Západočeská univerzita v Plzni

Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra informatiky a výpočetní techniky Semestrální práce z předmětu KMA/MM Modelování pádu horolezce na laně Věra Skorkovská A09N0021P 11. února 2010 vskorkov@students.zcu.cz

Obsah 1. Úvod... 3 2. Horolezectví... 4 2.1. Historie horolezectví... 4 2.2. Sportovní lezení... 5 2.3. Lezení s dolním jištěním... 5 3. Použité fyzikální zákony... 6 3.1. Potenciální energie... 6 3.2. Kinetická energie... 6 3.3. Hookeův zákon... 7 4. Matematický model... 8 4.1. Modelovaná situace... 8 4.2. Pádový faktor... 12 4.3. Rázová síla... 13 5. Ukázka výsledků... 14 5.1. Pád s pádovým faktorem f = 0,4 s jištěním ze země... 14 5.2. Pád s pádovým faktorem f = 0,8 s jištěním ze země... 15 5.3. Pád s pádovým faktorem 1,6 s jištěním ze štandu... 15 6. Závěr... 16 7. Zdroje... 17 2

1. Úvod V této práci bude navržen zjednodušený matematický model popisující pohyb horolezce s dolním jištěním při pádu během výstupu. Navrhnout přesný model tohoto děje by bylo velice obtížné, přestože základ úlohy je poměrně jednoduchý. Zjednodušený model je ale pro tuto práci dostačující. V první části práce bude popsána historie horolezectví a základy sportovního lezení. V další části budou shrnuty základní fyzikální zákony, které budou v třetí části práce využity pro navržení samotného matematického modelu. Tento model bude využit pro ověření bezpečnosti či nebezpečnosti konkrétních pádů. 3

2. Horolezectví 2.1. Historie horolezectví Historie horolezectví sahá daleko do minulosti. Zpočátku byly cesty do hor motivovány mimo sportovními zájmy, techniky výstupu se ale vyvíjely již tehdy. Vývoj specializovaných lezeckých technik, pak jak je chápeme dnes, sahá v Evropě až do 16. století, kdy se v Alpách začal rozmáhat lov kamzíků a sběr minerálů. Lovci či sběrači minerálů byli většinou obyvateli podhorských vesnic, postupem času se z nich stávali horští vůdci. První metodickou příručkou pro horolezce byl spis od J. Simlera z Curychu O těžkostech cestování v Alpách, která obsahovala nejen informace o přírodních a povětrnostních podmínkách, ale i mnoho jiných rad, například jak se vyhnout trhlinám na ledovcích či jak se chovat při lavinovém nebezpečí. V té době byly používané techniky velice jednoduché a účelové. Až v 19. století začalo vznikat horolezectví jako sport. Z vrcholů v dostupných velehorách už v Evropě zůstaly nedobyty jen nejtěžší štíty, proto horolezci začali hledat nové a obtížnější cesty na vrcholy již dříve zdolané. Cíle většiny horolezců v této době se nacházely v Alpách, tak vznikl i termín alpinismus, kterým je označována horolezecká činnost. Technický pokrok umožňoval stálý vývoj technik lezení, díky tomu bylo možné zdolávat výstupy se vzrůstající obtížností. Důležitými okamžiky pro vývoj horolezectví byl například výstup E. Whympera a M. Crozeho na Metternhorn v roce 1865 nebo průstup severní stěnou Grand Dru, který uskutečnil C. Dent v roce 1878. Později, ve dvacátých a třicátých letech 20. století, se pozvolna horolezecký nápor přesunul do světových velehor. V roce 1950 byl dobyt první osmitisícový vrchol Annapúrna v Nepálu výstupem M. Herzoga a L. Lachenala. V počátcích horolezectví byla většina výstupů lezena volně, neboť druhou možností bylo pouze sekání stupů a chytů do skály či umělé zajišťování pomocí železných žebříků a řetězů. V průběhu první poloviny 20. století se díky technickému pokroku objevily dříve nedostupné možnosti. Ve třicátých letech začala éra technického lezení, která vyvrcholila v šedesátých až sedmdesátých letech. Při technickém lezení se využívá různých pomůcek, které horolezci pomáhají ve výstupu. V sedmdesátých letech ale nastal zlom, když se v horolezectví začalo využívat osazování skob do vyvrtaných otvorů. Lezení tak začalo ztrácet na obtížnosti a tím i na přitažlivosti pro sportovce. Proto se nová generace horolezců rozhodla navázat na horolezení z doby, kdy se objevilo technické lezení, a vrátila se k volnému lezení. Volné lezení ale předtím v Evropě docela nevymizelo, zachovalo se v oblasti pískovcových skal Saska a Česka. Po emigraci významného horolezce Fritze Wiessnera do USA se volné lezení začalo šířit i tam. 4

