5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}.

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}."

Transkript

1 5. Náhodná veličina Poznámka: Pro popis náhodného pokusu jsme zavedli pojem jevového pole S jako množiny všech možných výsledků a pravděpodobnost náhodných jevů P jako míru výskytů jednotlivých výsledků. Viděli jsme na úlohách v odstavci 4, že se pravděpodobnosti na různých jevových polí řídí týmž schematem. Budeme se tedy zabývat studiem charakteru rozdělení pravděpodobnosti na jevovém poli. Toho dosáhneme tím, že od reality náhodného pokusu přejdeme k jeho matematickému modelu. Přejdeme tedy od fyzikální reality pokusu k číselným hodnotám popisujících výsledky. Tímto matematickým modelem je t.zv. náhodná veličina. Můžeme říci, že náhodná veličina je reálná funkce, která nabývá náhodných hodnot. Její hodnoty odpovídají číselnému ohodnocení jednotlivých výsledků - náhodných jevů. Ukažme nejdříve několik příkladů, které odpovídají úlohám z příkladu Příklad: 1. Házíme mincí a sledujeme horní stranu. Náhodná veličina, která odpovídá pokusu má dvě hodnoty 0 a 1. Přiřadíme třeba rubu 0 a líci 1. Je vidět, že stejné schema pro pravděpodobnost má každý dvouhodnotový náhodný pokus. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}. 3. Opakujeme pokus a sledujeme výskyt daného jevu v serii určitého počtu pokusů. Náhodná veličina nabývá hodnot {0, 1, 2,..., n} kde n je počet opakování. (Bernoulliho schema.) 4. Náhodně volíme bod v intervalu (0, 1). Náhodná veličina je souřadnice vybraného bodu Definice: Náhodná veličina. Nechť S je jevové pole, U S je jev jistý a P je pravděpodobnost na jevovém poli S. Reálná funkce X : U R, pro kterou je množina {E; E U, X(E) x} S pro každou hodnotu x R nazýváme náhodnou veličinou. Poznámka: Podmínka v definici náhodné veličiny je poněkud nepřehledná. Znamená však toto. Pro funkci, která popisuje reálnými hodnotami výsledky sledovaného náhodného pokusu je vzor množiny (, x náhodným jevem. Známe tedy pravděpodobnost toho, že náhodná veličina nabývá hodnot nejvýše rovných hodnotě x pro každou hodnotu x R. Úmluva značení: V dalším textu budeme náhodnou veličinu označovat velkými písmeny např. X, Y, Z, S, T, R i, ale nebudeme zatím používat písmena U a V, která jsou rezervována pro jistý a nemožný jev. Poznámka: Z definice náhodné veličiny je zřejmé, že pro různá jevová pole a jim odpovídající náhodné veličiny jsou určující pravděpodobnosti náhodných jevů tvaru náhodná veličina je menší nebo rovna hodnotě x, x R. Náhodné veličiny, které mají tyto pravděpodobnosti stejné se chovají z pravděpodobnostního pohledu shodně. Říkáme, že mají stejné 30

2 rozdělení pravděpodobnosti. Tyto pravděpodobnosti plně určují pravděpodobnosti na celém jevovém poli. Dají se z nich rekonstruovat podobně, jako se z délek intervalů dají odvodit délky ostatních množin. Tato konstrukce se ale vymyká z rámce předmětu a budeme ji v dalším brát na vědomí. K popisu rozdělení pravděpodobnosti nám tedy stačí pravděpodobnosti náhodných jevů z definice náhodné veličiny. Všimneme si, že jsou určeny pravděpodobností P a reálným číslem x. Tuto funkci budeme považovat za základ dalších úvah a uvedeme nyní její definici Definice: Distribuční funkce. Je-li X náhodná veličina na pravděpodobnostním poli (U, S, P ), pak její distribuční funkcí nazýváme reálnou funkci reálné proměnné F : R 0, 1, která je definována předpisem F (x) = P (X x), x R. Poznámka: Hodnoty distribuční funkce náhodné veličiny jsou pravděpodobnosti náhodných jevů, které jsou znázorněny na obrázku Obr X x x Obr Distribuční funkce náhodných veličin budeme obvykle značit velkými písmeny, např. F, G, H, Φ a pod Věta: Vlastnosti distribuční funkce. Pro distribuční funkci F náhodné veličiny X platí; a) Pro všechny hodnoty x R je 0 F (x) 1. b) Funkce F je neklesající, je spojitá zprava v R a lim F (x) = 0, lim x c) Pro x 1 < x 2 je P (x 1 < X x 2 ) = F (x 2 ) F (x 1 ). d) P (X = x) = F (x) F (x ). e) P (X > x) = 1 F (x), P (X < x) = F (x ), P (X x) = 1 F (x ). f) Pro x 1 < x 2 je F (x) = 1. x P (x 1 X x 2 ) = F (x 2 ) F (x 1 ), P (x 1 < X < x 2 ) = F (x 2 ) F (x 1 ), P (x 1 X < x 2 ) = F (x 2 ) F (x 1 ). Důkaz: a) Vlastnost vyplývá ze skutečnosti, že každá hodnota funkce F je pravděpodobností nějakého náhodného jevu. b) Zvolme hodnoty x 1 x 2 libovolně v R. Pro náhodné jevy platí: (X x 1 ) (X x 2 ), tedy F (x 1 ) = P (X x 1 ) P (X x 2 ) = F (x 2 ) pro všechny zvolené hodnoty proměnné x 1 x 2. Funkce F je tudíž neklesající v R. Dokažme spojitost zprava: Zvolme pro x R klesající posloupnost {x n ; n N }, takovou že x n x. Potom náhodné jevy (X x n ) tvoří klesající posloupnost a pro jejich průnik dostaneme (X x n ) = (X x). Ze spojitosti pravděpodobnosti (věta 2.29) plyne, že lim P (X x n) = lim F (x n) = P (X x) = F (x) n n 31

