MODELY PRO ANALÝZU KROUCENÍ MASIVNÍCH BETONOVÝCH PRVKŮ MODELS FOR ANALYSIS OF TORSION OF MASSIVE CONCRETE ELEMENTS Vladimír Křístek, Jaroslav Průša, Jan L. Vítek Podle současně používaných návrhových metod výpočtu stavu napětí vyvolaného kroucením masivních prizmatických betonových konstrukčních prvků je systém redukován na jednoduchou klec skládající se z táhel a vzpěr. Tento model má však řadu zásadních nedostatků. Hlavním z nich je skutečnost, že torzní účinky nejsou uvažovány spolu s interakcí ostatních současně působících vnitřních sil (axiální síly, ohybové momenty a smykové síly). Např. současně působící tlakové axiální síly velmi výrazně zvyšují kapacitu průřezu pro přenos krouticího momentu na konstrukčním prvku, a naopak působení tahové síly, ohybových momentů a posouvajících sil kapacitu průřezu v kroucení redukuje. Tyto jevy jsou analyzovány a hodnoceny za použití pokročilých nelineárních přístupů. According to the common design methods of calculation of the stress state induced by torsion of massive prismatic concrete structural elements, the structural system is reduced to a simple cage consisting of ties and struts. This model has, however, a number of principal shortcomings, the most significant being the fact that interaction of torque and other acting effects like axial forces, bending moments and shear forces are not taken into account. The compressive axial forces increase very significantly the torque capacity of the structural member, while tensile forces, bending moments and shear forces reduce the torque capacity. These phenomena are analysed and assessed, applying non-linear approaches. Výpočet únosnosti železobetonových konstrukcí se u nás řídí evropskou normou ČSN EN 199-1-1, která v kap. 6.3.1 odst. (3) uvádí: Únosnost průřezu v kroucení lze vypočítat za předpokladu tenkostěnného uzavřeného průřezu, u kterého je rovnováha zabezpečena uzavřeným smykovým tokem (obr. 1b). Plné průřezy lze modelovat ekvivalentními tenkostěnnými průřezy. Náhradní tenkostěnný průřez (obr. 1b) vzniká vypuštěním jádra průřezu jeho vnější hrana je lemována efektivní tloušťkou t ef. Model na obr. 1a je v tomto článku dále označován jako klecový model, který se využívá k návrhu výztuže při působení v mezním stavu únosnosti. Jeho zásadním nedostatkem je nerespektování skutečného tvaru průřezu, jelikož pro stanovení dimenzí ekvivalentního tenkostěnného průřezu (klecového modelu) je rozhodující pouze plocha uzavřená střednicí náhradního průřezu bez ohledu na jeho tvar (obr. 1b). Smykový tok obíhá průřez ve stálé hodnotě (obr. 1b). Efektivní tloušťka stěny náhradního průřezu t ef (obr. 1b) je podle ČSN EN 199-1-1 dána vzorcem: t ef = A/u, (1) kde A je plocha průřezu a u obvod průřezu, což lze pro obdélníkový průřez zapsat jako: t ef = dt / (d + t), () kde d je délka delší strany obdélníkového průřezu a t délka jeho kratší strany (obr. a 4). Pro čtvercový průřez (obr. 1c), kde platí d = t = a, vychází podle vztahu () efektivní tloušťka t ef = a/4. Už takový náhradní průřez, jehož plocha je 75 % plochy celého průřezu (na jádro tedy zbývá jen 5 %!), samozřejmě vůbec nelze považovat za tenkostěnný. Situace se však stává ještě daleko horší, pokud obdélníkový průřez má protáhlý tvar, tj. platí poměr d > t. Označíme-li c = d/t, potom pro rostoucí c dostáváme: