x 2 = a 2 + tv 2 tedy (a 1, a 2 ) T + [(v 1, v 2 )] T A + V Příklad. U = R n neprázdná množina řešení soustavy Ax = b.

Transkript

1 1. Afinní podprostory 1.1. Motivace. Uvažujme R 3. Jeho všechny vektorové podprostory jsou počátek, přímky a roviny procházející počátkem a celé R 3. Chceme-li v R 3 dělat geometrii potřebujeme i jiné body, přímky a roviny. Všechny tyto útvary budou zahrnuty v pojmu afinní podprostor Afinní podprostor vektorového prostoru. Nechť U je vektorový prostor nad polem K. Afinní podprostor prostoru U je neprázdná množina M tvaru: M = A + V = {A + v, v V}, kde A U a V U je nějaký vektorový podprostor. Příklad. U = R 2. Každý bod v R 2 je tvaru A+{ 0 } a je tedy afinní podprostor. Každá přímka M v R 2 je tvaru: x 1 = a 1 + tv 1 tedy x 2 = a 2 + tv 2 (a 1, a 2 ) T + [(v 1, v 2 )] T A + V Příklad. U = R n neprázdná množina řešení soustavy Ax = b. R(A, b) = {x R n, Ax = b} je afinní podprostor, neboť je tvaru kde x 0 je nějaké řešení a je vektorový podprostor. R(A, b) = x 0 + R(A, 0) R(A, 0) = {y R n, Ay = 0} Příklad. U = R 2 [x] M = {p R 2 [x], p (1) = 2} je afinní podprostor, neboť M = {x 2 N + {q R 2 [x], q (1) = 0} Věta. Vektorový podprostor V v definici afinního podprostoru M je určen jednoznačně. Důkaz. Nechť M = A 1 + V 1 = A 2 + V 2, kde A 1, A 2 U a V 1, V 2 jsou vektorové podprostory v U. Potom existuje w 2 V 2 tak, že A 1 = A 2 +w 2 Tedy A 1 A 2 = w 2 V 2 Nechť v 1 V 1. Pak existuje v 2 V 2 tak, že A 1 + v 1 = A 2 + v 2 v 1 = (A 2 A 1 ) + v 2 = (A 1 A 2 ) + v 2 V 2 V 2 V 2 Dostáváme V 1 V 2 a analogicky V 2 V 1. 1

2 2 Definice. V v definici M nazýváme zaměření afinního podprostoru M, píšeme dim M = dim V Z(M) = V 1.3. Afinní kombinace bodů. A, B U určují přímku Lineární kombinace A + t(b A) = (1 t)a + tb sa + tb, t + s = 1 se nazývá afinní kombinace bodů. Nechť A 0, A 1,..., A k U. Afiní kombinace bodů A 0, A 1,..., A k je bod Tento bod lze pasát t i A i, kde t i = 1 (1 t 1 t k )A 0 +t 1 A 1 + +t k A k = A 0 +t 1 (A 1 A 0 )+t 2 (A 2 A 0 )+ +t k (A k A 0 ) Věta. Jestliže M U je afinní podprostor, pak s každými (k+1) body A 0, A 1,..., A k M leží v M i jejich afinní kombinace. Důkaz. M = A + V, A i = A + v i t i (A + v i ) = ( t i )A + t i v i = A + t i v i V neboť k t i = 1. Obrácená věta. Nechť M je neprázdná podmnožina ve vektorovém prostoru U, kdes každými dvěma body leží i jejich afinní kombinace. Pak je M afinní podprostor. Důkaz. Nechť A M. potom M = A + {B A, B M} Dokážeme, že V = {B A, B M} je vektorový podprostor. Nechť B A V, B M. Potom násobek tohoto vektoru t(b A) = (tb + (1 t)a) A V Nechť B A V, C A V, B, C M. Potom součet těchto vektorů M {}}{ 1 (B A) + (C A) = (B + C A) A = {2( 2 B C) A} A V M