3 pro každou posloupnost popsané vlastnosti. Tedy je F (x+) = lim F (z) = F (x), z x+ což znamená, že funkce F je v každém bodě spojitá zprava. Vypočítejme nyní limity funkce F v bodech ±. Pro přirozená čísla n N je: (X n) = V a posloupnost jevů je klesajicí; (X n) = U a posloupnost jevů je rostoucí. Viz obrázek Obr X n X n n n Obr Ze spojitosti pravděpodobnosti (věta 2.29) dostaneme: lim F (x) = lim F ( n) = lim P (X n) = P (V ) = 0; x n n lim F (x) = lim F (n) = lim P (X n) = P (U) = 1. x n n c) Je-li x 1 < x 2, pak pro náhodné jevy platí: (X x 1 ) (X x 2 ) a (X x 2 ) (X x 1 ) = (x 1 < X x 2 ), tedy P (x 1 < X x 2 ) = P (X x 2 ) P (X x 1 ) = F (x 2 ) F (x 1 ). Situace je znázorněna na obrázku Obr x 1 < X x 2 x 1 x 2 Obr d) Je-li x R a {x n ; n N } je rostoucí posloupnost taková, že x n x, pak je posloupnost náhodných jevů (x n < X x) klesající a její průnik (x n < X x) = (X = x). Ze spojitosti pravděpodobnosti (věta 2.29) dostaneme P (X = x) = lim n P (x n < X x) = lim n (F (x) F (x n)) = F (x) F (x ). e) Náhodné jevy (X > x) a (X x) jsou opačné. Je tedy P (X > x) = 1 P (X x) = 1 F (x). Další vlastnosti dokážeme pomocí vlastností c) a d). Je totiž: P (X < x) = P (X x) P (X = x) = F (x) (F (x) F (x )) = F (x ); P (X x) = P (X > x) + P (X = x) = 1 F (x) + F (x) F (x ) = 1 F (x ). f) Obdobně pomocí vlastností c), d) a e) dokážeme zbývající identity. Je pro x 1 < x 2 : P (x 1 X x 2 ) = P (x 1 < X x 2 ) + P (X = x 1 ) = F (x 2 ) F (x 1 ) + F (x 1 ) F (x 1 ) = 32

4 = F (x 2 ) F (x 1 ); P (x 1 < X < x 2 ) = P (x 1 < X x 2 ) P (X = x 2 ) = F (x 2 ) F (x 1 ) (F (x 2 ) F (x 2 )) = = F (x 2 ) F (x 1 ); P (x 1 X < x 2 ) = P (x 1 < X x 2 ) + P (X = x 1 ) P (X = x 2 ) = = F (x 2 ) F (x 1 ) + F (x 1 ) F (x 1 ) (F (x 2 ) F (x 2 )) = F (x 2 ) F (x 1 ) Příklad: Alternativní rozdělení. Konáme náhodný pokus, ve kterém náhodný jev A nastává s pravděpodobností P (A) = p, 0 < p < 1. Náhodná veličina X nabývá hodnoty 0, jestliže náhodný jev A nenastane a nabývá hodnoty 1, jestliže náhodný jev nastane. Určete její distribuční funkci. Např.: Házíme hrací kostkou a sledujeme výskyt šestky. Házíme mincí a sledujeme zda padne rub na horní straně mince. Koupíme los a zajímá nás zda vyhraje. Náhodně vybereme výrobek z sledujeme zda není vadný. Náhodná veličina nabývá pouze dvou hodnot, řekněme ano či ne. Toto rozdělení nazýváme alternativní rozdělení. Řešení: Vyjdeme z definice distribuční funkce F (x) = P (X x), x R. Vzhledem k tomu, že náhodná veličina X nabývá pouze hodnot {0, 1}, bude se hodnota funkce F měnit pouze v bodech 0 a 1. X x x 0 x 1 x Obr Postupně dostaneme: x < 0 : F (x) = P (X x < 0) = P (V ) = 0, neboť X nemůže nabývat záporných hodnot; 0 x < 1 : F (x) = P (X x < 1) = P (X = 0) = 1 p, protože uvedenou podmínku splní pouze hodnota X = 0; x 1 : F (x) = P (X x) = P (X {0, 1}) = P (X = 0 X = 1) = = P (X = 0) + P (X = 1) = 1 p + p = 1, podmínku splní obě hodnoty 0 a 1 a tyto hodnoty se navzájem vylučují Příklad: Binomické rozdělení. Konáme n krát náhodný pokus, ve kterém nastává náhodný jev A s pravděpodobností P (A) = p, 0 < p < 1. Náhodná veličina X je počet výskytů náhodného jevu A v serii n pokusů. Např.: Házíme n krát hrací kostkou a počítáme počet šestek (p = 1 6 ). Házíme mincí n krát a počítáme ruby (p = 0, 5). Řešení: Náhodná veličina X nabývá hodnot z množiny {0, 1, 2,..., n}. Její distribuční funkce bude mít podobný charakter jako v příkladě 5.5. Funkce bude po úsecích konstantní, skoky bude mít v bodech 0, 1, 2,...,n. Je tedy: x < 0 : F (x) = P (X x < 0) = 0; 0 x < 1 : F (x) = P (X x) = P (X = 0) = (1 p) n ; 1 x < 2 : F (x) = P (X x) = P (X = 0) + P (X = 1) = (1 p) n + np(1 p) n 1 ; v každém z dalších intervalů tvaru k x < k + 1, k < n, přdáme k předchozí hodnotě další pravděpodobnost P n (k) = P (X = k) z Bernoulliho schematu z věty 4.2 pro x n je F (x) = 1, neboť podmínce (X X) vyhovují všechny možné hodnoty náhodné veličiny X. 33

