ROZKLAD ROZPTYLU
ROZKLAD ROZPTYLU Rozptyl se dá rozložit na vnitroskupinový a meziskupinový rozptyl. Celkový rozptyl je potom součet meziskupinového a vnitroskupinového Užívá se k výpočtu rozptylu, jestliže jsou k dispozici údaje o skupinách (průměry, rozptyly, četnosti)
VNITROSKUPINOVÝ ROZPTYL Je mírou variability uvnitř skupin Jiný název: průměr rozptylů Vypočítává se jako průměr rozptylů v jednotlivých skupinách
MEZISKUPINOVÝ ROZPTYL Je mírou odlišnosti poloh (průměrů) skupin Jiný název: rozptyl průměrů Vypočítává se jako rozptyl z průměrů jednotlivých skupin vůči celkovému rozptylu. Užívá se definiční výpočet rozptylu (průměrná čtvercová odchylka)
PŘÍKLAD 1 Na základě výsledků z 1. příkladu minulého bloku vypočítejte vnitroskupinový, meziskupinový a celkový rozptyl. Četnosti Průměry Rozptyly W 10 5 0 X 10 9,4 185,24 Y 10 9,4 16,44 Z 10 31,9 398,89
ŘEŠENÍ 1 n i x i s 2 i n i x i s i2 n i (x i -x) (x i -x) 2 (x i -x) 2 n i W 10 5 0 50 0-8,925 79,656 796,55625 X 10 9,4 185,24 94 1852,4-4,525 20,476 204,75625 Y 10 9,4 16,44 94 164,4-4,525 20,476 204,75625 Z 10 31,9 398,89 319 3988,9 17,975 323,1 3231,00625 Celkem 40 XX XX 557 6005,7 0 XX 4437,075 Průměr: 13,925 Vnitroskupinový rozptyl: 150,1425 Meziskupinový rozptyl 110,9269 Rozptyl 261,0694
PŘÍKLAD 2 Na základě následující tabulky vypočítejte meziskupinový, vnitroskupinový a celkový rozptyl. Dětinské kolegium Varianta Adámek Barunka Jiříček počet 30 17 31 20 průměr 15 13,88 12,71 12,75 minimum 6 0 6 2 maximum 20 20 19 20 medián 16 15 13 12 Směrodatná odchylka 4,655 5,85 3,438 5,337
ŘEŠENÍ 2 Průměr = (15*30+13,88*17+12,71*31+12,75*20)/98 = 13,62 n i s 2 i n i *s 2 i x i (x i -x) 2 (x i -x) 2 *n i Adámek 30 21,669 650,07 15 1,9044 57,132 Barunka 17 34,223 581,791 13,88 0,0676 1,1492 Jiříček 31 11,82 366,42 12,71 0,8281 25,6711 Dětinské kolegium 20 28,484 569,68 12,75 0,7569 15,138 Celkem 98 XXX 2167,961 13,62 XXX 99,090
ŘEŠENÍ 2 s x 2 = 22,12 + 1,01 = 23,13
PŘÍKLAD 3 Na základě následující tabulky vypočítejte meziskupinový, vnitroskupinový a celkový rozptyl. Skupina Podíly Průměry Rozptyly A 0,2 1,75 0,25 B 0,3 2,5 0,2 C 0,5 3,8 0,5
ŘEŠENÍ 3 Skupina p i xi s i 2 s i2 p i x i p i (x i -x) 2 p i A 0,2 1,75 0,25 0,05 0,35 0,3125 B 0,3 2,5 0,2 0,06 0,75 0,075 C 0,5 3,8 0,5 0,25 1,9 0,32 Celkem 1 XX XX 0,36 3 0,7075
MÍRY ŠIKMOSTI Rozdělení s nulovou šikmostí je takové, ve kterém se medián rovná průměru Rozdělení s kladnou šikmostí je takové, ve kterém je medián menší než průměr Rozdělení se zápornou šikmostí je takové, ve kterém je medián větší než průměr Měr šikmosti je mnoho, nejpoužívanější je tzv. třetí normovaný moment
MÍRY ŠPIČATOSTI Čím více hodnot je kolem středu, tím je rozdělení špičatější. Nejpoužívanější míra špičatosti vychází ze čtvrtého normovaného momentu a srovnává se se špičatostí normovaného normálního rozdělení.