Volné lezení úplně převládlo na přelomu sedmdesátých a osmdesátých let 20. století, kdy se lezecké pomůcky přestaly používat jako pomůcky horolezce pro postup vzhůru, ale používaly se výhradně pro jištění proti pádu. Tento způsob lezení udává směr vývoje lezení i horolezeckých pomůcek dodnes [1]. 2.2. Sportovní lezení Sportovní lezení se neprovozuje ve vysokých skalách, není při něm důležitá nadmořská výška, ale obtížnost lezené cesty. Cílem je vylézt bez pádu celou cestu jen za pomoci určených skalních chytů a stupů. Pomůcky jsou používány pouze pro jištění horolezce v případě pádu, nepoužívají se pro ulehčení výstupu [2]. Sportovní lezení se provozuje i na umělých stěnách, které se obvykle nacházejí ve velkých halách a jsou tvořeny umělými chyty. 2.3. Lezení s dolním jištěním Při dolním jištění není lano uchyceno na vrcholu výstupu. Horolezec jej při výstupu táhne za sebou a postupně připíná do postupových jištění (obr. 2.1). Po každém založení lana do postupového jištění následuje úsek cesty, kdy se jistící bod nachází pod horolezcem. V případě pádu v tomto okamžiku bude pád výrazně delší, než kdyby bylo lano uchyceno na vrcholu. Délka pádu závisí na velikosti rozestupů mezi postupovými jištěními pokud budou rozestupy malé, délka pádu bude malá, naopak čím větší budou rozestupy, tím delší bude i pád horolezce. [3] Je proto nutné pečlivě počítat vhodné umístění postupových jištění tak, aby bylo lezení bezpečné. Nalezení matematického modelu, který bude umožňovat určit, zda je dané rozmístění postupových jištění bezpečné, bude i cílem této práce. Obr. 2.1: Lezení s dolním jištěním [3] 5

3. Použité fyzikální zákony 3.1. Potenciální energie Schopnost tělesa vykonat práci v poli konzervativních sil, která je spojená s jeho polohou, se nazývá potenciální energie tělesa (hmotného bodu) a její velikost je definována jako velikost práce vykonané tělesem při přesunu do počáteční polohy. Potenciální energie závisí pouze na počátečním a koncovém bodě dráhy, tvar dráhy mezi body nemá na její velikost vliv. Bodové těleso (hmotný bod) má v daném místě r vzhledem k místu r 1 potenciální energii, = + kde M je hmotnost centrálního tělesa, m hmotnost zkušebního tělesa v místě r a κ je univerzální gravitační konstanta, κ = 6,67.10-11. [6] Limitní tvar tohoto vztahu je 3.2. Kinetická energie = h Kinetická (pohybová) energie je jedním z druhů mechanické energie, kterou má pohybující se těleso. Velikost závisí na hmotnosti a rychlosti tělesa. Je-li těleso v klidu, má nulovou kinetickou energii. práci Z pohybové rovnice víme, že = = Rovnici vynásobíme skalárně diferenciálem průvodiče a získáme vztah pro elementární Použijeme vztah pro velikost vektoru který dále diferencujeme Získáme = = =, 2 = + =2 = Dosadíme do výše uvedeného vztahu pro elementární práci = = 6

Předpokládáme, že se práce koná v silovém poli gravitační síly, pak konání práce silovým polem způsobuje zvyšování rychlosti tělesa. Konáním práce silou pole na dráze z do se rychlost hmotného bodu zvýší z na. Vykonanou práci můžeme zapsat jako = Po dosazení za elementární práci a výpočtu integrálu = = = = 1 2 = 1 2 1 2 Jako u potenciální energie, ani u kinetické nezávisí na tvaru dráhy a dokonce ani na počátečním a koncovém bodě, závisí pouze na počáteční a koncové rychlosti tělesa. Vykonaná práce je zakonzervována v pohybovém stavu tělesa. Pro vyloučení vlivu počátečního stavu zvolíme počáteční rychlost nulovou, čímž získáme známý vztah pro kinetickou energii. [6] = 1 2 3.3. Hookeův zákon Hookeův zákon elasticity je aproximace, která říká, že prodloužení pružiny je přímo úměrné zavěšenému zaváží, dokud tíha závaží nepřevyšuje elastický limit. Hookeův zákon lze zapsat jako =, kde x je odchylka konce pružiny od jeho rovnovážné polohy, F je síla, kterou působí materiál proti pružině a k je konstanta pružiny. Potenciální energie uložená v pružině je definována jako = 1 2 Objekty, které se po uvolnění rychle vrací do svého původního vztahu před deformací, se často chovají podle Hookeova zákona. [7] V případě jednoosé napjatosti můžeme matematicky vyjádřit lineární část materiálově funkční závislosti jako = kde konstanta E se nazývá modul pružnosti v tahu nebo Youngův modul, σ je napětí a ε l je poměrné prodloužení dané vztahem ε =. [8] l 7

