1. Obyčejné diferenciální rovnice

Transkript

1 & : Josef Hekrdla obyčejné diferenciální rovnice-separace proměnných. Obyčejné diferenciální rovnice Rovnice, ve které je neznámá funkcí a v rovnici se vyskytuje spolu se svými derivacemi, se nazývá diferenciální rovnice. V následujících příkladech je y symbol pro neznámou funkci, y, y, symboly pro derivace neznámé funkce a je nezávisle proměnná. Příklad. y ( y) y y y y 4 y ( y ) y y y y 6 ( ) sin( ) Obecný zápis: ( n) F(, y, y, y,, y ) (.) F( a, b, c, d) ad c ab 4 F( a, b, c, d) cd sin( ab) b 6 Obyčejné diferenciální rovnice neznámá funkce je jedné proměnné, y y( ). Parciální diferenciální rovnice neznámá funkce je více proměnných, z z(, y). z z z y yz Definice. (řád rovnice) Řádem dif. rovnice (.) rozumíme nejvyšší stupeň derivace neznámé funkce, který se v rovnici vyskytuje. Definice. (řešení dif. rovnice) Řešením dif. rovnice (.) na intervalu I rozumíme funkci : I, kde I je interval, pro kterou platí I F ( n) (, ( ), ( ), ( ))

2 & : Josef Hekrdla obyčejné diferenciální rovnice-separace proměnných Příklad. Známý případ: y f ( ) Řešením je každá primitivní funkce k funkci f. Množinu všech řešení na intervalu I lze psát ve tvaru y( ) F( ) c, F f ( ) d. Ilustrace množiny primitivních funkcí. Definice. (maimální řešení) ( n) Řešení : I se nazývá maimálním řešením rovnice F(, y, y, y,, y ), jestliže neeistuje řešení : J takové, že J I a I, tj. nemůže být rozšířeno na delší interval. Příklad. Mějme rovnici yy. Ukažte, že množina funkcí určená vztahem ( ) (.) pro libovolné {} je řešením uvedené rovnice na intervalu (, ). Ilustrace množiny řešení popsané formulí (.). Řešení. Nechť (, ), pak eistuje derivace ( ) a platí Dosazením do diferenciální rovnice dostaneme ( ) ( ) ( ).

3 & : Josef Hekrdla obyčejné diferenciální rovnice-separace proměnných. Platí tedy (, ) ( ) ( ), je tedy na intervalu (, ). ( ) řešením uvedené rovnice Příklad.4 Ukažte, že množina funkcí určená vztahem pro libovolné, je řešením rovnice na intervalech (, ), (, ). e ( ), (.) y ( ) y Ilustrace množiny řešení určené formulí (.). Definice.4 (obecné řešení) ( n) Množina všech řešení rovnice F(, y, y, y,, y ) je nazývána Obecné řešení. Obecné řešení je často popsáno formulí, ve které se vyskytuje n nezávislých parametrů c, c, cn, např. y (, c, c, c n ). Tato formule se rovněž nazývá obecné řešení. Definice.5 (dif. rovnice s počáteční podmínkou a její řešení) Nechť jsou dána čísla, b, b,, bn. ( n) Diferenciální rovnic F(, y, y, y,, y ) spolu s podmínkami ( n ) y( ) b, y ( ) b,, y ( ) b n se nazývá diferenciální rovnice s počátečními podmínkami, ekvivalentně taky auchyova úloha, nebo počáteční úloha.

4 & : Josef Hekrdla obyčejné diferenciální rovnice-separace proměnných Řešením počáteční úlohy ( n) F(, y, y, y,, y ), ( n ) y( ) b, y ( ) b,, y ( ) b n na intervalu I je funkce : I, která splňuje dále uvedené podmínky:. je řešením uvedené rovnice na intervalu I,.. I, ( ), ( ),, ( ). ( n ) b b b n Příklad.5 Řešte rovnici s počáteční podmínkou: yy, y(). V příkladě. jsme se přesvědčili, že formule ( ) popisuje množinu řešení uvedené dif. rovnice. Dá se ukázat, že to je obecné řešení dané rovnice. Z množiny všech řešení vyberu takové, které splňuje zadanou počáteční podmínku (), tj. najdu parametr, pro který () Odtud vyplývá, že 5, hledané řešení má tvar ( ) 5, viz obrázek Příklad.6 Některé známé diferenciální rovnice. Newtonova pohybová rovnice hmotného bodu m v gravitačním (newtonovském) poli tělesa hmotnosti M. M m rg r, r( t ) r, r ( t) v. r 4

5 & : Josef Hekrdla obyčejné diferenciální rovnice-separace proměnných r(t) M r m v Schrödingerova rovnice: V ( ) E, m ( ) v prostoru za potenciálovou bariérou V ( ) E, viz šrafovaná oblast. hustota pravděpodobnosti výskytu částice hmotnosti m a energii E, je nenulová i Vlnová rovnice. E E E E. y z c t Einsteinovy rovnice gravitačního pole: G R Rg L g 8 T c kde: gik i k ik ik ik 4 ik b b, ik g ik g, k rs gms gsn gmn G mn g n m s, l l Gil Gik r l r l Rik G k l ilgkr GikG lr, ik R g R ik, Tik - tenzor energie a hybnosti, - kosmologická konstanta. 5