STATISTICKÝ UKAZATEL Je funkcí hodnot znaků (proměnných) Primární ukazatele jsou ukazatele přímo zjišťované (tržba) Sekundární ukazatele jsou ukazatele odvozené z primárních a to jako: Funkce různých primárních ukazatelů (zisk) Funkce různých hodnot téhož ukazatele (průměrný zisk) Funkce různých hodnot různých ukazatelů (průměrný podíl marže A na zisku)
STATISTICKÝ UKAZATEL Absolutní vyjadřuje velikost určitého jevu bez vztahu k jiným (např. zisk) Relativní vyjadřuje velikost určitého jevu vztaženou k jinému (např. podíl marže A na zisku) Extenzitní ukazatel je ukazatelem množství Intenzitní ukazatel je ukazatelem úrovně (např. ceny) Okamžikový je daný k určitému časovému bodu Intervalový je daný za určité časové období
SHRNOVATELNOST UKAZATELŮ Přímo shrnovatelné jejich souhrnnou hodnotu lze určit z dílčích hodnot (např. roční zisk z dílčích zisků za jednotlivé měsíce; součet) Nepřímo shrnovatelné jejich souhrnnou hodnotu můžeme zjistit pouze tehdy, když známe nejen dílčí hodnoty, ale ještě hodnoty jiného znaku (např. marže z prodeje A za rok z měsíčních průměrných zisků a objemů prodeje; průměr) Neshrnovatelné jejich souhrnnou hodnotu lze určit pouze se znalostí všech hodnot (např. medián)
INDEXY Absolutní rozdíl je rozdílem dvou hodnot Index je podílem dvou hodnot. Je to číslo udávající kolikrát je hodnota v čitateli větší než hodnota ve jmenovateli. Prostorový index srovnává jeden ukazatel na dvou různých místech (zisk firmy A vs. zisk firmy B) Druhový index srovnává jeden ukazatel u dvou různých věcí (zisk z výrobku A vs. zisk z výrobku B) Časový index srovnává jeden ukazatel ve dvou různých okamžicích (zisk v roce 0 vs. zisk v roce 1)
DĚLENÍ INDEXŮ Množství a úrovně (extenzitní a intenzitní) Individuální indexy jsou indexy stejnorodých ukazatelů Jednoduché indexy jsou takové, ve kterých neprovádíme shrnování Složené indexy jsou takové, ve kterých provádíme shrnování Souhrnné indexy jsou indexy nestejnorodých ukazatelů
UKAZATELE Obecně se používají tři ukazatele p, q, Q p = Q/q Tradiční význam: p cena q - množství Q tržba
JEDNODUCHÉ INDEXY Jednoduché indexy srovnávají dvě hodnoty téhož ukazatele. Nejsou nijak shrnovány. Index úrovně (ceny): Index množství: Index tržeb: Vztah:
ABSOLUTNÍ PŘÍRŮSTKY Změna ceny: Změna množství: Změna tržeb:
PŘÍKLAD Pan Bakala objevil na zahrádce uhlí a rozhodl se ho prodávat. V prvním roce prodal 200 tun uhlí za cenu 2000,- Kč/t. Ve druhém roce se rozhodl zvýšit cenu na 2200,-Kč/t a prodal takto 180 tun. Porovnejte změnu cen, prodaného množství a tržeb ve druhém roce oproti prvnímu.
ŘEŠENÍ Jelikož se jedná o jednu veličinu a jedno pozorování (uhlí a jedno prodejní místo), použijí se jednoduché indexy (nic se neshrnuje). Ip = 2200/2000 = 1,1 (cena vzrostla o 10%) Δp = 2200 2000 = 200 (cena vzrostla o 200 Kč/t) Iq = 180/200 = 0,9 (objem klesl o 10%) Δq = 180 200 = -20 (objem klesl o 20 tun) IQ = (2200*180)/(200*2000) = 396 000/400 000 = 0,99 (tržby klesly o cca. 1%) ΔQ = 2200*180 - (2000*200) = 396 000 400 000 = - 4000 (tržby klesly o 4000,- Kč)
BAZICKÉ A ŘETĚZOVÉ INDEXY Bazické indexy se vztahují vždy ke stejnému základu (srovnávají hodnotu vždy se stejným číslem - bází). Často se udávají v procentech (po vynásobení stem) Řetězové indexy srovnávají dvě po sobě jdoucí hodnoty v časové řadě. Mají tudíž smysl pouze pro časové indexy.
VZTAH INDEXŮ Platí, že násobením řetězových indexů dostáváme bazické. Opačně řetězový index získáme dělením dvou po sobě jdoucích bazických indexů.
PŘÍKLAD V tabulce je časová rada ukazující vývoj počtu zjištěních trestných činů v letech 1991 1997. Charakterizujte tento vývoj pomocí absolutních přírůstku, řetězových a dvou bazických indexů (bází je rok 1991 a poté rok 1995) t Yt 1991 282 996 1992 345 008 1993 398 505 1994 365 265 1995 368 624 1996 387 374 1997 397 845
ŘEŠENÍ t Yt I t/91 I t/95 Přírůstky I t/t-1 1991 282 996 100 76,77 1992 345 008 121,91 93,59 62 012 121,91 1993 398 505 140,81 108,11 53 497 115,51 1994 365 265 129,07 99,09-33 240 91,66 1995 368 624 130,26 100 3 359 100,92 1996 387 374 136,88 105,09 18 750 105,09 1997 397 845 140,58 107,93 10 471 102,7
2003 107,6 PŘÍKLAD V tabulce jsou bazické indexy počtu dokončených bytů v ČR v letech 1997-2000 se základem v roce 1997, a dále bazické indexy počtu dokončených bytů v letech 2000 až 2003 se základem v roce 2000. Dopočítejte chybějící bazické indexy v obou řadách. Rok I (i/97) I (i/00) 1997 100,0 1998 132,4 1999 141,6 2000 150,4 100,0 2001 98,2 2002 108,3
ŘEŠENÍ Rok I (i/97) I (i/00) I t/t-1 1997 100 66,49 XXX 1998 132,4 88,03 1,324 1999 141,6 94,15 1,069 2000 150,4 100 1,062 2001 147,69 98,2 0,982 2002 162,88 108,3 1,103 2003 161,83 107,6 0,993