lim t ef = c, (3) což znamená, že v limitě efektivní tloušťka zaplní celý průřez (obr. ). Je třeba připomenout, že s rostoucím poměrem c narůstá efektivní tloušťka extrémně rychle, např. již pro c = 5 vychází t ef =,4 t, tedy hodnota velmi blízká,5 t znamenající zaplnění celého průřezu efektivní tloušťkou (obr. ). Lze tedy prohlásit, že náhradní tenkostěnný průřez podle ČSN EN 199-1-1 vůbec tenkostěnný není a ani z hlediska použití vztahu t ef = A/u být nemůže. Podle metodiky fib MC1 kap. 7.3.4 Kroucení [4] se dokonce doporučuje stanovit efektivní tloušťku stěny náhradního průřezu t ef jako 1/8 průměru kružnice vepsané do nejužší části obrysu průřezu podle obr. 3a. Otrocké použití této metodiky, vedoucí ke zřejmým nesmyslům, naznačuje obr. 3b. Proto metodika uvedená v MC1 současně předpisuje též minimální hodnotu efektivní tloušťky stěny náhradního tenkostěnného průřezu t ef, a to jako dvojnásobek vzdálenosti mezi povrchem betonového průřezu a středem prutů podélné výztuže. Toto doporu- 1a 1b 1c Původní průřez Náhradní tenkostěnný průřez 3a 3b 5 BETON technologie konstrukce sanace 4/17
čení má logiku, neboť v takto vytvořeném náhradním tenkostěnném průřezu, resp. klecovém modelu, výztuž leží v blízkosti středu tloušťky stěny náhradního tenkostěnného průřezu; v předpokládaném systému, tvořeném ocelovými táhly výztuže a tlačenými betonovými vzpěrami o tloušťce t ef, tudíž leží síly v těchto táhlech a vzpěrách v téže rovině. KROUCENÍ LINEÁRNÍ REŽIM Až do dosažení meze linearity působí prut podle Saint-Venantovy klasické teorie kroucení. Průřez nezůstává rovinný deplanuje. Napětí vznikají pouze smyková nejvyšší hodnoty jsou dosaženy na povrchu ve středu delší strany obdélníkového průřezu (obr. 4). V tomto stavu není podélná a příčná betonářská výztuž od kroucení vůbec namáhána, jelikož směry hlavních napětí vyvolaných kroucením jsou od směrů výztuže odkloněny, takže ve výztuži nevzniká žádná tendence délkových deformací a z toho vyplývajících napětí τ. Podle Saint-Venantovy teorie kroucení je nejvyšší hodnota smykového napětí τ vyvolaná krouticím momentem dosažena ve středu delší strany obdélníkového průřezu tloušťky t (obr. 4) a má hodnotu: Mk = td, (4) kde součinitel γ lze uspokojivě aproxi - mo vat vztahem γ =,817 +,5 ln (d/t), přičemž d je delší strana obdélníku (obr. 4). Na příkladu jsou porovnány výsledky modelu založeného na náhradním tenkostěnném průřezu s přesným řešením. Prvek o dané průřezové ploše 16 m je zatížen krouticím momentem, jehož velikost je zvolena tak, aby ve středu strany čtvercového průřezu rozměrů 4 4 m, který považujeme za referenční, vznikalo podle Saint-Venantovy teorie kroucení smykové napětí τ = 1 MPa. Tento krouticí moment má hodnotu = τ γ t 3 = 1.1 6 Nm -..,817. (4 m) 3 = 13,3 MNm; pro další výpočty bude tento krouticí moment uvažován jako referenční. Výsledné porovnání výsledků modelu založeného na náhradním tenkostěnném průřezu s přesným řešením ukazuje obr. 5. Prokazuje se tak, že model definovaný v ČSN EN 199-1-1 značně nadhodnocuje torzní únosnost průřezu, neboť v oblasti u středu delší strany obdélníkového průřezu dává hodnoty napětí značně nižší než skutečné, tedy dává výsledky nebezpečné. Důvodem je, že ve skutečnosti je smykové napětí podél obvodu průřezu proměnné (např. v rozích průřezu je nutně nulové), kdežto u