MATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "MATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze"

Transkript

1 Fakulta strojního inženýrství Univerzity J. E. Purkyně v Ústí nad Labem Pasteurova 7 Tel.: Ústí nad Labem Fax: Internet: MATEMATIKA III Diferenciální rovnice a numerické metody Olga Majlingová Učební text pro prezenční studium Předběžná verze

2 Obsah Struktura předmětu 3 1 Obyčejné diferenciální rovnice Základní pojmy Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu Exaktní rovnice Separovatelné diferenciální rovnice

3 Struktura předmětu Předmět Matematika III je určen především pro studenty bakalářského studia. Předmět má dvě části: nejprve se seznámíme s řešením obyčejných diferenciálních rovnic prvního a druhého řádu, ve druhé části si ukážeme numerické řešení jednoduchých úloh. Výuka probíhá formou přednášek a cvičení. Na přednášce jsou formulovány postupy řešení úloh a uvedeny podmínky existence řešení. Na cvičeních jsou procvičovány příklady. Předpokládá se, že na cvičení má student podklady z přednášky. Harmonogram přednášek a cvičení. 1. Diferenciální rovnice základní pojmy (obyčejné diferenciální rovnice, řád diferenciální rovnice, řešení diferenciální rovnice, integrální křivka, počáteční (Cauchyova) úloha) existence řešení klasifikace obyčejných diferenciálních rovnic 2. Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu separovatelné (řešení separací proměnných) exaktní lineární Bernoulliova 3. Možnosti řešení Přibližné řešení ve tvaru polynomu Řešení v Matlabu Řešení numerickou metodou 4. Obyčejné diferenciální rovnice 2. řádu homogenní nehomogenní (se speciální pravou stranou) převod na soustavu rovnic 1. řádu 5. Možnosti řešení Přibližné řešení ve tvaru polynomu Řešení v Matlabu Řešení numerickou metodou 6. Soustavy diferenciálních rovnic 7. Převod rovnice vyššího řádu na soustavu rovnic 1. řádu 8. Opakování: zápočtový test 9. Numerické metody 10. Řešení nelineární rovnice 11. Výpočet určitého integrálu: pomocí mocninné řady; numerickou metodou 12. Interpolace a aproximace dat 13. Řešení soustav lineárních rovnic 14. Shrnutí: zápočtový test -3-

4 Kapitola 1 Obyčejné diferenciální rovnice Základní studijní text: Příklad: Chladnutí kávy Předpokládáme, že rychlost ochlazování (tj. změna teploty v čase) kávy v hrnečku v místnosti je přímo úměrná rozdílu teploty kávy a vzduchu v místnosti. V místnosti je teplota 23 C. Za jak dlouho se právě zalitá káva ochladí na 40 C, když po po 10 minutách má káva teplotu 65 C? Označíme t čas, y(t) teplotu kávy, T teplotu v místnosti, k konstantu úměrnosti. Sestavíme rovnici pro ochlazování: y (t) = k (y(t) T ) Zapíšeme známé údaje o teplotě: y(0) = 100, y(10) = 65 Nahradíme derivaci y (t) = dy dt a upravíme rovnici dy y T = k dt Rovnici integrujeme: dy y T = k dt kt+c ln y T + C 1 = kt + C 2 ln(y T ) = kt + C 3 y T = e 3 y>t,c 3=C 2 C 1 y(t) popisuje ochlazování kávy: y(t) = Ce kt + T (C = e C3 ) Konstanty C, k určíme ze známých údajů o teplotě. -4-

5 1.1 Základní pojmy Diferenciální rovnice jsou rovnice, které obsahují neznámou funkci a její derivace. Obyčejné diferenciální rovnice obsahují neznámou funkci jedné proměnné a její derivace. Příklady: y + xy = 0, y + y = xy hledáme funkci y(x) Parciální diferenciální rovnice obsahují neznámou funkci více proměnných a její derivace. u Příklady: x = 3xy, 2 u x u = x + y hledáme funkci u(x, y) y2 Řád diferenciální rovnice určuje nejvyšší derivace neznámé funkce. Řešení diferenciální rovnice je funkce, která vyhovuje diferenciální rovnici (na zadané množině). Příklad: Ověříme, zda funkce x 2 xy + y 2 = 0 je řešením diferenciální rovnice (x 2y)y = 2x y. funkce x 2 xy + y 2 = 0 je zadaná implicitně, zderivujeme ji: 2x y xy + 2yy = 0 upravíme: 2x y y (x 2y) = 0 a porovnáme se zadanou rovnicí y (x 2y) = 2x y nebo vyjádříme y = y 2x 2y x = 2x y x 2y a dosadíme y do diferenciální rovnice: (x 2y) 2x y = 2x y 2x y = 2x y x 2y Obecné řešení je množina funkcí (závislých na konstantě resp. konstantách). Partikulární řešení je jedna konkrétní funkce, kterou určíme z obecného řešení výpočtem nebo volbou konstanty. Výjimečné řešení nelze získat z obecného řešení pro žádnou hodnotu konstanty. Graf konkrétního řešení se nazývá integrální křivka. Rovnice v normálním tvaru: y n = f(y n 1, y n 2,..., y, y, x) Řešení existuje v oblasti, ve které je f spojitá. Cauchyova (počáteční) úloha Diferenciální rovnice + počáteční podmínka. Hledáme partikulární řešení, procházející zadaným bodem. Příklady (procvičení) Určete, zda se jedná o obyčejnou nebo parciální diferenciální rovnici. Uveďte řád diferenciální rovnice. Ověřte, zda uvedená funkce je řešením zadané diferenciální rovnice. y(x) = 2 x + 2 ln(x) y = x x y + 1 y 1 = 4, y 2 = x + 3 y = y + 1 x + 1 y(1) = 2 y(0) = 3-5-

