XXVI. ASR '2001 Seminar, Instruments and Control, Ostrava, April 26-27, 2001 Paper 59 Komprese dat s použitím wavelet transformace PIECHOTA, Hynek Ing, Katedra ATŘ-352, VŠB-TU Ostrava, 17. listopadu, Ostrava - Poruba, 708 33, hynek.piechota@vsb.cz, http://www.vsb.cz Abstrakt: Komprese dat umožňuje ušetřit prostor při jejich ukládání do souborů, databází, atd. Komprese s použitím wavelet transformace je schopna požadovaný prostor značně snížit, avšak za cenu ztráty určitých informací. Používá se zejména v případech, kdy tzv. bezeztrátové kompresní algoritmy selhávají, případně jejich výsledky nejsou dostačující, nebo v případech kdy ztráta části informací je akceptovatelná (např. obrazová a zvuková data). V tomto příspěvku popsané algoritmy jsou navrženy pro kompresi jednorozměrných dat. Jako testovací data byly použity záznamy hluku a vibrací strojních agregátů. Klíčová slova: komprese, wavelet transformace 1 Hlavní části komprese Algoritmus ztrátové komprese s použitím wavelet transformace si můžeme rozdělit do tří základních částí. 1. Transformace. Zde volíme konkrétní typ wavelet transformace (dále WT), typ použitého waveletu, úroveň rozkladu, atd. Výsledkem tohoto kroku jsou koeficienty WT. 2. Kvantování. Jedná se ztrátovou (nereverzibilní) transformaci celého algoritmu wavelet komprese. V této části probíhá vlastní komprese odstraněním redundantních informací z koeficientů WT. Například mnoho malých koeficientů je nahrazeno nulou. 3. Bezeztrátové kódování. V této části dochází k odstranění redundance pomocí přiřazení posloupnosti koeficientů jinou posloupností symbolů (kódových znaků). V části kódování tedy probíhá bezeztrátová komprese (reverzibilní). Mezi nejpopulárnější patří Huffmanovo a aritmetické kódování. Celý proces komprese dat pomocí wavelet transformace lze znázornit pomocí blokového schématu na obr. 1. Dekompresní algoritmus je jednoduše opačný ke kompresnímu s výjimkou kvantování. původní data koeficienty WT koeficienty WT po kvantování TRANSFORMACE KVANTOVÁNÍ KÓDOVÁNÍ kódové znaky Obr. 1 Blokové schéma komprese dat 2 Transformace Transformace wavelet patří mezi časově frekvenční transformace. Spojitá wavelet transformace je definována rovnicí (1). Signál je při této transformaci rozložen do sady funkcí, tzv. waveletů. - 1 -
() t ψ (, s t) C ( τ, s) = f τ, dt τ s ψ f ( τ, s,t) () t ( τ s) C, časové posunutí měřítko wavelet analyzovaný signál koeficienty transformace wavelet Výpočet této transformace lze zjednodušeně popsat ve čtyřech krocích: 1. Vybere se vhodný wavelet a nastaví se jako mateční. 2. Wavelet se porovná s analyzovaným signálem. Vypočítá se koeficient waveletu (koeficient shody). Čím je koeficient větší, tím je větší shoda waveletu (při daném posunutí a měřítku) se signálem. 3. Wavelet se posune vzhledem k signálu (časové posunutí) a opakuje se krok 2. Krok 3 se provádí pro všechna časová posunutí. 4. Změní se měřítko waveletu (dojde k roztažení waveletu) a opakují se kroky 2 a 3. Opakování se provádí pro všechna měřítka. Výše uvedený postup je znázorněn na obr. 2, obrázky byly převzaty z [Misiti 1996]. Koeficienty WT pro všechny celočíselné hodnoty měřítka a polohy tvoří funkci, kterou lze znázornit graficky. Na obrázku obr. 5 jsou zobrazeny koeficienty WT pro sinusový signál s malou nespojitostí z obr. 3. Osa x reprezentuje časové posunutí waveletu k signálu, osa y pak měřítko resp. frekvenci matečního waveletu a barva vyjadřuje hodnotu WT v každém bodě. Z obrázku 5 lze například jednoznačně určit čas výskytu nespojitosti, kterou bychom z FFT spektra nezjistili, viz