Matematika B101MA1, B101MA2
|
|
- Kamil Dvořák
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium kombinované studium / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet LS zkouška (komb.), zápočet + zkouška (prez.) Požadavky: zápočet samostatná práce a/nebo test (min. 50%) zkouška písemná, min. 50% úspěšnost
2 I.2. Matice a determinanty Def: Maticí typu m n nazýváme schéma mn reálných čísel tvaru a 1,1 a 1,2 a 2,1 a a 1,n 2,2 a 2,n A =. a m,1 a m,2 a m,n m, n jsou přirozená čísla; a i,j R prvky matice; matice má m řádků (vektorů z V n ) a n sloupců (vektorů z V m ); zkrácený zápis: A = (a i,j ); a 1,1, a 2,2, a 3,3, - hlavní diagonála matice.
3 Základní pojmy A = a i,j je matice typu m n a i,j = 0 pro všechna i, j A = O (nulová matice); a i,j = 0 pro všechna i, j, i > j trojúhelníková matice. Příklad: A = , m = 3, n = 4. Matice B = (b i,j ) typu n m, b i,j = a j,i pro všechna i, j m. transponovaná k matici A, B = A T. Příklad: A = , B = AT =
4 Základní pojmy - pokračování Matice A typu n n čtvercová matice stupně n; A = A T symetrická matice; čtvercová matice E stupně n tvaru 1 0 E = jednotková matice; (e i,i = 1 pro všechna i, e i,j = 0 pro i j). Rovnost matic: A = B, jestliže platí: o obě matice jsou stejného typu m n, o a i,j = b i,j pro všechna i = 1,, m, j = 1,, n.
5 Operace s maticemi Nechť A = a i,j, B = (b i,j ) jsou matice typu m n, k R. Pak definujeme: A + B = C = (c i,j ), c i,j = a i,j + b i,j (i = 1,, m, j = 1,, n) součet matic A a B; k A = D = d i,j, d i,j = ka i,j (i = 1,, m, j = 1,, n) násobek matice A skalárem k. Poznámka: Matice C = A + B, D = k A jsou opět matice typu m n. Úloha: Definujte rozdíl matic F = A B, jsou-li matice A, B typu m n. Jakého typu je matice F?
6 Operace s maticemi - pokračování Věta: Množina W m,n všech matic typu m n s operacemi sčítání matic a násobení matice skalárem tvoří vektorový prostor. Nulovým prvkem tohoto prostoru je nulová matice O (typu m n). Úloha: a) Jaká matice je opačným prvkem k matici A W m,n? b) Jaká je dimenze prostoru W m,n? Jaké matice mohou tvořit jeho bázi? Operace násobení matic: definována pomocí skalárního součinu vektorů, obecně nelze násobit matice stejného typu (!)
7 Operace s maticemi - pokračování Def: Nechť A = a i,j je typu m n, B = (b i,j ) je typu n p. Součinem matic A a B (v tomto pořadí) nazýváme matici C = (c i,j ) typu m p, jejíž prvky jsou definovány přepisem c i,j = a i,1 b 1,j + a i,2 b 2,j + + a i,n b n,j (i = 1, 2,, m, j = 1, 2,, p), zapisujeme C = A B. Poznámky: počet sloupců matice A = počet řádků matice B; c i,j = skalární součin i-tého řádku a i matice A a j-tého sloupce b j matice B, c i,j = a i b j ; matici A násobíme maticí B zprava, matici B násobíme maticí A zleva, násobení matic není komutativní (ani pro čtvercové matice).
8 Vlastnosti maticových operací Věta: Nechť A, B, C jsou matice. Pak platí rovnosti (a) A B + C = A B + A C, (b) A + B C = A C + B C, (c) A B C = A (B C), (d) A E = E A = A, (e) (A + B) T = A T + B T, (f) (A B) T = B T A T, (g) A O = O A = O, mají-li výrazy na levých stranách smysl. Poznámka: Rovnosti platí např. pro všechny matice čtvercové a stejného stupně.