6 1.2 Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu separovatelné exaktní lineární při P y = Q x y = p(x) q(y) P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 y = a(x)y + b(x) Bernoulliova Rovnice v normálním tvaru: Rovnice v diferenciálech y = f(x, y), [x, y] G P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0, Funkce f, P, Q musí být (alespoň) spojité v oblasti G R 2 Oblast je otevřená souvislá (neprázdná) množina. [x, y] G y = a(x)y + b(x)y p Příklady (procvičení) Určete typ(y) ODR 1. řádu 1. y = xy 2. y = x 2 y 2 3. y x + 1 x y = x2 4. y x + 1 x y = y2, y 2 ( 5. x 2 dx + y 2 2 ) dy = 0 x 6. (3 + 2xy)dx + (x 2 3y 2 )dy = x 2 ydx + (x 3 + y)dy = x cos ydx x 2 sin ydy = 0-6-

7 1.3 Exaktní rovnice Nechť P (x, y), Q(x, y) jsou spojité v G R 2 a mají spojité derivace v každém bodě [x, y] G. P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 je exaktní v G P y = Q x tj. pokud P (x, y)dx + Q(x, y)dy je totálním diferenciálem funkce F (x, y). Funkci F budeme nazývat kmenovou funkcí. Postup řešení exaktní rovnice Kmenovou funkci F můžeme určit stejným ( způsobem) jako potenciál vektorového pole (P, Q). F Vyjdeme z definice gradientu: gradf = x, F = (P, Q) y 1. F = P (x, y) F (x, y) = x P (x, y) dx = U 1 (x, y) + K 1 (y) 2. F = Q(x, y) F (x, y) = y Q(x, y) dy = U 2 (x, y) + K 2 (x) 3. Kmenovou funkci F (x, y) vytvoříme sloučením U 1 (x, y) a U 2 (x, y), přičemž členy, které se vyskytují v obou výrazech, zapisujeme do výsledného výrazu pouze jedenkrát. Řešení exaktní rovnice zpravidla určíme v implicitním tvaru. Příklad: exaktní rovnice (2y 3x 3 )dx + 2(x y)dy = 0 1. Ověření exaktnosti 2. 2y 3x 2 dx = 2xy x 3 + K 1 (y) 3. 2x 2y dy = 2xy y 2 + K 2 (x) 4. F (x, y) = 2xy x 3 y 2 + C resp. y 2 2xy + x 3 + C = 0 5. Zkouška Vyjádříme df resp. gradf Uvažujeme - li řešení jako funkci jedné proměnné y(x), zadané rovnicí F (x, y) = 0, potom pro její derivaci musí platit dy (x, y) = P pro Q(x, y) 0. dx Q(x, y) -7-

8 Příklady Pro danou diferenciální rovnici 1. ověřte, zda je exaktní 2. určete obecné řešení Varianty zadání 1. y 2 x 2 dx + ( y 2 2 x ) dy = 0 2. (3 + 2xy)dx + (x 2 3y 2 )dy = x 2 ydx + (x 3 + y)dy = x cos ydx x 2 sin ydy = 0 ( 1 5. y y ) ( 1 x 2 + 2y 5 dx + x x ) + 2x + 11 dy = 0 y2 6. y 2 x dx + 4y xdy = 0 7. xe 2y dx + (x 2 + 1)e 2y dy = 0 8. (3x 2 y 2xy 2 )dx + (x 3 2x 2 y)dy = 0 9. (cos(2y) + y + x)dx + (x 3 2x 2 y)dy = y 2 dx + 2xydy = 0 y 11. x 2 dx 1 x dy = 0 ) ( 12. (ln y ey e y x 2 dx + x + x ) dy = 0 y 13. (x + 3y)dx + 3xdy = y 2 dx + 2xydy = y sin xdx cos xdy = (2x y 2 )dx + (3 2xy)dy = 0-8-

