Chování balónu při výstupu do stratosféry Definuji si několik základních hodnot a proměnných. pomocná proměnná pro indexování polí: ORIGIN := 1, tíhové zrychlení: g := 9.81, atmosférický tlak na hladině moře: p 0 := 101325 hustota vzduchu na hladině moře: ρ 0 := 1.2041 Atmosférický tlak a hustota Podle skript Václav Borž: Aerodynamika nízkých rychlostí (ČVUT Praha, 1990) je možné tlak a hustotu aproximovat s chybou maximálně 2,5% pomocí vztahu. Teplota atmosféry - x 7070 px ():= p 0 e, - x 7070 ρ() x := ρ 0 e. Nejlepší bude požít přímo teploty, které změřila sonda czanso a nějak šikovně je aproximovat. Nejprve proto načtu teplotu a výšku a rychlost z datového souboru t data := x data := v data := czanso-telemetry-upraveno.txt czanso-telemetry-upraveno.txt czanso-telemetry-upraveno.txt start := x data1 = 333...nadmořská výška starovního místa... 867 Spočítám si počet vzroků... N := rows t data =, zavedeme proměnnou i, která bude probíhat celým rozsahem vzroků i := 1.. N a podíváme se na graf teploty
2 2.8 Výška (m) 2.1 1.4 710 3-30 - 20-10 0 10 20 30 Apoximace teploty jednoduchým vztahem Teplota (st. Celsia) Rozdělím si průběh na dvě části... odhadnu výšku, ve které se čára lomí. x a := 13000, V každé části udělám zvlášť lineální interpolaci. Musím ale nejprve zjistit, jakým indexům v seznamu dat tyto hodnoty odpovídají... index( X) := "Funkce vraci index s nejblizsi hodnotou x" for j Œ 1.. N - 1 return j if x dataj X Ÿ x dataj > X + 1 419 Zvolené výšce x a = 13000 odpovídá index index a := index x a =. Rozdělím si data do dvou částí a v kažé z nich provedu lineární aproximaci. Submatice:
3 Submatice: ta := submatrix( t data, 1, index a, 1, 1 ), xa := submatrix( x data, 1, index a, 1, 1 ), tb := submatrix t data, index a + 1, N, 1, 1, xb := submatrix x data, index a + 1, N, 1, 1. Lineární aproximace: 24.899-52.771 Qa := line( xa, ta) = -4.365 10-3, Qb := line( xb, tb) = 1.794 10-3. Najdu bod, v němž se obě přímky protínají... x q := Qa + Qa x = Qb + Qb x 1 2 1 2 solve Æ 12611.293139647375896 x a konečně zavedu aproximaci teploty v Kelvinech a nakreslím graf. Tx ():= w Qa + Qa x + 273.15 1 2 if x x q w Qb + Qb x + 273.15 1 2 if x > x q return w 2.8 Výška (m) 2.1 1.4 710 3-30 - 20-10 0 10 20 30 Teplota (st. Celsia) a aproximace
4 Vizkozita a její aproximace Pro výpočet odporové síly musíme mít k dispozici viskozitu. Ve skriptech Václav Borž: Aerodynamika nízkých rychlostí (ČVUT Praha, 1990) je tabulka hodnot kinematické vizkozity až do výše 25 000 metrů. Tuto tabulku si přepíšu - viz napravo. Dodefinuji si ještě tabulku výšek, odpovídajících těmto hodnotám q := 1.. 26, h := ( q - 1)1000. q Dále si definuji funkci, jíž budu vizkotu aproximovat f kinvis ( Xk, ) k k e k 3 := + X + k X 2 + k X 3, 1 2 4 5 zavedu a vynuluji koeficinety a budu aproximovat j kinvis := 1.. 5, k kinvisjkinvis := 0 K kinvis := genfit hkinvis,, k kinvis, f kinvis = 0.051 0.094 1.44 10-4 -1.634 10-9 5.91 10-14 Nakonec zavedu funkci pro kinematickou a dynamickou viskozitu ν() x := f kinvis xk, kinvis, kinvis := 0.1441 0.1555 0.1679 0.1818 0.1972 0.2145 0.2337 0.2554 0.2799 0.3075 0.3388 0.3746 0.4386 0.5163 0.6013 0.7041 0.8244 0.9653 1.1300 1.3240 1.5500 1.8150 2.1250 2.4880 2.9130 3.4110 η() x := νx ()ρx.
