7. téma: Slovné úlohy

7. téma: Slovné úlohy I. Úlohy na úvod 1. Pred 5 rokmi mal Adam 7-krát viac rokov ako Peter, o 10 rokov bude mať 2-krát viac rokov ako Peter. O koľko rokov je Adam starší ako Peter? 2. Peter má 3-krát menej známok ako Viera, ale o 17 známok menej ako Milan. Nájdite matematicky vzťah medzi počtom V známok Viery a počtom M známok Milana. 3. Z mesta A do mesta B vyrazili dve autá. Prvé o 7.00 priemernou rýchlosťou 60 km za hodinu, druhé o 10.00 priemernou rýchlosťou 100 km za hodinu. Prvé auto sa v meste B nezdržalo, a tak sa po ceste naspäť minulo s druhým autom v polovici cesty z A do B. O koľkej hodine sa minuli? 4. V nádrži sú dva otvory. Jedným otvorom natečie za 2 hodiny toľko vody, koľko druhým otvorom vytečie za 5 hodín. Ak pustím obidva otvory naraz, nádrž naplnená do polovice sa naplní za 12 hodín. Za aký čas sa vyprázdni plná nádrž druhým otvorom. 5. Správne doplň: Ak som rozdelil peniaze medzi Karola, Gabrielu a Xéniu tak, že Karol a Gabriela dostali v pomere 5:8 a Gabriela a Xénia v pomere 3:4, tak Xénia a Karol dostali v pomere... II. Niekoľko slov k téme Najčastejší spôsob riešenia klasických slovných úloh by som rozdelil do niekoľkých krokov. 1. Zistenie, o aký typ slovnej úlohy ide. Tým, že rozlišujeme veľa typov slovných úloh (úlohy na prácu, pohyb, vek, zmesi,...), vedieme žiakov k tomu, aby sa na začiatku snažili zistiť o aký typ slovnej úlohy ide a následne si spomínali na príslušný postup. 2. Matematický zápis slovnej úlohy, vytvorenie rovnice alebo sústavy rovníc. Pochopenie zadania a spracovanie textu sa snažíme učiť výlučne prostredníctvom algebry matematický zápis textu, označenie neznámych, algebraické zapísanie

závislostí, zostavenie rovnice, sústavy rovníc (napríklad už v 3. triede učíme nútime žiakov zápis, používanie písmen,... a to všetko u úloh, kde je to úplne zbytočné). 3. Riešenie príslušnej rovnice, sústavy rovníc. Občas sa ešte deklaruje jeden krok a to overenie nájdeného riešenia. Tento krok nedali do zoznamu preto, nakoľko sa v podstate nevyžaduje. Je to spôsobené hlavne tým, že sa - ponúka sa veľmi málo úloh, kde má overovanie opodstatnenie (medzivýsledok je nezmyselný), - keď už sa robí, tak sa sleduje ten istý postup ako pri matematizácii, zostavovaní rovnice, - skoro všetky úpravy, čo sa na Základnej škole robia, sú ekvivalentné, takže sa stáva zbytočným. Ukážme si tento klasický postup na nasledovnej úlohe. Peter má o 27 rokov menej ako jeho otec. Pred 15 rokov bol 4-krát mladší ako jeho otec. Koľko rokov má Peter? Riešenie: 1. krok: Je to úloha na vek. 2. krok: Matematizácia Peter má... x rokov, Otec má... y rokov Peter má o 27 rokov menej ako jeho otec... zápis... x + 27 = y O 15 rokov má Peter... x + 15 rokov O 15 rokov má otec... y + 15 rokov Peter má 3-krát menej rokov ako jeho otec 3.(x + 15) = y + 15 3. Riešime danú sústavu rovníc x + 27 = y x + 27 = y 4.( x 15) = y 15 4x 60 = x + 27 15 x + 27 = 3x = 72 y 51 = y x = 24 Peter má 24 rokov.