9 1.4 Separovatelné diferenciální rovnice y = P (x) Q(y) Existence řešení : P (x) Q(y) musí být spojitá v oblasti G R 2 Řešení : funkce y(x) definovaná na intervalu J, pokud platí: Interval není tvořen jediným bodem, y má spojitou derivaci na J, tj y C 1 (J) x J : [x, y(x)] G x J : y (x) = f(x, y(x)) Prodloužení řešení, maximální řešení. Postup řešení: y = dy dx 1. y = dy dx, dy = P (x) Q(y dx 2. Separujeme proměnné: R(y)dy = P (x)dx 3. Integrujeme levou a pravou stranu rovnice Levá = R(y)dy P ravá = P (x)dx 4. Vyjádříme y(x) = + C, případně zapíšeme řešení jako množinu funkcí, zadaných rovnicemi F (x, y) = C 5. Řešení Cauchyovy (počáteční) úlohy: z počáteční podmínky určíme konstantu C a tím získáme partikulární řešení vyhovující zadané podmínce. Příklad: separovatelná rovnice Předpokládejme, že voda v nádobě zamrzá tak, že obsah nezamrzlé plochy A (v cm 2 ) se mění přibližně podle rovnice (čas t měřený v dnech): da dt = 4t 3. a) Určete obsah plochy nezamrzlé plochy v závislosti na čase A(t), když víte, že po prvním dnu byl nezamrzlý obsah roven 2 cm 2. b) Vypočtěte, po kolika dnech bude nezamrzlý obsah roven 0,5 cm 2. c) Vypočtěte, jak velká bude nezamrzlý obsah po deseti dnech. Řešení a) Známe-li derivaci A(t), která závisí pouze na t, určíme A(t) integrováním: A(t) = 4t 3 dt = 2t 2 + C. Integrační konstantu C určíme z informace o obsahu po prvním dnu: A(1) = 2cm 2 2 = 2 (1) 2 + C C = 0 a obsah nezamrzlé plochy v závislosti na čase je A(t) = 2t 2. b) Určíme t tak, aby A = 0, 5 cm 2 : 0, 5 = 2t 2 t = 2, tj. nezamrzlá plocha bude mít velikost 0,5 cm 2 po dvou dnech. c) Určíme A pro t = 10 : A(10) = (cm 2 ), tj. nezamrzlá plocha bude mít po deseti dnech obsah 0,02 cm 2 = 2 mm

10 Příklady k procvičení 1. y = 1 x 1 y, y(1) = 0 2. y = y 2 sin(2x), y( π 4 ) = 4 3. y = y + 1, y(0) = 2 4. y = e y cos(2x), y(0) = ln 2 5. y = xy2 + x y x 2 y, y(0) = 1 6. (2x + e y )dx + xe y dy = 0, y(1) = 0 ( x 2 7. xydx ) dy = 0, y y(0) = 1 8. x 4 y + 3x 3 y = 1, y( 1) = 2 9. xy y = x 2 sin x, ( y π ) = π

Obsah Obyčejné diferenciální rovnice

Obsah Obyčejné diferenciální rovnice Obsah 1 Obyčejné diferenciální rovnice 3 1.1 Základní pojmy............................................ 3 1.2 Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu................................ 5 1.3 Exaktní rovnice............................................

Více

8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8

8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8 8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8 Shrnutí lekce Úvodní 7. kapitola přinesla informace o druzích řešení diferenciálních rovnic prvního řádu a stručné teoretické poznatky o podmínkách existence a jednoznačnosti

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y

Více

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Co je to diferenciální rovnice? Definice: Diferenciální rovnice je vztah mezi hledanou funkcí y(x), jejími derivacemi y (x), y (x), y (x),... a nezávisle proměnnou

Více

8.2. Exaktní rovnice. F(x, y) x. dy. df = dx + y. Nyní budeme hledat odpověd na otázku, zda a jak lze od této diferenciální formule

8.2. Exaktní rovnice. F(x, y) x. dy. df = dx + y. Nyní budeme hledat odpověd na otázku, zda a jak lze od této diferenciální formule Cíle Ve výkladu o funkcích dvou proměnných jsme se seznámili také s jejich diferenciálem prvního řádu, který je pro funkci F(x, y) vyjádřen výrazem df dx + dy. Nyní budeme hledat odpověd na otázku, zda

Více

Q(y) dy = P(x) dx + C.

