MODELOVÁÍ V MECHAICE OSTRAVA, ÚOR 26 SIMULACE ZATĚŽOVACÍ ZKOUŠKY ŽELEZOBETOOVÉHO OSÍKU S UVAŽOVÁÍM VLIVU EJISTOT SIMULATIO OF LOADIG TEST OF RC BEAM TAKIG ITO ACCOUT UCERTAITIES Aleš Florian 1, Jan Pěnčík 2 Abstract Sophisticated computational models based on FEM and modern simulatiom techniques taking into accont uncertainties in input variables are able to simulate loading tests on computers. The simulation of loading test of RC beam is presented. Totally 33 input variables are supposed to be random ones. Updated Latin Hypercube Sampling technique is used for simulation. 1 Úvod Betonové prvky konstrukcí často vykazují nadměrnou přítomnost trhlin jakožto důsledek poruch vyvolaných změnou v užívání konstrukce, zvýšením či lokální koncentrací zatížení, degradací stavebních materiálů (koroze výztuže, karbonatace betonu apod.), změnou vlastností obklopujícího prostředí, nevhodně či nepřesně provedeným statickým výpočtem apod. V současné době již existuje řada výpočtových systémů založených na metodě konečných prvků, které jsou schopny respektovat s dostatečnou přesností a výstižností reálné jevy probíhající na úrovni použitých materiálů. Tyto systémy jsou tak z obecného hledisky schopny simulovat na počítači experimentální testy prováděné na reálně existujících konstrukcích. Pokud ovšem chceme simulovat experimentální testy, nevystačíme pouze s výstižným modelem chování konstrukce. Reálné experimentální testy v sobě totiž přirozeně zahrnují nejistoty ve vstupních veličinách, což jakkoliv přesný výpočtový model není schopen respektovat. Proto je nutné použít numerické simulační metody [1], známé ze spolehlivostních analýz, které jsou schopny tyto nejistoty do výpočtu bez problémů zahrnout. Příspěvek prezentuje výsledky simulace zatěžovací zkoušky mezní únosnosti železobetonového nosníku s dílčími odtíženími namáhaného čtyřbodovým ohybem. Výpočtový model konstrukce je vytvořen v systému ATEA. Pro modelování nelineárního chování betonu je použit materiálový model SBETA a betonářská výztuž je modelována s pomocí bilineárního modelu bez zpevnění. Pro popis chování betonu v tahu a modelování tahových trhlin je využita teorie lomové mechaniky a metoda fixovaných trhlin. Simulace respektuje vliv nejistot ve vstupních veličinách a jejich náhodnou proměnlivost. Celkem 33 vstupních veličin (rozměry a geometrie konstrukce, materiálově-mechanické vlastnosti materiálů, pozice podélné výztuže a třmínků v konstrukci atd.) je považováno za náhodné veličiny popsané obecně tříparametrickými 1 Doc. Ing. Aleš Florian, CSc., VUT v Brně, fakulta stavební, ústav stavební mechaniky, e-mail-florian.a@fce.vutbr.cz 2 Ing. Jan Pěnčík, PhD., VUT v Brně, fakulta stavební, ústav stavební mechaniky, e-mail-pencik.j@fce.vutbr.cz 1