obr. 4. (1) 2. krok výpočtu 3. krok výpočtu 4. krok výpočtu Obr. 2 Postup výpočtu transformace wavelet nespojitost Obr. 3 Sinusový signál Obr. 4 FFT spektrum Obr. 5 Koeficienty WT s malou nespojitostí Vedle spojité transformace wavelet (CWT), která se provádí na diskrétním souboru dat pro všechny celočíselné hodnoty měřítka a polohy existuje i diskrétní WT (DWT), u které se používají tzv. hlavní měřítka (mocniny dvou). Vedle těchto dvou typů WT existuje i třetí nazývaná rychlá WT (FWT), u níž se používají pyramidové algoritmy výpočtu WT. Tyto algoritmy provádějí rozklad signálu na složky o nízké frekvenci označované A h (approximations) a složky o vyšší frekvenci, označované Dh (details). Pro rozklad se využívají konvoluční funkce, které vytvářejí výstupní vektor dat - 2 -
poloviční délky původního vektoru. Rozklad si lze také znázornit jako použití filtru horní propust pro získání koeficientů D h a filtru dolní propust pro získání koeficientů A h, viz obr. 6. Tento rozklad se dále aplikuje na vektor A h (můžeme si jej představit jako vyhlazený signál S), čímž opět získáváme složky o nízké a vysoké frekvenci. Počet těchto rozkladů udává celočíselná hodnota h nazývaná hladina rozkladu. Rozklad signálu S na hladině rozkladu h=3 je zobrazen na obr. 7. Obr. 6 Rozklad signálu Obr. 7 Rozklad signálu pro h=3 Výpočet inverzní WT je proveden otočením procedury. Získání původního signálu z vypočtených koeficientů WT lze popsat rovnicí (2). S = A1 + D1 = A2 + D2 + D1 = A3 + D3 + D2 + D1 (2) Mezi další používané metody patří Wavelet Packet Analysis (WPA). Ve srovnání s předchozími metodami WT poskytuje širší možnosti analýzy signálů. U FWT je signál rozdělen na aproximace a detaily. Aproximace je potom znovu sama rozdělena v druhé úrovni na aproximaci a detail, tento postup se dále opakuje. Pro n úrovní rozkládání je n+1 možných cest rozkladu nebo složení (dekódování) signálu, viz obr. 7. WPA rozkládá aproximace (stejně jako FWT), ale také část nazývanou detail. Dostáváme 2 n cest pro složení (dekódování) signálu, viz obr. 8. Obr. 8 Rozklad signálu pro h=3, Wavelet Packet Analysis Například WPA dovoluje, aby byl signál S reprezentován součtem A 1+ AAD3 + DAD3 + DD2. Toto je příklad reprezentace, která není v běžné wavelet analýze možná. Výběr jednoho ze všech možných dekódovacích postupů představuje zajímavý problém. V použitém Wavelet toolboxu programu Matlab se pro tento výběr používá kriterium entropie. Entropii H ( S) lze určit ze vztahu (3), kde S je signál, S i koeficienty S a n délka vektoru S. H n 2 ( S) = S i ( S i ) i= 1 2 log, kde log () 0 0 0 =. (3) Tato metoda kvantitativně určuje informace pro každý uzel stromu, které budou získány každým rozdvojení. Výsledkem kriteria minima entropie jsou údaje o nejlepší úrovni rozkladu a nejlepším stromu, tyto údaje optimalizují dekompozici, jak globálně, tak i s odhledem na každý uzel. - 3 -
3 Rodiny waveletů Jak již bylo řečeno v předchozí kapitole princip všech metod wavelet transformace je založen na použití tzv. waveletů. Těch existují celé skupiny. Můžeme je rozdělit na diskrétní, lineární, harmonické, ortogonální, biortogonální a jiné. Výběr těch nejvhodnějších je složitý a často vychází ze zkušeností. Volba vhodného waveletu ovlivňuje výsledky zpracování. Většinou se volí tak, aby se co nejvíce podobal analyzovanému signálu. Čím více se mu podobá, tím lépe může charakterizovat analyzovaný signál. Prvním a nejjednodušším typem je typ Haar, obr. 9. Je nespojitý a podobá se skokové funkci. Dalšími často používanými typy waveletů je rodina Daubechies, nazvaná po