5 5.7. Definice: Binomické rozdělení. Rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny z příkladu 5.6 se nazývá binomické rozdělení a budeme jej značit symbolem Bi(n; p). Poznamenejme, že rozdělení Bi(1; p) je alternativní rozdělení z příkladu Příklad: Geometrické rozdělení. Provádíme náhodný pokus, ve kterém nastává náhodný jev A s pravděpodobností P (A) = p, 0 < p < 1, dokud nenastane náhodný jev A. Náhodná veličina X je počet provedených pokusů. Např.: Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka (dokud padá šestka). Házíme mincí dokud nepadne rub. Řešení: Náhodná veličina nabývá hodnot z množiny přirozených čísel X {1, 2, 3,...}. Distribuční funkce bude obdobně jako v příkladech 5.5 a 6 po úsecích konstantní a bude měnit svou hodnotu v bodech 1, 2, 3,.... Pro její hodnoty dostaneme: x < 1 : F (x) = P (X x < 1) = P (V ) = 0, neboť 1 je nejmenší hodnotou náhodné veličiny X; 1 x < 2 : F (x) = P (X x) = P (X = 1) = p, neboť náhodná veličina nabývá hodnoty 1, jestliže v prvním pokusu nastane jev A; 2 x < 3 : F (x) = P (X X) = P (X 2) = P (X = 1 X = 2) = = P (X = 1) + P (X = 2) = p + p(1 p), neboť X = 2 pokud jev A nastane až ve druhém pokusu, tedy poprvé nenastane a podruhé nastane; n x < n + 1 : F (x) = P (X x) = P (X n) = P (X {1, 2,..., n}) = = P (X = 1) + P (X = 2) P (X = n) = p + p(1 p) p(1 p) n 1 = p 1 (1 p)n 1 (1 p) = = 1 (1 p) n, jestliže použijeme vzorec pro částečný součet geometrické řady s kvocientem (1 p) Příklad: Rovnoměrné rozdělení (spojité). Volíme náhodně bod v intervalu a, b tak, že je každá volba stejně pravděpodobná. Náhodná veličina X se rovná souřadnici x zvoleného bodu. Určete distribuční funkci dané náhodné veličiny. Řešení: Ze zadání vyplývá, že náhodná veličina X nabývá pouze hodnot z intervalu a, b. Pro hodnoty její distribuční funkce dostaneme: x < a : F (x) = P (X x < a) = P (V ) = 0, neboť a je nejmenší hodnotou náhodné veličiny X; x b : F (x) = P (X x) = P (X b) = P (U) = 1, neboť každá hodnota náhodné veličiny X je menší nebo rovna b. Pro určení hodnot distribuční funkce v intervalu a, b použijeme geometrickou pravděpodobnost z odstavce Znázorníme si situaci na obrázku Obr X x a x b Obr Potom pro x a, b je P (X x) rovna poměru délek úseček a, x a a, b. Je tedy F (x) = P (X x) = x a b a, a x b. Poznámka: Všimneme si, že v tomto případě je distribuční funkce spojitá v R a lineární v intervalu a, b. Rozdělení uvedeného typu nazýváme rovnoměrné rozdělení v intervalu a, b. Podle vlastnosti d) z věty 5.4 je z důvodu spojitosti funkce F P (X = x) = F (x) F (x ) = F (x) F (x) = 0, x R. 34

