Matematika B101MA1, B101MA2

Transkript

1 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium kombinované studium / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet LS zkouška (komb.), zápočet + zkouška (prez.) Požadavky: zápočet samostatná práce a/nebo test (min. 50%) zkouška písemná, min. 50% úspěšnost

2 I.2. Matice a determinanty Def: Maticí typu m n nazýváme schéma mn reálných čísel tvaru a 1,1 a 1,2 a 2,1 a a 1,n 2,2 a 2,n A =. a m,1 a m,2 a m,n m, n jsou přirozená čísla; a i,j R prvky matice; matice má m řádků (vektorů z V n ) a n sloupců (vektorů z V m ); zkrácený zápis: A = (a i,j ); a 1,1, a 2,2, a 3,3, - hlavní diagonála matice.

3 Základní pojmy A = a i,j je matice typu m n a i,j = 0 pro všechna i, j A = O (nulová matice); a i,j = 0 pro všechna i, j, i > j trojúhelníková matice. Příklad: A = , m = 3, n = 4. Matice B = (b i,j ) typu n m, b i,j = a j,i pro všechna i, j m. transponovaná k matici A, B = A T. Příklad: A = , B = AT =

4 Základní pojmy - pokračování Matice A typu n n čtvercová matice stupně n; A = A T symetrická matice; čtvercová matice E stupně n tvaru 1 0 E = jednotková matice; (e i,i = 1 pro všechna i, e i,j = 0 pro i j). Rovnost matic: A = B, jestliže platí: o obě matice jsou stejného typu m n, o a i,j = b i,j pro všechna i = 1,, m, j = 1,, n.

5 Operace s maticemi Nechť A = a i,j, B = (b i,j ) jsou matice typu m n, k R. Pak definujeme: A + B = C = (c i,j ), c i,j = a i,j + b i,j (i = 1,, m, j = 1,, n) součet matic A a B; k A = D = d i,j, d i,j = ka i,j (i = 1,, m, j = 1,, n) násobek matice A skalárem k. Poznámka: Matice C = A + B, D = k A jsou opět matice typu m n. Úloha: Definujte rozdíl matic F = A B, jsou-li matice A, B typu m n. Jakého typu je matice F?

6 Operace s maticemi - pokračování Věta: Množina W m,n všech matic typu m n s operacemi sčítání matic a násobení matice skalárem tvoří vektorový prostor. Nulovým prvkem tohoto prostoru je nulová matice O (typu m n). Úloha: a) Jaká matice je opačným prvkem k matici A W m,n? b) Jaká je dimenze prostoru W m,n? Jaké matice mohou tvořit jeho bázi? Operace násobení matic: definována pomocí skalárního součinu vektorů, obecně nelze násobit matice stejného typu (!)

7 Operace s maticemi - pokračování Def: Nechť A = a i,j je typu m n, B = (b i,j ) je typu n p. Součinem matic A a B (v tomto pořadí) nazýváme matici C = (c i,j ) typu m p, jejíž prvky jsou definovány přepisem c i,j = a i,1 b 1,j + a i,2 b 2,j + + a i,n b n,j (i = 1, 2,, m, j = 1, 2,, p), zapisujeme C = A B. Poznámky: počet sloupců matice A = počet řádků matice B; c i,j = skalární součin i-tého řádku a i matice A a j-tého sloupce b j matice B, c i,j = a i b j ; matici A násobíme maticí B zprava, matici B násobíme maticí A zleva, násobení matic není komutativní (ani pro čtvercové matice).

8 Vlastnosti maticových operací Věta: Nechť A, B, C jsou matice. Pak platí rovnosti (a) A B + C = A B + A C, (b) A + B C = A C + B C, (c) A B C = A (B C), (d) A E = E A = A, (e) (A + B) T = A T + B T, (f) (A B) T = B T A T, (g) A O = O A = O, mají-li výrazy na levých stranách smysl. Poznámka: Rovnosti platí např. pro všechny matice čtvercové a stejného stupně.

9 Hodnost matice Def: Hodnost matice A = maximální počet LN řádků matice A (aritmetických vektorů). Značíme h(a). Věta: Pro hodnost matice A typu m n platí: (a) h(a) min (m, n); (b) h A = h(a T ); (c) je-li A trojúhelníková a má všechny prvky na hlavní diagonále nenulové, pak h A = min (m, n). Příklad: A = , h A = 3.

10 Ekvivalentní úpravy nemění hodnost matice 1) změnit pořadí řádků matice; 2) vynásobit některý řádek matice číslem k 0; 3) vynechat řádek, který je lineární kombinací ostatních řádků (vynechat násobek jiného řádku); 4) přičíst k některému řádku lineární kombinaci ostatních řádků (přičíst násobek jiného řádku). Určování hodnosti matice idea: Pomocí 1) až 4) převést matici A na (ekvivalentní) trojúhelníkovou matici B, pak h A = h(b). Postup převodu tzv. Gaussův algoritmus; postupné vynulování prvků pod hlavní diagonálou.

