ŘEŠENÍ MULTIPLIKATIVNÍCH ROVNIC V KONEČNÉ ARITMETICKÉ STRUKTUŘE Naďa Stehlíková 1, Univerzita Karlova v Praze, Pedagogická fakulta Úvod Příspěvek navazuje na článek Zúžená aritmetika most mezi elementární a abstraktní matematikou uveřejněný v tomto sborníku v roce 2001 (Stehlíková, 2001). Článek přinášel návrh na matematický projekt, který by mohl usnadnit přechod mezi elementární matematikou základní a střední školy a abstraktní matematikou vysoké školy. Matematickou podstatu projektu tvořila konečná aritmetická struktura, tzv. zúžená aritmetika, jejímž autorem je Milan Hejný a jíž jsem rozpracovala v rámci svého výzkumu strukturace matematických poznatků (Stehlíková, 2004). Zúžená aritmetika je vlastně kongruence modulo 99, což však není na první pohled patrné, a studenti účastnící se mého výzkumu si tento fakt často vůbec neuvědomili. Pokud se tak stalo, neuměli tuto skutečnost smysluplně využít. Kongruence modulo složené číslo představují poměrně složitou oblast a jejich pochopení by od studentů vyžadovalo nejdříve prostudování teorie. To však pro ně nebylo příliš motivující, a tak se raději snažili objevit své vlastní postupy, což vyhovovalo cílům mého výzkumu. Zatímco výše zmíněný příspěvek přinášel úlohy matematického projektu s řešeními a komentáři, zde se soustředíme na to, jak studenti uchopili jednu skupinu úloh, a to multiplikativní rovnice. Aditivní a multiplikativní lineární rovnice tvoří jakýsi vstup do matematické podstaty zúžené aritmetiky a otevírají celou řadu dalších problémů, jako např. zavedení odčítání a dělení, definování inverzních prvků, objevení dělitelů nuly 2 a jejich vlastností. Nejdříve stručně zavedeme zúženou aritmetiku. Zúžená aritmetika Základ zúžené aritmetiky tvoří zobrazení r: N N, které budeme nazývat redukce a které můžeme zavést jako instrukci: (i) když n < 100, pak r(n) = n, (ii) když n 100, rozdělíme číslo na dvě části, na poslední dvojčíslí a číslo stojící před tímto dvojčíslím, a obě části sečtěme. Celý postup opakujeme tak dlouho, dokud nedostaneme číslo od 1 do 99. Např. r(7305) = 73 + 05 = 78, r(135728) = r(1357 + 28) = r(1385) = 13 + 85 = 98. Označme množinu A 2 = {1,2,3,...,99}. Pomocí redukce r zavedeme binární operace z- sčítání 3 a z-násobení v A 2 takto: x, y A 2, x y = r(x + y) a x y = r(x y). Například 72 95 = r(167) = 68, 72 95 = r(6840) = r(108) = 9. Vstupem do problematiky multiplikativních rovnic typu a x = b, kde x A 2 je neznámá a a, b A 2 jsou parametry, je následující sada úloh (výsledky úloh jsou v závorce): 2 x = 40 {20}, 2 x = 1 {50}, 2 x = 99 {99}, 3 x = 30 {10, 43, 76}, 3 x = 1 {}, 3 x = 99 {33, 66, 99}, 3 x = 45 {15, 48, 81}, 14 x = 91 {56}, 13 x = 45 {72}, 6 x = 3 {17, 50, 83}, 93 x = 3 {16, 49, 82}, 50 x = 5 {10}, 6 x = 45 {24, 57, 90}, 3 x 2 = 83 4 {27, 60, 93}, 5 x 10 = 5 {98}. 1 Příspěvek byl vytvořen v rámci grantu GAČR 406/02/0829. 2 Připomeňme, že dělitelem nuly jsou nenulová čísla a, b, pro která platí a. b = 0. Struktura (A 2,, ) je komutativní okruh s jednotkovým prvkem. 3 Předpona z značí, že se jedná o pojem / operaci v rámci zúžené aritmetiky. 4 Studenti mají sami rozhodnout o přednosti operací. Všichni, s nimiž jsem dosud pracovala, si vybrali přednost násobení a dělení oproti sčítání a odčítání analogicky k běžné aritmetice. 89
Klasifikace multiplikativních rovnic v A 2 podle počtu kořenů je poměrně složitá a vyžaduje řešení mnoha rovnic. Pokud není číslo a dělitelné ani 3 ani 11, pak má rovnice vždy jedno řešení. Pokud je a dělitelné 3 (9, 11, 33, 99) a b není, pak rovnice nemá žádné řešení. V ostatních případech má rovnice 3 (9, 11, 33, 99) řešení. Řešitel dostane počáteční sadu úloh a další úlohy si formuluje sám podle potřeby. Je nutné zdůraznit, že studenti nedostávají žádné nápovědy, řešitelské strategie si musí vytvořit sami na základě svých zkušeností jak z běžné aritmetiky, tak z vyšší