6 Z toho důvodu je lhostejné, zda pro definici náhodné veličimy uvedeného typu zvolíme otevřený či polouzavřený interval Příklad: Smíšené rozdělení. Máme domluvenou schůzku mezi 12 a 13 hodinou. Jdeme náhodně na schůzku a čekáme nejdéle 15 minut. Náhodná veličina X je doba čekání. Určete její distribuční funkci. Řešení: K řešení úlohy použijeme geometrickou pravděpodobnost. Náhodná veličina X nabývá hodnot z intervalu 0, 1 4. Znázorníme si t 1, resp. t 2, okamžik příchodu 1., resp., 2. účastníka schůzky po 12 hodině. Bod (t 1, t 2 ) 0, 1 0, 1 odpovídá nastalé situaci. Náhodnému jevu (X x 1 4 ), který znamená, že se účastníci sejdou za kratší dobu než je 0 x < 1 4, odpovídají body, pro které platí t 1 t 2 x < 1 4. To jsou body pásu kolem diagonály čtverce. Pravděpodobnost P (X x) setkání za dobu menší než x je rovna poměru obsahu pásu a čtverce, tedy F (x) = P (X x) = 1 (1 x)2 1 = 2x x 2, 0 x < 1 4. Pro x < 0 je F (x) = P (X x < 0) = 0 a pro x 1 4 je F (x) = P (X x) = P (X 1 4 ) = 1, neboť déle než čtvrt hodiny nečekáme. Všimneme si, že distribuční funkce F je spojitá v intervalech (, 1 4 ) a 1 4, ). v bodě 1 4 má skok velikosti ( P X = 1 ) ( ( ) 1 1 = F F 4 4) 4 = ( ) = 9 = 0, Je to pravděpodobnost toho, že jsme se nesetkali. Pravděpodobnost setkání je pak rovna = 7 16 = 0,

2. Definice pravděpodobnosti

2. Definice pravděpodobnosti 2. Definice pravděpodobnosti 2.1. Úvod: V přírodě se setkáváme a v přírodních vědách studujeme pomocí matematických struktur a algoritmů procesy dvojího druhu. Jednodušší jsou deterministické procesy,

Více

Téma 22. Ondřej Nývlt

Téma 22. Ondřej Nývlt Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené

Více

10. N á h o d n ý v e k t o r

10. N á h o d n ý v e k t o r 10. N á h o d n ý v e k t o r 10.1. Definice: Náhodný vektor. Uspořádanou n tici (X 1, X 2,..., X n ) náhodných veličin X i, 1 i n, nazýváme náhodným vektorem. Poznámka: Pro jednoduchost budeme zavádět

Více

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

p(x) = P (X = x), x R,

p(x) = P (X = x), x R, 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak.

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak. 8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) e, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá normované

Více

8. Normální rozdělení

8. Normální rozdělení 8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, 2 ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) 2 e 2 2, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá

Více

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota y závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí y = f(x).

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika 1 Náhodné pokusy a náhodné jevy Činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (alespoň teoreticky) neomezeně opakovatelné,

Více

Matematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III

Matematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 4. října 2018 Podmíněná pravděpodobnost Při počítání pravděpodobnosti můžeme k náhodnému pokusu přidat i nějakou dodatečnou podmínku. Podmíněná pravděpodobnost

Více

Pravděpodobnost a její vlastnosti

Pravděpodobnost a její vlastnosti Pravděpodobnost a její vlastnosti 1 Pravděpodobnost a její vlastnosti Náhodné jevy Náhodný jev je výsledek pokusu (tj. realizace určitého systému podmínek) a jeho charakteristickým rysem je, že může, ale

Více

Intuitivní pojem pravděpodobnosti

Intuitivní pojem pravděpodobnosti Pravděpodobnost Intuitivní pojem pravděpodobnosti Intuitivní pojem pravděpodobnosti Pravděpodobnost zkoumaného jevu vyjadřuje míru naděje, že tento jev nastane. Řekneme-li, že má nějaký jev pravděpodobnost

Více

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud

Více

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4 Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4 J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015

Více

3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec

3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec 3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec Poznámka: V některých úlohách řešíme situaci, kdy zkoumáme pravděpodobnost náhodného jevu za dalších omezujících podmínek. Nejčastěji má omezující podmínka

Více

Přednáška. Diskrétní náhodná proměnná. Charakteristiky DNP. Základní rozdělení DNP

Přednáška. Diskrétní náhodná proměnná. Charakteristiky DNP. Základní rozdělení DNP IV Přednáška Diskrétní náhodná proměnná Charakteristiky DNP Základní rozdělení DNP Diskrétní náhodná veličina Funkce definovaná na Ω, přiřazující každému elementárnímu jevu E prvky X(E) D R kde D je posloupnost

Více

6 5 = 0, = 0, = 0, = 0, 0032

6 5 = 0, = 0, = 0, = 0, 0032 III. Opaované pousy, Bernoulliho nerovnost. Házíme pětrát hrací ostou a sledujeme výsyt šesty. Spočtěte pravděpodobnosti možných výsledů a určete, terý má největší pravděpodobnost. Řešení: Jedná se o serii

Více

MATEMATICKÁ STATISTIKA

MATEMATICKÁ STATISTIKA MATEMATICKÁ STATISTIKA 1. Úvod. Matematická statistika se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného procesu, se snažíme popsat

Více

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému

Více

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY 4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY Průvodce studiem V této kapitole se seznámíte se základními typy rozložení diskrétní náhodné veličiny. Vašim úkolem by neměla být

