6. Bez použití funkcí min a max zapište formulí predikátového počtu tvrzení, že každá množina

Transkript

1 Instrukce: Příklady řešte výhradně elementárně, bez použití nástrojů z diferenciálního a integrálního počtu. Je-li součástí řešení úlohy podmnožina reálných čísel, vyjádřete ji jako disjunktní sjednocení intervalů a izolovaných bodů. Příklad 1 1. Zapište formulemi predikátového počtu tvrzení, že každá dvě přirozená čísla mají největšího společného dělitele. Můžete použít relaci a b, tedy a dělí b.. Zapište definici prvočísla ve tvaru Číslo n nazýváme prvočíslem, právě když (formule predikátového počtu) bez použití relace a b, tedy a dělí b. 3. Zapište definici složeného čísla ve tvaru Číslo n nazýváme složené, právě když (formule predikátového počtu). Můžete použít relaci a b, tedy a dělí b. 4. Zapište formulemi predikátového počtu tvrzení, že každé přirozené číslo lze zapsat jako součet nebo rozdíl druhých mocnin dvou různých přirozených čísel, a negaci tohoto tvrzení. 5. ( ) Zapište formulemi predikátového počtu tvrzení, že pro každou trojici Pythagorejských čísel (tj. přirozených čísel, která jsou délkami stran jednoho pravoúhlého trojúhelníku) platí, že jedno ze dvou menších čísel (délek odvěsen) lze vyjádřit jako rozdíl druhých mocnin dvou přirozených čísel a druhé jako dvojnásobek součinu týchž čísel. 6. Bez použití funkcí min a max zapište formulí predikátového počtu tvrzení, že každá množina reálných čísel má prvek, který není v dané množině největší ani nejmenší, a jeho negaci. 7. Sestavte tabulku závislosti parity funkce f g na paritě f a g a dokažte. 8. Vyjádřete hodnotu arctg 3 arctg 1 bez použití cyklometrických funkcí. 9. Vyjádřete hodnotu arctg( 1) bez použití cyklometrických funkcí. Návod: zvažte rozšíření dvěma. 10. ( ) Vyjádřete hodnotu arctg( 3) bez použití cyklometrických funkcí. 11. Nalezněte funkce f a g, pro které platí arccos = f arcsin = arcsin g na intervalu 0, 1 a vyjádřete je bez použití goniometrických a cyklometrických funkcí. 1. Nalezněte funkce f a g, pro které platí arccotg = f arctg = arctg g na R + a vyjádřete je bez použití goniometrických a cyklometrických funkcí. 13. Nalezněte funkci g, pro kterou platí arctg = arcsin g na R a vyjádřete ji bez použití goniometrických a cyklometrických funkcí. 14. Nalezněte funkci g, pro kterou platí arcsin = arctg g na ( 1, 1) a vyjádřete ji bez použití goniometrických a cyklometrických funkcí.

2 15. Nalezněte funkci g, pro kterou platí arccotg = arccos g na R a vyjádřete ji bez použití goniometrických a cyklometrických funkcí. 16. Nalezněte funkci g, pro kterou platí Příklad arccos = arccotg g na ( 1, 1) a vyjádřete ji bez použití goniometrických a cyklometrických funkcí. 1. Nalezněte množinu všech x R, pro která platí. Nalezněte množinu všech x R, pro která platí 3. Nalezněte množinu všech x R, pro která platí 4. Nalezněte množinu všech x R, pro která platí 5. Nalezněte množinu všech x R, pro která platí x + 1 (x )(x + 3) < x 3 (x + )(x 1). x + 3 x 1 x + 3 x + 3x +. x + 5 x x 6 x + 7 x + x 6. arccos x + 1 x 1 arccos x 1 x 0. log 1 (x + 1) log 1 (x + ) > log 1 6. Nalezněte množinu všech x R, pro která platí 7. Nalezněte množinu všech x R, pro která platí 8. Nalezněte množinu všech x R, pro která platí 9. Nalezněte množinu všech x R, pro která platí 10. Nalezněte množinu všech x R, pro která platí 11. Nalezněte množinu všech x R, pro která platí sin x sin x 0. sin x < cos x. sin x tg x. cos x < cos x. cos x 4x π 0. cos x x 1 0. x 3 x.