jejich objevitelce Ingrid Daubechies. Jedná se o ortogonální funkce s kompaktním nosičem (reálná funkce, finitní). Jejich jméno je dbn, kde N je řád, a db je příjmení waveletu. Wavelet db1 je stejný jako Haar. Na obrázku 9 jsou někteří další členové rodiny db. Haar, db1 db2 db4 db9 Obr. 9 Wavelet Haar, Daubechies Biortogonální rodina waveletů znázorňuje vlastnost lineární fáze, která je potřebná pro rekonstrukci signálů a obrázků. Používá dva wavelety, jeden pro rozklad a jeden pro rekonstrukci místo jednoho společného, obr. 10. Wavelet zvaný Mexický klobouk (Mexixan hat) je odvozen z druhé derivace Gausovy funkce rozdělení pravděpodobnosti. Wavelet Meyer na rozdíl od předchozích je definován ve frekvenční oblasti, tzn. že kompaktní nosič má ve frekvenční oblasti. Jako další typy waveletů lze uvést Coiflets, Symlets, Morlet, atd. viz [Misiti 1996]. bior1.3 dec. bior1.3 rec. bior2.2 dec. bior2.2 rec. bior3.1 dec. bior3.1 rec. bior3.5 dec. bior3.5 rec. Obr. 10 Biortogonální wavelety - 4 -
Obr. 11 Wavelet Mexican hat Obr. 12 Wavelet Meyer 4 Kvantování Jedná se o část v níž probíhá vlastní komprese. Jak již bylo řečeno v předchozích kapitolách, výsledkem WT je řada koeficientů. Velikost mnoha z nich je téměř nulová a zároveň relativně málo koeficientů značně svou velikostí převyšuje ostatní. Proces kvantování spočívá v nahrazení těchto malých hodnot nulou a zachování koeficientů nesoucích téměř všechnu energii původního signálu. Důležité je však správně stanovit postup kvantování, protože v této části dochází ke ztrátě informací. Wavelet toolbox proces kvantování realizuje nahrazením hodnot koeficientů menších než práh omezení nulou. Prostředí Wavelet toolboxu programu Matlab umožňuje stanovit práh omezení jak globálně, tak i pro jednotlivé úrovně rozkladu. Tento práh omezení je možno zadat ručně, případně je možno využít algoritmů, které jej stanoví automaticky. Výhodou automatického stanovení je rychlost provádění komprese, nemusíme sami zkoušet různá nastavení. Ruční stanovení má výhodu v lepším přizpůsobení naším požadavkům. To znamená, zda upřednostníme úsporu místa před ztrátou informací ze signálu nebo naopak. S tím souvisí také rozhodnutí, zda používat globální práh omezení nebo jej stanovit pro jednotlivé úrovně rozkladu. Globální práh má nevýhodu v tom, že pro všechny úrovně rozkladu je použita stejná hodnota, čímž může dojít k situaci, že například všechny informace o vyšších frekvencích komprimovaného signálu budou ztraceny, čemuž lze manuálním nastavením pro každou úroveň rozkladu zabránit. Například na obrázku 14 byl použit pro všechny úrovně stejný práh omezení threshold=1.3. V levé části obrázku 14 jsou uvedeny jednotlivé části rozkladu, v prostřední části nahoře jsou průběhy původního (červený) a komprimovaného (žlutý) signálu. Pod nimi jsou koeficienty WT pro původní a komprimovaný signál. V pravé části jsou parametry rozkladu a kvantování. Obecně lze říci, že stanovení prahu omezení není jednoduchý proces, proto se často ke stanovování prahu omezení používají pomocné modely. Například pro kompresi zvukových dat je používán akustický model, který obsahuje informace o rozhodujících pásmech slyšitelnosti lidského ucha, viz obr 13. původní data koeficienty WT koeficienty WT po kvantování TRANSFORMACE KVANTOVÁNÍ KÓDOVÁNÍ kódové znaky AKUSTICKÝ MODEL VÝPOČET VELIKOSTI KROKU Obr. 13 Komprese zvukových dat - 5 -
