Úvod do teorie měření Eva Hejnová
Program semináře 1. Základní pojmy - metody měření, druhy chyb, počítání s neúplnými čísly, zaokrouhlování 2. Chyby přímých měření - aritmetický průměr a směrodatná odchylka, určování intervalů spolehlivosti (mezní chyba, pravděpodobná chyba) 3. Chyby měřidel a metody měření vybraných fyzikálních veličin, určení celkové chyby přímých měření
Literatura Novák, R. Úvod do teorie měření. Ústí nad Labem: UJEP, 2003 Sprušil, B., Zieleniecová, P.: Úvod do teorie fyzikálních měření. Praha: SPN, 1985 Brož, J. a kol. Základy fyzikálních měření I. Praha: SNTL, 1983. Nováková, D., Novák R. Základy měření a zpracování dat. Praha: Vydavatelství ČVUT,1999. Další informace k předmětu lze nalézt na http://physics.ujep.cz/~ehejnova/index Další studijní texty Chyby měřidel Lineární regrese Metody měření Nepřímá měření Protokol - zásady vypracování Vzorový protokol Studijní opora - Fyzikální praktikum A
Podmínky k získání zápočtu Podmínkou pro získání zápočtu je vyřešení úloh zadaných semináři (termín odevzdání nejpozději do 13. 2. 2017).
Základní pojmy Měření - empirická (experimentální) činnost, jejímž výsledkem je určení nějaké fyzikální veličiny. Soustava jednotek SI (samostatně zopakovat) - základní jednotky (m, kg, s, A, K, cd) - doplňkové jednotky (rovinný a prostorový úhel) - odvozené jednotky (tlak, napětí, ) - vedlejší jednotky (min, h, )
Metody měření Správnost měření je dána způsobem, jakým veličiny měříme, a přístroji, které použijeme. Dělení metod - přímé a nepřímé (měření hustoty) - statické a dynamické (měření tuhosti pružiny) - absolutní a relativní
Chyby měření Chyba měření (nově se říká nejistota měření): naměříme jinou hodnotu, než je hodnota správná (správnou (přesnou) hodnotu nikdy nemůžeme měřením zjistit). Zdroje chyb: měřený objekt prostředí měřicí metoda měřicí zařízení pozorovatel (experimentátor)
Druhy chyb 1
Úloha: Uspořádejte následující měření v pořadí od nejpřesnějšího k nejméně přesnému: 9,7 m; 13 m; 1,45 m; 2,1 m; 0,005 m Pravidlo: Poslední číslice v zápisu udává, s jakou přesností se měřilo. Když se měří s přesností na některou jednotku, nemá chyba větší než polovina této jednotky. být Např. 12,5 m < 13,0 m < 13,5 m Také lze uvažovat jako chybu celou jednotku. Např. 12 m < 13 m < 14 m
Druhy chyb 2 Absolutní a relativní chyby mohou být - systematické - náhodné - hrubé systematické chyby opakované měření ovlivňuje výsledek stejným způsobem, tj. způsobují chybu stejné velikosti a stejného znaménka, vykazují nějakou pravidelnost náhodné chyby (statistické) nemají žádnou pravidelnost, nelze zjistit přesnou příčinu odchylek, původ chyb je v náhodě, k určení chyb používáme počtu pravděpodobnosti a statistických metod hrubá chyba zvláštní případ náhodné chyby, z dalšího zpracování ji vylučujeme, odhadujeme ji pomocí tzv. 3σ kritéria.
Střelba do terče Jaký je rozdíl mezi střelbou a měřením fyzikální veličiny?
Počítání s neúplnými čísly 1 Aproximace čísla A (neúplné číslo): A = a ± nebo A a, a + nebo a A a+ Aproximace čísla B (neúplné číslo): B = b ± β nebo B b β, b + β nebo b β B b + β Součet neúplných čísel odvození: a + b β A + B a+ + (b + β) Pravidlo: a + b ( +β) A + B a + b + ( + β) Při sčítání dvou neúplných čísel se sčítají jejich absolutní chyby. α + β relativní chyba součtu dvou veličin δ (A + B) = a + b
Počítání s neúplnými čísly 2 Rozdíl neúplných čísel - odvození a b + β A B a+ (b β) Pravidlo a b +β A B a b + ( + β) Při odečítání dvou neúplných čísel se sčítají jejich absolutní chyby. Důsledek!!: Při nepřímém měření veličiny, která je dána rozdílem dvou veličin, se absolutní chyby sčítají a rozdíl veličin tak může být zatížen velkou relativní chybou. relativní chyba rozdílu α + β δ (A B) = a b
Počítání s neúplnými čísly 3 Úloha Určete absolutní a relativní chyby součtu a rozdílu veličin: A = (8,0 ± 0,2) cm, B = (6,0 ± 0,3) cm
Úloha - řešení Počítání s neúplnými čísly 4 A + B = (14,0 ± 0,5) cm, δ A + B = 3,57 % A B = (2,0 ± 0,5) cm, δ A B = 25,00 %