4. Matematický model 4.1. Modelovaná situace Pro navrhovaný matematický model uvažujme následující situaci. Horolezec postupuje vzhůru v dané lezecké cestě, během cesty už úspěšně založil lano do několika bodů postupového jištění. Ve chvíli, kdy dorazí k dalšímu bodu jištění a chystá se založit lano, mu uklouzne noha a on začne padat, jeho pád tedy má největší možnou délku v daném úseku (kdyby stihl založit lano, zkrátil by délku případného pádu o dvojnásobek vzdálenosti mezi nejvyšším a druhým nejvyšším bodem postupového jištění). Pád horolezce lze rozdělit na dvě základní fáze. V první fázi je horolezec v nejvyšším bodě výstupu a těsně před založením lana začne padat. V tuto chvíli se horolezec nachází ve výšce L nad zemí, poslední použité postupové jištění je ve výšce nad zemí, horolezec se tedy nachází ve výšce nad posledním jištěním. Situace je zobrazena na obrázku 4.1. Obr. 4.1: První fáze pádu horolezec je v nejvyšším bodě výstupu. Poté horolezec začne padat. V této fázi padá volným pádem, lano zatím nevykonává žádnou práci. V tuto chvíli na horolezce působí pouze gravitační síla, kterou můžeme popsat vztahem F g = mg. Horolezec padá z výšky L až do výšky L H, kde dojde k natažení lana v celé jeho délce. Konec této fáze pádu zachycuje obrázek 4.2. 8

Obr. 4.2: Konec první fáze pádu. Ve druhé fázi začne proti síle pádu působit elastická síla lana, která bude pád zpomalovat. Z Hookeova zákona víme, že elastická síla v laně je úměrná relativnímu prodloužení lana, tedy = kde k je konstanta úměrnosti, L délka nezatíženého lana a y protažení lana. Pro lano pevné délky L můžeme konstantní hodnoty sjednotit do zlomku a elastickou sílu pak vyjádřit jako = Při protahování lana je vykonávána práce. Uvažujme lano délky L, ve kterém nepůsobí žádná elastická síla. Toto lano natáhneme z původní délky L na délku L + s. Potom vykonanou práci můžeme vyjádřit jako = = 9 = 2 = 2 Jak již bylo popsáno výše, předpokládáme, že se horolezec nachází ve výšce L a vede od něj lano k druhému horolezci, který jej jistí, délka lana je tedy také L. Poslední použité postupové jištění se nachází ve výšce, délka pádu bude H. Lano se při zachycování pádu protáhne o s, to znamená, že celková délka pádu bude + a potenciální energie, kterou lezec během pádu ztratí, bude mít velikost +. Tato energie se bude v první fázi pádu přeměňovat na kinetickou energii, v druhé fázi pádu se bude jak potenciální tak i kinetická

energie přeměňovat na práci lana. Vzhledem k tomu, že nás zajímá pouze stav na konci pádu, můžeme zanedbat přeměnu potenciální energie na kinetickou v první fázi pádu. Ze zákona zachování energie plyne, že všechna potenciální energie, která se ztratila kvůli pádu horolezce, musí být vykompenzována prací vykonanou při natahování lana += 2 Jedná se o kvadratickou rovnici, kterou můžeme přepsat jako 2 =0 a tuto rovnici již dokážeme vyřešit standardním postupem. Pro maximální prodloužení lana s před zastavením pádu získáme vztah = ± 4 2 ± +2 = Hodnota pod odmocninou je větší než mg, při použití vztahu s minusem bychom získali záporný výsledek. Získali bychom tedy hodnotu při smršťování lana a ne při jeho natahování, tento údaj je pro nás nepodstatný. Pro maximální prodloužení lana s proto platí Víme, že = + +2 = Vynásobením vztahu pro s zlomkem získáme nový vztah pro sílu v laně při maximální prodloužení lana s. =+ +2 Pro lezce s danou tíhou mg a pro lano s danou konstantou k závisí maximální elastická síla v laně pouze na poměru, nezávisí na samotné délce pádu H. Tomuto poměru se říká pádový faktor, tuto problematiku blíže popíšu v kapitole 4.2. Vzhledem k tomu, že na konkrétních hodnotách H a L nezáleží, můžeme poměr zapsat jako =. Vztah pro elastickou sílu lana pak bude =+ +2 10