11 Determinanty Def: Nechť A = (a i,j ) je čtvercová matice stupně n. Determinant matice A (značíme det A) je reálné číslo definované předpisem: (a) Pro n = 1 je det A = a 1,1. (b) Pro n > 1 a i 1, 2,, n libovolné je (2) det A = a i,1 A i,1 + a i,2 A i,2 + + a i,n A i,n, kde A i,j je tzv. doplněk prvku a i,j v matici A. A i,j = ( 1) i+j D i,j, D i,j je subdeterminant stupně n 1 matice A. Vzorec (2) je tzv. rozvoj determinantu podle i-tého řádku. det A lze vyjádřit rovněž rozvojem podle sloupce.

12 Výpočet determinantu Pro čtvercovou matici A = (a i,j ) stupně n platí: Je-li n = 2, pak det A = a 1,1 a 2,2 a 2,1 a 1,2. Je-li n = 3, pak det A = a 1,1 a 2,2 a 3,3 + a 2,1 a 3,2 a 1,3 + a 3,1 a 1,2 a 2,3 a 3,1 a 2,2 a 1,3 + a 1,1 a 3,2 a 2,3 + a 2,1 a 1,2 a 3,3 (Sarrusovo pravidlo). Je-li matice A trojúhelníková, pak det A = a 1,1 a 2,2 a n,n. Pro n 4 lze matici A převést na trojúhelníkovou a použít uvedený vzorec jaké použít operace?

13 Vlastnosti determinantu Pro čtvercovou matici A platí: (a) det A = det A T ; (b) je-li některý řádek matice A lineární kombinací ostatních řádků, pak det A = 0; (c) po záměně dvou řádků matice A ( matice B) je det B = det A; (d) po vynásobení některého řádku matice A číslem k ( matice B) je det B = k det A; (e) po přičtení k některému řádku matice A lineární kombinace ostatních řádků je det B = det A. Úloha: Porovnejte (b) až (e) s ekvivalentními úpravami matice.

14 Další vlastnosti Platí: Jsou-li A, B čtvercové matice stejného stupně, pak det(a B) = det A det B. Pozor: podobné pravidlo neplatí pro součet! Def: Nechť A je čtvercová matice stupně n. a) Matici A nazýváme regulární, platí-li h A = n. Není-li matice A regulární, nazývá se singulární. b) Čtvercovou matici B stupně n nazýváme inverzní maticí k matici A, platí-li A B = E. Inverzní matici k matici A značíme A 1. Poznámka: A je regulární matice všechny řádky (sloupce) matice A jsou LN.

15 Důležité souvislosti Věta: Nechť A je čtvercová matice. Pak následující výroky jsou ekvivalentní: (a) Matice A je regulární. (b) Platí det A 0. (c) K matici A existuje matice inverzní A 1. Vlastnosti regulárních matic: Je-li matice A regulární, pak rovněž A 1 je regulární a platí (A 1 ) 1 = A, A A 1 = A 1 A = E. Jsou-li matice A a B regulární, stejného stupně, pak matice A B je rovněž regulární a platí (A B) 1 = B 1 A 1.

16 Výpočet inverzní matice Je-li A = (a i,j ) regulární matice stupně n, pak A 1,1 A 1,2 A 1,n A 1 = 1 det A A n,1 A n,2 A n,n kde A i,j jsou doplňky prvků a i,j v matici A. Jiný způsob výpočtu: matici A E typu n 2n pomocí ekvivalentních úprav převést na matici tvaru E B. Pak B je inverzní matice k matici A, B = A 1. Úloha: Vyjádřete hodnotu det A 1 pomocí det A, je-li A regulární matice. T,

17 I.3. Soustavy lineárních algebraických rovnic Obecný tvar soustavy zápis v souřadnicích: a 1,1 x 1 + a 1,2 x a 1,n x n = b 1 a 2,1 x 1 + a 2,2 x a 2,n x n = b 2 a m,1 x 1 + a m,2 x a m,n x n = b m Označení: a i,j, b i R jsou dané konstanty, x 1, x 2,, x n jsou neznámé hodnoty. Jde o soustavu m rovnic o n neznámých.

18 Maticový zápis soustavy Zápis ve tvaru A X = B A = (a i,j ) je matice soustavy typu m n, B V m je sloupcový vektor (pravá strana soustavy), X V n je sloupcový vektor neznámých. Řešení soustavy: každý vektor u V n, který dané soustavě vyhovuje. Budeme značit velkým písmenem. Rozšířená matice soustavy: a 1,1 a a 1,n b 1 2,1 a A B = 2,n b 2 a m,1 a m,n b m

19 Homogenní soustavy rovnic Soustavy tvaru A X = O (pravá strana B = O) Věta: Pro řešení homogenní soustavy platí: Množina W všech řešení tvoří vektorový prostor; Je-li matice A regulární, má soustava jediné řešení X = O; Dimenze prostoru W všech řešení je rovna dim W = n h(a). Poznámky: Hodnost h A matice soustavy splňuje h(a) n. Je-li A regulární, pak h A = n a dim W = 0.