9 Hodnost matice Def: Hodnost matice A = maximální počet LN řádků matice A (aritmetických vektorů). Značíme h(a). Věta: Pro hodnost matice A typu m n platí: (a) h(a) min (m, n); (b) h A = h(a T ); (c) je-li A trojúhelníková a má všechny prvky na hlavní diagonále nenulové, pak h A = min (m, n). Příklad: A = , h A = 3.
10 Ekvivalentní úpravy nemění hodnost matice 1) změnit pořadí řádků matice; 2) vynásobit některý řádek matice číslem k 0; 3) vynechat řádek, který je lineární kombinací ostatních řádků (vynechat násobek jiného řádku); 4) přičíst k některému řádku lineární kombinaci ostatních řádků (přičíst násobek jiného řádku). Určování hodnosti matice idea: Pomocí 1) až 4) převést matici A na (ekvivalentní) trojúhelníkovou matici B, pak h A = h(b). Postup převodu tzv. Gaussův algoritmus; postupné vynulování prvků pod hlavní diagonálou.
11 Determinanty Def: Nechť A = (a i,j ) je čtvercová matice stupně n. Determinant matice A (značíme det A) je reálné číslo definované předpisem: (a) Pro n = 1 je det A = a 1,1. (b) Pro n > 1 a i 1, 2,, n libovolné je (2) det A = a i,1 A i,1 + a i,2 A i,2 + + a i,n A i,n, kde A i,j je tzv. doplněk prvku a i,j v matici A. A i,j = ( 1) i+j D i,j, D i,j je subdeterminant stupně n 1 matice A. Vzorec (2) je tzv. rozvoj determinantu podle i-tého řádku. det A lze vyjádřit rovněž rozvojem podle sloupce.
12 Výpočet determinantu Pro čtvercovou matici A = (a i,j ) stupně n platí: Je-li n = 2, pak det A = a 1,1 a 2,2 a 2,1 a 1,2. Je-li n = 3, pak det A = a 1,1 a 2,2 a 3,3 + a 2,1 a 3,2 a 1,3 + a 3,1 a 1,2 a 2,3 a 3,1 a 2,2 a 1,3 + a 1,1 a 3,2 a 2,3 + a 2,1 a 1,2 a 3,3 (Sarrusovo pravidlo). Je-li matice A trojúhelníková, pak det A = a 1,1 a 2,2 a n,n. Pro n 4 lze matici A převést na trojúhelníkovou a použít uvedený vzorec jaké použít operace?
13 Vlastnosti determinantu Pro čtvercovou matici A platí: (a) det A = det A T ; (b) je-li některý řádek matice A lineární kombinací ostatních řádků, pak det A = 0; (c) po záměně dvou řádků matice A ( matice B) je det B = det A; (d) po vynásobení některého řádku matice A číslem k ( matice B) je det B = k det A; (e) po přičtení k některému řádku matice A lineární kombinace ostatních řádků je det B = det A. Úloha: Porovnejte (b) až (e) s ekvivalentními úpravami matice.
14 Další vlastnosti Platí: Jsou-li A, B čtvercové matice stejného stupně, pak det(a B) = det A det B. Pozor: podobné pravidlo neplatí pro součet! Def: Nechť A je čtvercová matice stupně n. a) Matici A nazýváme regulární, platí-li h A = n. Není-li matice A regulární, nazývá se singulární. b) Čtvercovou matici B stupně n nazýváme inverzní maticí k matici A, platí-li A B = E. Inverzní matici k matici A značíme A 1. Poznámka: A je regulární matice všechny řádky (sloupce) matice A jsou LN.
15 Důležité souvislosti Věta: Nechť A je čtvercová matice. Pak následující výroky jsou ekvivalentní: (a) Matice A je regulární. (b) Platí det A 0. (c) K matici A existuje matice inverzní A 1. Vlastnosti regulárních matic: Je-li matice A regulární, pak rovněž A 1 je regulární a platí (A 1 ) 1 = A, A A 1 = A 1 A = E. Jsou-li matice A a B regulární, stejného stupně, pak matice A B je rovněž regulární a platí (A B) 1 = B 1 A 1.
