Úvod do matematického modelování

Úvod do matematického modelování Základní informace Tato část učebních textů by měla poskytnout studentům, kteří již dříve seznámili s matematickým kalkulem (matematická analýza, diferenciální rovnice apod.), lineární algebrou, numerickými metodami a matematickým softwarem Maple, prostor pro zopakování některých potřebných pojmů a dovedností nezbytných pro pochopení metodiky a metod matematického modelování s využitím informačních a komunikačních technologií (ICT), především Maple. Studenti, jejichž studium bylo až dosud orientováno jiným směrem, bude mít k dispozici dostatečně srozumitelnou látku k seznámení se s nezbytnými pojmy, metodami a metodologií matematického modelování, aby je mohli pochopit a používat. Tento učební text je možné používat postupně, všechny nezbytně potřebné pojmy, metody a ICT jsou nejdříve vysvětleny, posléze použity a demonstrovány na řešených příkladech. Text je doprovázen příklady k procvičení se skrytým řešením. Výstupy v této výukové jednotce budou pro studenty následující: 1. seznámí se a rozumějí základním pojmům v oblasti matematického modelování 2. seznámí se definicí systému, jeho základními typy a jejich příklady 3. seznámí se s definicí matematického modelu, jeho základními prvky a typy 4. seznámí se jednoduchými příklady deterministických matematických modelů popisujících chování spojitých a diskrétních systémů 5. dokáží na příkladech identifikovat prvky matematického modelu systému, vazby mezi nimi a vysvětlit proměnné a parametry modelu, strukturu modelu, typy řešení modelu 1. Proč se zabývat matematickým modelováním Matematické modelování je současné době nedílnou součástí různých oborů přírodních, technických, ekonomických i sociálních věd a důležitým nástrojem při modelování a simulacích systémů, analýzách a předvídání různých jejich procesů, jevů, chování druhů a stavů společenstev. Při jeho využívání se používají současné informační a komunikační technologie (ICT), zejména pak aplikační matematický software (např. Maple, Matlab apod.). Termínem matematické modelování se také označuje vytváření a analýza postupů, které využívají matematické prostředky a struktury pro hlubší pochopení a ovlivňování reálných procesů, jevů, stavů a principů. Matematické modelování se dnes stalo jakousi křižovatkou věd. Využívají se v něm různé oblasti matematiky jak navzájem (matematická analýza, numerická matematika, lineární algebra, geometrie, diskrétní matematika apod.), tak zejména s jinými vědami, jako jsou biologie, chemie, fyzika, geologie, materiálová věda, a samozřejmě s aplikovanými disciplínami, jako jsou inženýrství všeho druhu či ekonomie. Přibývají stále úspěšné aplikace matematického modelování a vědci řeší nové a ještě obtížnější výzvy v poznání světa. To má nezastupitelný význam jak pro matematiku samotnou, tak i pro její aplikace, a tedy i pro celou společnost. Matematické modelování s využitím ICT (výpočetní věda) se stává prostředkem poznání i relativně levnou technologií. Doplňuje dostupné experimenty nebo nahrazuje experimenty technicky, ekonomicky, či eticky neproveditelné v reálném světě. Umožňuje predikce nebo naopak pohledy do dávné minulosti překlenujíce milióny let. Zprostředkovává nebo doplňuje pohledy do nedostupných hlubin Země či dalekých mimozemských objektů, nebo naopak mikro- či nano-objektů třeba elektroniky, moderních materiálů či živých buněk a genofondu. Umožňuje výpočet kvantitativní