MODELOVÁÍ V MECHAICE OSTRAVA, ÚOR 26 Obr. 1: Výpočtový model železobetonového nosníku rozděleními pravděpodobnosti. Pro potřeby zavedení vlivu nejistot do výpočtu je použita moderní simulační metoda Updated Latin Hypercube Sampling [2] s 5 simulacemi, a pro potřeby posouzení vlivu jednotlivých vstupních veličin na sledované chování konstrukce je použit postup využívající Spearmanův koeficient pořadové korelace [3]. 2 umerické simulační metody umerické simulační metody jsou schopny respektovat a zahrnou do výpočtu nejistoty ve vstupních veličinách. Zdroje nejistot jsou různé a pro naše potřeby je můžeme rozčlenit do čtyř skupin: 1. nejistoty vyplývající ze skutečnosti, že všechny vstupní veličiny popisující rozměry a geometrii konstrukce, fyzikálně-mechanické vlastnosti materiálů, zatížení, okrajové podmínky, vliv obklopujícího prostředí atd. jsou svojí podstatou náhodné veličiny či náhodné procesy, 2. nejistoty vyplývající z naší neúplné znalosti o probíhajících jevech a procesech v konstrukci, neznalosti statistických informací o vstupních veličinách atd., 3. nejistoty vyplývající z nepřesnosti použitých výpočtových modelů modelujících dílčí jevy, např. časové změny vlastností betonu a oceli, modelování vzniku a postupného rozevírání tahových trhlin, vliv vyztužení konstrukce na fyzikálněmechanické vlastnosti betonu apod., 4. nejistoty vyplývající z konkrétní realizace reálného experimentálního testu, např. konkrétní realizace podepření, aplikování zatížení, umístění měřících přístrojů a jejich kalibrace, manipulace s testovaným prvkem, přesnost vyhodnocování apod. Jednotlivé vstupní veličiny zatížené nejistotami jsou v dalším považovány za náhodné veličiny či procesy a jsou popsány příslušným rozdělením pravděpodobnosti a statistickými parametry. Použití simulačních metod poté vede k opakovanému řešení úlohy s vhodně vygenerovanými hodnotami vstupních veličin. Výsledkem simulace je, stejně jako v případě experimentálního testu, statistický soubor dat. Jeho dalším Obr. 2: Statické zatěžovací schéma 2
MODELOVÁÍ V MECHAICE OSTRAVA, ÚOR 26 Č. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3 31 32 33 veličina modul pružnosti betonu pevnost betonu v tlaku pevnost betonu v tahu lomová energie Poissonův souč. betonu objemová hmotnost betonu mez kluzu oceli R8 mez kluzu oceli R1 mez kluzu oceli R14 modul pružnosti oceli Poissonův souč. oceli výška nosníku šířka nosníku poloha smykové výztuže plocha výztuže u dolního povrchu plocha výztuže u horního povrchu plocha smykové výztuže průměr 2532 27,8 2,22 5,51E-5,2 25 569,7 675,8 588,3 21,3,3,187,4,4,4,4,4,4,4,4,28,28,28,28,28,28,28,28, 1, 1, 1, var. koef.,14979,11712,17567,26925,8584,2575,329,526,386,244,2861,11,1945,7511,7511,7511,7511,7511,7511,7511,7511,17857,17857,17857,17857,17857,17857,17857,17857 /,4,4,4 šikmost -,5,2,3 -,5,1,1,1,1,1,1,1,1 rozdělení L L L L L L L L L L L L L L L Tab. 1: Statistické parametry vstupních veličin statistickým zpracováním získáme požadované informace o sledovaném chování konstrukce. 3 Popis studie Simulace zatěžovací zkoušky mezní únosnosti železobetonového nosníku s dílčími odtíženími namáhaného čtyřbodovým ohybem je provedena pomocí systému ATEA, který umožňuje analyzovat železobetonové konstrukce při uvažování materiálově nelineárního chování betonu a betonářské výztuže. Během výpočtu program např. dovoluje sledovat monitorovaná místa resp. hodnoty sil, posunů, reakcí, napětí, poměrných deformací atp. a zatěžovacím diagramu lze i během výpočtu sledovat a kontrolovat odezvu konstrukce na předepsanou historii zatěžování. Program umožňuje uživateli použít materiálové modely betonu, které velmi dobře vystihují specifické chování tohoto nehomogenního materiálu a umožňují tak realisticky simulovat skutečné chování konstrukce. 3