16 Výpočet inverzní matice Je-li A = (a i,j ) regulární matice stupně n, pak A 1,1 A 1,2 A 1,n A 1 = 1 det A A n,1 A n,2 A n,n kde A i,j jsou doplňky prvků a i,j v matici A. Jiný způsob výpočtu: matici A E typu n 2n pomocí ekvivalentních úprav převést na matici tvaru E B. Pak B je inverzní matice k matici A, B = A 1. Úloha: Vyjádřete hodnotu det A 1 pomocí det A, je-li A regulární matice. T,
17 I.3. Soustavy lineárních algebraických rovnic Obecný tvar soustavy zápis v souřadnicích: a 1,1 x 1 + a 1,2 x a 1,n x n = b 1 a 2,1 x 1 + a 2,2 x a 2,n x n = b 2 a m,1 x 1 + a m,2 x a m,n x n = b m Označení: a i,j, b i R jsou dané konstanty, x 1, x 2,, x n jsou neznámé hodnoty. Jde o soustavu m rovnic o n neznámých.
18 Maticový zápis soustavy Zápis ve tvaru A X = B A = (a i,j ) je matice soustavy typu m n, B V m je sloupcový vektor (pravá strana soustavy), X V n je sloupcový vektor neznámých. Řešení soustavy: každý vektor u V n, který dané soustavě vyhovuje. Budeme značit velkým písmenem. Rozšířená matice soustavy: a 1,1 a a 1,n b 1 2,1 a A B = 2,n b 2 a m,1 a m,n b m
19 Homogenní soustavy rovnic Soustavy tvaru A X = O (pravá strana B = O) Věta: Pro řešení homogenní soustavy platí: Množina W všech řešení tvoří vektorový prostor; Je-li matice A regulární, má soustava jediné řešení X = O; Dimenze prostoru W všech řešení je rovna dim W = n h(a). Poznámky: Hodnost h A matice soustavy splňuje h(a) n. Je-li A regulární, pak h A = n a dim W = 0.
20 Nehomogenní soustavy rovnic Soustavy tvaru A X = B, B O Frobeniova věta: Soustava rovnic A X = B má řešení právě tehdy, když platí h A = h A B. Poznámka: vždy platí h(a) h A B. Pro soustavu rovnic tvaru A X = B nastává právě jedna z možností: (a) h(a) < h A B, soustava nemá řešení; (b) h A = h A B = n, soustava má jediné řešení; (c) h A = h A B < n, soustava má nekonečně mnoho řešení.
21 Soustavy rovnic - poznámky Uvedené tvrzení zahrnuje i homogenní soustavy rovnic, kdy může nastat pouze možnost (b) nebo (c) (rozmyslete). Množina W N všech řešení nehomogenní soustavy netvoří vektorový prostor (proč?). Příklad: Homogenní soustava rovnic x 1 + x 2 3x 3 = 0 5x 1 2x 2 8x 3 = 0 3x 1 4x 2 2x 3 = 0 splňuje h A = 2, dim W = 1, řešení soustavy má tvar X = X OH = 2t, t, t, t R je libovolné (tzv. obecné řešení). Vektor x = 2, 1, 1 představuje bázi prostoru W.
22 Množina řešení nehomogenní soustavy Možnost (b) odpovídá situaci, kdy A je regulární: soustava má jediné řešení X = A 1 B. Možnost (c): h(a) < n, prostor W všech řešení soustavy A X = O má dimenzi d = n h(a), její obecné řešení je tvaru X OH = c 1 X 1 + c 2 X c d X d, kde c i R, vektory X 1,, X d tvoří bázi prostoru W. Je-li X p jedno (pevné) řešení nehomogenní soustavy, pak její obecné řešení má tvar X ON = X p + X OH = X p + c 1 X 1 + c 2 X c d X d.