Q(y) dy = P(x) dx + C. Cíle Naše nejbližší cíle spočívají v odpovědích na základní otázky, které si klademe v souvislosti s diferenciálními rovnicemi: 1. Má rovnice řešení? 2. Kolik je řešení a jakého jsou typu? 3. Jak se tato

Více

Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých

Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých Obyčejné diferenciální rovnice Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých se vyskytují derivace neznámé funkce jedné reálné proměnné. Příklad. Bud dána funkce f : R R.

Více

4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu

4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu 4. Řešení základních tpů diferenciálních rovnic.řádu 4..4 Určete řešení z() Cauchov úloh pro rovnici + = 0 vhovující počáteční podmínce z =. Po separaci proměnných v rovnici dostaneme rovnici = d a po

Více

Matematika II: Pracovní listy do cvičení

Matematika II: Pracovní listy do cvičení Matematika II: Pracovní listy do cvičení Radomír Paláček, Petra Schreiberová, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Příklady Integrální počet funkcí

Více

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k), Definice 5.2.1. Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo má v tomto bodě totální diferenciál, jestliže je možné její přírůstek z na nějakém okolí bodu A vyjádřit jako

Více

5.3. Implicitní funkce a její derivace

5.3. Implicitní funkce a její derivace Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)

Více

rovnic), Definice y + p(x)y = q(x), Je-li q(x) = 0 na M, nazývá se y + p(x)y =

rovnic), Definice y + p(x)y = q(x), Je-li q(x) = 0 na M, nazývá se y + p(x)y = Cíle Přehled základních typů diferenciálních rovnic prvního řádu zakončíme pojednáním o lineárních rovnicích, které patří v praktických úlohách k nejfrekventovanějším. Ukážeme například, že jejich řešení

Více

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah Diferenciální rovnice. řádu 3. Separace proměnných......................... 3. Přechod k separaci.......................... 4.3 Variace konstant...........................

Více

Úvodní informace. 17. února 2018

Úvodní informace. 17. února 2018 Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní

Více

1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu

1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu [M2-P1] KAPITOLA 1: Diferenciální rovnice 1. řádu diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu G(x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 y (n) = F (x, y, y,..., y (n 1) ) Příklad 1.1:

Více

má spojité parciální derivace druhého řádu ve všech bodech této množiny. Výpočtem postupně dostaneme: y = 9xy2 + 2,

má spojité parciální derivace druhého řádu ve všech bodech této množiny. Výpočtem postupně dostaneme: y = 9xy2 + 2, 4. Parciální derivace a diferenciál. řádu 0-a3b/4dvr.tex Příklad. Určete parciální derivace druhého řádu funkce f v obecném bodě a v daných bodech. Napište obecný tvar. diferenciálu, jeho hodnotu v daných

Více

Nalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné

Nalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné . Definiční obor a hladiny funkce více proměnných Nalezněte a graficky znázorněte definiční obor D funkce f = f(x, y), kde a) f(x, y) = x y, b) f(x, y) = log(xy + ), c) f(x, y) = xy, d) f(x, y) = log(x

Více

0.1 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu

0.1 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu 0.1 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu 1 0.1 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu Obyčejná diferenciální rovnice je rovnice, ve které se vyskytují derivace nebo diferenciály neznámé funkce

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz

Více

8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice

8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice 9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky

Více

Diferenciální rovnice

Diferenciální rovnice Diferenciální rovnice Průvodce studiem Touto kapitolou se náplň základního kurzu bakalářské matematiky uzavírá. Je tomu tak mimo jiné proto, že jsou zde souhrnně využívány poznatky získané studiem předchozích

Více

DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE. Jana Řezníčková. Ústav matematiky Fakulta aplikované informatiky Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně

DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE. Jana Řezníčková. Ústav matematiky Fakulta aplikované informatiky Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Jana Řezníčková Ústav matematiky Fakulta aplikované informatiky Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně Zlín, 2015 2 DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Jana Řezníčková Ústav matematiky FAI UTB ve Zlíně

Více

Obyčejné diferenciální rovnice

Obyčejné diferenciální rovnice Obyčejné diferenciální rovnice Petra Schreiberová, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, FS Katedra matematiky, FAST Vysoká škola báňská Technická Univerzita Ostrava Ostrava 2019 OBSAH

Více

Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.

Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ. Ukázka 1 Necht má funkce z = f(x, y) spojité parciální derivace. Napište rovnici tečné roviny ke grafu této funkce v bodě A = [ x 0, y 0, z 0 ]. Transformujte diferenciální výraz x f x + y f y do polárních

Více

Studijní text pro obor G+K Katedra matematiky Fakulta stavební ROVNICE. Doc. RNDr. Milada Kočandrlová, CSc.