MODELOVÁÍ V MECHAICE OSTRAVA, ÚOR 26 k 85 8 75 7 65 6 55 5 45 4 35 3 25 2 15 1 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2 21 22 23 24 mm průměr,1,99 Obr. 3: Průhyby uprostřed rozpětí V systému ATEA je vytvořen parametrický výpočtový model železobetonového nosníku (obr. 1). Součástí výpočtového modelu je kromě základní betonové části také betonářská výztuž a rovněž roznášecí desky uvažované v místě uložení nosníku a v místě působení zatížení. Základním parametrem definujícím geometrii nosníku je výška a šířka nosníku. Poloha horní a dolní betonářské výztuže v nosníku je definována pomocí 16 parametrů určujících v 8 úsecích, na které je nosník rozdělen, krytí horní a je respektována přítomnost smykové výztuže. Při analýze je nosník kromě vlastní tíhy zatížen osamělými silami působícími ve čtvrtině rozpětí (obr. 1 a 2). Řešení je provedeno po krocích, ve kterých je nosník zatěžován popř. odtěžován, o velikost 1k. Při výpočtu jsou nosníky nejprve zatíženy na úroveň 5k a odlehčeny na 2k, následně zatíženy na 7k a odtíženy na 2k, a nakonec zatěžovány až do jejich porušení.,1 -,1 -,2 součinitel citlivosti -,3 -,4 -,5 -,6 -,7 -,8 1, 2, 3 4 9 1 12 31 -,9 5 1 15 2 25 3 35 4 45 5 55 6 65 7 75 k Obr. 4: Součinitelé citlivosti průhybů uprostřed rozpětí v závislosti na zatížení 4
MODELOVÁÍ V MECHAICE OSTRAVA, ÚOR 26,7,6,5,4,3,2,1 -,1 -,2 -,3 -,4 1 1, 2, 3 9 12 19 31 Obr. 5: Součinitelé citlivosti mezní únosnosti nosníku 4 áhodné vstupní veličiny Jako náhodné vstupní veličiny je uvažováno 33 veličin, viz tab. 1 (jednotky v MPa, m, m2, a kg/m3). Jejich možná náhodná proměnlivost byla stanovena velmi podrobným výpočtem. U řady veličin je založen na údajích zjištěných a naměřených při experimentálním vyšetřování nosníků, které byly statisticky vyhodnoceny. U zbývajících veličin se vycházelo z odborného odhadu resp. údajů dosažitelných v související literatuře [3]. Takto získané statistické parametry vstupních veličin respektují nejenom jejich objektivní náhodnou proměnlivost, ale i vliv nedodržení nominálních parametrů na stavbě (vliv činnosti člověka) a objektivní vliv naší vlastní neznalosti statistických parametrů v důsledku jejich nedosažitelnosti, nedostatečnému experimentálnímu výzkumu či neznalosti skutečné historie namáhání. Předpokládá se vzájemná statistická nezávislost vstupních veličin s výjimkou materiálově-mechanických vlastností betonu (veličiny 1 až 3), které jsou uvažovány plně funkčně závislé. Statistické parametry vstupních veličin jsou uvedeny v tab. 1. 5 Výsledky Pro prezentaci je zvoleno vyhodnocení průběhu průhybů uprostřed rozpětí v závislosti na zatížení a mezní únosnost nosníku. Připomeňme ještě, že vedle těchto veličin byla sledována také napětí a poměrné deformace v řadě bodů po výšce průřezu a průhyby konstrukce v místech aplikace zatížení apod. 5.1 Průhyb uprostřed rozpětí Výsledky jsou uvedeny v obr. 3 a 4 obr. 3 je vykreslena průměrná hodnota (mean) průhybů uprostřed rozpětí a 1% a 99% kvantily (,1,,99) získané simulací experimentálního testu. Interval mezi křivkami obou kvantilů vymezuje oblast, v které se průhyby mají vyskytovat s pravděpodobností 98%. Existuje ještě 1% pravděpodobnost, že průhyb bude menší resp. větší než 1% resp. 99% kvantil. V obr. 4 jsou vyneseny součinitele citlivosti, které popisují, jaký vliv mají nejistoty ve vstupních veličinách na sledovaný průhyb nosníku a to vždy pro příslušnou hladinu zatížení. 5