Počítání s neúplnými čísly 5 Součin dvou neúplných čísel - odvození: a. b β A. B a+. (b + β) Levá strana = ab b aβ + β β zanedbáme = ab - (a β + b ) Podobně se upraví pravá strana (tj. horní aproximace) ab + b + aβ + β = ab + (a β + b ) Pravidlo: A. B = a. b ± (a β + b ) Relativní chyba aβ+bα ab = α a + β b Při násobení dvou neúplných čísel se sčítají jejich relativní chyby. relativní chyba součinu dvou veličin δ (A. B) = δ (A) + δ (B)
Podíl dvou neúplných čísel - odvození a b + β A a + B b β a. b β A a+. b+β b+β b β B b β b+β Počítání s neúplnými čísly 7 Levá strana: ab bα aβ+αβ b 2 β 2 zanedbáme členy αβ a β 2 Po úpravě je levá strana a b pravá strana analogicky a b aβ+ bα b 2. + aβ+ bα b 2 Relativní chyba aβ+ bα Pravidlo: A B = a aβ + b ± b b 2 b 2 : a b = = α a + β b Při dělení dvou neúplných čísel se sčítají jejich relativní chyby. relativní chyba podílu dvou veličin δ (A/B) = δ (A) + δ (B)
Počítání s neúplnými čísly 8 Úloha Určete absolutní a relativní chyby součinu a podílu veličin: A = (8,0 ± 0,2) cm, B = (6,0 ± 0,3) cm
Samostatný úkol: Určete absolutní a relativní chybu hustoty kužele: m = (153 ± 4) g, r = 1,60 ± 0,08 cm, v = (6,39 ± 0,45) cm
Počet platných číslic (míst) 1 Pravidla 1. První nenulová číslice (zleva) v zápisu daného čísla zaujímá nejvyšší platné místo. Příklad V následujících číslech je číslice zaujímající nejvyšší platné místo podtržena: 130,05; 0920; 0,0086. 2. U čísel s desetinnou čárkou zaujímá poslední udaná číslice (včetně nuly) nejnižší platné místo. Příklad 123,05; 0,0035;123,00
Počet platných číslic (míst) 2 Pravidla 3. U čísel bez desetinné čárky zaujímá nejnižší platné místo poslední nenulová číslice. Příklad 0120; 13; 13 000 4. Počet platných míst nějakého čísla je počet číslic mezi nejvyšším a nejnižším platným místem včetně. Příklad Následující čísla mají čtyři platná místa: 1 234; 123 400; 123,4; 1,001; 1,000; 10,10; 0,000 1010;100,0.
1. Určete nejvyšší (podtrhněte) a nejnižší (zakroužkujte) platné místo čísel. 0,013 1,00 0,07600 120 6 015 60 000 Úlohy platná místa 2. Kolik platných míst mají následující čísla? 10 234 20, 01 13,00 2 012,0 100,100 0,000 50
Pravidla Zaokrouhlování 1 1. Absolutní chybu výsledku zaokrouhlujeme na jedno, nejvýše na dvě platná místa. Pokud výsledek nepoužíváme k dalším výpočtům, stačí se omezit na jedno platné místo. Pokud s ním provádíme další výpočty, je lepší uvést dvě platná místa, abychom snížili chyby ze zaokrouhlování. 2. Aritmetický průměr zaokrouhlíme na číslici téhož řádu, jako je nejnižší platné místo chyby. 3. Výsledek zapíšeme ve tvaru a.10 n, kde a 1, 10). Příklad Správně zapsané výsledky měření: a = (23,5 0,6) mm nebo a = (2,35 0,06).10-2 m P = (9 600 100) W nebo P = (9,6 0,1) kw
Opravte nesprávně zapsaný výsledek měření: r = 0,587234810 0,009932871 Úloha - zaokrouhlování
Opravte nesprávně zapsaný výsledek měření: r = 0,587234810 0,009932871 Úloha zaokrouhlování (řešení) Oprava: není zaokrouhlena chyba není zaokrouhlen aritmetický průměr není uvedena jednotka není vyznačena závorka, označující, že se jednotka vztahuje i k aritmetickému průměru. Správně má být: r (0,59 0,01) cm nebo r (5,9 0,1) mm nebo r (5,9 0,1).10-3 m.
Zaokrouhlování 2 Pravidla 1. Při sčítání a odečítání čísel se výsledek zaokrouhluje na poslední platné místo toho řádu, který je u všech sčítanců platný. Příklad 15,6 + 2,35 + 0,3 = 18,25 18,3 2. Při násobení a dělení čísel je možno u výsledku zapsat nanejvýš tolik platných cifer, kolik jich má číslo s nejmenším počtem platných cifer. Příklad 24,152. 3,46 = 83,565 92 83,6
Cvičení 1 Svinovacím metrem měříme šířku knihy a šířku stolu. Které měření má větší absolutní a které větší relativní chybu (nejistotu)?
Cvičení 2 Naměřený proud 425 ma byl změřen s relativní chybou (nejistotou) 1,2 %. Jaká je absolutní chyba? Zapište konečný výsledek ve správném tvaru.
Cvičení 3 Opravte nesprávně zapsaný výsledek měření: J = (32893,4 275) kg.m 2 Konečný výsledek zapište ve správném tvaru a chybu zaokrouhlete nejprve na dvě platná místa (pro mezivýpočty) a poté na jedno platné místo (pro konečné zaokrouhlení).
Cvičení 4 Zaokrouhlete výsledky na správný počet platných míst. 3,060 + 2,30 + 7,00 10,23 8,2 10,28. 5,0 12 000 : 5,21