matematiky, s níž se seznámili na vysoké škole (výzkum je založen na konstruktivistických přístupech k vyučování matematice, viz Hejný, Kuřina, 2001). Experimenty Zúženou aritmetiku jsem využila v longitudinálním výzkumu, jehož se zúčastnili studenti, budoucí učitelé 2. stupně základní školy a střední školy, a to formou individuálních semistrukturovaných rozhovorů (u celkem 9 studentů) a písemných seminárních prácí (u 36 studentů). Rozhovory byly nahrávány, protokolovány a později analyzovány. Pro jejich analýzu i analýzu seminárních prací byla využita atomární analýza a tzv. ukotvená teorie (Strauss, Corbinová, 1999). Tímto způsobem jsem identifikovala kategorie, které popisují proces, v němž si studenti vytvářejí vnitřní reprezentaci zmíněné struktury, tedy jak strukturují matematické poznatky. Jednou z kategorií byl i vývoj porozumění matematickým pojmům v rámci zúžené aritmetiky (podrobněji je celý výzkum popsán v monografii Stehlíková, 2004). Zde se soustředíme pouze na vývoj porozumění struktuře multiplikativních rovnic. Vývoj porozumění struktuře multiplikativních rovnic Výše zmíněná analýza prokázala, že konstrukci vnitřní struktury multiplikativních rovnic lze rozdělit do čtyř fází. Každou z nich stručně charakterizuji a ilustruji příklady studentských prací. Fáze 1: Tvorba řešitelské strategie Většina studentů začala mechanickým přenosem strategie z běžné aritmetiky a vydělila obě strany rovnice číslem a (obr. 1). To však funguje jen pro některé rovnice a je nutné hledat novou strategii. Zde se reakce studentů mohou lišit. Jednou strategií je tzv. strategie zpětné redukce, která spočívá v tom, že se hledají zpětné redukce čísla na pravé straně rovnice tak dlouho, až je nalezen výsledek (obr. 2). Výhodou strategie je, že umožňuje nalézt všechna řešení a též upozornit na fakt existence více řešení. 5 Obr. 1: Ruth Obr. 2: Betty 5 Studenti často předpokládají, že stejně jako v běžné aritmetice existuje pro lineární rovnice nejvýše jeden kořen. 90
Objevují se i řešení založené na použití poznatků vysokoškolské matematiky. Např. Tony navrhl strategii pomocí násobení obou stran rovnice převráceným prvkem, což však neumožňuje řešit rovnice, v nichž je číslo a dělitelem nuly. 6 Obr. 3 ukazuje, že pak může dojít i k paradoxní situaci, kdy student neodhalil kořen, který byl na první pohled patrný; v našem případě x = 2 u rovnice x 3 = 6. Obr. 3: Tony Několik studentů také navrhovalo nejdříve zavést operaci z-dělení a teprve pak řešit multiplikativní rovnice. To však také naráželo na problém existence dělitelů nuly. 7 Fáze 2: Uvědomění si některých vztahů a pravidel Po vyřešení několika rovnic si studenti osvojí strategii jejich řešení do té míry, že jsou schopni soustředit se na jiné aspekty a všímají si některých vlastností a pravidel, které se postupně objevují. Zjišťují, že multiplikativní rovnice může mít žádné, jedno i více řešení, a začínají je seskupovat podle počtu kořenů. Tato fáze trvá u různých studentů různou dobu. Například Anita si všimla, že se kořeny rovnice opakují. Ruth zase řekla, že kořeny tvoří aritmetickou posloupnost. Samozřejmě se objevily i nesprávné hypotézy. Např. Frank na základě řešení jedné rovnice formuloval hypotézu, jak budou vypadat všechny kořeny rovnice (obr. 4). Později si svou chybu Obr. 4: Frank uvědomil. Fáze 3: Propojení vztahů a pravidel Zatímco ve druhé fázi existovaly vztahy a pravidla víceméně izolovaně, v této fázi se začínají propojovat a studenti je aktivně vyhledávají. Hranice mezi druhou a třetí fází je samozřejmě neostrá. Příkladem je práce Anity, která systematicky vybírala rovnice z hlediska čísla a a hledala vztahy: No tak když už pro tu čtyřku [a = 4] je jedno řešení, tak pro tu dvojku [a = 2] bude taky jedno řešení. A opakovat se pouze po jednom. Později řekla: Takže s tou šestkou [a = 6] bude asi docela problém.... Protože ta je, to je násobek 2 a 3. Dále zjistila, že rovnice, kde a = 6 a a = 3 mají stejný počet kořenů a že rozdíl mezi nimi je stejný, a použila 6 Dělitelé nuly představují důležitý pojem v rámci zúžené aritmetiky, protože nemají svůj předobraz v běžné aritmetice. Objevují se při řešení úloh z mnoha oblastí zúžené aritmetiky. 7 Operaci z-dělení definujeme takto: Pro z-čísla x, y, kde y 99 není dělitel nuly, platí x y = x y -1, kde y -1 je inverzní prvek k číslu y vzhledem k z-násobení, tj. y y -1 = 1. 91