citlivosti na změnu dat (což je v reálných systémech zpravidla neproveditelné), a pak v počítačové simulaci vybrat nejlepší řešení vyzkoušením velkého množství situací efektivním způsobem (tzv. optimalizace, optimální návrh, či optimální řízení). Abychom mohli použít matematiku ke studiu živých objektů, musíme si nejprve ujasnit, s jakými problémy nám matematika může pomoci. Chceme-li studovat populaci divokých koček na venkově, napadne nás spousta otázek. Čím se kočky živí? Jak rychle reagují kočky na kořist? Kolik je koček v daném regionu? Atd. Najít odpověď na podobné otázky vyžaduje spoustu pozorování, experimentů a studia biologické literatury. To samozřejmě platí i pro další biologické systémy chceme-li přispět matematikou k pochopení biologie, musíme se nejprve naučit biologii! A i když se nakonec biologii naučíme, vystačíme mnohdy jen se slovní popisnou odpovědí. Například pozorováním zodpovíme naši poslední otázku větou, že v zkoumaném regionu žije přibližně 100 divokých koček. Na druhou stranu, ptáme-li se, kolik bude koček za rok, za deset let nebo za sto let, pak s pouhým pozorováním nevystačíme a můžeme začít zapojovat své matematické znalosti. Podobné otázky o budoucnosti populace nemusíme klást jen pro populaci koček, ale pro jakoukoliv skupinu jedinců, zvířat či rostlin. Studujeme-li například rostoucí zhoubný nádor, zajímá nás kolik buněk bude nádor obsahovat v budoucnosti. Bojujeme-li s epidemií chřipky, zajímá nás například vývoj počtu nakažených lidí apod. Situace je však ještě složitější. Doposud jsme uvažovali modely, které zatím popisovaly jeden živočišný druh. Většinou ovšem spolu v přírodě žije mnoho různých druhů pohromadě, které spolu soupeří o potravu, o prostor, o přežití. Uvažujme například les, ve kterém žijí lišky a zajíci, a zjednodušme si situaci tím, že lišky žerou jenom zajíce a zajíci mají trávy vždycky dost. Pak si můžeme slovně popsat dynamiku tohoto systému takto: Pokud je v lese hodně zajíců, začnou se množit lišky, neboť mají dost potravy. Tím, že se začali množit lišky, začnou ubývat zajíci. Tím, že začali ubývat zajíci, nemají lišky co žrát a začne jejich počet klesat. Tím, že klesá počet lišek, začne zase přibývat zajíců, neboť je nemá kdo lovit. Tím, že je hodně zajíců, začne se opět po čase zvyšovat počet lišek atd. Shrnuto, počty zajíců a lišek budou patrně oscilovat. Samozřejmě, že bychom teď mohli po studiu relevantní biologické literatury napsat model pro takový ekosystém a jako správní matematičtí biologové bychom dokázali odhalit podobné oscilatorní chování. K nalezení odpovědí nám může matematické modelování pomoci. 2. Základní pojmy v matematickém modelování Matematické modelování se zabývá zkoumáním systémů reálného světa a umožňuje odhalit podstatné vztahy jak mezi prvky zkoumaného systému tak s jeho okolím, proto se zaměříme na matematické modelování systémů, kde systémy budeme chápat jako určité abstrakce reálného světa (objektivní reality), které si lidé vytvářejí v procesu jeho poznání. Nejprve se seznámíme stručně s terminologií v oblasti systémů, kterou budeme používat v matematickém modelování. 2.1 Systém Jako systém budeme zjednodušeně uvažovat (následující výčet je neúplný, podrobněji v http://is.muni.cz/elportal/?id=930553): reálné objekty, procesy a komplexy procesů a soubory informačních, regulačních a řídících činností. 2.1.1 Reálný objekt Reálný objekt (přirozený či umělý) je systém s nějakým okolím, který v každém časovém okamžiku má na vstupu nějaký vstupní prvek, na výstupu nějaký výstupní prvek a kromě toho je vždy v nějakém vnitřním stavu, přičemž jsou dány jednoznačné závislosti: stávajícího výstupního prvku na stávajícím stavu a vstupním prvku, následujícího stavu na stávajícím stavu a vstupním prvku.