Více

Náhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost

Náhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost Pravděpodobnost Náhodné veličiny a jejich číselné charakteristiky Petr Liška Masarykova univerzita 19.9.2014 Představme si, že provádíme pokus, jehož výsledek dokážeme ohodnotit číslem. Před provedením

Více

2. LIMITA A SPOJITOST FUNKCE

2. LIMITA A SPOJITOST FUNKCE . LIMITA A SPOJITOST FUNKCE Průvodce studiem Funkce y = je definována pro ( ) (>. Z grafu funkce (obr. 3) a z tabulky (a) je vidět že čím více se hodnoty blíží k -3 tím více se funkční hodnoty blíží ke

Více

1. Házíme hrací kostkou. Určete pravděpodobností těchto jevů: a) A při jednom hodu padne šestka;

1. Házíme hrací kostkou. Určete pravděpodobností těchto jevů: a) A při jednom hodu padne šestka; I Elementární pravděpodonost 1 Házíme hrací kostkou Určete pravděpodoností těchto jevů: a) A při jednom hodu padne šestka; Řešení: P A) = 1 = 01; Je celkem šest možností {1,,, 4,, } a jedna {} je příznivá

Více

2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST

2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST 2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST NÁHODNÝ POKUS A JEV Každá opakovatelná činnost prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě, se nazývá náhodný pokus.

Více

Spojitost a limita funkce

Spojitost a limita funkce Spojitost a ita funkce Okolí bodu Značení: a R ε > 0 označujeme O ε (a) = (a ε, a + ε) ε-ové okolí bodu a O + ε (a) = a, a + ε) pravé okolí, O ε (a) = (a ε, a levé okolí P ε (a) = O ε (a) \ {a} x a ε-ové

Více

Matematika III. 27. září Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III

Matematika III. 27. září Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 27. září 2018 Teorie pravděpodobnosti Teorie pravděpodobnosti je odvětvím matematiky, které studuje matematické modely náhodných pokusu, tedy zabývá se

Více

Náhodný pokus Náhodným pokusem (stručněji pokusem) rozumíme každé uskutečnění určitého systému podmínek resp. pravidel.

Náhodný pokus Náhodným pokusem (stručněji pokusem) rozumíme každé uskutečnění určitého systému podmínek resp. pravidel. Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus Náhodným pokusem (stručněji pokusem) rozumíme každé uskutečnění určitého systému podmínek resp. pravidel. Poznámka: Výsledek pokusu není předem znám (výsledek

Více

X = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní

X = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní ..08 8cv7.tex 7. cvičení - transformace náhodné veličiny Definice pojmů a základní vzorce Je-li X náhodná veličina a h : R R je měřitelná funkce, pak náhodnou veličinu Y, která je definovaná vztahem X

Více

Cvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko

Cvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko Cvičení ze statistiky - 5 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Začali jsme pravděpodobnost Klasická a statistická definice pravděpodobnosti Náhodný jev Doplněk, průnik, sjednocení Podmíněná pravděpodobnost

Více

5.1. Klasická pravděpodobnst

5.1. Klasická pravděpodobnst 5. Pravděpodobnost Uvažujme množinu Ω všech možných výsledků náhodného pokusu, například hodu mincí, hodu kostkou, výběru karty z balíčku a podobně. Tato množina se nazývá základní prostor a její prvky

Více

KMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC

KMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC Přednáška 03 Přírodovědecká fakulta Katedra matematiky KMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC jiri.cihlar@ujep.cz Diskrétní rozdělení Důležitá diskrétní rozdělení pravděpodobnosti

Více

Náhodné chyby přímých měření

Náhodné chyby přímých měření Náhodné chyby přímých měření Hodnoty náhodných chyb se nedají stanovit předem, ale na základě počtu pravděpodobnosti lze zjistit, která z možných naměřených hodnot je více a která je méně pravděpodobná.

Více

f( x) x x 4.3. Asymptoty funkce Definice lim f( x) =, lim f( x) =, Jestliže nastane alespoň jeden z případů

f( x) x x 4.3. Asymptoty funkce Definice lim f( x) =, lim f( x) =, Jestliže nastane alespoň jeden z případů 3 Výklad Definice 3 Jestliže nastane alespoň jeden z případů lim =, lim =, + + lim =, lim =, kde ( D ), pak říkáme, že přímka = je asymptotou funkce f() v bodě f Jestliže lim ( k q) =, resp lim ( k q)

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 1. KAPITOLA - PRAVDĚPODOBNOST 2.10.2017 Kontakt Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. jana.seknickova@vse.cz Katedra softwarového inženýrství Fakulta

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Náhodná veličina slouží k popisu výsledku pokusu. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáme. Přesto bychom chtěli tento pokus

Více

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice 7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně 7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností

Více

( ) ( ) Binomické rozdělení. Předpoklady: 9209

( ) ( ) Binomické rozdělení. Předpoklady: 9209 9..1 Binomické rozdělení Předpoklady: 99 Př. 1: Basketbalista hází trestný hod (šestku) s pravděpodobností úspěchu,9. Urči pravděpodobnosti, že z pěti hodů: a) dá košů b) dá alespoň jeden koš c) dá nejdříve

Více

Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet?

Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet? Náhodné veličiny Náhodné veličiny Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Příklad Vytáhneme tři karty z balíčku zajímá nás, kolik je mezi nimi es.

Více

Diskrétní náhodná veličina

Diskrétní náhodná veličina Lekce Diskrétní náhodná veličina Výsledek náhodného pokusu může být vyjádřen slovně to vede k zavedení pojmu náhodného jevu Výsledek náhodného pokusu můžeme někdy vyjádřit i číselně, což vede k pojmu náhodné

Více

1 Posloupnosti a řady.

1 Posloupnosti a řady. 1 Posloupnosti a řady. 1.1 Posloupnosti reálných čísel. Definice 1.1: Posloupností reálných čísel nazýváme zobrazení f množiny N všech přirozených čísel do množiny R všech reálných čísel. Pokud nemůže

Více

cv3.tex. Vzorec pro úplnou pravděpodobnost

cv3.tex. Vzorec pro úplnou pravděpodobnost 3 cvičení - pravděpodobnost 2102018 18cv3tex n i=1 Vzorec pro úplnou pravděpodobnost Systém náhodných jevů nazýváme úplným, jestliže pro něj platí: B i = 1 a pro i k je B i B k = 0 Jestliže je (Ω, A, P

Více

Diskrétní náhodná veličina. November 12, 2008

Diskrétní náhodná veličina. November 12, 2008 Diskrétní náhodná veličina November 12, 2008 (Náhodná veličina (náhodná proměnná)) Náhodná veličina (nebo též náhodná proměnná) je veličina X, jejíž hodnota je jednoznačně určena výsledkem náhodného pokusu.

Více

10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.

10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457. 0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti

Více

TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI. 2. cvičení

TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI. 2. cvičení TEORIE RAVDĚODONOSTI 2. cvičení Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Základní pojmy Náhodný pokus - je každý konečný děj, jehož výsledek není

Více

Náhodné jevy. Teorie pravděpodobnosti. Náhodné jevy. Operace s náhodnými jevy

Náhodné jevy. Teorie pravděpodobnosti. Náhodné jevy. Operace s náhodnými jevy Teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus skončí jedním z řady možných výsledků předem nevíme, jak skončí (náhoda) příklad: hod kostkou, zítřejší počasí,... Pravděpodobnost zkoumá náhodné jevy (mohou, ale

Více

Náhodné (statistické) chyby přímých měření

Náhodné (statistické) chyby přímých měření Náhodné (statistické) chyby přímých měření Hodnoty náhodných chyb se nedají stanovit předem, ale na základě počtu pravděpodobnosti lze zjistit, která z možných naměřených hodnot je více a která je méně

Více

Matematika I (KMI/PMATE)

Matematika I (KMI/PMATE) Přednáška první aneb Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Úvod do matematické analýzy Osnova přednášky pojem funkce definice funkce graf funkce definiční obor funkce obor hodnot funkce

Více

Pravděpodobnost a statistika I KMA/K413

Pravděpodobnost a statistika I KMA/K413 Pravděpodobnost a statistika I KMA/K413 Konzultace 3 Přírodovědecká fakulta Katedra matematiky jiri.cihlar@ujep.cz Kovariance, momenty Definice kovariance: Kovariance náhodných veličin Dále můžeme dokázat:,

Více

Náhodná veličina. Michal Fusek. 10. přednáška z ESMAT. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek

Náhodná veličina. Michal Fusek. 10. přednáška z ESMAT. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek Náhodná veličina Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 10. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 71 Obsah 1 Náhodná veličina 2 Diskrétní náhodná veličina 3

Více

Jevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého

Jevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého 8. Základy teorie pravděpodobnosti 8. ročník 8. Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost se zabývá matematickými zákonitostmi, které se projevují v náhodných pokusech. Tyto zákonitosti mají opodstatnění

Více

Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2018/2019

Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2018/2019 Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2018/2019 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka

Více

(iv) D - vybíráme 2 koule a ty mají různou barvu.

(iv) D - vybíráme 2 koule a ty mají různou barvu. 2 cvičení - pravděpodobnost 2102018 18cv2tex Definice pojmů a záladní vzorce Vlastnosti pravděpodobnosti Pravděpodobnost P splňuje pro libovolné jevy A a B následující vlastnosti: 1 0, 1 2 P (0) = 0, P

Více

1 Rozptyl a kovariance

1 Rozptyl a kovariance Rozptyl a kovariance Nechť X je náhodná veličina s konečnou střední hodnotou EX Potom rozptyl náhodné veličiny X definujeme jako: DX E(X EX, pokud střední hodnota na pravé straně existuje Podobně jako

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení

Více

Rovnoměrné rozdělení

Rovnoměrné rozdělení Rovnoměrné rozdělení Nejjednodušší pravděpodobnostní rozdělení pro diskrétní náhodnou veličinu. V literatuře se také nazývá jako klasické rozdělení pravděpodobnosti. Náhodná veličina může nabývat n hodnot