23 Metody řešení soustav lineárních rovnic Poznámka: Přímé metody poskytují přesné řešení po provedení konečně mnoha kroků vhodné pro malé soustavy. Alternativa: metody iterační vedou na přibližné řešení. (a) Cramerovo pravidlo Matice A je regulární soustava A X = B má jediné řešení X = A 1 B. Označme A i matici, která vznikne z matice A záměnou i-tého sloupce (prvky a j,i ) vektorem B (prvky b j ). Pak řešení soustavy je X = (x 1, x 2,, x n ), kde x i = det A i det A, i = 1, 2,, n.
24 (b) Gaussova eliminační metoda Poznámka: Metoda použitelná pro obecné soustavy, umožňuje určit obecný tvar řešení (i s parametry). Založena na úpravách rozšířené matice A B - převod na ekvivalentní trojúhelníkovou matici (operace s řádky matice). 1. fáze řešení přímý chod: Matici A B upravujeme na tvar a 1,1 a 1,2 0 a 2,2 A B = kde p n, h A B = p. a 1,n b 1 a 2,n b 2, 0 0 a p,p a p,n b p
25 Další postup: Je-li h(a) < p (v posledním řádku je pouze b p 0), pak soustava nemá řešení (Frobeniova věta). Je-li h A = h A B = p, lze řešení původní soustavy určit řešením upravené soustavy zdola nahoru : 2. fáze řešení zpětný chod. Dva možné případy: (b1) p = n, poslední rovnice upravené soustavy je a n,n x n = b n, a n,n 0. Z poslední rovnice vyjadřujeme x n, z předchozí x n 1, získáme jednoznačně určené řešení X.
26 Případ (b2) p < n Soustava obsahuje p rovnic pro n neznámých, poslední rovnice obsahuje neznámé x p, x p+1,, x n. Řešení pak obsahuje n p volitelných parametrů, např. x p+1, x p+2,, x n, ostatní neznámé vyjadřujeme postupně z rovnic soustavy. Poznámka: volba neznámých x p+1, x p+2,, x n za parametry (libovolná reálná čísla) je vhodná, jestliže a p,p 0. Pokud a p,p = 0, zahrnujeme mezi parametry neznámou x p a z poslední rovnice vyjadřujeme některou z neznámých x p+1, x p+2,, x n.
27 Geometrická aplikace (a) Vzájemná poloha přímek v rovině E 2 : Obecná rovnice přímky: ax + by + c = 0, a, b, c R. Úloha: Uvažte možnosti vzájemné polohy dvou přímek v rovině; tří přímek v rovině. (b) Vzájemná poloha rovin v prostoru E 3 : Obecná rovnice roviny: ax + by + cz + d = 0, a, b, c, d R. Společný bod (dvou nebo tří) rovin = řešení soustavy lineárních rovnic.
Kapitola 11: Vektory a matice 1/19
Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
Více10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo
0. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo (PEF PaA) Petr Gurka aktualizováno 9. prosince 202 Obsah Základní pojmy. Motivace.................................2 Aritmetický vektorový
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
VíceKapitola 11: Vektory a matice:
Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i
Více8 Matice a determinanty
M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou
VíceMatice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule.
Matice Definice. Maticí typu m n nazýváme obdélníkové pole, tvořené z m n reálných čísel (tzv. prvků matice), zapsaných v m řádcích a n sloupcích. Značíme např. A = (a ij ), kde i = 1,..., m, j = 1,...,
VíceSoustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém
1 1.2. Soustavy lineárních rovnic Soustava lineárních rovnic Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2...
VíceVĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru
VíceSoustavy lineárních rovnic
Přednáška MATEMATIKA č 4 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz 27 10 2010 Soustava lineárních rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a
Více1 Vektorové prostory.
1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které
VíceLineární algebra. Matice, operace s maticemi
Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo
VíceVI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku
VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m
VíceMatice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n
[1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem
Více7. Lineární vektorové prostory
7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární
Více1/10. Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic
1/10 Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic Soustavy lineárních algebraických rovnic 2/10 Definice: Soustavou m lineárních algebraických rovnic o n neznámých rozumíme soustavu rovnic a 11
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
Více(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
VíceDEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které
VíceDeterminanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu.