Příklad 1.1: Jednoduchý sériový elektrický obvod RLC připojený na zdroj střídavého napětí. Jednoduchý sériový elektrický obvod RLC je tvořen rezistorem s odporem R (měřeným v jednotkách ohmů *Ω+), indukční cívkou o indukčnosti L (měřenou v jednotkách henry [H]) a kondenzátorem s kapacitou C (měřeným v jednotkách farad [F]). Obvod je připojen ke zdroji střídavého napětí U (měřeným v jednotkách volty [V]), kde U(t) = U m sin(ω t), o amplitudě U m a frekvenci f (měřené v jednotkách hertz [Hz]), ω = 2 π f. Obvodem protéká střídavý elektrický proud I (měřený v jednotkách ampérů *A+), kde I(t) = I m sin(ω t + ϕ), který má amplitudu I m a fázový rozdíl ϕ mezi napětím a proudem. Tyto veličiny I m a ϕ závisí na vstupním napětí U. 2.1.2 Proces, komplex procesů Systém představuje proces nebo komplex procesů, jímž rozumíme zákonité, na sebe navazující a vnitřně propojené změny nějakého objektu (systému), kde se v objektu (konkrétním nebo abstraktním) vstupnímu procesu určitého typu přiřazuje výstupní proces téhož nebo jiného typu. Toto přiřazení, které popisuje reakce výstupů na vstupy, se nazývá chováním systému, a toto pojetí behavioristické (behaviour - angl. chování). Místo termínu přiřazení" se často používá termín transformace", jenž je mnohdy z praktického hlediska výstižnější, protože mnoho systémů opravdu transformuje vstupní procesy na výstupní. Příklad 1.2: Biologické systémy V biologických systémech probíhají rozsáhlé komplexy procesů. Obecně biologickými systémy rozumíme organismy a vše, co s nimi souvisí, od chemických procesů v organismech probíhajících na úrovni atomů a molekul, až po celé ekosystémy tedy biologická společenstva mnoha populací různých organismů a jejich vzájemné vztahy i vztahy k jejich životnímu prostředí. Biologickým společenstvem rozumíme biologický systém populace lidí, populace chovaných zvířat nebo rostlin z důvodů ekonomických nebo ekologických, stejně tak populace škůdců, parazitů, bakterií nebo i nádorových buněk pro potřeby medicíny. V užším slova smyslu bychom v biologii mohli popsat systémy jako organismy od úrovně subcelulární, tedy od úrovně jednotlivých buněčných organel se vším, co s nimi souvisí, přes úrovně buněk, tkání, orgánů a jedinců až po úroveň populací, společenstev, ekosystémů a biomů. Příklad 1.3: Ekosystémy Ekosystémem rozumíme ekologický systém složený z biocenózy (soubor populací všech druhu, zastoupených v daném ekosystému) a ekotopu (prostředí biocenózy bez biotických faktorů), resp. biotopu (prostředí biocenózy včetně biotických faktorů). Ekosystémy mají stejné atributy jako ostatní biologické systémy. Globálním ekosystémem je biosféra, která zahrnuje veškeré organizmy (tzv. biota) a prostor, který tyto organizmy obývají; je tedy ekosystémem největším. Na nižších úrovních rozlišujeme například vodní ekosystém nebo půdní ekosystém a na ještě nižších úrovních např. ekosystém lesa, ekosystém sladkovodní nádrže, ekosystém jílovitých pud atd. Přitom každý ekosystém je charakteristický vlastní strukturou a funkcemi, které lze v obecné rovině popsat v termínech toku energie, látek a informací. Příklad 1.4: Sociální systémy Sociálním systémem rozumíme společenstvo jedinců, sociálních skupin a institucí, tedy systémů, jejichž chování lze popsat jako sociální. Je výsledkem aktivity mnoha lidí. Je to složitý, relativně uzavřený a dynamický celek. Složitost tohoto systému je dána komplikovanou strukturou vztahů, protože vychází ze samotného charakteru sociálních jevů, které se na tvorbě sociálního systému podílejí. Uzavřenost v tomto systému je vyjádřením rozdělením uvnitř a vně systému a posilováním procesů uvnitř. Dynamika systému je dána především jeho chováním navenek. Sociální systém popisuje matematický model s mnoha neurčitostmi a nejednoznačnými parametry, ve kterém působí velké množství vlivů.

