UDL 2004/2005 Cvičení č.6 řešení Strana 1/5

UDL 2004/2005 Cvičení č.6 řešení Strana 1/5 Opakování pojmů relace a funkce Relace R nad množinami A, B je podmnožina kartézského součinu: R A B Kartézský součin množin A = {a 1, a 2,, a 4 }, B = {b 1, b 2,, b 5 } se rovná A B = {<a 1, b 1 >, <a 1, b 2 >, <a 1, b 3 >, <a 1, b 4 >, <a 1, b 5 >, <a 2, b 1 >, <a 2, b 2 >, <a 2, b 3 >, <a 2, b 4 >, <a 2, b 5 >,, <a 4, b 5 >} a 1 b 1 Relace je podmnožinou kartézského součinu AxB a 2 b 2 a 3 b 3 R A B = {<a 1, b 1 >, <a 1, b 2 >, <a 3, b 3 >, <a 3, b 4 >, <a 3, b 5 >, <a 4, b 4 >} a 4 b 4 b 5 Zobrazení (parciální) f z množiny A do množiny B je binární relace [f A B] o níž platí, že každému prvku a A je přiřazen nejvýše jeden prvek b B, že <a, b> f, zapisuje se často b = f(a) F: A B (zobrazení F z množiny A do množiny B) a b c [(b = f(a) c = f(a)) (b = c)] zobrazení je zprava jednoznačné vzor (def.obor) obraz (obor hodnot) a 1 b 1 není zobrazení, není zprava jednoznačné b 2 a 1 b 1 je zobrazení, zobrazení je zprava jednoznačné a 2 b 2 F(a 1 ) = b 1, F(a 2 ) = b 1, F(a 3 ) = b 3 a 3 b 3 V PL1 používáme jako interpretaci funkčních symbolů formulí pouze totální funkce: ke každému prvku a A existuje právě jeden prvek b B. a b [F(a) = b] a b c [((f(a) = b) (f(a) = c)) (b = c)] Srovnání role predikátových P a funkčních f symbolů symbol ve formuli vyhodnocení Arita aplikován na arg. tvoří: interpretace symbolu formule / termu atomickou formuli n = 2 P(x,y) vztah (binární relace) n = 1 P(x) vlastnost (podmnož. universa) pravdivostní hodnota n = 0 T, F logic.konstanta 0 nebo1

term n = 2 f(x,y) binární funkce: U U U n = 1 f(x) unární funkce: U U prvek universa n = 0 a, b (ind. konstanty) prvek universa UDL 2004/2005 Cvičení č.6 řešení Strana 2/5 1. Relace a funkce Promyslete příklady na relace a funkce s různou aritou nad určitým universem. (Např.: universum U = množina individuí, relace být starší, být větší, mít rád,..., funkce otec, matka,... universum U = množina reálných čísel, relace >, <,,, funkce druhá odmocnina, součet, podíl, atd.) 2. Vyjádřete slovně následující skutečnosti za předpokladu, že predikát P znamená mít rád (kdo, koho), individuová konstanta a znamená Marie a individuová konstanta b Karel. a) x y P(x,y) Někdo má rád všechny. b) y x P(x,y) Někoho mají rádi všichni. c) x y P(x,y) Každý má někoho rád. d) x y P(x,y) Všichni mají rádi všechny. e) x P(x,a) Všichni mají rádi Marii. f) y P(b,y) Karel má rád všechny. g) x y P(x,y) Někdo má někoho rád. 3. Rozhodněte, zda vyjádříme následující skutečnosti pomocí predikátového nebo funkčního symbolu a) Otec f(x) f U : U U (funkce otec ) b) Být rodičem P(x, y) P U U x U (vztah být rodič : x je rodičem y)