6 & : Josef Hekrdla obyčejné diferenciální rovnice-separace proměnných l i k gikd d délka křivky, měření vzdálenosti. Eistují dif. rovnice které nemají řešení, např. ( y). Eistují dif. rovnice jejichž řešení není jednoznačně určeno počáteční podmínkou. Definice.6 (jednoznačná řešitelnost) Dif. rovnice s počáteční podmínkou ( n) F(, y, y, y,, y ), ( n ) y( ) b, y ( ) b,, y ( ) b n (.4) je jednoznačně řešitelná jestliže platí:. Eistuje alespoň jedno řešení: : I úlohy (.4).. Pro každá dvě řešení rovnice (.4) : I, : I eistuje okolí U( ) takové, že I I U ( ) ( ( ) ( )).. Obyčejné diferenciální rovnice. řádu Pro jednoduchost uvažujme rovnici (.) ve tvaru: F(, y, y) (.) y f (, y), y( ) y. Věta. (Eistence a jednoznačnost) Je dána rovnice s počáteční podmínkou y f (, y), y( ) y, (.) kde f : G, G G, G je souvislá, [, y] G. 6

7 & : Josef Hekrdla obyčejné diferenciální rovnice-separace proměnných y G f [, y ] Jestliže f je spojitá na G, pak počáteční úloha je řešitelná, tj. eistuje alespoň jedno řešení : I. Jestliže navíc f y je spojitá na G, je úloha (.) jednoznačně řešitelná pro každou počáteční podmínku [, y] G. Příklad. Uvažujme rovnici y y, (.) f (, y) y. Řešením rovnice na je konstantní funkce ( ) a každá funkce tvaru ( ) ( c) pro libovolné c, viz obrázek. Tyto funkce tvoří obecné řešení rovnice (.). Uvažujeme-li rovnici (.) s poč. podmínkou y(), tj. pro [, y] [,], rovnice je jednoznačně řešitelná, řešení však není na jediné, viz následující obrázky: 7

8 & : Josef Hekrdla obyčejné diferenciální rovnice-separace proměnných Rovnice (.) s poč. podmínkou y(), tj. pro [, y] [,], není jednoznačně řešitelná, tím méně má jediné řešení. Učiněná pozorování jsou v souladu s větou., neboť f y y y y je spojitá funkce všude v rovině {}, tj. v bodech [,y] kde y. Rovnice (.) je jednoznačně řešitelná pro každou počáteční podmínku [,y ], pro kterou y. Piccardovy aproimace (idea důkazu věty o eistenci a jednoznačnosti) Nechť y f (, y), y( ) y, (.4) f je spojitá na G a je řešením úlohy (.4) na intervalu I, tj. platí Pak platí: Eistuje derivace na I. I ( ) f (, ( )) a ( ) y. (.5) Protože R( f), derivace je konečná na I. Protože derivace je konečná na I, funkce je spojitá na I. Jestliže je spojitá na I, pak kompozice spojitých funkcí f (, ( )) je spojitá funkce. Jestliže f (, ( )) je spojitá funkce, pak podle (.5) je derivace spojitá na I. 8

9 & : Josef Hekrdla obyčejné diferenciální rovnice-separace proměnných Ze spojitosti plyne eistence Riemannových integrálů pro každé, I, ( t) dt f ( t, ( t)) dt, které lze psát ve tvaru ( ) y f ( t, ( t)) dt. (.6) Obdobnou argumentací je možno ukázat, že platí-li (.6) pro každé I, pak funkce je řešením dif. rovnice (.4) na I a vyhovuje počáteční podmínce. Rovnice (.6) má ovšem velmi výhodný tvar, který vynikne, definujeme-li zobrazení A vztahem: A ( ) = ( ) y f ( t, ( t)) dt pro každé I. (.7) Řešení rovnice (.6) a tedy i dif. rovnice (.4) je pak pevným bodem zobrazení A, tj. platí: Funkce je řešením úlohy (.4) právě když A ( ) =. Pevný bod zobrazení A lze nají iterací. Položme y, A n ( n). Jsou-li splněny předpoklady věty o eistenci a jednoznačnosti, pak posloupnost funkcí n konverguje k pevnému bodu zobrazení A. Příklad. Mějme počáteční úlohu y y, y(). Potom f (, y) Pak dostaneme posloupnost:, y, a n ( ) n( t) dt ( ) ( t) dt dt,. ( ) ( t) dt t dt, ( ) e n n! n! 9