Pokud označíme lezcovu tíhu jako w, získáme ještě jednodušší vztah =+ +2 Abychom mohli používat tyto vztahy, je nutné znát hodnotu konstanty úměrnosti k pro dané lano. Tato hodnota se ale u horolezeckých lan běžně neuvádí. Místo této hodnoty výrobci uvádějí hodnotu rázové síly, která vznikne v laně při pádu 80 kg závaží s pádovým faktorem 1,78 (pád podle normy UIAA). Tyto údaje můžeme využít pro dopočítání hodnoty konstanty úměrnosti k. po dosazení známých hodnot [9] = 2 2 = 2 2 = 2 784 2 1,78 784 = 1 568 2791 Stav na konci pádu je zachycen na obrázku 4.3. Obr. 4.3: Druhá fáze pádu práce lana a postupné zastavení pádu. 11

4.2. Pádový faktor Pádový faktor je teoretický pojem, který určuje tvrdost pádu, což je důležité jak pro možnost poranění padajícího, tak i pro určení namáhání lana a ostatních jisticích bodů. Čím je hodnota pádového faktoru vyšší, tím je pád tvrdší a tedy i nebezpečnější. Je definován jako poměr délky pádu lezce a činné délky lana =. Hodnota pádového faktoru se pohybuje od nuly (pro nekonečnou činnou délku lana) do dvou. Aby byl pád bezpečný, neměla by hodnota přesáhnout 1. Hodnotu pádového faktoru lze snížit dvěma způsoby, a to prodloužením činné délky lana nebo zkrácením délky pádu. Vliv pádového faktoru je ukázán na následujícím příkladu. V obou případech bude lezec padat 10m, ale v každém případě je jiná činná délka lana (obr. 4.5). Bude se tedy lišit i pádový faktor a velikost síly, která působí na lezce. [4] Příklad A - pád přímo do jistícího stanoviště. délka pádu H = 10m činná délka lana L = 5m + 0,2m = 5,2m pádový faktor f = 10m / 5,2m = 1,9 síla působící na lezce 9kN Příklad B - pád na druhém postupovém jištění. délka pádu H = 10m činná délka lana L = 5m + 4m = 9m pádový faktor f = 10m / 9m = 1,1 síla působící na lezce 6kN Obr. 4.5: Příklad vlivu činné délky lana na pádový faktor [4] Při použití dolního jištění ze země vyjde pádový faktor vždy nejvýše 1, protože činná délka lana bude minimálně stejná jako délka pádu. 12

4.3. Rázová síla Při výstupu po skále získává lezec polohovou (potenciální) energii, která se při pádu postupně mění na pohybovou (kinetickou) energii. Při zachycení pádu lanem se tato energie mění především na práci lana, ale částečně také na práci těla a jistících bodů. Práce vykonaná třením lana v karabině pohltí malé množství energie. Zmáčknutí těla lezce popruhy sedáku pohltí asi třetinu celkové energie pádu. Zbylých asi 60% energie pohltí lano, na němž je lezec jištěn. Lano se během brzdění pádu napíná, síla v něm je maximální při zastavení pádu. Tato síla se nazývá rázová síla. Tuto sílu můžeme popsat vztahem vyjádřeným v kapitole 4.1 =+ +2 Hranice bezpečné velikosti rázové síly je normou stanovena na 600 dan, při překročení této hranice může být zachycení pádu nepříjemné či přímo zdraví škodlivé. [5] 13

