 11: Vektory a matice:
Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i
HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s
SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC
SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC Pojm: Algebraická rovnice... rovnice obsahující pouze celé nezáporné mocnin neznámé, tj. a n n + a n 1 n 1 +... + a 2 2 + a 1 + a 0 = 0, kde n je přirozené číslo.
HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s
4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20
4. Trojúhelníkový rozklad 4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20 4. Trojúhelníkový rozklad p. 2/20 Trojúhelníkový rozklad 1. Permutační matice 2. Trojúhelníkové matice 3. Trojúhelníkový (LU) rozklad 4. Výpočet
Matematika 2 pro PEF PaE
Determinanty / 8 Matematika 2 pro PEF PaE 3 Determinanty Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Permutace Determinanty Výpočet determinantu z definice 2 / 8 Permutací množiny {,, n} rozumíme prosté
Výběr báze. u n. a 1 u 1
Výběr báze Mějme vektorový prostor zadán množinou generátorů. To jest V = M, kde M = {u,..., u n }. Pokud je naším úkolem najít nějakou bázi V, nejpřímočařejším postupem je napsat si vektory jako řádky
V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného
Matice. a m1 a m2... a mn
Matice Nechť (R, +, ) je okruh a nechť m, n jsou přirozená čísla Matice typu m/n nad okruhem (R, +, ) vznikne, když libovolných m n prvků z R naskládáme do obdélníkového schematu o m řádcích a n sloupcích
Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru
1 1. Lineární algebra 1.1. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Hodnost matice Aritmetické vektory Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ).
Vektorový prostor. d) Ke každému prvku u V n existuje tzv. opačný prvek u, pro který platí, že u + u = o (vektor u nazýváme opačný vektor k vektoru u)
Hodnost matice Vektorový prostor Vektorový prostor V n je množina všech n-složkových vektorů spolu s operacemi sčítání vektorů a reálný násobek vektoru, přičemž platí: a) V n je uzavřenou množinou vůči
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ107/2200/280141 Soustavy lineárních rovnic Michal Botur Přednáška 4 KAG/DLA1M: Lineární
e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010
Optimální výrobní program Radka Zahradníková e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Obsah 1 Lineární programování 2 Simplexová metoda 3 Grafická metoda 4 Optimální výrobní program Řešení
Jedná se o soustavy ve tvaru A X = B, kde A je daná matice typu m n,
Soutavy lineárních algebraických rovnic Jedná se o soustavy ve tvaru A X = B, kde A je daná matice typu m n, X R n je sloupcový vektor n neznámých x 1,..., x n, B R m je daný sloupcový vektor pravých stran
ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE
ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.
x 2 = a 2 + tv 2 tedy (a 1, a 2 ) T + [(v 1, v 2 )] T A + V Příklad. U = R n neprázdná množina řešení soustavy Ax = b.
![x 2 = a 2 + tv 2 tedy (a 1, a 2 ) T + [(v 1, v 2 )] T A + V Příklad. U = R n neprázdná množina řešení soustavy Ax = b.](/thumbs/83/87395437.jpg "x 2 = a 2 + tv 2 tedy (a 1, a 2 ) T + [(v 1, v 2 )] T A + V Příklad. U = R n neprázdná množina řešení soustavy Ax = b.")
1. Afinní podprostory 1.1. Motivace. Uvažujme R 3. Jeho všechny vektorové podprostory jsou počátek, přímky a roviny procházející počátkem a celé R 3. Chceme-li v R 3 dělat geometrii potřebujeme i jiné
VEKTOROVÝ PROSTOR. Vektorový prostor V n je množina všech n-složkových vektorů spolu s operacemi sčítání, odčítání vektorů a reálný násobek vektoru.
VEKTOROVÝ PROSTOR Vektorový prostor V n je množina všech n-složkových vektorů spolu s operacemi sčítání, odčítání vektorů a reálný násobek vektoru. Soubor n-složkových vektorů je libovolná skupina vektorů,
Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29
Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................
P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 =
1 Výpočet inverzní matice Věta 1 Necht P U elementární matice vzniklá el úpravou U Pak je P U regulární Důkaz: Protože elementární úprava U je invertovatelná, existuje el úprava U, která vrací změny U
[1] Determinant. det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici
![[1] Determinant. det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici](/thumbs/94/118721039.jpg "[1] Determinant. det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici")
[1] Determinant je číslo jistým způsobem charakterizující čtvercovou matici det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici používá se při řešení lineárních soustav... a v mnoha dalších aplikacích
Lineární algebra : Lineární prostor
Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární
4EK213 Lineární modely. 4. Simplexová metoda - závěr
4EK213 Lineární modely 4. Simplexová metoda - závěr 4. Simplexová metoda - závěr Konečnost simplexové metody Degenerace Modifikace pravidla pro volbu vstupující proměnné Blandovo pravidlo Kontrola výpočtu
2. ZÁKLADY MATICOVÉ ALGEGRY 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY
2. ZÁKLADY MAICOVÉ ALGEGRY 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY V této kapitole se dozvíte: jak je definována reálná nebo komplexní matice a co rozumíme jejím typem; co jsou to prvky matice, co vyjadřují jejich indexy
Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,
Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),
5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).
Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých
Vybrané kapitoly z matematiky
Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava 2017-2018 Vybrané kapitoly z matematiky 2017-2018 1 / 19 Základní informace předmět: 714-0513, 5 kreditů přednáší: Radek Kučera kontakt: radek.kucera@vsb.cz,
8 Matice a determinanty
M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou
Základy matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 1. přednáška 22.9.2016 Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 19 Organizační pokyny přednášející:
5. Matice. Elementární úpravy
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan 5 Matice Elementární úpravy Matice typu r/s nad polem P vznikne, jestliže libovolných
FP - SEMINÁŘ Z NUMERICKÉ MATEMATIKY. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
FP - SEMINÁŘ Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci OBSAH A CÍLE SEMINÁŘE: Opakování a procvičení vybraných
Matice přechodu. Pozorování 2. Základní úkol: Určete matici přechodu od báze M k bázi N. Každou bázi napíšeme do sloupců matice, např.
Matice přechodu Základní úkol: Určete matici přechodu od báze M k bázi N. Každou bázi napíšeme do sloupců matice, např. u příkladu 7 (v ) dostaneme: Nyní bychom mohli postupovat jako u matice homomorfismu
Teorie informace a kódování (KMI/TIK) Reed-Mullerovy kódy
Teorie informace a kódování (KMI/TIK) Reed-Mullerovy kódy Lukáš Havrlant Univerzita Palackého 10. ledna 2014 Primární zdroj Jiří Adámek: Foundations of Coding. Strany 137 160. Na webu ke stažení, heslo:
pro řešení soustav lineárních rovnic. Gaussova eliminační metoda pro řešení soustavy lineárních rovnic sestává ze dvou kroků:
Kapitola 2 Gaussova eliminace Název druhé kapitoly je současně názvem nejčastěji používané metody (algoritmu) pro řešení soustav lineárních rovnic. Gaussova eliminační metoda pro řešení soustavy lineárních
VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru
Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.
Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak
Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic
Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Příklad 2x 3y + z = 5 3x + 5y + 2z = 4 x + 2y z = 1 Soustava lineárních rovnic obecně Maticový tvar: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a