toto zjištění pro zjištění řešení u rovnice, kde a = 18 = 2. 9 (taková rovnice by měla podle ní mít stejné vlastnosti jako rovnice, kde a = 9). Takto pokračovala dále. Později také objevila důležitý vztah mezi počtem kořenů rovnice p a rozdílem d mezi nimi, kde platí p. d = 99. Fáze 4: Vytvoření struktury multiplikativních rovnic V této fázi jsou všechny znalosti o řešitelnosti multiplikativních rovnic dány dohromady, aby tvořily jeden celek, strukturu. Pozorovatel se dozví, že řešitel je v této fázi, jen prostřednictvím písemného vyjádření, které má většinou podobu tabulky. Řešitel je navíc schopen zdůvodnit existenci více kořenů odkazem na dělitele nuly (tj. násobky 3 a 11) a neexistenci kořenů rovnice např. odkazem na z-kritéria dělitelnosti čísel a a b. 8 Je si také vědom, že nelze krátit multiplikativní rovnici číslem 99 ani děliteli nuly. Tabulky řešitelnosti multiplikativních rovnic samozřejmě procházejí vývojem (viz řešení Molly na obr. 5). Obr. 5: Molly Dalším příkladem uchopení struktury multiplikativních rovnic je řešení Martina na obr. 6. Otázkou zůstává, kdy můžeme říci, že si student vytvořil strukturu multiplikativních rovnic. Zřejmě se musí dostat do čtvrté fáze předvedeného modelu. Získá Obr. 6: Martin jakýsi nadhled, který mu umožňuje odhlédnout od jednotlivostí a konkrétních rovnic a popsat strukturu rovnic obecně a její vlastnosti. Na první pohled je také schopen říci, zda bude daná rovnice řešitelná a kolik bude mít řešení. Navíc pokud se k řešení rovnic vrátí po čase, bude schopen zrekonstruovat strategie, které si předtím vytvořil. Studentská řešení je také možné interpretovat z hlediska jejich chápání vztahu mezi běžnou aritmetikou a zúženou aritmetikou. Svou práci začínali vesměs s očekáváním analogie s běžnou aritmetikou a teprve když tato analogie selhala, hledali nové strategie. Některým z nich však nemožnost použití známých strategií znemožnila nalézt správná řešení (např. vyšel-li zlomek jako kořen rovnice, prohlásili, že řešení neexistuje). 8 Každé z-číslo je z-dělitelné z-číslem, které není dělitel nuly a nerovná se 99. Pro z-dělitelnost děliteli nuly platí stejné kritérium dělitelnosti, jako jsou kritéria dělitelnosti číslem 3, 9 a 11 z běžné aritmetiky. 92
Závěr Uchopení struktury multiplikativních rovnic je pouze jednou součástí uchopení struktury zúžené aritmetiky jako celku. Můžeme mluvit o tzv. lokálním pojetí. Podobně jsem zkoumala uchopení struktury dělitelů nuly, uchopení inverzních operací (tj. z-dělení a z-odčítání), uchopení zpětné redukce apod. Pomocí těchto lokálních pojetí jsem dospěla ke globálnímu pojetí, tj. uchopení struktury jako celku, které je nutné zkoumat dlouhodobě a které je podrobně zkoumáno v rámci případové studie (Stehlíková, 2004). Literatura [1] Hejný, M., Kuřina, F. (2001). Dítě, škola a matematika. Konstruktivistické přístupy k vyučování. Praha: Portál. [2] Stehlíková, N. (2001). Zúžená aritmetika most mezi elementární a abstraktní matematikou. In Burjan, V., Hejný, M. a Jány, Š. Zborník príspevkov z letnej školy z teórie vyučovania matematiky Pytagoras 2001. Bratislava: EXAM, s. 67 72. [3] Stehlíková, N. (2004). Structural understanding in advanced mathematical thinking. Praha: PedF UK, 236 s. [4] Strauss, A., Corbinová, J. (1999). Základy kvalitativního výzkumu. Brno: Sdružení Podané ruce. Boskovice: Nakladatelství Albert. 93