Studijní text pro obor G+K Katedra matematiky Fakulta stavební ROVNICE. Doc. RNDr. Milada Kočandrlová, CSc. Studijní text pro obor G+K Katedra matematiky Fakulta stavební České vysoké učení technické OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Doc. RNDr. Milada Kočandrlová, CSc. Lektorovali: RNDr. Milan Kočandrle, CSc.,

Více

Diferenciální počet funkcí více proměnných

Diferenciální počet funkcí více proměnných Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet

Více

Diferenciální rovnice

Diferenciální rovnice Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22 Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Více

8.1. Separovatelné rovnice

8.1. Separovatelné rovnice 8. Metody řešení diferenciálních rovnic 1. řádu Cíle V předchozí kapitole jsme poznali separovaný tvar diferenciální rovnice, který bezprostředně umožňuje nalézt řešení integrací. Eistuje široká skupina

Více

Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci)

Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci) 2. Diferenciál funkce, tečná rovina. Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci) df(a, h) = x (a)h + (a)h 2, h = (h, h

Více

6. dubna *********** Přednáška ***********

6. dubna *********** Přednáška *********** KMA/MAT2 Přednáška a cvičení č. 8, Obyčejné diferenciální rovnice 2 6. dubna 2016 *********** Přednáška *********** 1 Existence a jednoznačnost řešení Cauchyovy úlohy Stále uvažujeme rovnici y = f(t, y).

Více

Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)

Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6) 1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

5. cvičení z Matematiky 2

5. cvičení z Matematiky 2 5. cvičení z Matematiky 2 21.-25. března 2016 5.1 Nalezněte úhel, který v bodě 1, 0, 0 svírají grafy funkcí fx, y ln x 2 + y 2 a gx, y sinxy. Úhel, který svírají grafy funkcí je dán jako úhel mezi jednotlivými

Více

Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15

Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15 Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15 Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Definice: Lineární diferenciální rovnice 2-tého řádu je rovnice tvaru kde: y C 2 (I) je hledaná funkce a 0 (x)y +

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

metody jsou proto často jedinou možností jak danou diferenciální rovnicivyřešit.

metody jsou proto často jedinou možností jak danou diferenciální rovnicivyřešit. 7. ODR počáteční úlohy Průvodce studiem Jen velmi málo diferenciálních rovnic, které se vyskytují při popisu praktických úloh, se dářešit exaktně, a i když dokážeme najít vzorce popisující analytickéřešení,

Více

rovnice Matematická analýza 3 (verze 10. června 2015)

rovnice Matematická analýza 3 (verze 10. června 2015) Diferenciální rovnice součást předmětu Matematická analýza 3 Pavel Řehák (verze 10. června 2015) 2 Pár slov na úvod Tento text tvoří doplněk k části předmětu Matematická analýza 3 (partie týkající se diferenciálních

Více

Diferenciální rovnice a dynamické modely

Diferenciální rovnice a dynamické modely Diferenciální rovnice a namické modely Robert Mařík 31. srpna 2009 c Robert Mařík, 2009 G. Galilei: Velkou knihu příro mohou číst jen ti, kteří znají jazyk, jímž je tato kniha napsána. A tímto jazykem

Více

Diferenciální rovnice 3

Diferenciální rovnice 3 Diferenciální rovnice 3 Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu Lineární diferenciální rovnice (dále jen LDR) n-tého řádu je rovnice tvaru + + + + = kde = je hledaná funkce, pravá strana a koeficienty

Více

Budeme hledat řešení y(x) okrajové úlohy pro diferenciální rovnici druhého řádu v samoadjungovaném tvaru na intervalu a, b : 2 ) y i p i+ 1

Budeme hledat řešení y(x) okrajové úlohy pro diferenciální rovnici druhého řádu v samoadjungovaném tvaru na intervalu a, b : 2 ) y i p i+ 1 ODR - okrajová úloha Teorie (velmi stručný výběr z přednášek) Okrajová úloha 2. řádu Budeme hledat řešení y(x) okrajové úlohy pro diferenciální rovnici druhého řádu v samoadjungovaném tvaru na intervalu

Více

1 1 x 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými proměnnými, která má smysl pro x ±1 a

1 1 x 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými proměnnými, která má smysl pro x ±1 a . Řešené úlohy Příklad. (separace proměnných). Řešte počáteční úlohu y 2 + yy ( 2 ) = 0, y(0) = 2. Řešení. Rovnici přepíšeme do tvaru y 2 = yy ( 2 ) y = y2 y 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými

Více

Obyčejné diferenciální rovnice

Obyčejné diferenciální rovnice 1 Obyčejné diferenciální rovnice Příklad 0.1 (Motivační). Rychlost chladnutí hmotného bodu je přímo úměrná rozdílu jeho teploty minus teploty okolí. Předpokládejme teplotu bodu 30 o C v čase t = 0 a čase

Více

Diferenciální rovnice 1

Diferenciální rovnice 1 Diferenciální rovnice 1 Základní pojmy Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru,,,, = Řád diferenciální rovnice odpovídá nejvyššímu stupni derivace v rovnici použitému.