Skúsenosti ukazujú, že sa žiaci a teda aj vy sa slovných úloh bojíte, nemáte ich radi a neviete ich väčšinou riešiť. Keďže riešenie rovníc a sústav vám robí omnoho menšie problémy, tak na vine je asi 2. krok riešenia matematizácia. Asi nie je najšťastnejšie nútiť žiakov aj vás do hľadania závislostí v texte priamo s písmenami. Omnoho prijateľnejšie by asi bolo, keby ste tieto závislosti najprv objavovali na konkrétnych číslach. Preto vám ponúkame nasledujúci prístup k riešeniu slovných úloh: Začneme skúškou. Oprávnene sa pýtate? Ako môžeme robiť skúšku, keď úlohu nemáme vyriešenú?. Máte pravdu. Bude to skúška akože. Riešenie si tipneme. Je pravda, že je málo pravdepodobné, že správne riešenie neuhádneme, ale ako si ukážeme, nevadí to. Ukážme si to na podobnej úlohe k úlohe, ktorú sme riešili klasicky. Pozor: S tipovaným číslom nebudeme hýbať. V ukážke ho budeme značiť červeno. Peter má o 20 rokov menej ako jeho otec. O 6 rokov bude 3-krát mladší ako jeho otec. Koľko rokov má Peter? Riešenie: Tipnime si napríklad, že Peter má 10 rokov. Poďme teraz, čo sa dá postupne zisťovať z textu úlohy. Z 1. vety dostaneme, že otec má (10 + 20) rokov. 2. veta začína tým, čo sa stane o 6 rokov. Predovšetkým o 16 rokov bude mať syn (10 + 6) rokov a otec (10 + 20) + 6 = (10 + 26) Má platiť, že syn je 3-krát mladší???????? (10 + 6).3 = (10 + 26). A tu sme na konci overovania. Ľahko sa presvedčíme, že sme netrafili lebo po výpočte oboch strán totiž dostaneme 48 36 Týmto sme sa presvedčili, že zadaniu rozumieme. Navyše sa dá z týchto výpočtov usúdiť, že Peter bude mať menej ako 10 rokov. A teraz sa môžeme pustiť s radosťou do riešenia úlohy. Veď to najťažšie máme za sebou! Neveríte? Tak do vzťahu s otáznikmi dajte miesto čísla 10 písmeno x a máte zostavenú rovnicu. ( x + 6 ).3 = x + 26

3 x + 18 = x + 26 2 x = 8 x = 4 Peter má 4 roky. Poznámka 1: Vo väčšine prípadov sa overovanie môže robiť rôznymi spôsobmi a tak môžeme nakoniec dostať rôzne zostavené rovnice. Napríklad v našom prípade môžeme postupovať aj napríklad takto. Z 1. vety dostaneme, že otec má (10 + 20) rokov. Z 2. vety postupne dostaneme, že o 6 rokov bude mať otec (10 + 26) rokov a syn (10 + 26):3, lebo má platiť, že syn bude3-krát mladší. Má platiť, že syn je 3-krát mladší???????????? 10 + 6 = (10 + 26):3 Poznámka 2: Tento začiatok je aj začiatkom zaznávanej ale veľmi užitočnej metódy riešenia a to je metóda pokus omyl. Jej podstatou je to, že vieme zistiť, koľko riešení má daná úloha, postupným tipovaním tieto riešenia nájdeme. Teraz si ukážeme, ako by sme touto metódou mohli úlohu vyriešiť. Pokračujeme v riešení od miesta 48 36. Keďže sa zdá, že Peter bude mať o veľa menej, tipnime si teraz, že Peter má 2 rokov. Poďme teraz, čo sa dá postupne zisťovať z textu úlohy. Z 1. vety dostaneme, že otec má (2 + 20) rokov. 2. veta začína tým, čo sa stane o 6 rokov. Predovšetkým o 16 rokov bude mať syn (2 + 6) rokov a otec (2 + 20) + 6 = (2 + 26) Má platiť, že syn je 3-krát mladší???????? (2 + 6).3 = (2 + 26). A tu sme na konci overovania. Ľahko sa presvedčíme, že sme netrafili lebo po výpočte oboch strán totiž dostaneme 24 28 S tým zmenšovaním sme to prehnali. Peter bude mať viac ako 2.Tipnime si 4. Z 1. vety dostaneme, že otec má (4 + 20) rokov. 2. veta začína tým, čo sa stane o 6 rokov. Predovšetkým o 16 rokov bude mať syn (4 + 6) rokov a otec (4 + 20) + 6 = (4 + 26) Má platiť, že syn je 3-krát mladší???????? (4 + 6).3 = (4 + 26).