5. Ukázka výsledků V této kapitole ukážu několik příkladů využití navrženého matematického modelu pro zjištění, jestli je daný pád bezpečný nebo ne. Ve všech příkladech bude horolezec jištěn pomocí dynamického lana Tendon Ambition s průměrem 9,8mm (obr. 5.1), jehož uváděná maximální rázová síla je 7,6kN ( =7,6. Obr. 5.1: Jednoduché dynamické lano Tendon Ambition s průměrem 9,8mm Pro všechny uváděné příklady tedy bude mít konstanta k stejnou hodnotu, a to = 1 568 2 791 =16 425 5.1. Pád s pádovým faktorem f = 0,4 s jištěním ze země =10 =4 =80 =9,8 = =0,4 ==784 = + +2 =+ +2=4 088 =2,49 Obr. 5.2: Lezec před pádem a po něm. V tomto případě je pád bezpečný, lezec zůstane po pádu v bezpečné výšce 3,51m, rázová síla nepřekročí povolené hodnoty. 14

5.2. Pád s pádovým faktorem f = 0,8 s jištěním ze země =10 =8 =80 =9,8 = =0,8 ==784 = + +2 =+ +2=5390 =3,28 Obr. 5.3: Lezec před pádem a po něm. Pád by byl v tomto případě velice nebezpečný. Velikost rázové síly zůstává v povolených hodnotách, délka pádu se ale nebezpečně prodloužila kvůli dynamickému natažení lana. Celková délka pádu vychází na 11,28m, ale lezec padá pouze z výšky 10m, dopadl by proto až na zem a mohl by se poranit. 5.3. Pád s pádovým faktorem 1,6 s jištěním ze štandu =10 =16 =80 =9,8 = =1,6 ==784 = + +2 =+ +2=7251 =4,42 Obr. 5.4: Lezec před pádem a po něm V tomto případě nezáleží na délce pádu, předpokládáme, že jsou lezci v dostatečné výšce nad zemí. Tento pád je ale velice nebezpečný kvůli velikosti rázové síly, která bude působit na padajícího lezce. Tyto hodnoty už by mohly lezci způsobit zranění. 15

6. Závěr V této práci byl navržen zjednodušený model pádu horolezce na laně. Tento model umožňuje ověřit, jestli je konkrétní pád bezpečný. S jeho pomocí lze vypočítat maximální prodloužení jistícího lana, a tak určit, jestli se padající lezec nemůže zranit o zem či nebezpečný úsek skály. Dále poskytuje vztah pro výpočet rázové síly, která působí na padajícího lezce; tato síla by neměla překročit hodnotu 6kN, jinak by pád mohl lezci způsobit zranění. Navržený model je značně zjednodušený, zanedbává odpor vzduchu, který působí proti pádu lezce. Dále byl použit zjednodušený model lana, kdy předpokládáme, že se dynamické lano chová jako pružina s lineární charakteristikou. V modelu také předpokládáme, že lezec padá svisle dolů, ale v reálné situaci může pád probíhat jinak, například pokud se padající lezec stihne odstrčit od skály, aby se nezranil o její výčnělky. I přes jmenovaná zjednodušení lze model použít pro přibližné zjištění parametrů pádu a pro většinu situací určit, jestli bude pád bezpečný. V případě mezních situací, kdy by model mohl poskytnout špatnou odpověď, by bylo vhodnější navrhnout přesnější model, který by poskytl spolehlivější výsledky. Mezním situacím je ale lepší se vyhýbat, žádný model nedokáže zahrnout všechny alternativy, které mohou reálně nastat. 16

7. Zdroje [1] Vývoj horolezeckých technik [online]. [cit. 2010-01-30]. URL: <http://www.horolezeckametodika.cz/004historie/04historie.htm> [2] Sportovní lezení [online]. [cit. 2010-01-30]. URL: <http://sportovnilezeni.wz.cz/> [3] Dolní jištění [online]. [cit. 2010-01-30]. URL: <http://www.horolezeckametodika.cz/008doljist/08doljist.htm> [4] Pádový faktor [online]. [cit. 2010-01-30]. URL: <http://metodika.horoklub.cz/indexx.php?id=e_technika/e_04> [5] Lano [online]. [cit. 2010-01-30]. URL: <http://www.horolezeckametodika.cz/064lano/horolano.htm> [6] RUSŇÁK, K., Práce a energie [online]. [cit. 2010-01-31]. URL: <http://www.kfy.zcu.cz/rusnak/otazky/prace.a.en/prace.a.en.pdf> [7] Hooke s law [online]. [cit. 2010-01-31]. URL: <http://en.wikipedia.org/wiki/hooke's_law> [8] KRATOCHVÍL, P., Bungee jumping. [9] GOLDSTONE, R., The Standard Equation for Impact Force. 17