klecového modelu obíhá kolem průřezu v konstantní velikosti (obr. 1b). Model náhradního tenkostěnného průřezu tak posouvá krouticí moment na mezi vzniku trhlin mnohem výše, než je tomu ve skutečnosti. Tento rozdíl vzrůstá s rostoucím poměrem delší strany ke kratší straně (průměrná hodnota tohoto rozdílu pro řešený případ je 151 % přesného řešení). Model definovaný v ČSN EN 199-1-1 je tedy pro stanovení velikosti nejvyššího smykového napětí v betonu a krouticího momentu na mezi vzniku trhlin nejen nesprávný, ale i nebezpečný. Pokud kroucený prvek může volně deplanovat, potom v něm vznikají pouze napětí smyková. Je-li však v nějakém průřezu této deplanaci zabráněno (např. ve vetknutí mostního oblouku do masivního podporového bloku), vznikají v tomto průřezu bimomenty vyvolávající doplňková axiální normálová napětí. Intenzita tohoto jevu velmi závisí na poměru délek stran průřezu (obr. 6). Oblast významného zasažení tímto jevem odpovídá zhruba tloušťce (menšímu rozměru) obdélníkového průřezu. Např. pro předchozí případ prvku o dané průřezové ploše 16 m, který je zatížen krouticím momentem = 13,3 MNm, je nejvyšší normálové napětí σ depl ve vetknutém průřezu vyznačeno na obr. 6: např. pro poměr c = d/t = 5 dosahuje pro zatížení krouticím momentem = 13,3 MNm toto doplňkové napětí betonu v rozích průřezu hodnoty cca 3, MPa (střídavě tlak a tah v pro- Obr. 1 a) Klecový model [6], b) obecný náhradní tenkostěnný průřez [7], c) původní čtvercový a náhradní tenkostěnný průřez Fig.1 a) Cage-shaped model [6], b) general thinwalled equivalent section [7], c) original square cross-section and equivalent thin-walled section Obr. Náhradní tenkostěnný průřez podle ČSN EN 199-1-1 Fig. Equivalent thin-walled cross section according to the ČSN EN 199-1-1 Obr. 3 a) Stanovení náhradní tloušťky podle MC1, b) nesprávná aplikace Fig. 3 a) Specification of the equivalent thickness according to MC1, b) incorrect application Obr. 4 Rozložení smykových napětí v masivním průřezu při zatížení kroucením Fig. 4 Distribution of shear stresses in the massive cross section loaded by torsion Obr. 5 Porovnání velikosti smykových napětí na obdélníkovém průřezu dané průřezové plochy 16 m dle Saint-Venantovy teorie a dle modelu náhradního tenkostěnného průřezu Fig. 5 Comparison of shear stress values in rectangular cross section of given cross sectional area 16 m, calculated according to Saint-Venant s Principle and according to the model of equivalent thinwalled section 4 5 Smykové napětí podle Saint-Venantovy (Prandtlovy) funkce Smykové napětí podle metody náhradního tenkostěnného průřezu 3, d (větší rozměr) Smykové napětí v průřezu od kroucení [MPa],5, 1,5 1,,5 t (menší rozměr), 1 3 4 5 6 7 8 9 1 11 1 13 14 15 16 Poměr d/t [-] 4/17 technologie konstrukce sanace BETON 51
6 Podélné napětí [MPa] Podélné napětí vyvozené potlačením deplanace průřezu 7 6 5 4 3 1 1 3 4 5 6 7 8 9 1 11 1 13 14 15 16 17 Poměr výšky ku šířce průřezu (d/t) [-] Obr. 6 Závislost podélných napětí σ depl vyvozených bimomenty na poměru stran průřezu (A = 16 m, = 13,3 MNm) Fig. 6 Relationship between axial normal stresses σ depl induced by bimoments and ratio of the width and thickness of the cross section (A = 16 m, = 13.3 MNm) Obr. 7 Nelineární analýza nevyztuženého segmentu při kroucení vývoj trhlin a rozdělení hlavních