5 2.625 Kin. vizkozita Aproximace Dyn. viskozita * 50 Výška (m) 1.75 8.75 10 3 0 2.5 5 7.5 10 Kin. viskozita a její aproximace, 50*dyn. viskozita Rychlost stoupání Skutečný průběh rychlosti v závisloti na výšce získáme numerickou derivací hodnot výšky. Protože měření výšky pomocí GPS je nepřesné, vyhladím průběh průměrováním přes 25 vzorků. Vyhladím průběh rychlosti průměrováním přes PRUM := 25, vzorků. Polovička je δ prum := floor PRUM 2 = 12 j := δ prum + 1.. N - δ prum vyska prumj - δprum := x dataj rychlost prumj - δprum 1 := PRUM j + δ prum  s = j -δ prum v datas
6 2.8 Změřená rychlost Vyhlazená rychlost 2.1 1.4 710 3 0 2 4 6 8 10 Balón Rozměry Balón je naplněný héliem. Budu ho považovat za ideální plyn a budu předpokládat, že tlak a teplota hélia jsou shodné s tlakem a teplotou okolního vzduchu. To není sice pravda, ale je to lepší než nic. Drobné vylepšení bude spočívat v tom, že budu předpokládat konstantní malý rozdíl tlaků vně a uvnitř balónu. Tento konstantní rozdíl tlaků si nastavím na hodnotu Δp konst := 90. Pa. Hustota hélia za normálního tlaku p0 = 1.013 10 5 a teploty T( 0) = 298.049 je ρ 0He := 0.179 kg/m 3. Ve výšce x platí pro hustotu hélia coby ideálního plynu vztah ( p ( x ) + Δp )
7 T0 p( x) + Δp konst ρ He () x := ρ 0He p0 Tx () Balón je napuštěn určitým množstvím plynu, má nějakou vlastní hmotnost a k té se ještě přidá hmotnost zátěže. Z toho rezultuje výsledná síla, táhnoucí sondu vzhůru. Podle e-mailu Ing. Richtera byla hmotnost kompletní záteže m sonda := 1.527 kg, balón samotný vážil m balon := 1.200 kg. Výchozí hodnota tahové síly byla napouštěním balónu stanovena na hodnotu F v.start := 12.73 N. To odpovídá obemu hélia g F v.start + m sonda + m balon V start := g ρ( start) - ρ He ( start ) = 4.998 m 3, o hnotnosti - g ρ He ( start) 3 6Vstart m He := V start ρ He ( start) = 0.859 kg a průměru balónu D start := = 2.121 m. π Celková hmotnost, kterou nese vztlak nahoru je tedy m := m sonda + m balon + m He = 3.586 kg. Ve výšce x je tedy tlak vzduchu p(x) a tlak hélia p(x)+δp konst, teplota vzduchu i hélia je T(x). Můžeme tedy snadno určit objem hélia. pstart + Δp konst Vx ():= V start Tstart Tx () px () + Δp konst a průměr balónu 3 6Vx ) Dx ():=. π( Výrobce uvádí, že balon exploduje, když dosáhne průměru D MAX := 8.63 m. Tohoto prumeru dosahne nas teoreticky balon ve vysce H MAX.teor := for X Œ 0.. 50000 Q X if DX D MAX Ÿ DX ( + 1) D MAX Q H MAX.teor = 31085 m.