A tu sme na konci overovania. Ľahko sa presvedčíme, že sme netrafili lebo po výpočte oboch strán totiž dostaneme 30 = 30 Hurá!!! Peter má 4 roky. Keďže metóda pokus omyl sa nedá demonštrovať na vyriešenej úlohe, ak ju uvedieme, uvedieme ju ako prvú. Riešenie 1. úlohy 1.riešenie: 1. tip: Nech má Peter 20 rokov. Pred 5 rokmi: Peter 20-5=15, rokov Adam 7.15=105 O 10 rokov: Peter 20+10=30, Adam 2.30=60 Má platiť 105+5+10=60, čo neplatí. Vek Petra bude asi o veľa menší. 2. tip: Nech má Peter 10 rokov. Pred 5 rokmi: Peter 10-5=5, rokov Adam 7.5=35 O 10 rokov: Peter 10+10=20, Adam 2.20=40 Má platiť 40+5+10=35, čo neplatí. Stále je vľavo viac. Vek Petra bude ešte menší. 3. tip: Nech má Peter 7 rokov. Pred 5 rokmi: Peter 7-5=2, rokov Adam 7.2=14 O 10 rokov: Peter 7+10=17, Adam 2.17=34 Má platiť 14+5+10=34, čo neplatí. Vľavo je menej, vek Petra bude väčší. 4. tip: Nech má Peter 8 rokov. Pred 5 rokmi: Peter 8-5=3, rokov Adam 7.3=21 O 10 rokov: Peter 8+10=18, Adam 2.18=36 Má platiť 21+5+10=36, čo platí!!! Peter má 8 rokov. 2. riešenie Urobíme jeden tip a z neho potom zostavíme rovnicu. Tip: Nech má Peter 20 rokov. Pred 5 rokmi: Peter 20-5, rokov Adam 7.( 20-5) O 7 rokov: Peter 20+10=27, Adam 2.( 20+10) Má platiť 7.( 20-5)+5+10=2.( 20+10). A máme rovnicu 7.( x 5) + 5 + 10 = 2( x + 10)