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom

Více

Parciální derivace a diferenciál

Parciální derivace a diferenciál Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice študenti MFF 15. augusta 2008 1 7 Diferenciální rovnice Požadavky Soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu lineární

Více

Parciální derivace a diferenciál

Parciální derivace a diferenciál Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava

Více

Přednášky z předmětu Aplikovaná matematika, rok 2012

Přednášky z předmětu Aplikovaná matematika, rok 2012 Přednášky z předmětu Aplikovaná matematika, rok 2012 Robert Mařík 23. ledna 2015 2 Obsah 1 Přednášky 2012 5 2 Písemky 2012 9 3 4 OBSAH Kapitola 1 Přednášky 2012 1. prednaska, 16.2.2012 -----------------------

Více

Lineární diferenciální rovnice 1. řádu verze 1.1

Lineární diferenciální rovnice 1. řádu verze 1.1 Úvod Lineární diferenciální rovnice. řádu verze. Následující tet popisuje řešení lineárních diferenciálních rovnic. řádu. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT2 na Univerzitě Hradec Králové

Více

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah 11. přednáška 10. prosince 2007 Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 mezi argumentem x funkce jedné

Více

[obrázek γ nepotřebujeme, interval t, zřejmý, integrací polynomu a per partes vyjde: (e2 + e) + 2 ln 2. (e ln t = t) ] + y2

[obrázek γ nepotřebujeme, interval t, zřejmý, integrací polynomu a per partes vyjde: (e2 + e) + 2 ln 2. (e ln t = t) ] + y2 4.1 Křivkový integrál ve vektrovém poli přímým výpočtem 4.1 Spočítejte práci síly F = y i + z j + x k při pohybu hmotného bodu po orientované křivce, která je dána jako oblouk ABC na průnikové křivce ploch

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

1 Funkce dvou a tří proměnných

1 Funkce dvou a tří proměnných 1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2

Více

9.5. Soustavy diferenciálních rovnic

9.5. Soustavy diferenciálních rovnic Cíle Budeme se nyní zabývat úlohami, v nichž je cílem najít dvojici funkcí y(x), z(x), pro které jsou zadány dvě lineární rovnice prvního řádu, obsahující tyto funkce a jejich derivace. Výklad Omezíme-li

Více

Úvod. Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali

Úvod. Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali NEURČITÝ INTEGRÁL Úvod Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali Umět pracovat s integrálním počtem Je důležité pro

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

Derivace a monotónnost funkce

Derivace a monotónnost funkce Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je

Více

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,

Více

I. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou

I. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou Typy příkladů pro I. část písemky ke zkoušce z MA II I. Diferenciální rovnice. 1. Určete obecné řešení rovnice y = y sin x.. Určete řešení rovnice y = y x splňující počáteční podmínku y(1) = 0. 3. Rovnici

Více

Příklady ke zkoušce z Aplikované matematiky

Příklady ke zkoušce z Aplikované matematiky Příklady ke zkoušce z Aplikované matematiky Robert Mařík 2. února 205 Odpovědi nechápejte prosím jako vzorové odpovědi na jedničku. Často nejsou úplné, neodpovídají na všechny části otázky a slouží spíše

Více

METODICKÝ NÁVOD MODULU

METODICKÝ NÁVOD MODULU Centrum celoživotního vzdělávání METODICKÝ NÁVOD MODULU Název Základy matematiky modulu: Zkratka: ZM Počet kreditů: 4 Semestr: Z/L Mentor: Petr Dolanský Tutor: Petr Dolanský I OBSAH BALÍČKU STUDIJNÍCH

Více

4. Diferenciál a Taylorova věta

4. Diferenciál a Taylorova věta 4. Diferenciál a Taylorova věta Definice 4.1. Buď f : R n R, a Df. Řekneme, že f je diferencovatelná v bodě a, když h V n takový, že a + h Df platí f(a + h) f(a) gradf(a) h + h τ(h), kde lim τ(h) 0. Funkce

Více

Kristýna Kuncová. Matematika B3

Kristýna Kuncová. Matematika B3 (5) Funkce více proměnných II Kristýna Kuncová Matematika B3 Kristýna Kuncová (5) Funkce více proměnných II 1 / 20 Parciální derivace - příklad Otázka Tabulka vpravo znázorňuje hodnoty funkce f (x, y).