10 & : Josef Hekrdla obyčejné diferenciální rovnice-separace proměnných Rovnice se separovanými proměnnými. Definice. (separace proměnných) Diferenciální rovnice ve tvaru se nazývá rovnice se separovanými proměnnými. p( ) q( y) y (.8) Lze-li rovnici F(, y, y) zapsat ve tvaru (.8), pak rovnice F(, y, y) se nazývá separovatelná. Věta. (řešení rovnice se separovanými proměnnými) Nechť funkce p je spojitá na intervalu (a, b) a funkce q je spojitá na intervalu (c, d). Nechť P p na (a, b) a Q q na (c, d), pak platí: (a) Pro každé řešení y ( ) rovnice (.8) na intervalu I ( a, b) eistuje konstanta taková, že P( ) Q( ( )) (.9) (b) Nechť funkce splňuje rovnici (.9) na intervalu I ( a, b) pro nějakou konstantu a na intervalu I je diferencovatelná. Pak funkce je řešením (.8). p( ) q( ( )) ( ) I P( ) Q( ( )) ( ) I P( ) Q( ( )) I P( ) Q( ( )) I P( ) Q( ( )) I Příklad. Je dána rovnice y y. (.) y Jestliže, y, pak platí. (.) y Původní rovnice je tedy separovatelná, rovnice po úpravě je s původní ekvivalentní pouze pro, y.

11 & : Josef Hekrdla obyčejné diferenciální rovnice-separace proměnných = II I y = III IV ln y ( ), ln y ( ), ln y( ), ln y( ), ln y( ) e e y y( ) e e ( ) y K e, K {}. (.) Řešení (.) je i řešením původní rovnice (.) avšak pouze uvnitř kvadrantů I, II, III, IV. Při dělení rovnice (.) veličinou y jsme ztratili jedno konstantní řešení původní rovnice y =. Ilustrace množiny řešení diferenciální rovnice (.).

12 & : Josef Hekrdla obyčejné diferenciální rovnice-separace proměnných y y f Pro lze původní rovnici psát ve tvaru y. Odtud f (, y) a je spojitá y y všude v ( {}), tj. rovnice y je jednoznačně řešitelná pro každou počáteční podmínku [,y ] kde. Maimální řešení původní rovnice není jednoznačně určené počáteční podmínkou, různá řešení (.) lze přes nulu propojovat, viz obrázek. Rovnice se separovanými proměnnými a počáteční podmínkou. p( ) q( y) y, y( ) y. (.) Podle Věty. víme (jsou-li splněny její předpoklady), že eistuje konstanta taková, že řešení (.) je implicitně určeno rovnicí P( ) Q( ( )). Má-li řešení splňovat počáteční podmínku, pak nutně P( ) Q( ( )) P( ) Q( y ) Odtud pro řešení počáteční úlohy dostaneme rovnici P( ) P( ) Q( ( )) Q( y ),

13 & : Josef Hekrdla obyčejné diferenciální rovnice-separace proměnných tj. ( ) p( t) dt q( t) dt. (.4) y Věta. (eistence a jednoznačnost řešení pro p( ) q( y) y, y( ) y) Jestliže p je spojitá na (a, b) a q je spojitá na (c, d) a y ( c, d) ( q( y) ), pak pro každou počáteční podmínku [, y] ( a, b) ( c, d) je úloha (.) jednoznačně řešitelná, řešení je implicitně určeno rovnicí (.4). Věta o implicitní funkci aplikovaná na (.4). Za uvedených předpokladů, funkce F(, y) p( t) dt q( t) dt y y je funkce F : ( a, b) ( c, d) třídy, F(, y), F ( y, ) ( ) y q y. Pak podle věty o implicitní funkci eistují okolí U( ), V( y ) a funkce : U ( ) V ( y) třídy taková, že U ( ) y V ( y ) F(, y) ( ) y. Příklad.4 yy, y(). (.5) Funkce p( ) je spojitá v {}, funkce q( y) y je spojitá a nenulová na stejné množině {}. Protože poč. podmínka leží v {} {},tj. [, ] {} {}, je rovnicí (.4) v jistém okolí bodu [,] určeno jediné řešení. Pro počáteční podmínku [, ] {} {} dostaneme y ln( ). Pro libovolnou počáteční podmínku [, y] {} {} je řešení dáno formulí y y y ln y.

14 & : Josef Hekrdla obyčejné diferenciální rovnice-separace proměnných Ilustrace obecného řešení diferenciální rovnice (.5). Zobecnění: p ( ) q ( y) p ( ) q ( y) y, y( ) y (.6) Jestliže q ( ), pak y ( ) je konstantním (říkáme též stacionárním) řešením rovnice (.6). Jestliže: p, p jsou spojité na I ( a, b) a p je na I nenulová, q, q jsou spojité a nenulové na intervalu K ( c, d), pak platí: (a) Rovnice (.6) je na množině I K ekvivalentní s rovnicí p( ) q( y) y, y( ) y (.7) p( ) q( y) a rovnice (.7) je na I K jednoznačně řešitelná. (b) Úlohy (.6) i (.7) mají pro každou počáteční podmínku [, y] I K identická řešení na množině I K. Příklad.5 y y y (.8) y y y {,} odtud plyne, že y ( ) a y ( ) jsou konstantní řešení rovnice (.8). 4

15 & : Josef Hekrdla obyčejné diferenciální rovnice-separace proměnných Pro, y, y, tj. na množině ( {}) ( {,}), je rovnice (.8) ekvivalentní s rovnicí y y y což je rovnice se separovanými proměnnými, a lze ji řešit podle Věty.. 5