c) Mít hodinu(předmět) v jaké místnosti, který den, s kterým učitelem P(x, y, z, z ) P U U x U x U x U (relace rozvrh ) d) Součet dvou čísel f(x, y) f U : U x U U (funkce sčítání ) e) Být spokojen s čím P(x, y) P U U x U (vztah být spokojen, x je spokojen s y) UDL 2004/2005 Cvičení č.6 řešení Strana 3/5 f) Sudá čísla P(x) P U U (množina sudých čísel) g) Dělitelnost dvěma P(x, a) P U U x U (relace být dělitelný : x je dělitelné a), a U (konstanta 2) h) Modulo 2 (zbytek po dělení 2) f(x, a) f U : U x U U (funkce modulo : vrací zbytek po dělení čísla x číslem a), a U (konstanta 2) i) Násobek dvou čísel je dělitelný dvěma P(f(x, y), a) P U U x U (relace být dělitelný : P(x,y) x je dělitelné y), f U : U x U U (funkce násobení ), a U (konstanta 2) j) Být větší P(x, y) P U U x U (vztah být větší ) k) Následník, tj. přičtení 1 f(x) f U : U U (funkce následník ) 4. Dokažte, že následující formule nejsou ekvivalentní (tj. najděte interpretaci, ve které je pravdivá jedna z nich, ale ne druhá): x y P(x,y) y x P(x,y) Jaký je mezi těmito formulemi vztah?

Toto je model obou formulí 1. U = přirozená čísla N 2. P U = existuje nejmenší přirozené číslo (1. formule) a ke každému číslu y existuje x takové, že y x (2. formule) Toto je model formule y x P(x,y) 1. U = přirozená čísla N 2. P U = na nekonečné množině přirozených čísel ke každému číslu y existuje nějaké číslo x, které je větší než y, x y. Toto není model formule x y P(x,y) 1. U = přirozená čísla N 2. P U = neexistuje největší přirozené číslo UDL 2004/2005 Cvičení č.6 řešení Strana 4/5 Další modely: U = množina lidí ve firmě, P U = být nadřízeným (je modelem pro obě formule: existuje jeden šéf, který je nadřízen všem ostatním 1. formule, a každý ve firmě má svého nadřízeného) U = množina lidí, P U = být rodičem (je modelem pro formuli y x P(x,y), ale ne pro formuli x y P(x,y) každý člověk má rodiče, ale neexistuje jeden rodič pro všechny lidi. Je možno říct, že pokud existuje nějaké x takové že pro všechna y je P(x,y), pak ke každému y existuje x takové, že P(x,y), tedy platí x y P(x,y) = y x P(x,y), ale ne obráceně. 5. Zapište v jazyce PL1 následující výroky a najděte jejich modely a také interpretace, ve kterých nejsou pravdivé : Množiny A a B mají neprázdný průnik. Některá A jsou B. (model: U= N, A U = sudá čísla, B U = prvočísla Pro e(x)=2 platí, že je sudé číslo a prvočíslo. x(a(x) B(x)) nepravdivá interpretace: Existuje číslo, které je zároveň sudé a liché. )

Všechna čísla jsou sudá nebo lichá. x(a(x) B(x)) (model: U= N, A U = sudá čísla, B U = lichá čísla nepravdivá interpretace: U=R Všechna reálná čísla jsou sudá nebo lichá.) Množina A je podmnožinou množiny B. x(a(x) B(x)) Všechna A jsou B. (model: U= reálná čísla, A U = přirozená čísla, B U = racionální čísla nebo Všichni vodníci jsou prezidenti, tedy A U = Φ. nepravdivá interpretace: U= reálná čísla, A U = racionální čísla, B U = přirozená čísla) Žádné A není B. x(a(x) B(x)) Množina A je podmnožinou komplementu množiny B. (model:, A U = sudá čísla, B U = lichá čísla nepravdivá interpretace: Žádné prvočíslo není sudé.) Některá A nejsou B. x(a(x) B(x)) (model: U= reálná čísla, A U = racionální čísla, B U = přirozená čísla nepravdivá interpretace: U= reálná čísla, A U = přirozená čísla, B U = racionální čísla) UDL 2004/2005 Cvičení č.6 řešení Strana 5/5 6. Najděte model pro následující formule a) x R(x, f(x)) R U U x U (relace být menší ) f U : U U (funkce druhá mocnina ) b) x R(x, f(x)) R U U x U (relace být menší nebo rovno ) f U : U U (funkce následník x + 1 ) c) x y [P(x, y) Q(f(x), y)] P U U x U (relace větší nebo rovno ) Q U U x U (relace být větší nebo rovno ) f U : U U (funkce druhá mocnina )

d) x y [P(x,y) Q(f(x), y)] P U U x U (relace rovno ) Q U U x U (relace být menší ), f U : U U (funkce následník, x + 1 ) e) x y [V(x,y)] V U U x U (relace ) (nejmenší přirozené číslo) f) y x [ V(x,y)] V U U x U (relace < ) (neexistuje největší přirozené číslo)