Příklad 1.5: Fyzikální systémy Fyzikální systém označuje ve fyzice množinu všech objektů (např. těles, částic, hmotných bodů, elektrických nábojů nebo proudů, látek apod.) a procesů mezi nimi, k nimž se přistupuje jako k celku a zkoumáme jeho chování. Fyzikální systém tedy označuje část vesmíru, která se nějakým způsobem týká řešeného fyzikálního problému (např. chování systému). Jeho příkladem je termodynamický systém, který tvoří souhrn látek v prostoru a je omezen (např. sklenice vody, válec motoru apod.). Uvnitř tohoto systému mohou probíhat změny. 2.1.3 Soubor informačních, regulačních a řídících činností Systém uvažujeme jako soubor informačních, regulačních a řídících činností vztahujících se k systémům popsaných v 2.1.1 a 2.1.2. Jsou to např. informační systém společnosti; komunikační systém hasičského záchranného sboru; regulační systém chemických procesů ve výrobě benzínu v rafinerii; řídicí systém železniční dopravy apod.). Příklad 1.6: Informační systémy Informačním systémem (IS) rozumíme komplex informací, lidí, použitých ICT, organizace práce, řízení chodu systému (zabezpečuje propojení na prostředí) a konečně mnoha technických prostředků a metod sloužících ke sběru, přenosu, uchování a dalšímu zpracování dat za účelem tvorby a prezentace informací. IS je nějakým způsobem organizován a začleněn do organizační struktury společnosti, má určité ekonomické charakteristiky a musí být určitým způsobem řízen jak v době jeho budování, tak v době jeho fungování. 2.1.4 Okolí systému Vše, co se nachází mimo daný systém, se označuje jako okolí systému. Vliv okolí systému na jeho prvky nebo vazby se při formulaci matematického modelu většinou zanedbává, kromě vlivů, které mají vstupu z jeho okolí na systém. Rozhodnutí, které jevy, události (prvky) náleží do systému a které patří do jeho okolí, je třeba učinit na základě analýzy jeho chování (obvykle závisí na zvolených metodách, které budou při řešení použity). Pokud lze interakci mezi systémem a okolím zanedbat, označuje se systém jako izolovaný. 2.1.5 Druhy systémů Systémy můžeme dělit podle následujících kritérií: uzavřené otevřené podle toho, zda nastává interakce s okolím, deterministické stochastické podle toho, zda systém vykazuje jednoznačné nebo náhodné (statisticky popsatelné) chování, statické dynamické podle toho, zda se vyvíjejí v čase, spojité diskrétní kde systém s diskrétním časem, může vzniknout tak, že všechny veličiny spojitého systému měříme v diskrétních časových okamžicích nebo kde proměnné v diskrétním systému se mění skokově (nespojitě) pouze tehdy, když nastala určitá událost (například příchod zákazníka do obchodu). Můžeme je vyjádřit změnou stavu prvku systému a časem, kdy ke změně dochází, tvrdé měkké tvrdé systémy jsou spojovány s dobře strukturovanými problémy (řešení lze poměrně snadno algoritmizovat), naopak v měkkých systémech vystupuje celá řada faktorů, jejich struktura není přesně definována, údaje jsou neurčité a neúplné.