Peter má 8 rokov. 7 x 35 + 15 = 2x + 20 x = 8 Riešenie 2. úlohy Peter má 3-krát menej známok ako Viera: P=V:3 Peter má o 17 známok menej ako Milan: P=M-17. Odtiaľ vidíme, že V : 3 = M 17 V = 3M 51 alebo M = V 17 3 + Ktorýkoľvek z uvedených 3 tvarov je riešením (prípadne aj ďalšie) Riešenie 3. úlohy Tip: Minuli sa o 15. hodine Prvé auto: Išlo (15-7) hodín a prešlo (15-7).60 km. Druhé auto: Išlo (15-10) hodín a prešlo (15-10).100 km. Tým, že sa stretli v polovici, ale prvé auto už išlo naspäť, tak prešlo 3-krát viac ako prvé. Má teda platiť (15-7).60 = 3. (15-10).100 A máme rovnicu ( x 7).60 = 3.( x 10). 100 60x 420 = 300x 3000 3000 420 x = = 10,75. 300 60 Minuli sa o 10.45. Riešenie 4. úlohy Predpokladajme, že do nádrže sa zmestí 1000 litrov. Tip: Druhým otvorom vytečie celá nádrž za 10 hodín. Potom za hodinu vytečie 1000:10 litrov. Prvým otvorom nateká 5:2-krát rýchlejšie ako vyteká 2. otvorom. Potom za hodinu natečie 2,5.( 1000:10) litrov. Ak su pustené oba, tak za hodinu natečie 2,5.( 1000:10) - ( 1000:10) litrov vody. Za 12 hodín sa potom napustí 12.( 2,5.( 1000:10) - ( 1000:10)) vody. A to má byť pol nádrže, teda má platiť 12.( 2,5.( 1000:10) - ( 1000:10)) = 500. Odtiaľ rovnica 12.(2,5(1000 : x ) 1000 : x) = 500 2,5.1000 1000 12. = 500 x x 12.1,5.1000 = 500x x = 36 Nádrž sa 2. otvorom vypustí za 36 hodín.

Riešenie 5. úlohy 8 1. riešenie: Nech Karol dostal 600. Potom Gabriela dostala.600 = 960. Potom Xénia 5 4 dostala.960 = 1280. Nakoniec Xénia:Karol = 1280 : 600 = 128 : 60 = 32 : 15. 3 Xénia a Karol dostali v pomere 32:15. 2. riešenie Máme K : G = 5 : 8 G : X = 3 : 4 Prvý pomer rozšírime 3 a druhý 8. K : G = 15 : 24 G : X = 24: 32 Odtiaľ K : G : X = 15 : 24 : 32 Xénia a Karol dostali v pomere 32:15. III. Úlohy na cvičenie Dones na cvičenie 2 slovné úlohy. Prvú takú, čo ti robila alebo robí problémy. Druhú takú, ktorú považuješ za niečím zaujímavú, zvláštnu. 1. Jano postupne navštívil 4 obchody. Pred každým obchodom si dal zmrzlinu za 60 centov a v obchode minul polovicu peňazí čo mal. Domov sa vrátil s 3 eurami a 16 centami. Koľko peňazí mal na začiatku tejto cesty. 2. Ráno bola v Poprade teplota trikrát menšia ako na obed. Ak by ráno bola teplota o 5 stupňov nižšia, bola by štyrikrát menšia ako na obed. Aká teplota bola ráno. Pokúste sa ju najprv riešiť metódou pokus omyl. 3. V telocvični je menej ako 100 detí. Priemerná výška detí v telocvični je 158cm, priemerná výška dievčat v telocvični je 148cm a priemerná výška chlapcov v telocvični je 171cm. Koľko detí je v telocvični? 4. Adam a Peter hrali spolu o fazuľky. Peter má o 43 fazuliek viac ako Adam. V 1. hre Peter vyhral 45 fazuliek a v 2. hre prehral dve tretiny svojich fazuliek. Teraz má Peter o 43 fazuliek menej ako Adam. Koľko fazuliek mal Peter na začiatku hry? 5. Traja mládenci sa rozhodli privyrobiť si rýľovaním. Zistilo sa, že mládenec A by daný záhon porýľoval o 10 hodín skôr ako mládenec B a dvakrát rýchlejšie, ako mládenec C. Tak isto sa zistilo, že dvaja pomalší mládenci by spolu porýľovali záhon o 2 aj štvrť hodiny skôr, ako najšikovnejší mládenec. Za aký čas by tento záhon porýľovali všetci spolu?

6. Z miesta A do miesta B vyrazilo o 8.15 modré auto a o 9.30 zelené auto. Zelené auto malo priemernú rýchlosť o 30 km/hod väčšiu ako modré auto. Obe autá dorazili do miesta B naraz o 12.45. Aká bola priemerná rýchlosť zeleného auta?