8 MAX.teor Podívejme se, jak se bude průměr balónu měnit s výškou 310 4 Výška (m) 210 4 110 4 0 2 4 6 8 Průměr (m) a D_MAX Červená křivka na grafu nahoře by měla končit právě na pruseciku čárkovanych čar. Platí Dx datan - D MAX = -0.000741 m, ideálně by to měla být nula, ve skutečnosti je relativní chyba průměru při explozi Dx datan - D MAX 100 = -8.59 10-3 % Dx datan Chyba vysky pri explozi je H MAX.teor - x datan = 1 a to je v procentech H MAX.teor - x datan 100 = 3.217 10-3 % x datan
9 Vztlaková síla Celková vztlaková síla je určena tíhou vytlačeného vzduchu: F v ( x) := ρ( x)vx g, podíváme se, jak se s výškou mění: 3.005 2.51 Výška (m) 2.014 1.519 1.024 5.285 10 3 333 0 12 24 36 48 60 Celková vztlaková síla (N) a tíha celého zařízení
10 Odporová síla Balón se pohybuje vzhrůru rychlostí zhruba 6 metrů za sekundu (viz níže). Tomu odpovídá Reynoldoso číslo na začátku respektive na konci stoupání. 6Dstart Re 6D x start := = 85.231 resp datan Re ν( start) konec := νx datan = 6.063 Jedná se o pomalý pohyb. Použijeme-li Stokesův vztah D F o := 6 π η v, 2 dostaneme rychlost: v Stokes ( x) := F v ( x) -mg 3π ηx () Dx Podívejme se, jak by to vyšlo pro Newtonův zákon odporu, kde odporová síla je úměrná druhé mocnině rychlosti a koeficient odporu C má pro kouli hodnotu Newtonův vztah má tvar C := 0.44 (viz níže) F := C 1 2 S ρ v2. Z rovnosti sil dostáváme pro rychlost vztah v Newton () x := F v () x -mg 1 2 Cρx π Dx ()2 4
11 2.633 Změřená rychlost Rychlost podle Newtona Vyhlazená rychlost Rychlost podle Stokese 1.767 910 3 333 0 2.5 5 7.5 10 Rychlost (m/s) - teoretická, skutečná, vyhlazená
12 Podle http://users.fs.cvut.cz/~jiroutom/vyuka/hmz/hmz5.pdf platí Stokesův vztah jen pro velmi malá Re (zhruba menší než 2)... Viz obrázek. Pro Re mezi 2 a 500 (což je náš případ) platí vztah C=18.5 / Re 0.6. Zkusme proto nový výpočet, podle výše uvedených vztahů... Zkusím obecně vyjádřit vztah pro rychlost v závislosti na ostatních parametrech Platí současně tyto vztahy, které je třeba jeden do druhého dosadit a vyjádřit rychlost v: 18.5 vd v 2 C :=, Re :=, F := CS ρ, S := 3 ν 2 5 Re π D 2 4 Když vyjádřím rychlost (viz extra soubor se symbolickým odvozením), dostanu vztah
13 v := 2 4 7 7 7 10000000000000 72649330114263968639 10 F v -gm 72649330114263968639 D 5 3 7 7 ρ ν 5 tedy 2 4 7 7 10000000000000 72649330114263968639 10 F v () x gm 7 - v prechod () x := 5 3 7 7 72649330114263968639 Dx () ρx () νx () 5
14 2.633 Změřená Vyhlazená Přechodová podle Newtona Podle Stokese 1.767 910 3 333 0 2.5 5 7.5 10 Rychlost (m/s) - teoretická, skutečná, vyhlazená
15 2.807 Přechod / skutečná Stokes / skutečná Newton / skutečná Pi* Přechod / skutečná 1 2.113 1.42 7.266 10 3 333 0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 Poměr teoretické a vyhlazené skutečné rychlosti Je zajímavé, že i když je rychlost podle přechodového zákona hodně daleko od skutečné rychlosti, je poměr rychlostí v celém rozsahu téměř konstantní, narozdíl od Stokese a Newtona. To by snad mohlo svědčit pro nějakou systematickou chybu v podobě špatně zadané konstanty, nebo tak něčeho... Jak by to vypadalo, kdybych tuto rychlost vynásobil π?
16 Změřená Vyhlazená Přechodová * Pi 2.633 1.767 910 3 333 0 2.5 5 7.5 10 Rychlost (m/s) - teoretická, skutečná, vyhlazená
17 Zkusíme zintegrovat poměr teoretické a skutečné rychlosti. když bude výsledek okolo nuly, bude to globálně celkem OK... N-PRUM I prechod := Â i = 1 N-PRUM I Stokes := Â i = 1 N-PRUM I Newton := Â i = 1 v prechod vyska prumi - 1 rychlost prumi v Stokes vyska prumi - 1 rychlost prumi N-PRUM I Pi.prechod := Â i = 1 v Newton vyska prumi - 1 rychlost prumi = -571.532 = -291.509 π v prechod vyska prumi - 1 rychlost prumi = 63.834 = 7.7