Více

NMAI059 Pravděpodobnost a statistika

NMAI059 Pravděpodobnost a statistika NMAI059 Pravděpodobnost a statistika podle přednášky Daniela Hlubinky (hlubinka@karlin.mff.cuni.cz) zapsal Pavel Obdržálek (pobdr@matfyz.cz) 205/20 poslední změna: 4. prosince 205 . přednáška. 0. 205 )

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

III. Úplná pravděpodobnost. Nezávislé pokusy se dvěma výsledky. Úplná pravděpodobnost Nezávislé pokusy se dvěma výsledky Náhodná veličina

III. Úplná pravděpodobnost. Nezávislé pokusy se dvěma výsledky. Úplná pravděpodobnost Nezávislé pokusy se dvěma výsledky Náhodná veličina III Přednáška Úplná pravděpodobnost Nezávislé pokusy se dvěma výsledky Náhodná veličina Pravděpodobnost při existenci neslučitelných hypotéz Věta Mějme jev. Pokud H 1,H 2, : : :,H n tvoří úplnou skupinu

Více

15. T e s t o v á n í h y p o t é z

15. T e s t o v á n í h y p o t é z 15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

Rozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce

Rozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce Náhodná veličina motivace Náhodná veličina Často lze výsledek náhodného pokusu vyjádřit číslem: číslo, které padlo na kostce, výška náhodně vybraného studenta, čas strávený čekáním na metro, délka života

Více

Určete zákon rozložení náhodné veličiny, která značí součet ok při hodu a) jednou kostkou, b) dvěma kostkami, c) třemi kostkami.

Určete zákon rozložení náhodné veličiny, která značí součet ok při hodu a) jednou kostkou, b) dvěma kostkami, c) třemi kostkami. 3.1. 3.2. Třikrát vystřelíme na cíl. Pravděpodobnost zásahu při každém výstřelu je p = 0,7. Určete: a) pravděpodobnostní funkci počtu zásahů při třech nezávislých výsledcích, b) distribuční funkci a její

Více

PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ

PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ Základním pojmem teorie pravděpodobnosti je náhodný jev. náhodný jev : výsledek nějaké činnosti nebo pokusu, o němž má smysl prohlásit že nastal nebo ne. Náhodné jevy se označují

Více

( ) ( ) 9.2.10 Binomické rozdělení. Předpoklady: 9209

( ) ( ) 9.2.10 Binomické rozdělení. Předpoklady: 9209 9..1 Binomické rozdělení Předpoklady: 99 Př. 1: Basketbalista hází trestný hod (šestku) s pravděpodobností úspěchu,9. Urči pravděpodobnosti, že z pěti hodů: a) dá košů; b) dá alespoň jeden koš; c) dá nejdříve

Více

pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti.

pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti. 3.1 Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti. Co se dozvíte Náhodný pokus a náhodný jev. Pravděpodobnost, počítání s pravděpodobnostmi.

Více

Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017

Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017 Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2016/2017 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

a) 7! 5! b) 12! b) 6! 2! d) 3! Kombinatorika

a) 7! 5! b) 12! b) 6! 2! d) 3! Kombinatorika Kombinatorika Kombinatorika se zabývá vytvářením navzájem různých skupin z daných prvků a určováním počtu takových skupin. Kombinatorika se zabývá pouze konečnými množinami. Při určování počtu výběrů skupin

Více

1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad

1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad 1.3. Cíle Cílem kapitoly je seznámení čtenáře s axiomy číselných oborů a jejich podmnožin (intervalů) a zavedení nových pojmů, které nejsou náplní středoškolských osnov. Průvodce studiem Vývoj matematiky

Více

NÁHODNÁ VELIČINA. 3. cvičení

NÁHODNÁ VELIČINA. 3. cvičení NÁHODNÁ VELIČINA 3. cvičení Náhodná veličina Náhodná veličina funkce, která každému výsledku náhodného pokusu přiřadí reálné číslo. Je to matematický model popisující více či méně dobře realitu, který

Více

5 Pravděpodobnost. Sestavíme pravděpodobnostní prostor, který modeluje vytažení dvou ponožek ze šuplíku. Elementární jevy

5 Pravděpodobnost. Sestavíme pravděpodobnostní prostor, který modeluje vytažení dvou ponožek ze šuplíku. Elementární jevy Typické příklady pro zápočtové písemky DiM 70-30 (Kovář, Kovářová, Kubesa) (verze: November 5, 08) 5 Pravděpodobnost 5.. Jiří má v šuplíku rozházených osm párů ponožek, dva páry jsou černé, dva páry modré,

Více

Matematika (KMI/PMATE)

Matematika (KMI/PMATE) Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Funkce a její vlastnosti Veličina Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Funkce a její

Více

Náhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která

Náhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která Náhodná veličina a její charakteristiky Náhodná veličina a její charakteristiky Představte si, že provádíte náhodný pokus, jehož výsledek jste schopni ohodnotit nějakým číslem. Před provedením pokusu jeho

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika Teorie pravděpodobnosti popisuje vznik náhodných dat, zatímco matematická statistika usuzuje z dat na charakter procesů, jimiž data vznikla. NÁHODNOST - forma existence látky,

Více

0.1 Úvod do matematické analýzy

0.1 Úvod do matematické analýzy Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Pojem funkce Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost

Více

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 5.téma

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 5.téma Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 5.téma 5. Některá významná rozdělení A. Diskrétní rozdělení (i) Diskrétní rovnoměrné rozdělení na množině {,..., n} Náhodná veličina X, která má diskrétní rovnoměrné

Více

Úvod do teorie pravděpodobnosti

Úvod do teorie pravděpodobnosti Úvod do teorie pravděpodobnosti Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 9. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 33 Obsah 1 Náhodné jevy 2 Pravděpodobnost 3 Podmíněná

Více

2. Definice pravděpodobnosti

2. Definice pravděpodobnosti 2. Defnce pravděpodobnost 2.1. Úvod: V přírodě se setkáváme a v přírodních vědách studujeme pomocí matematckých struktur a algortmů procesy dvojího druhu. Jednodušší jsou determnstcké procesy, které se

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST

MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST 1. Úvod. Matematická statistika (statistics) se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného

Více

PRAVDĚPODOBNOST Náhodné pokusy. Náhodný jev

PRAVDĚPODOBNOST Náhodné pokusy. Náhodný jev RAVDĚODOBNOST Náhodné pokusy okusy ve fyzice, chemii při splnění stanov. podmínek vždy stejný výsledek ř. Změna skupenství vody při 00 C a tlaku 00 ka okusy v praxi, vědě, výzkumu při dodržení stejných

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Základy matematické analýzy

Základy matematické analýzy Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních

Více

Určeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, 4. ročník, okruh Základy počtu pravděpodobnosti

Určeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, 4. ročník, okruh Základy počtu pravděpodobnosti PRAVDĚPODOBNOST anotace Určeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, 4. ročník, okruh Základy počtu pravděpodobnosti VM vytvořil: Mgr. Marie Zapadlová Období vytvoření VM: září 2013 Klíčová

Více

Číselné posloupnosti

Číselné posloupnosti Číselné posloupnosti Jiří Fišer KMA, PřF UP Olomouc ZS09 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 43 Pojem posloupnosti Každé zobrazení N do R nazýváme číselná posloupnost. 1 a 1, 2 a 2, 3 a

Více

Pravděpodobnost Podmíněná p. Úplná p. III. Pravděpodobnost. III. Pravděpodobnost Statistika A (ZS 2015)

Pravděpodobnost Podmíněná p. Úplná p. III. Pravděpodobnost. III. Pravděpodobnost Statistika A (ZS 2015) III Pravděpodobnost Pravděpodobnost Podmíněná p. Úplná p. Odkud se bere pravděpodobnost? 1. Pravděpodobnost, že z balíčku zamíchaných karet vytáhmene dvě esa je přibližně 0:012. Modely a teorie. 2. Pravděpodobnost,

Více

2. přednáška 8. října 2007

2. přednáška 8. října 2007 2. přednáška 8. října 2007 Konvergence v metrických prostorech. Posloupnost bodů (a n ) M v metrickém prostoru (M, d) konverguje (je konvergentní), když v M existuje takový bod a, že lim n d(a n, a) =

Více

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN?

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN? NÁHODNÉ VELIČINY GENEROVÁNÍ SPOJITÝCH A DISKRÉTNÍCH NÁHODNÝCH VELIČIN, VYUŽITÍ NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI, METODY TRANSFORMACE NÁHODNÝCH ČÍSEL NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN. JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU

Více

Limita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1]

Limita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1] KAPITOLA 3: Limita a spojitost funkce [MA-8:P3.] 3. Úvod Necht je funkce f definována alespoň na nějakém prstencovém okolí bodu 0 R. Číslo a R je itou funkce f v bodě 0, jestliže pro každé okolí Ua) bodu

Více

VYBRANÁ ROZDĚLENÍ DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY

VYBRANÁ ROZDĚLENÍ DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY VYBRANÁ ROZDĚLENÍ DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY Název NV X Popis Pravděpodobnostní funkce E(X) D(X) Binomická - Bi(n, ) počet úspěchů v n Bernoulliho pokusech P(X = k) = ( n k ) k (1 ) k n n(1 ) Hypergeometrická

Více

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015 Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 3. Implicitní funkce Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 V této kapitole se seznámíme s dalším možným zadáním funkce jejím implicitním vyjádřením. Doplní tak nám již známé explicitní a parametrické

Více

Matematická analýza pro informatiky I. Limita posloupnosti (I)

Matematická analýza pro informatiky I. Limita posloupnosti (I) Matematická analýza pro informatiky I. 3. přednáška Limita posloupnosti (I) Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 25. února 2011 tomecek@inf.upol.cz

Více

1 Pravděpodobnostní prostor

1 Pravděpodobnostní prostor PaS 1.-10. přednáška 1 Pravděpodobnostní prostor Náhodný pokus je takový pokus, jehož výsledek nelze s jistotou předpovědět. Pokud jsme schopni pokus za stále stejných podmínek opakovat (například házíme

Více

Limita posloupnosti a funkce

Limita posloupnosti a funkce Limita posloupnosti a funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 1 / 90 Obsah 1 Posloupnosti reálných čísel Úvod Limita posloupnosti

Více