2.1.6 Proces zkoumání systému Obr. 1.1: Proces zkoumání systému s využitím matematického modelování *1+ Na obr. 1.1 je znázorněn proces zkoumání systému s využitím matematického modelování, který začíná sběrem dat o systému (jeho monitoringem), pokračuje jejich vstupem do matematického modelu a na základě analýzy výsledků řešení tohoto modelu (porozumění, predikce a kontrola jeho chování), je provedena jeho případná úprava a přizpůsobení sběru dat o zkoumaném systému. Pokud tento postup nevede k uspokojivému řešení, provedou se na zkoumaném systému nové experimenty, případně se modifikuje matematický model. 2.2 Matematický model Matematickým modelem systému rozumíme abstraktní model zkoumaného systému, který využívá matematického jazyka k popisu jeho chování. Matematický model obvykle popisuje systém s pomocí množiny vstupních a výstupních proměnných, dále parametrů a množiny matematických struktur, které určují stavy systému, vazby a vztahy mezi proměnnými a parametry. Na model se můžeme dívat také jako na množinu funkcí, která popisuje vztahy mezi různými proměnnými. V matematickém modelu můžeme rozlišit tři základní skupiny objektů, ze kterých se model sestává: proměnné a parametry, matematické struktury a řešení. 2.2.1 Proměnné a parametry Proměnné a parametry modelu rozlišujeme z pohledu chování systému na ty, které představují konkrétní vlastnost daného objektu (tj. pojmenované proměnné) pojmenovanou názvem a fyzikální jednotkou pomocí níž se vlastnost měří, dále pomocné proměnné a parametry, které slouží pro formalizaci matematického zápisu, implementaci algoritmů (např. u lineárního programování) a obvykle se uvažují v bezrozměrných jednotkách. Podle toho, zda lze některé proměnné nebo parametry uvažovat jako náhodné veličiny, rozdělujeme modely do dvou skupin: deterministické (nemají náhodné veličiny) a stochastické (zahrnují náhodné veličiny) modely. Dále lze tyto skupiny rozdělit dle vztahu k průběhu času (dynamické, statické) nebo spojitosti (spojité, diskrétní) apod. 2.2.2 Matematické struktury Matematické struktury, které obsahují proměnné, jež jsou abstrakcí hledaných prvků systému a operátory nad těmito proměnnými a parametry. Operátory mohou reprezentovat algebraické operace, funkce, funkcionály, diferenciální operátory atd. Matematické struktury dělíme podle použitého matematického aparátu z některého odvětví matematiky na analytické, geometrické, topologické, arteficiální a kvalitativní struktury *1+. Pokud jsou operátory v matematickém modelu lineární, hovoříme o lineárních modelech, v opačném případě o nelineárních modelech. Příklad 1.7: Matematická struktura modelu: homogenní lineární diferenciální rovnice 2. řádu. Zkoumaný spojitý deterministický model je popsán homogenní lineární diferenciální rovnicí 2. řádu s konstantními koeficienty ve tvaru

V této matematické struktuře máme dvě proměnné: proměnnou y(x), která je funkcí druhé nezávisle proměnné x a obvykle předpokládáme, že nezávisle proměnná x є R, kde R je množina reálných čísel. Parametry modelu jsou konstanty a є R, b є R a c є R. Zkoumaný diskrétní deterministický model je popsán nelineární diferenční rovnicí prvního řádu, n=0,1, 2, V této matematické struktuře máme proměnnou P, která značí např. počet jedinců P 0, P 1, P n+1 dané populace a parametry modelu jsou konstanty a є R, b є R. Hodnoty proměnných mohou být např. reálná, celá nebo binární čísla, booleovské hodnoty nebo textové řetězce. Proměnné mohou být i složitější matematické struktury (např. derivace funkcí, funkce, funkcionály, integrály, posloupnosti, vektory, matice, grafy apod.). Proměnné reprezentují nějaké vlastnosti systému, např. počty jedinců v populaci, výskyt dané události či jevu (ano/ne), výstupy měřených systémů často ve tvaru signálů apod.. 2.2.3 Řešení modelu Řešení matematického modelu je obvykle jednou z proměnných v matematické