Propojení matematiky, fyziky a počítačů

Transkript

1 Propojení matematiky, fyziky a počítačů Název projektu: Věda pro život, život pro vědu Registrační číslo: CZ..7/.3./45.9 V Ústí n. L., únor 5 Ing. Radek Honzátko, Ph.D.

2 Propojení matematiky, fyziky a počítačů Kde? Počítačové simulace

3 Počítačové simulace Proč? Rozvoj výpočetní techniky rostoucí výkon, velikost pamětí, klesající cena Vývoj nových efektivních algoritmů zlepšování vypovídací hodnoty výsledků simulačních programů CENA počítačové modelování umožňuje snížení počtu užití experimentálních metod

4 Počítačové simulace Proudění CFD (Ansys Fluent, Star-CCM) Simulace odlévání (ProCast, Magmasoft) Pevnostní a tuhostní výpočty (Ansys, Nastran) a další

5 Oblasti využití Průmysl letecký, automobilový, energetický CFD (Computational Fluid Dynamics): Aerodynamika: letadla, křídla letadla, automobilu, větrné elektrárny, Rázové vlny v okolí letounu při transonickém proudění Klimatizace/topení v kabině letounu, automobilu CSD (Computational Structural Dynamics): Statická analýza: trupu letadla, nosných ploch, karoserie automobilu Modální analýza (výpočty vlastních frekvencí a tvarů kmitání konstrukce) Dynamické simulace nárazových zkoušek (Crash Simulation)

6 Oblasti využití Průmysl letecký, automobilový, energetický Slévání: Prognóza plnění, tuhnutí, vzniku pórovitosti Predikce napjatostníchstavů v odlitcích, deformace, makrosegregace(rozdíly v chemickém složení mezi částmi odlitku) Speciální slévárenské technologie (např. kontinuální odlévání)

7 Oblasti využití Předpověď počasí i rosničky mluví o numerických modelech ALADIN počítán v ČR, střední Evropa Propojen s ARPÉGE F, globální model Německý model DWD LM, skandinávský HIRLAM, polský ULPM

8 Modely Fyzikální model Matematický model Numerický model Vstupní data Simulace Výsledky

9 Fyzikální model Popis reality O čem víme a co umíme Jak komplexně chceme/potřebujeme Např. proudění: Stlačitelné (plyny) X nestlačitelné (kapaliny) Vazké (v realitě vždy) X nevazké (při velkých rychlostech proudění se efekty viskozity projeví pouze v blízkosti stěn těles) Laminární X turbulentní

10 Fyzikální model Golfový míček turbulentní vs. laminární proudění V počátcích míčky s hladkým povrchem Později míčky se strukturou na povrchu

11 Matematický model Analytické řešení neumíme nalézt, mnohdy se jedná a složitý systém nelineárních parciálních diferenciálních rovnic, proto používáme numerické metody umožňují převést matematický model na řešení soustav lineárních algebraických rovnic Někdy tušíme i jen velmi málo o existenci či jednoznačnosti řešení, aniž bychom jej uměli nalézt

12 Matematický model Příklad stlačitelné nevazké proudění ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z p w E y p E v x p E u t E z vw y p v x uv t v z vw y p v x uv t v z uw y uv x p u t u z w y v x u t Rovnice kontinuity zákon zachování hmotnosti Navierovy-Stokesovy rovnice zákon zachování hybnosti Zákon zachování energie hustota kg/m p tlak Pa E totální energie J u,v,w složky vektoru rychlosti m/s x,y,z prostorové souřadnice m

13 Matematický model Příklad stlačitelné nevazké proudění Předpoklady pro uvedený model: Ideální plyn stavová rovnice Stlačitelnost úroveň změny hustoty v proudu Nulová viskozita zjednodušení analýzy bez výrazné ztráty přesnosti v oblastech mimo stěny apod.

14 Numerický model Počítač neví, co to je integrál, derivace apod. Počítač v podstatě umí pouze sčítat, odčítat, násobit a dělit : Procesor pracuje s daty prostřednictvím instrukcí (kódovaný příkaz pro provedení elementární operace procesoru) Procesor zvládá omezenou množinu jednoduchých (elementárních) instrukcí (instrukční sada procesoru) Složité operace jsou pomocí matematického aparátu rozloženy na jednodušší, tzv. elementární operace, které již procesor zvládne pomocí své instrukční sady zpracovat

15 Numerické metody Výpočet na kalkulačce S využitím aylorova vzorce:! Na kalkulačce se tudíž počítá:, 6

16 Numerický model Numerické metody Cílem je převést matematický model na systém lineárních algebraických rovnic ento systém rovnic je následně potřeba vyřešit přímé metody, iterační metody, algebraický multigrid, metody pro řídké matice, Velikost systému řádově 3,, 6 a více neznámých Nutné zvažovat paměťovou náročnost, časovou náročnost, dnes standardní paralelní výpočty

17 Numerické metody Laplaceova rovnice D na ekvidistantní síti Matematický model spojitý: Numerický model - diskrétní: na na Diskrétní problém vede na systém lineárních algebraických rovnic :,,

18 Rovnice vedení tepla: Numerické metody D příklad z praxe teplota koeficient teplené vodivosti (předpokládáme konst.) hustota tepelných zdrojů Uvažujme stěnu tloušťky d: Předpokládejme nulové zdroje: Okrajové podmínky:

19 Nalezení analytického řešení: Numerické metody D příklad z praxe d dx d k dx k ( x) dx ( x) C dx d k ( x) dx C dx k ( x) C x C dx x : x d : k k C C C d C Analytické řešení:

20 Numerické metody D příklad z praxe Nalezení numerického řešení: ( ) h x dx d i i i ( ) 3,,, i h k x dx d k i i i ( ) ( ) ( ) h k h k h k d τ τ 3 d τ τ 3 3

21 Numerické metody V průmyslové sféře běžně používané metody: Metoda konečných diferencí MKD Metoda konečných objemů MKO (CFD) Metoda konečných prvků MKP (pevnost, tuhost) Metody aplikované v komerčních SW: Ansys MKP, strukturální výpočty, CFD StarCCM MKO, CFD

22 Numerické metody Aplikace sítě(cfd)

23 Numerické metody Aplikace sítě(pevnostní výpočty)

24 Numerické metody Aplikace sítě(pevnostní výpočty)

25 Numerické metody Aplikace - flutter Nestabilita objevující se u elastických těles vystavených aerodynamickým silám Dochází k resonanci frekvence odtrhujících se vírů je blízká vlastní frekvenci tělesa ýká se staveb, letadel,

26 Numerické metody Flutter- video