3 Afinní podprostory 3 Geometrická interpretace předchozích vět. Neprázdná množina M je afinní podprostor, právě když s každými dvěma body A, B, leží v M i přímka jimi určená Parametrický popis afinního podprostoru M U Nechť M = A + V Nechť v 1, v 2,..., v k je báze vektorového podprostoru V. Potom každý vektor v V lze psát jednoznačně ve tvaru v = t 1 v 1 + t 2 v t k v k Tedy daždý bod X M lze psát jednoznačně ve tvaru X = A + v = A + t 1 v 1 + t 2 v t k v k k-tici (t 1, t 2,..., t k ) T nazýváme souřadnice bodu X v afinní bázi (A, v 1, v 2,..., v k ) afinního podprostoru M. Popis bodů afinního podprostoru ve tvaru ( ) se nazývá parametrický popis. Bod A se nazývá počátek souřadnic. Každý bod B B M může být počátkem souřadnic, neboť M = A + V = B + V Příklad. p: X = A + tv 1 - přímka Příklad. ρ: X = A + tv 1 + t 2 v 2 - rovina 1.5. Popis pomocí soustavy lineárních rovnic (implicitní popis) Nechť U máme nějakou bázi (u 1, u 2,..., u n ) = α se souřadnicemi (x 1, x 2,..., x n ) T. Nechť A je matice r+n. Potom množinu bodů X U jejichž souřadnice splňují soustavu lineárních rovnic Ax = b, označme ji R(A, b), je, pokud je neprázdná, afinní podprostor v U. Nechť M U má souřadnice z, které splňují rovnici Az = b. Nechť R(A, 0) = {v U, A(v) α = 0}. To je vektorový podprostor a platí R(A, b) = M + R(A, 0) Popis afinního podprostoru pomocí soustavy rovnic se nazývá někdy implicitní popis Příklad. Rovnice 2x 1 3x 2 + 5x 3 = 4 popisuje rovinu v R 3. Soustava 2x 1 3x 2 + 5x 3 = 4 x 1 + x 2 x 3 = 3 popisuje přímku v R 3. Přesvědčíme se o tom tak, že soustavu vyřešíme. Řešení napsané pomocí parametrů dává parametrický popis afinního podprostoru. Závěr. Soustava rovnic Ax = b zadává afinní podprostor právě když h(a) = h(a b). Pokud je tato podmínka splněna, pak dimenze tohoto podprostoru je n h(a), kde n je počet neznámých. Použijí se věty o řešení soustav rovnic. Věta. Každý afinní podprostor M v U je zadán jako množina bodů, jejichž souřadnice x 1, x 2,..., x n v bázi α = (u 1, u 2,..., u n ) prostoru U splňují nějakou soustavu lineárních rovnic Ax = b. Důkaz. M = M + t 1 v 1 + t 2 v t k v k, kde (v 1, v 2,..., v k ) je báze zaměření V. Pro souřadnice bodů X M tedy platí x = m + Ct, ( )

4 4 kde x = (x 1, x 2,..., x n ) T, m = (m 1, m 2,..., m n ) T, C je matice souřadnic vektorů v 1, v 2,..., v k, t = (t 1, t 2,..., t k ) T. Algoritmus Ex = Ct + m (E C m) elementární rádkové operace ( ) A1 C 1 b 1 A 0 b Operace provádíme tak, aby C přešla do schodovitého tvaru, všechny řádky C 1 jsou nenulové. Ex = Ct + m <=> A 1 x = C 1 t + b 1 Ax = b Tedy souřadnice x každého bodu X M splňují rovnice Ax = b. Nechť y je řešením výše uvedené rovnice. Položme C 1 1 (A 1y b 1 ) = t Pro toto t jsou splněny obě rovnice vpravo. Tedy y jsou souřadnice bodu z M Vzájemná poloha afinních podprostorů M a N (1) Jeden je podprostorem druhého M N, pokud M N a Z(M) Z(N ) (2) Rovnoběžné M N = a Z(M) Z(N ) nebo Z(N ) Z(M) (3) Různoběžné M N a neplatí ani Z(M) Z(N ) ani Z(N ) Z(M) (4) Mimoběžné M N = a neplatí ani Z(M) Z(N ) ani Z(N ) Z(M) 1.7. Operace s afinními podprostory M a N (1) Průnik M N je afinní podprostor, pokud je neprázdný, se zaměřením Z(M) Z(N ). (2) Spojení M N = nejmenší afinní podprostor obsahující afinní podprostory M a N. Pokud M = M + V N = N + Z pak M N = M + [N M] + V + Z vekt. podprostor Používá se takto: rovina určená bodem a přímkou je spojením těchto dvou afinních podprostorů Úkoly, které je třeba umět řešit přechod od implicitního popisu k parametrickému a obráceně průnik afinních podprostorů spojení afinních podprostorů vzájemná poloha afinních podprostorů

5 Afinní podprostory 5 nalezení afinního podprostoru daných vlastností (např.: najít přímku p procházející danám bodem A, protínající danou přímku q a danou rovinu ρ, mimoběžnou s q.) 1.9. Afinní zobrazení mezi podprostory M U a N V je zobrazení φ : M N tvaru, že φ(m +u) = N +ϕ(u) kde M M, u Z(M), N N a ϕ : Z(M) Z(N ) je lineární. Příklad. M = R n, N = R k. Zobrazení φ(x) = Ax + b kde A je matice k n a b = (b 1, b 2,..., b k ) T, je afinní, neboť φ(0 + x) = b + Ax lin. zobr.