1/10. Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic

Transkript

1 1/10 Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic

2 Soustavy lineárních algebraických rovnic 2/10 Definice: Soustavou m lineárních algebraických rovnic o n neznámých rozumíme soustavu rovnic a 11 x a 1n x n = b 1, a m1 x a mn x n = b m, kde a ij, b i R jsou daná čísla a x 1,, x n jsou neznámé Maticový zápis: a 11 a 1n b 1 a m1 a mn b m

3 Soustavy lin rovnic - terminologie 3/10 A = (a ij ) - matice soustavy (matice typu (m, n)) b = (b1,, b m ) T - vektor pravých stran (sloupcový vektor) x = (x 1,, x n ) T - vektor neznámých (sloupcový vektor) (A b) - rozšířená matice soustavy (matice typu (m, n + 1)) Homogenní soustava vektor b = 0 Nehomogenní soustava vektor b 0 Řešení soustavy každý vektor x = (x 1,, x n ), který splňuje všechny rovnice

4 Maticový zápis 4/10 Soustavu a 11 x a 1n x n = b 1 a m1 x a mn x n = b m můžeme ekvivalentně přepsat pomocí násobení matic (důležité - rozmyslete si) a 11 a 1n a m1 a mn x 1 x n = b 1 b m neboli A x = b

5 Řešení soustav 5/10 Věta: (Frobeniova) Soustava A x = b má řešení právě tehdy, když h(a) = h(a b) Uvidíme, že vždy nastává právě jeden z případů: h(a) < h(a b) soustava nemá žádné řešení h(a) = h(a b) = n soustava má právě jedno řešení h(a) = h(a b) = h < n soustava má nekonečně mnoho řešení, n h je počet volitelných parametrů (n = počet neznámých)

6 Gaussova eliminace Metoda řešení soustav lineárních rovnic A x = b: (i) (A b) převedeme ekviv řádkovými úpravami na HT-matici (B d) Jediná povolená sloupcová úprava je výměna sloupců: při prohazování sloupců se prohazují i neznámé sloupec odpovídající sloupci pravých stran nesmíme zaměnit s jiným sloupcem (ii) h(a) = h(b), h(a b) = h(b d) h(a) < h(a b) soustava nemá řešení h(a) = h(a b) soustava má řešení h(a) = n právě jedno řešení h(a) < n nekonečně mnoho řešení (iii) k = n h(a) = počet volitelných parametrů posledních k neznámých = parametry (iv) zpětný chod Gaussovy eliminace: hodnoty ostatních neznámých postupně určujeme z rovnic matice (B d) (v závislosti na parametrech) - postupujeme od posledního k prvnímu řádku (B d) 6/10

7 7/10 Řešení homogenních soustav Věta: Homogenní soustava A x = o je vždy řešitelná Všechna její řešení splňují: (i) součet dvou řešení je opět řešení, tj A x = o A y = o A ( x + y) = o (ii) násobek řešení je opět řešení, tj A x = o A (α x) = o Počet LN řešení homogenní soustavy je roven číslu k = n h(a) Pro homogenní soustavy nastávají tedy pouze 2 případy: h(a) = n k = 0 A x = o má pouze nulové (tzv triviální) řešení h(a) < n k > 0 A x = o má nekonečně mnoho řešení

8 Řešení nehomogenních soustav 8/10 Věta: Je-li V N množina všech řešení A x = b V H množina všech řešení A x = o Pak V N = x 0 + V H kde x 0 je libovolné řešení nehomogenní soustavy A x = b Příklad: [ ] Řešení: (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = ( 1, 2, 0, 0) + s( 1, 0, 1, 0) + t(3, 1, 0, 1), s, t, R }{{}}{{}}{{} V N x 0 V H Pozn 1 Srovnejte s y = y H + y p pro DR

9 9/10 Věta: Bud A čtvercová matice řádu n Pak následující podmínky jsou ekvivalentní: h(a) = n det A 0 řádky matice A jsou lineárně nezávislé sloupce matice A jsou lineárně nezávislé Homogenní soustava A x = o má pouze nulové řešení Pro každé b má soustava A x = b právě jedno řešení Připomeň: Pokud je splněno, říkáme, že A je regulární

10 Cramerovo pravidlo 10/10 Věta: (bez Dk) Uvažujme soustavu A x = b, kde A je regulární čtvercová matice řádu n Označme A i matici, která vznikne z matice A nahrazením i-tého sloupce A vektorem b pravých stran Potom jediné řešení x = (x 1,, x n ) T soustavy A x = b je dáno vztahem x i = det A i, i = 1,, n det A