Obr. 14 Kvantování 5 Kódování Výsledkem kvantování jsou koeficienty WT, z nichž je značná část nulových. Často například vznikají sekvence nulových koeficientů, více než 50% (ale například i 90%) hodnot koeficientů je číslo 0. Vzniká tedy redundance v datech. Tuto redundanci lze odstranit pomocí přiřazení posloupnosti koeficientů jinou posloupností symbolů (kódových znaků), tento postup se nazývá kódování. V části kódování tedy probíhá bezeztrátová komprese. Nejjednodušší způsob komprese je přiřazení skupině opakujících se znaků (v našem případě to bude nejčastěji číslo nula) trojici znaků: zarážka, počítadlo, opakující se znak. Příkladem může být Run-length komprese, viz [Farana 1996]. Dokonalejší systémy využívají dva na sebe navazující algoritmy komprese, primární na kompresi původního souboru dat a sekundární na dodatečnou kompresi. Mnoho systémů komprese využívá ve své práci stromové struktury pro ukládání informace, například Huffmanův kód. Často používaným efektivním sekundárním kompresním algoritmem je aritmetická komprese. Lze taktéž použít metody komprese používané v komerčně prodávaných produktech jako je algoritmus Lempel- Ziv-Welch apod. Popis zmíněných metod je uveden například v [Farana 1996]. 6 Komprimace záznamů vibrací Pro ověření popsaného algoritmu komprese dat s použitím wavelet transformace byly použity záznamy hluku a vibrací strojních agregátů. Níže jsou uvedeny výsledky při použití záznamů vibrací převodového agregátu o délce 1024 vzorků na jedno otočení hřídele, viz obr. 15. - 6 -
Obr. 15 Záznam vibrací převodového agregátu Pro srovnání byly použity tři varianty komprese: 1. Rozklad původního nekomprimovaného signálu byl uskutečněn pomocí paketové analýzy WPA. Pro kvantování bylo použito automatické nastavení prahu omezení pomocí funkce ddencmp wavelet toolboxu 2. Rozklad původního nekomprimovaného signálu byl uskutečněn pomocí FWT. Pro kvantování bylo použito automatické nastavení prahu omezení pomocí funkce ddencmp wavelet toolboxu. 3. Toto varianta využívala opět pro rozklad signálu FWT, avšak práh omezení byl nastaven automaticky v grafickém prostředí wavelet toolboxu. Zde je vypočítán průběh velikosti zachované energie a počtu nulových koeficientů v závislosti na velikosti prahu omezení. Pro kompresi se použije hodnota odpovídající průsečíku těchto hodnot, viz obr. 16. Obr. 16 Automatické nastavení prahu omezení Tyto tři postupy byly vykonány pro různé druhy waveletů. Výsledky komprese byly porovnávány podle velikosti zachované energie původního signálu (4) a podle počtu nulových koeficientů WT, viz tabulka 1. - 7 -
2 norma _ vektoru _ CSC E = 100, kde (4) norma _ vektoru _ C E je velikost zachované energie původního signálu [%], CSC je vektor koeficientů WT komprimovaného signálu SC, C je vektor koeficientů WT nekomprimovaného signálu S. Jestliže S je jednorozměrný signál a použitý wavelet je ortogonální, potom 2 100 SC E =. 2 (5) S Tabulka 1 Výsledky komprimace záznamu vibrací VARIANTA Č.1 VARIANTA Č.2 VARIANTA Č.3 TYP WAVELETU / ÚROVEŇ ROZKLADU Threshold [ ] Zachovaná energie [%] Počet nul. koef. [%] Threshold [ ] Zachovaná energie [%] Počet nul. koef. [%] Threshold [ ] Zachovaná energie [%] Počet nul. koef. [%] haar / 3 0,559 98,28 39,16 0,559 98,40 32,81 1,872 73,69 73,73 haar / 5 0,559 97,81 45,70 0,559 98,28 34,67 1,640 76,07 76,07 db2 / 3 0,559 98,27 43,83 0,559 97,86 41,32 2,023 75,75 75,65 db2 / 5 0,559 97,82 51,78 0,559 97,78 43,09 1,664 78,18 78,16 db4 / 3 0,559 97,87 51,23 0,559 97,84 48,37 2,246 76,98 76,92 db4 / 5 0,559 97,44 61,21 0,559 97,73 50,85 1,833 80,18 80,21 db9 / 3 0,559 98,34 55,16 0,559 97,78 50,84 2,208 76,91 76,87 db9 / 5 0,559 97,92 67,64 0,559 97,64 53,57 1,818 80,17 80,27 bior1.3 / 3 0,559 98,53 39,39 0,559 98,62 32,98 2,139 