napětí Fig. 7 Nonlinear numerical analysis of the unreinforced element under torsion crack development and principal stress distribution 7 8 Torzní moment [knm] Diagram torzní moment úhel zkroucení ( -Φ) Pouze kroucení Kroucení + tlak 4 MPa 6 5 4 3 1,,5 1, 1,5,,5 3, 3,5 4, 4,5 Úhel zkroucení Φ [mrad] tilehlých rozích průřezu). Toto doplňkové tahové napětí by mohlo být při návrhu reálné konstrukce významné a mělo by s ním být při návrhu plochy betonářské výztuže uvažováno. Tento jev samozřejmě není schopen vůbec postihnout model založený na náhradním tenkostěnném průřezu (klecový model). Prokazuje se, že doplňková axiální normálová napětí mohou zejména u protáhlých průřezů dosahovat nezanedbatelných hodnot; doplňková napjatost však není v současných návrhových postupech vůbec brána v úvahu. KROUCENÍ NELINEÁRNÍ REŽIM Skutečné působení krouceného prvku obdélníkového průřezu lze uvažovat tak, že až do vzniku tahových trhlin působí prut jako celek se vznikem smykových napětí podle Saint-Venantovy klasické teorie kroucení, tzn. že nejvyšší napětí na povrchu vzniká ve středu delší strany obdélníkového průřezu. Až do doby, než dosáhne hlavní napětí pevnosti betonu v tahu, působí průřez lineárně, jak bylo ukázáno v předchozí kapitole. Pokud je pak hlavní tahové napětí vyšší než pevnost betonu, nastává nelineární působení průřezu. Přitom první známky dosažení porušení nastávají jen ve velmi malém úseku uprostřed šířky delší strany obdélníku (obr. 7). Nejen celé jádro průřezu, ale i celá zbývající část obvodu stále může přenášet další napětí bez porušení. Např. oblasti kolem rohů průřezu jsou zcela nevyužity. V numerickém modelu v programu ATENA bylo zkoumáno nejprve chování betonového nevyztuženého prvku o rozměrech 5 1 m zatíženého: pouze kroucením, kroucením a současně působícím tlakovým namáháním o velikosti 4 MPa. Po dosažení vzniku prvních trhlin ve středu delší strany průřezu únosnost zcela nevymizí, neboť se mobilizují ostatní části průřezu (redistribuce vnitřních sil po průřezu). Dochází k poklesu přenášeného krouticího momentu, ale ne zcela (obr. 8). Podrobně je tento jev diskutován v řešeném příkladu v kap. Praktická aplikace: u prutu pouze krouceného poklesne přenášený torzní moment na cca % maximální hodnoty (černá čára na obr. 8), u prutu krouceného a současně tlačeného poklesne přenášený torzní 9 Napětí v příčné betonářské výztuži f yk vznik trhlin mezní přetvoření betonu ε cu moment na cca 7 % maximální hodnoty (červená čára na obr. 8). Tento jev není model náhradního tenkostěnného průřezu taktéž schopen postihnout. V případě železobetonového krouceného prvku je vývoj namáhání naznačen schematicky na obr. 9. Příčná výztuž se začne do působení zapojovat, teprve až hlavní napětí překročí pevnost betonu v tahu, což nastane při relativně vysoké hodnotě zatěžujícího krouticího momentu. Na obr. 9 je schematicky ukázán vývoj napětí v příčné výztuži vyvolaného kroucením, kdy mobilizace příčné výztuže nastává až pro krouticí moment větší, než je krouticí moment na mezi vzniku trhlin. Až do dosažení pevnosti betonu v tahu v nejexponovanějším místě není výztuž, umístěná podélně a příčně, do této úrovně zatížení vůbec namáhána. Teprve potom, až hlavní napětí v tahu překročí pevnost betonu mezní přetvoření oceli ε su Osa x Deformace ε 5 BETON technologie konstrukce sanace 4/17