Více

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1 Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1

Více

v elektrotechnice Prof. RNDr. Josef Diblík, DrSc. Doc. RNDr. Jaromír Baštinec, CSc. Mgr. Irena Hlavičková Doc. RNDr. Zdeněk Šmarda, CSc.

v elektrotechnice Prof. RNDr. Josef Diblík, DrSc. Doc. RNDr. Jaromír Baštinec, CSc. Mgr. Irena Hlavičková Doc. RNDr. Zdeněk Šmarda, CSc. Diferenciální rovnice a jejich použití v elektrotechnice Prof. RNDr. Josef Diblík, DrSc. Doc. RNDr. Jaromír Baštinec, CSc. Mgr. Irena Hlavičková Doc. RNDr. Zdeněk Šmarda, CSc. ÚSTAV MATEMATIKY Diferenciální

Více

y = 1 x (y2 y), dy dx = 1 x (y2 y) dy y 2 = dx dy y 2 y y(y 4) = A y + B 5 = A(y 1) + By, tj. A = 1, B = 1. dy y 1

y = 1 x (y2 y), dy dx = 1 x (y2 y) dy y 2 = dx dy y 2 y y(y 4) = A y + B 5 = A(y 1) + By, tj. A = 1, B = 1. dy y 1 ODR - řešené příkla 20 5 ANALYTICKÉ A NUMERICKÉ METODY ŘEŠENÍ ODR A. Analtické meto řešení Vzorové příkla: 5.. Příklad. Řešte diferenciální rovnici = 2. Řešení: Přepišme danou rovnici na tvar = (2 ), což

Více

Funkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018

Funkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018 Funkce více proměnných Extrémy Přednáška pátá 12.března 2018 Zdroje informací Diferenciální počet http://homen.vsb.cz/~kre40/esfmat2/fceviceprom.html http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/sbirka_uloh/pdf/7.pdf

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 0 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ..07/.5.00/3.0 Zlepšení podmínek pro

Více

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.

Více

v elektrotechnice Prof. RNDr. Josef Diblík, DrSc. Doc. RNDr. Jaromír Baštinec, CSc. Mgr. Irena Hlavičková ÚSTAV MATEMATIKY

v elektrotechnice Prof. RNDr. Josef Diblík, DrSc. Doc. RNDr. Jaromír Baštinec, CSc. Mgr. Irena Hlavičková ÚSTAV MATEMATIKY Diferenciální rovnice a jejich použití v elektrotechnice Prof. RNDr. Josef Diblík, DrSc. Doc. RNDr. Jaromír Baštinec, CSc. Mgr. Irena Hlavičková ÚSTAV MATEMATIKY Diferenciální rovnice a jejich použití

Více

Řešení diferenciálních rovnic v MATLABu

Řešení diferenciálních rovnic v MATLABu Řešení diferenciálních rovnic v MATLABu Základy algoritmizace a programování Přednáška 23. listopadu 2011 Co řešíme Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu: separovatelné lineární exaktní druhého řádu,

Více

Matematika 1 pro PEF PaE

Matematika 1 pro PEF PaE Tečny a tečné roviny 1 / 16 Matematika 1 pro PEF PaE 7. Tečny a tečné roviny Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Tečny a tečné roviny Tečny a normály grafů funkcí jedné proměnné / 16 Tečny a normály

Více

verze 1.4 Ekvivalentní podmínkou pro stacionární bod je, že totální diferenciál je nulový

verze 1.4 Ekvivalentní podmínkou pro stacionární bod je, že totální diferenciál je nulový 1 Úvod Lokální extrémy funkcí více proměnných verze 14 Následující text popisuje výpočet lokálních extrémů funkcí více proměnných Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT1 na Univerzitě Hradec

Více

Teorie. Hinty. kunck6am

Teorie. Hinty.   kunck6am kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

Fakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR

Fakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR DEN: ODR teoreticky: soustavy rovnic Soustava lineárních ODR 1 řádu s konstantními koeficienty je soustava ve tvaru y 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 + + a 1n y n + b 1 (x) y 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 + + a 2n y

Více

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0 Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud

Více

Zkouška ze Základů vyšší matematiky ZVMTA (LDF, ) 60 minut. Součet Koeficient Body

Zkouška ze Základů vyšší matematiky ZVMTA (LDF, ) 60 minut. Součet Koeficient Body Zkouška ze Základů vyšší matematiky ZVTA (LDF, 8.2.202) 60 minut 2 3 4 5 6 7 Jméno:................................. Součet Koeficient Body. [6 bodů] a) Definujte pojem primitivní funkce. Co musí platit,