struktuře a jsou na ně kladeny další podmínky (např. okrajové, počáteční a smíšené podmínky, případně další omezení) vyplývající ze zkoumaného systému (jeho vstupy a výstupy, vnitřní vazby) a jeho okolí. Podle toho uvažujeme řešení jako přesné (vyhovuje matematické struktuře a omezujícím podmínkách) nebo přibližné (splňuje omezující podmínky pouze přibližně nebo se k přesnému řešení pouze přibližuje s předepsanou velikostí chyby). Případně jako přípustné (splňuje omezující podmínky) nebo nepřípustné (nesplňuje omezující podmínky). Existují dva způsoby algoritmizace matematického modelu a nalezení jeho řešení: Analytické (explicitní) řešení spočívá v nalezení přesného řešení pomocí analytických matematických metod (řešení soustav rovnic, řešení úlohy na vázaný extrém apod.). Numerické (přibližné) řešení se používá při řešení modelů, u kterých neumíme problém řešit analyticky, nebo v případech, kdy je analytické řešení obtížné a složité (metody Monte Carlo, simulace na počítači apod.). Při numerickém řešení musíme uvažovat jeho numerickou stabilitu, konvergenci k přesnému řešení a jeho chybu (tj. rozdíl mezi přeným a přibližným řešením), která nám vznikne *1+. 2.2.4 Příklady matematických modelů Uvedeme v dalším některé spojité deterministické dynamické modely biologických systémů, abychom vytvořili lepší představu o rozmanitém uplatnění matematického modelování v biologii. Růstové modely populační dynamiky 1 popisují časovou změnu velikosti určité populace (populace zde neznamená pouze společenstvo živých organismů, ale také třeba soubor určitých částic nebo látek). Např. model růstu populace živých organismů, model růstu rostlin, model rovnováhy počtu druhů v nice (např. na ostrově), model radioaktivního rozpadu apod. Modely koexistence dvou biologických druhů se zabývají modelováním vztahu mezi dvěma populacemi. Typickým příkladem je model systému dravec - kořist 2. 1 http://portal.matematickabiologie.cz/index.php?pg=analyza-a-modelovani-dynamickych-biologickych-dat-- spojite-deterministicke-modely-i--zakladni-modely-populacni-dynamiky 2 http://portal.matematickabiologie.cz/index.php?pg=analyza-a-modelovani-dynamickych-biologickych-dat-- spojite-deterministicke-modely-i--lotkovy-volterrovy-systemy

Epidemiologické modely 3 (modely šíření infekcí), které popisují modely, která vychází z tzv. teorie epidemií. Modely biochemických reakcí 4, enzymová kinetika 5 apod. Dalším typem modelů jsou modely buňky, její regulace, mezibuněčné komunikace. Z oblasti fyziologie jmenujme modely proudění krve, činnosti srdce, plic, ledvin apod. Příklad 1.8: Malthusovský model růstu populace pro spojitý a disktrétní systém Uvažujme biologický systém sestávající se z populace jedinců, kteří se rodí, rostou a umírají, přičemž známe jejich počáteční počet v čase, od kterého budeme modelovat jejich počet. Malthusovský model růstu populace má proměnné modelu: počet jedinců v populaci P(t) v čase t a čas t. V tomto modelu přepokládáme, že proměnná počet jedinců P(t) v populaci závisí na parametru r, který představuje specifickou míru růstu populace a uvažujeme jej konstantní. Dále předpokládáme, že počet jedinců P(t) v populaci v čase t 0 je konstantní P(t 0 ) = P 0, kde t 0 a P 0 jsou známé konstanty. Na tento systém se můžeme uvažovat jako spojitý i diskrétní systém. Řešení modelu spojitého systému: Malthusovský model růstu populace pro spojitý systém má matematický model Jedná se tedy o spojitý dynamický deterministický model a můžeme jednoduše nalézt jeho analytické řešení 6. pomocí elementárních metod řešení obyčejných diferenciálních rovnic (metoda separace proměnných) 7. Řešení modelu diskrétního systému: U Malthusovského modelu růstu populace pro diskrétní systém přepokládejme, že proměnná čas t nabývá pouze celočíselných hodnot {0, 1, 2, }, takže rovnice modelu vyjadřuje změnu proměnné počtu jedinců P(t) z nějakého času t (celočíselného) do času t + 1 a má tvar. Jedná se tedy o diskrétní dynamický deterministický model, kde můžeme jednoduše nalézt jeho analytické řešení jako součet členů geometrické posloupnosti, tj. když předpokládáme, že t 0 = 0. 