Determinanty Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Determinanty Definice determinantu Sarrusovo a křížové pravidlo Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu Výpočet determinantů 2 Inverzní
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 3. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 21 Co nás dneska čeká... Co je to soustava lineárních
VíceÚvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
VíceOperace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
VíceČíselné vektory, matice, determinanty
Číselné vektory, matice, determinanty Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny
Více1 Determinanty a inverzní matice
Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
VíceJedná se o soustavy ve tvaru A X = B, kde A je daná matice typu m n,
Soutavy lineárních algebraických rovnic Jedná se o soustavy ve tvaru A X = B, kde A je daná matice typu m n, X R n je sloupcový vektor n neznámých x 1,..., x n, B R m je daný sloupcový vektor pravých stran
VíceLineární algebra. Soustavy lineárních rovnic
Lineární algebra Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/28.0326
Vícematiceteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést
Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé
VíceSoustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.
[1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.
VíceČTVERCOVÉ MATICE. Čtvercová matice je taková matice, kde počet řádků je roven počtu jejích sloupců. det(a) značíme determinant čtvercové matice A
ČTVERCOVÉ MTICE Čtvercová matice je taková matice, kde počet řádků je roven počtu jejích sloupců. det() značíme determinant čtvercové matice Regulární matice hodnost je rovna jejímu řádu determinant je
VíceZáklady maticového počtu Matice, determinant, definitnost
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n
VíceHODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s
VíceUspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru
1 1. Lineární algebra 1.1. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Hodnost matice Aritmetické vektory Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ).
VíceLineární algebra Operace s vektory a maticemi
Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................
VíceOperace s maticemi
Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =
VíceLineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití)
Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 2. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 40 Obsah 1 Vektory
Více12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25
12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant
VíceSoustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného
VíceHisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci a vzájemném rušení ) Muhammada ibn Músá al-chvárizmího (790? - 850?, Chiva, Bagdád),
1 LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 Lineární algebra Slovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy islámského matematika Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci
VíceSoustavy linea rnı ch rovnic
[1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.
VíceČtvercové matice. Čtvercová matice je taková matice, jejíž počet řádků je roven počtu jejích sloupců
Determinant matice Čtvercové matice Čtvercová matice je taková matice, jejíž počet řádků je roven počtu jejích sloupců Determinant je zobrazení, které přiřadí každé čtvercové matici A skalár (reálné číslo).
VíceSoustavy lineárních rovnic a determinanty
Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny
VíceObsah. Lineární rovnice. Definice 7.9. a i x i = a 1 x a n x n = b,
Obsah Lineární rovnice Definice 77 Uvažujme číselné těleso T a prvky a 1,, a n, b T Úloha určit všechny n-tice (x 1,, x n ) T n, pro něž platí n a i x i = a 1 x 1 + + a n x n = b, i=1 se nazývá lineární
VíceP 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 =
1 Výpočet inverzní matice Věta 1 Necht P U elementární matice vzniklá el úpravou U Pak je P U regulární Důkaz: Protože elementární úprava U je invertovatelná, existuje el úprava U, která vrací změny U
VíceHODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s
VíceVektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,
Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),
VíceMatematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34
Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická
Více1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x
1 ZOBRAZENÍ 1 Zobrazení a algebraické struktury 1 Zobrazení Příklad 1.1. (a) Ukažte, že zobrazení f : x na otevřený interval ( 1, 1). x x +1 je bijekce množiny reálných čísel R (b) Necht a, b R, a < b.