3 1. Nalezněte množinu všech x R, pro která platí Příklad 3 1. Nalezněte maximální definiční obor funkce x tg x x 1 0. arcsin 1 x ln(x x ). Nalezněte maximální definiční obor funkce 4x 5 x + 4 arccotg ln(x + 1) 3. Nalezněte maximální definiční obor funkce e arctg x ln ( ) 3 π arcsin(x 3) Nalezněte maximální definiční obor funkce x + x arccos(x x 1) 5. Nalezněte maximální definiční obor funkce e x + 1 ln ( 3π (3 arccos x π)) 6. Nalezněte maximální definiční obor funkce ln arccos(1 x ) + x 4 x 7. Nalezněte maximální definiční obor funkce + x 4 x arccos x x Nalezněte maximální definiční obor funkce ln cos x arccos(x x) 9. Nalezněte maximální definiční obor funkce arcsin(x 1) ln x

4 10. Nalezněte maximální definiční obor funkce arcsin(x x) ln ln x 11. Nalezněte maximální definiční obor funkce arcsin x 3 x 5 ln ln x 1. Nalezněte maximální definiční obor funkce ( ln tg x 3 ) + 3 x cos x tg x Příklad 4 1. Funkce f je dána předpisem x 1 x + 1. Funkce f je dána předpisem x Funkce f je dána předpisem log x + 1 (, x 1, 3. Určete D(f), H(f), sup f, inf f, max f, min f, maximální intervaly monotonie f a maximální intervaly konvexnosti a konkávnosti f. Dále rozhodněte, zda je funkce sudá nebo lichá a zda existuje f 1, a načrtněte graf f. 4. Funkce f je dána předpisem log x Funkce f je dána předpisem log (1 x)

5 6. Funkce f je dána předpisem 1 x 1 7. Funkce f je dána předpisem 4 x pro všechna x R, pro která má výraz vpravo smysl. Určete D(f), H(f), sup f, inf f, max f, 8. Funkce f je dána předpisem π arccos(x + 1) 3 9. Funkce f je dána předpisem π 3 arctg x 10. Funkce f je dána předpisem arccotg(x 1) 3 4 π, x (, Určete D(f), H(f), sup f, inf f, max f, min f, maximální intervaly monotonie f a maximální intervaly konvexnosti a konkávnosti f. Dále rozhodněte, zda je funkce sudá nebo lichá a zda existuje f 1, a načrtněte graf f. 11. Funkce f je dána předpisem π arctg 4 x 1. Funkce f je dána předpisem π 6 arcsin(x 1) 13. Funkce f je dána předpisem arccotg(1 x) π 3 Příklad 5

6 1. Nalezněte maximální podmnožiny R, na nichž je prostá funkce arctg(x x),. Nalezněte maximální podmnožiny R, na nichž je prostá funkce ln x, 3. Nalezněte maximální podmnožiny R, na nichž je prostá funkce ex+ e x, 4. Nalezněte maximální podmnožiny R, na nichž je prostá funkce ln x ln x, 5. Nalezněte maximální podmnožiny R, na nichž je prostá funkce ex + e x, 6. Nalezněte maximální podmnožiny R, na nichž je prostá funkce 4(x 1)x (x + 1), 7. Nalezněte maximální podmnožiny R, na nichž je prostá funkce x (x ), 8. Nalezněte maximální podmnožiny R, na nichž je prostá funkce x 5 x + 3, 9. Nalezněte maximální podmnožiny R, na nichž je prostá funkce x x, 10. Nalezněte maximální podmnožiny R, na nichž je prostá funkce 1 ( x 1 ), x

7 11. Nalezněte maximální podmnožiny R, na nichž je prostá funkce x + 1 x, 1. Nalezněte maximální podmnožiny R, na nichž je prostá funkce x x + 1, 13. Nalezněte maximální intervaly, na kterých je prostá funkce f daná předpisem log 4x log x pro všechna x R, pro která má výraz vpravo smysl. K restrikcím f na tyto intervaly nalezněte funkce inverzní a určete definiční obory a obory hodnot těchto inverzních funkcí.