2.4 Matematický software Do matematického modelování, stejně jako i do jiných odvětví vědy, proniklo již od šedesátých let minulého století využití ICT a aplikačního softwaru (matematického software). V současné době si bez využití ICT a aplikačního software nelze matematické modelování a počítačovou simulaci řešení 3 http://portal.matematickabiologie.cz/index.php?pg=analyza-a-modelovani-dynamickych-biologickych-dat-- spojite-deterministicke-modely-i--epidemiologicke-modely 4 http://portal.matematickabiologie.cz/index.php?pg=analyza-a-modelovani-dynamickych-biologickych-dat-- spojite-deterministicke-modely-i--biochemicke-modely 5 http://portal.matematickabiologie.cz/index.php?pg=analyza-a-modelovani-dynamickych-biologickych-dat-- matematicke-modely-v-biologii--enzymova-kinetika 6 http://portal.matematickabiologie.cz/index.php?pg=analyza-a-modelovani-dynamickych-biologickych-dat-- spojite-deterministicke-modely-i--zakladni-modely-populacni-dynamiky--malthusovsky-model-rustu-populace 7 http://portal.matematickabiologie.cz/index.php?pg=analyza-a-modelovani-dynamickych-biologickych-dat-- spojite-deterministicke-modely-i--elementarni-metody-reseni

modelů představit. Požadavky na tyto počítačové aplikace (možnost jak symbolických a numerických výpočtů, volba jejich přesnosti, vizualizace a interaktivní komunikaci s řešitelem atd.) vedly k vytvoření komplexních aplikačních matematických programů jako jsou např. komerční programy: Matlab (www.mathworks.com); Maple (www.maplesoft.com); MathCAD (www.mathsoft.com); Mathematica (www.wolfram.com); MuPAD (research.mupad.de, www.sciface.com) atd. Podrobnější informace o těchto softwarech lze nalézt na webu (www.symbilicnet.org/www-sites.html). Z volně přístupného (open source) matematického software jsou to např. programy: MAXIMA (maxima.sourceforge.net/) umožňující symbolické výpočty, OCTAVE (www.gnu.org/software/octave/index.html) umožňující numerické výpočty a R (www.r-project.org/) umožňující statistické výpočty. Tyto aplikační programy lze využít v matematickém modelování během celého jeho vývojového procesu popsaného v části metodologie matematického modelování, tj. identifikace, analýzy, vývoje, implementace, řešení a ověřování, případně modifikace matematického modelu. 2.4.1 Počítačová simulace Počítačovou simulaci v procesu výpočtu řešení modelu na počítači rozumíme běh aplikačního programu, pomocí kterého simulujeme chování matematického modelu konkrétního systému, když se pokoušíme nalézt analytické řešení modelu, které umožňuje predikovat chování systému na základě jeho parametrů, počátečních a okrajových podmínek. Počítačová simulace je často užívána jako doplnění nebo nahrazení modelovaného systému, u něhož nalezení uzavřené analytické formy řešení není možné. Existuje mnoho typů počítačové simulace; společným rysem, který všechny simulace sdílejí je pokus generovat vzorek reprezentativních scénářů pro matematický model, ve kterém úplný výpočet všech možných stavů modelu je nemožný nebo nepřípustný. Počítačovou simulaci dělíme vzhledem různým kritériím na: Stochastickou (užívající generátorů náhodných čísel a metodu Monte Carlo) nebo deterministickou (jako speciální případ deterministické je chaotická). Stochastická simulace je typicky využívána pro diskrétní systémy, kde se události vyskytují s určitou pravděpodobností a nemohou být popsány přímo např. pomocí diferenciálních rovnic. Jevy v této kategorii zahrnují např. genetický drift, biochemické nebo genové sítě s malým počtem molekul. Statickou a dynamickou (závislou na čase). Ve statické simulaci se používají rovnice definující