MODELOVÁÍ V MECHAICE OSTRAVA, ÚOR 26 Vyneseny jsou výsledky pouze pro ty veličiny, jejichž vliv je možné považovat za alespoň minimální. Čím větší hodnota součinitele citlivosti v absolutní hodnotě, tím větší vliv daná veličina má. Znaménko navíc určuje, zda je tento vliv pozitivní (se zvětšováním vstupní veličiny se zvětšuje i hodnota sledovaného chování) nebo negativní (se zvětšováním vstupní veličiny se hodnota zmenšuje). Z obr. 4 vyplývá, že alespoň minimální vliv má pouze 8 veličin z celkového počtu 33. Jedná se o materiálověmechanické vlastnosti betonu (veličiny 1, 2 a 3), hodnotu lomové energie (4), mez kluzu oceli u dolního povrchu (9), modul pružnosti oceli (1), výšku nosníku (12) a plochu výztuže u dolního povrchu (31). Také se ukazuje, že tento vliv je obecně různý pro různé hladiny zatížení a také pro fázi přitížení a odtížení. 5.2 Mezní únosnost Mezní únosnost nosníků získaná simulací je stanovena jako maximální zatížení, při kterém bylo ještě nalezeno řešení, tj. iterační proces nalezl řešení. Vzhledem k tomu, že přírůstek zatížení je 1k, je i mezní únosnost stanovena s touto přesností a v podstatě se jedná a její dolní mez. Simulací byly získány tyto údaje: střední hodnota = 83,48k, minimální hodnota = 69k, maximální hodnota = 94k, směrodatná odchylka = 4,4865k, variační koeficient =,54, šikmost = -,51, 1% kvantil = 71,382k a 99% kvantil = 92,344k. Výsledky sledování vlivu, jaký mají nejistoty ve vstupních veličinách na mezní únosnost, jsou uvedeny v obr. 5. Opět jsou vyneseny součinitele citlivosti pouze pro ty veličiny, jejichž vliv je možné považovat za alespoň minimální. Jedná se o materiálověmechanické vlastnosti betonu (veličiny 1, 2 a 3), mez kluzu oceli u dolního povrchu (9), výšku nosníku (12), (19) a plochu výztuže u dolního povrchu (31). 6 Závěr Současný stav rozvoje numerických metod statické analýzy betonových konstrukcí i úroveň výpočetní techniky poskytují solidní základ pro provádění zpřesněných analýz stavebních konstrukcí s uvažováním vlivu nejistot ve vstupních veličinách. Takto provedené simulace umožňují vhodně doplnit, a v některých oblastech i nahradit, časově i ekonomicky náročný experimentální výzkum. Poděkování Příspěvek vznikl s pomocí výzkumného záměru MSM2163511 Progresivní stavební materiály s využitím druhotných surovin a jejich vliv na životnost konstrukcí na fakultě stavební VUT v Brně. Literatura [1] Florian, A. MODERÍ UMERICKÉ SIMULAČÍ METODY PŘEHLED. STAVEBÍ OBZOR, 1998, 2, STR. 6-64 [2] Florian, A. A EFFICIET SAMPLIG SCHEME: UPDATED LATI HYPERCUBE SAMPLIG. J. PROBABILISTIC EGIEERIG MECHAICS, 1992, 7(2), STR. 123 13 [3] Florian, A., avrátil, J., Stráský, J. MODERÍ METODY AALÝZY MOSTÍCH KOSTRUKCÍ. FOD ROZVOJE VŠ 95, PROJEKT Č. 685/95, VUT FAST BRO, 1994 6
MODELOVÁÍ V MECHAICE OSTRAVA, ÚOR 26 [4] Pěnčík, J., Schmid, P., Daněk, P. EXPERIMETÁLÍ A UMERICKÁ AALÝZA ŽELEZOBETOOVÝCH OSÍKŮ. 42. MEZIÁRODÍ KOFERECE EXPERIMETÁLÍ AALÝZA APĚTÍ 24, ŠKODA VÝZKUM S.R.O., KAŠPERSKÉ HORY, 24 7