VíceSOUČIN MATIC A m n B n p = C m p, přičemž: a i1 b 1j +a i2 b 2j + +a in b nj = c ij, i=1 m, j=1 p. Např: (-2) = -3
SOUČIN MATIC A m n B n p = C m p, přičemž: a i1 b 1j +a i2 b 2j + +a in b nj = c ij, i=1 m, j=1 p Např: 2 2 + (-2) 4 + 0 0 + 1 1 = -3 INVERZNÍ MATICE Pro čtvercovou matici B může (ale nemusí) existovat
VíceVektory a matice. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Vektory a matice Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
VíceMatematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29
Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010
VíceNecht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
Více2. Lineární algebra 2A. Matice a maticové operace. 2. Lineární algebra
2 Lineární algebra 2A Matice a maticové operace 2 Lineární algebra Verze října 201 Teorie matic a determinantů představuje úvod do lineární algebry Nejrozsáhlejší aplikace mají matice a determinanty při
VíceLineární algebra : Násobení matic a inverzní matice
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VíceLineární algebra : Násobení matic a inverzní matice
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. března 2014, 12:42 1 2 0.1 Násobení matic Definice 1. Buďte m, n, p N, A
VícePřipomenutí co je to soustava lineárních rovnic
Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Příklad 2x 3y + z = 5 3x + 5y + 2z = 4 x + 2y z = 1 Soustava lineárních rovnic obecně Maticový tvar: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a
VíceMATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET MPV, LADP TUL, ZS 2009/10
1 MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET 2 koncepce/slides: Jan Picek přednášející: Jiří Veselý KAP, tel. 485352290, budova H konzul. hodiny: dle úmluvy e-mail: jvesely@karlin.mff.cuni.cz
VíceMnožinu všech matic typu m n nad tělesem T budeme označovat M m n (T ), množinu všech čtvercových matic stupně n nad T pak M n (T ).
Matice Definice 4.1 Necht (T ; +, je číselné těleso, m, n N a dále necht a ij T pro všechny indexy i = 1, 2,..., m a j = 1, 2,..., n. Potom schéma a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n... = (a ij m n a m1
VíceMatematika 2 pro PEF PaE
Determinanty / 8 Matematika 2 pro PEF PaE 3 Determinanty Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Permutace Determinanty Výpočet determinantu z definice 2 / 8 Permutací množiny {,, n} rozumíme prosté
Více1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
VíceMatematika 2 (Fakulta ekonomická) Cvičení z lineární algebry. TU v Liberci
Matematika 2 (Fakulta ekonomická) Cvičení z lineární algebry TU v Liberci Jiří Hozman 1. dubna 2010 Cvičení 2 Příklad 1. Rozhodněte, zda lze vektor x vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů u, v, w, v
Víceftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/
Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/
Vícez textu Lineární algebra
2 Úvodní poznámky Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/
VíceDeterminant matice řádu 5 budeme počítat opakovaným použitím rozvoje determinantu podle vybraného řádku nebo sloupce. Aby byl náš výpočet
Řešené příklady z lineární algebry - část 2 Příklad 2.: Určete determinant matice A: A = 4 4. Řešení: Determinant matice řádu budeme počítat opakovaným použitím rozvoje determinantu podle vybraného řádku
Více1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35
1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace p. 2/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný
VíceCílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi
2.2. Cíle Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi Předpokládané znalosti Předpokladem zvládnutí
VíceSkalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS )
LINEÁRNÍ ALGEBRA Úvod vektor Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) Kartézský souřadnicový systém -je taková soustava
VíceV předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
VíceDeterminanty. Determinanty. Přednáška MATEMATIKA č. 3. Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 3 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 21. 10. 2010 Uvažujme neprázdnou množinu přirozených čísel M = {1, 2,..., n}. Z kombinatoriky
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
Více15 Maticový a vektorový počet II
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního
Více2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC
.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
Více2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice
26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť
VíceAVDAT Vektory a matice
AVDAT Vektory a matice Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Vektory x = x 1 x 2. x p y = y 1 y 2. y p Řádkový vektor dostaneme transpozicí sloupcového vektoru x
VíceVektorový prostor. d) Ke každému prvku u V n existuje tzv. opačný prvek u, pro který platí, že u + u = o (vektor u nazýváme opačný vektor k vektoru u)
Hodnost matice Vektorový prostor Vektorový prostor V n je množina všech n-složkových vektorů spolu s operacemi sčítání vektorů a reálný násobek vektoru, přičemž platí: a) V n je uzavřenou množinou vůči
VíceCo je obsahem numerických metod?