rovnovážné vztahy mezi prvky modelovaného systému a hledá se stav ve kterém je systém v rovnováze. Tento způsob je často využíván při simulaci fyzikálních systémů, které jsou dynamické, aby se zjednodušila jejich simulace, než se přistoupí k dynamické simulaci. Spojitou a diskrétní. Spojitá dynamická simulace je řešena většinou pomocí aplikačních programů pro numerické řešení diferenciálně algebraických rovnic, algebraicko-diferenciálních rovnic nebo diferenciálních rovnic (buď parciálních, nebo obyčejných). Speciálním typem diskrétní simulace, která nezávisí na modelu s příslušnou rovnicí, ale může být víceméně representována formálně, je agent based (zprostředkovatelská) simulace. V této simulaci nejsou individuální entity (např. molekuly, buňky, stromy nebo zákazníci) modelu reprezentovány přímo, nýbrž zprostředkovaně (např. jejich hustotou nebo koncentrací) a je řízen vnitřní stav modelu pomocí množiny chování nebo pravidel, která určují jak agentův (zprostředkovatelův) stav, který je aktualizován od jednoho časového kroku k následujícímu. Lokální a distribuovanou (je řešena na počítačových sítích a prostřednictvím Internetu). 2.4.2 Matematického modelování s využitím ICT Matematické modelování s využitím ICT lze rozdělit podle toho, v jakém rozsahu jsou předem známy informace o zkoumaném systému a způsobu jeho řešení na: a) black-box" modelování, kde pod pojmem black-box model rozumíme systém, o kterém není

známa a priori informace. b) white-box" modelování, kde pod pojmem white-box model rozumíme systém, kde jsou známy všechny potřebné informace. c) shadow-box modelování, kdy řešitel využívá jako základní způsob black-box modelování a tam, kde je to třeba tak může zvolit alternativně white-box modelování při řešení modelu systému. Většina známých způsobů matematického modelování s využitím ICT náleží mezi black-box modelování a méně již mezi white-box modelování. Teprve nedávno bylo zavedeno tzv. shadow-box modelování, které umožňuje například systém Maple, kde je možno zvolit např. v symbolických výpočtech diferenciálního počtu (výpočet limit, řad, derivací a integrálů) buď výsledné řešení, nebo postup po jednotlivých elementárních operacích vedoucích k výslednému řešení. Obecně můžeme shrnout, že matematické modelování je umění, resp. schopnost transformovat systém z dané aplikační oblasti do jeho matematicky zpracovatelné a analyzovatelné formulace umožňující teoretickou i numerickou analýzu chování systému s cílem proniknout do jeho podstaty, klást otázky, hledat odpovědi a získat užitečné a potřebné informace o zkoumaném systému. 3. Úlohy k procvičení V následujících cvičeních identifikujte prvky matematického modelu systému a popište co jsou proměnné a parametry modelu, typ matematické strukturu modelu a možné typy řešení modelu. Cvičení 1.1: Popište rovnici modelu kde a, b, c є R, kde R je množina reálných čísel a y(x) je spojitá funkce. Řešení 1.1: Model má proměnné y(x) (závisle proměnná) a x (nezávisle proměnná) a parametry a, b a c. Typ matematické struktury je nelineární diferenciální rovnice prvního řádu (Riccatiho rovnice), která má při speciálních hodnotách parametrů analytické řešení y(x). V ostatních případech se bude hledat numerické řešení modelu., Cvičení 1.2: Popište rovnici modelu, t=0,1,2, Řešení 1.2: Model má diskrétní závisle proměnnou P, která nabývá hodnot P(0), P(1), P(2), v časech t=0,1,2, a má parametry r, K. Jedná se diskrétní deterministický model růstu populace P s omezením daným parametrem K. Typ matematické struktury je nelineární diferenční rovnice prvního řádu. Cvičení 1.3: Popište rovnici modelu Řešení 1.3:

Model má proměnné x(t), y(t) (závisle proměnné) a t (nezávisle proměnná) a parametry μ a ω. Typ matematické struktury je soustava dvou lineárních obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu, která má analytické řešení x(t), y(t).