74,54 74,54 bior1.3 / 5 0,559 98,36 50,27 0,559 98,52 35,41 1,797 77,32 77,32 bior2.2 / 3 0,559 98,53 50,38 0,559 98,64 49,86 2,648 79,07 79,17 bior2.2 / 5 0,559 98,82 56,11 0,559 98,60 51,77 2,233 82,17 82,11 bior3.1 / 3 0,559 99,06 47,76 0,559 99,49 54,32 4,839 82,39 82,25 bior3.1 / 5 0,559 99,59 58,20 0,559 99,67 54,78 4,221 85,25 87,54 bior3.5 / 3 0,559 99,13 47,78 0,559 99,40 54,60 4,679 81,00 80,95 bior3.5 / 5 0,559 99,47 63,71 0,559 99,37 56,41 3,095 84,52 84,57 Z výsledků uvedených v tabulce 1 by se mohlo zdát, že volba waveletu a úrovně rozkladu ovlivňuje pouze zachovanou energii a počet nulových koeficientů, avšak tato volba ovlivňuje zásadně průběh komprimovaného signálu. Na obrázku 17 jsou časové průběhy komprimovaných signálů pro dvě z výše uvedených variant. Již z časových průběhů komprimovaného a nekomprimovaného lze vidět, že wavelet db9 byl mnohem lépe schopen popsat daný signál, než wavelet bior3.1. Rovněž z rozložení hodnot koeficientů lze vidět, při použití waveletu bior3.1 byly úplně ztraceny informace obsažené v prvních dvou úrovních rozkladu. Částečnou vinu na této situaci má také použití globálního prahu omezení. Bylo by zřejmě vhodnější stanovit jej pro každou úroveň rozkladu zvlášť. - 8 -
Wavelet db9, úroveň rozkladu 5 Wavelet bior3.1, úroveň rozkladu 5 Obr. 17 Originální (červený) a komprimovaný (žlutý) signál a koeficienty WT 7 Závěr V příspěvku byl popsán algoritmus komprese jednorozměrných dat s použitím wavelet transformace. Jedná se o metodu ztrátové komprese, dochází tedy u komprimovaných dat ke ztrátě informací. K této ztrátě informací dochází v druhém kroku nazvaném kvantování. Zde nahrazujeme hodnoty koeficientů WT, získané v prvním kroku, menší než stanovený práh omezení hodnotou nula. Takto zjednodušený zápis koeficientů WT, po zakódování některým z bezeztrátových kompresních algoritmů, nám umožní dosáhnout úspory místa při ukládání do souborů či databází. Popsaný algoritmus má několik úskalí, prvním z nich je vhodná volba waveletu. Většinou se volí tak, aby se co nejvíce podobal analyzovanému signálu. Čím více se mu podobá, tím lépe může charakterizovat analyzovaný signál. S tímto souvisí také volba hladiny rozkladu. Čím bude větší počet hladin, tím jsme schopni lépe rozhodnout o zachování nebo ztrátě informací - 9 -
v různých frekvenčních pásmech komprimovaného signálu, avšak za cenu výpočetní náročnosti. Z výsledků praktických zkoušek na záznamech vibrací převodového agregátu vyplynulo, že pokud vhodně zvolíme typ waveletu a hladinu rozkladu, lze docílit přibližně 50% úsporu místa ve srovnání s nekomprimovaným souborem dat při zachování 98% energie původního nekomprimovaného signálu. Při úspoře 80% místa (kompresní poměr 1/4), zůstane zachováno 80% energie původního signálu. Z vypočtených průběhů velikosti zachované energie a počtu nulových koeficientů v závislosti na velikosti prahu omezení je patrné, viz obrázek 16, že pro kompresní poměr menší než 1/4 (úspora místa větší než 80%) již dochází ke značným ztrátám informací. 8 Literatura CHUI, C. K. Wavelets: a mathematical tool for signal analysis. Philadelphia : SIAM 1997. ISBN 0-89871-384-6. 210 p. FARANA, R. Vybrané kapitoly ze základů informatiky. 1. vyd. Ostrava : Slezskomoravský svaz VTSaP, Katedra ATŘ VŠB-TU Ostrava, 1996. ISBN 80-02-01071-X. 95 s. MISITI, M., MISITI, Y., OPPENHEIM, G. & POGGI, J-M. Wavelet Toolbox User s Guide. The Math Works, Inc. 1996. 604 p. STRANG, G. & NGUYEN, T. Wavelets and Filter Banks. Wellesley : Wellesley-Cambridge Press, Cambridge, MA, 1996. ISBN 0-9614088-7-1. 490 p. - 10 -