Více

Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady

Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady Otázky k ústní zkoušce, přehled témat 2003-2004 A Číselné řady Vysvětlete pojmy částečný součet řady, součet řady, řadonverguje, řada je konvergentní Formulujte nutnou podmínku konvergence řady a odvoďte

Více

Teorie. Hinty. kunck6am

Teorie. Hinty.   kunck6am kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

Extrémy funkce dvou proměnných

Extrémy funkce dvou proměnných Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže

Více

+ 2y y = nf ; x 0. závisí pouze na vzdálenosti bodu (x, y) od počátku, vyhovuje rovnici. y F x x F y = 0. x y. x x + y F. y = F

+ 2y y = nf ; x 0. závisí pouze na vzdálenosti bodu (x, y) od počátku, vyhovuje rovnici. y F x x F y = 0. x y. x x + y F. y = F Příkad 1 ( y ) Dokažte, že funkce F (x, y) = x n f x 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vyhovuje vztahu x F x + 2y F y = nf ; x 0 Ukažte, že každá funkce F (x, y), která má spojité parciální

Více

Diferenciální rovnice separace proměnných verze 1.1

Diferenciální rovnice separace proměnných verze 1.1 Úvod Diferenciální rovnice separace proměnných verze. Následující tet popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně metodu separace proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na

Více

Diferenciální rovnice a jejich použití v elektrotechnice

Diferenciální rovnice a jejich použití v elektrotechnice VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ ÚSTAV MATEMATIKY Diferenciální rovnice a jejich použití v elektrotechnice (Elektrotechnika, elektronika, komunikační a

Více

12 Obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy

12 Obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy 12 Obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy 121 Úvod - opakování Opakování z 1 ročníku (z kapitoly 5) Definice 121 Rovnice se separovanými proměnnými je rovnice tvaru Návod k řešení: Pokud g(c)

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy

Více

INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2

INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2 INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2 Robert Mařík 5. října 2009 c Robert Mařík, 2009 Obsah 1 LDR druhého řádu 4 2 Homogenní LDR, lineární nezávislost a wronskián 9 3 Homogenní LDR s konstantními

Více

Maple. Petr Kundrát. Ústav matematiky, FSI VUT v Brně. Maple a základní znalosti z oblasti obyčejných diferenciálních rovnic.

Maple. Petr Kundrát. Ústav matematiky, FSI VUT v Brně. Maple a základní znalosti z oblasti obyčejných diferenciálních rovnic. Obyčejné diferenciální rovnice s počítačovou podporou - Maple Petr Kundrát Ústav matematiky, FSI VUT v Brně Tento soubor vznikl za účelem ilustrace použití prostředí Maple k řešení a vizualizaci řešení

Více

Občas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z:

Občas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z: PARCIÁLNÍ DERIVACE Jak derivovat reálné funkce více proměnných aby bylo možné tyto derivace použít podobně jako derivace funkcí jedné proměnné? Jestliže se okopíruje definice z jedné proměnné dostane se

Více

ODR metody Runge-Kutta

ODR metody Runge-Kutta ODR metody Runge-Kutta Teorie (velmi stručný výběr z přednášek) Úloha s počátečními podmínkami (Cauchyova) 1 řádu Hledáme aprox řešení Y(x) soustavy obyčejných diferenciálních rovnic 1 řádu kde Y(x) =

Více

INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz www.mendelu.cz/user/marik c Robert Mařík, 2009 Obsah 1 Diferenciální rovnice úvod

Více

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018 Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 208 Studijní program: Studijní obory: Matematika MA, MMIT, MMFT, MSTR, MNVM, MPMSE Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Věnujte pozornost ověření

Více

diferenciální rovnice verze 1.1

diferenciální rovnice verze 1.1 Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování

Více

Diferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program

Diferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program Program Diferenční rovnice Program Diferenční rovnice Diferenciální rovnice Program Frisch a Samuelson: Systém je dynamický, jestliže jeho chování v čase je určeno funkcionální rovnicí, jejíž neznámé závisí

Více

(5) Primitivní funkce

(5) Primitivní funkce (5) Primitivní funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 18/19 Kristýna Kuncová (5) Primitivní funkce 1 / 20 Def: Primitivní funkce Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu (a,

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +,

Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +, Příklad Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: a) =, 0= b) =, = c) =2, = d) =2, 0= e) =, 0= f) 2 =0, = g) + =0, h) =, = 2 = i) =, 0= j) sin+cos=0,

Více

Diferenciální rovnice II

Diferenciální rovnice II Diferenciální rovnice II Cílem tohoto kurzu je ukázat si různé příklady použití počítačového algebraického systému Maple při řešení obyčejných diferenciálních rovnic. řádu a soustav obyčejných diferenciálních

Více