20 Nehomogenní soustavy rovnic Soustavy tvaru A X = B, B O Frobeniova věta: Soustava rovnic A X = B má řešení právě tehdy, když platí h A = h A B. Poznámka: vždy platí h(a) h A B. Pro soustavu rovnic tvaru A X = B nastává právě jedna z možností: (a) h(a) < h A B, soustava nemá řešení; (b) h A = h A B = n, soustava má jediné řešení; (c) h A = h A B < n, soustava má nekonečně mnoho řešení.

21 Soustavy rovnic - poznámky Uvedené tvrzení zahrnuje i homogenní soustavy rovnic, kdy může nastat pouze možnost (b) nebo (c) (rozmyslete). Množina W N všech řešení nehomogenní soustavy netvoří vektorový prostor (proč?). Příklad: Homogenní soustava rovnic x 1 + x 2 3x 3 = 0 5x 1 2x 2 8x 3 = 0 3x 1 4x 2 2x 3 = 0 splňuje h A = 2, dim W = 1, řešení soustavy má tvar X = X OH = 2t, t, t, t R je libovolné (tzv. obecné řešení). Vektor x = 2, 1, 1 představuje bázi prostoru W.

22 Množina řešení nehomogenní soustavy Možnost (b) odpovídá situaci, kdy A je regulární: soustava má jediné řešení X = A 1 B. Možnost (c): h(a) < n, prostor W všech řešení soustavy A X = O má dimenzi d = n h(a), její obecné řešení je tvaru X OH = c 1 X 1 + c 2 X c d X d, kde c i R, vektory X 1,, X d tvoří bázi prostoru W. Je-li X p jedno (pevné) řešení nehomogenní soustavy, pak její obecné řešení má tvar X ON = X p + X OH = X p + c 1 X 1 + c 2 X c d X d.

23 Metody řešení soustav lineárních rovnic Poznámka: Přímé metody poskytují přesné řešení po provedení konečně mnoha kroků vhodné pro malé soustavy. Alternativa: metody iterační vedou na přibližné řešení. (a) Cramerovo pravidlo Matice A je regulární soustava A X = B má jediné řešení X = A 1 B. Označme A i matici, která vznikne z matice A záměnou i-tého sloupce (prvky a j,i ) vektorem B (prvky b j ). Pak řešení soustavy je X = (x 1, x 2,, x n ), kde x i = det A i det A, i = 1, 2,, n.

24 (b) Gaussova eliminační metoda Poznámka: Metoda použitelná pro obecné soustavy, umožňuje určit obecný tvar řešení (i s parametry). Založena na úpravách rozšířené matice A B - převod na ekvivalentní trojúhelníkovou matici (operace s řádky matice). 1. fáze řešení přímý chod: Matici A B upravujeme na tvar a 1,1 a 1,2 0 a 2,2 A B = kde p n, h A B = p. a 1,n b 1 a 2,n b 2, 0 0 a p,p a p,n b p

25 Další postup: Je-li h(a) < p (v posledním řádku je pouze b p 0), pak soustava nemá řešení (Frobeniova věta). Je-li h A = h A B = p, lze řešení původní soustavy určit řešením upravené soustavy zdola nahoru : 2. fáze řešení zpětný chod. Dva možné případy: (b1) p = n, poslední rovnice upravené soustavy je a n,n x n = b n, a n,n 0. Z poslední rovnice vyjadřujeme x n, z předchozí x n 1, získáme jednoznačně určené řešení X.

26 Případ (b2) p < n Soustava obsahuje p rovnic pro n neznámých, poslední rovnice obsahuje neznámé x p, x p+1,, x n. Řešení pak obsahuje n p volitelných parametrů, např. x p+1, x p+2,, x n, ostatní neznámé vyjadřujeme postupně z rovnic soustavy. Poznámka: volba neznámých x p+1, x p+2,, x n za parametry (libovolná reálná čísla) je vhodná, jestliže a p,p 0. Pokud a p,p = 0, zahrnujeme mezi parametry neznámou x p a z poslední rovnice vyjadřujeme některou z neznámých x p+1, x p+2,, x n.

27 Geometrická aplikace (a) Vzájemná poloha přímek v rovině E 2 : Obecná rovnice přímky: ax + by + c = 0, a, b, c R. Úloha: Uvažte možnosti vzájemné polohy dvou přímek v rovině; tří přímek v rovině. (b) Vzájemná poloha rovin v prostoru E 3 : Obecná rovnice roviny: ax + by + cz + d = 0, a, b, c, d R. Společný bod (dvou nebo tří) rovin = řešení soustavy lineárních rovnic.