Numerické metody Úvod Úvod Co je obsahem numerických metod? Numerické metody slouží k přibližnému výpočtu věcí, které se přesně vypočítat bud nedají vůbec, nebo by byl výpočet neúměrně pracný. Obsahem
Vícea počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se
Vícepříkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.
Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl
Více10. DETERMINANTY " # $!
10. DETERMINANTY $ V této kapitole zavedeme determinanty čtvercových matic libovolného rozměru nad pevným tělesem, řekneme si jejich základní vlastnosti a naučíme se je vypočítat včetně příkladů jejich
Vícea + b + c = 2 b + c = 1 a b = a 1 2a 1 + a a 3 + a 5 + 2a 2 + a 2 + a
Zadání A. 1. Polynom P (x) má v uspořádané bázi (x 2 + x 1, 2x 2 x 1, x 2 + x + 2) souřadnice (1, 1, 1). Najděte jeho souřadnice vzhledem k uspořádané bázi (x 2 1, x 2 + x 1, x 2 + x). Nejprve si spočítáme
VíceMatematika I pracovní listy
Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny
VíceLineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity)
4 Lineární zobrazení Definice: Nechť V a W jsou vektorové prostory Zobrazení A : V W (zobrazení z V do W nazýváme lineárním zobrazením, pokud pro všechna x V, y V a α R platí 1 A(x y = A(x A(y (vlastnost
VíceIB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic
VícePodobnost matic. Definice 8.6. Dány matice A, B M n (C). Jestliže existuje regulární matice P M n (C) tak,
Podobnost matic Definice 84 Dány matice A, B M n (C) Jestliže existuje regulární matice P M n (C) tak, že B = P 1 AP, pak říkáme, že matice B je podobná matici A a píšeme A B Takto zavedená binární relace
VíceDrsná matematika I 5. přednáška Vektory a matice
Drsná matematika I 5. přednáška Vektory a matice Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 20. 3. 2007 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Vektory 3 Matice nad skaláry 4 Ekvivalentní úpravy matic
VíceD 11 D D n1. D 12 D D n2. D 1n D 2n... D nn
Inversní matice 1 Definice Nechť je čtvercová matice řádu n Čtvercovou matici B řádu n nazveme inversní maticí k matici, jestliže platí B=E n =B, kdee n jeodpovídajícíjednotkovámatice 2 Tvrzení Inversní
VíceVEKTOROVÝ PROSTOR. Vektorový prostor V n je množina všech n-složkových vektorů spolu s operacemi sčítání, odčítání vektorů a reálný násobek vektoru.
VEKTOROVÝ PROSTOR Vektorový prostor V n je množina všech n-složkových vektorů spolu s operacemi sčítání, odčítání vektorů a reálný násobek vektoru. Soubor n-složkových vektorů je libovolná skupina vektorů,
VíceALG2: Lineární Algebra (Skripta Horák, jako doplněk i skripta Kovár v IS)
ALG2: Lineární Algebra (Skripta Horák, jako doplněk i skripta Kovár v IS) Info ke zkoušce: zkouška Algebra 2 je typu kolokvium (= ústní zkouška), tj. u zkoušky není žádná písemka, jen ústní část. Máte
VíceJazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa
2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace
VíceVlastní číslo, vektor
[1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost
Více1. LINEÁRNÍ ALGEBRA Vektory Operace s vektory... 8 Úlohy k samostatnému řešení... 8
1 Lineární algebra 1 LINEÁRNÍ ALGEBRA 8 11 Vektory 8 111 Operace s vektory 8 8 112 Lineární závislost a nezávislost vektorů 8 8 113 Báze vektorového prostoru 9 9 12 Determinant 9 9 13 Matice 1 131 Operace
VícePROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,
VíceÚvodní informace Soustavy lineárních rovnic. 12. února 2018
Úvodní informace Soustavy lineárních rovnic Přednáška první 12. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace 2 Soustavy lineárních rovnic 3 Matice Frobeniova věta Úvodní informace Olga Majlingová : Na Okraji, místnost
Více