Obr. 8 Únosnost v kroucení při zatížení jen krouticím momentem a krouticím momentem v interakci s tlakem Fig. 8 Load carrying capacity in torsion under the loading by torsion only and under the loading by torsion and compression Obr. 9 Schéma vývoje napětí v příčné výztuži v závislosti na deformaci od kroucení Fig. 9 Scheme of development of stress in transverse reinforcement in dependence on the strain induced by torsion Obr. 1 Nárůst kapacity v kroucení v závislosti na tlaku v průřezu Fig.1 Increase of the capacity in torsion in dependence on the compression in the section Obr. 11 Předpjatý prvek namáhaný kroucením Fig. 11 Prestressed member exposed to torsion 1 Násobek kroutícího momentu na mezi vzniku trhlin,1 pro tlak MPa 8% 6% 4% % % 18% 16% 14% 1% 1% Násobek torzního momentu na mezi vzniku trhlin,1 pro tlak MPa -1 - -3-4 -5-6 -7-8 -9-1 Tlakové napětí [MPa] 11 v tahu (při kroucení je zde víceosá napjatost hlavní napětí v tahu a na ně kolmé hlavní napětí v tlaku), se postupně může začít mobilizovat klecový model výztužná klec s tlakovými betonovými diagonálami. To se však děje postupně, od středu delší strany obdélníkového průřezu. Je třeba připomenout, že systém je mnohonásobně vnitřně staticky neurčitý, a proto se při výskytu slabšího místa zapojí do působení okolní dosud neporušené vazby (uplatňuje se redistribuce namáhání po průřezu). Klecová funkce (tj. tahové působení výztuže a předpokládaných tlakových betonových vzpěr) nezačne fungovat v celém rozsahu obvodu průřezu ihned po dosažení pevnosti v hlavních tahových napětích na povrchu ve středech delších stran, ale jen právě v této malé oblasti a její rozsah se postupně zvětšuje s přírůstkem namáhání. Ve zbývajících trhlinami neporušených částech průřezu působí stále betonový průřez, neboť napětí uvnitř prvku jsou nižší (rapidně se snižují při postupu dovnitř průřezu, obr. 4). KROUCENÍ & TLAK A OHYB Při namáhání prostým kroucením v lineárním režimu vznikají v konstrukčním prvku pouze smyková napětí. Hlavní napětí jsou rovna smykovým napětím. Když však na prvek působí současně též axiální napětí vyvolaná působící axiál ní silou nebo ohybovým momentem, nastává změna velikostí a orientace hlavních napětí. Pro jejich výpočet platí známý vztah: x = ± x + 1, (5) kde σ x je normálové napětí a τ smykové napětí od účinků kroucení, popř. též od posouvající síly. Je-li zadána přípustná hodnota hlavního napětí v tahu (f ct ), potom při daném normálovém napětí σ x příslušném axiálnímu a ohybovému namáhání lze vyjádřit odpovídající přípustné smykové napětí []: ( ) = f f (6) ct ct x a odtud (v případě že je průřez namáhán současně působící normálovou silou) krouticí moment na mezi vzniku trhlin 1 = τ γ t d. Označíme-li: k = σ x / f ct, (7) dostáváme pro krouticí moment na mezi vzniku trhlin: M = f t d 1+ k = M 1+ k k1 ct k, (8) kde = f ct γ t d je krouticí moment na mezi vzniku trhlin pro případ bez axiálního zatížení. Je zřejmé, že pokud je průřez současně s kroucením zatížen též osovým tlakem (σ x < ), dochází k velmi výraznému nárůstu jeho torzní únosnosti, tj. krouticí moment na mezi vzniku trhlin se velmi významně zvýší. Konkrétně při osovém tlaku o velikosti pouhého 1 MPa jsou pro průřezy téměř nezávisle na poměru délek jejich stran hodnoty tohoto zvýšení na úrovni cca 18 % krouticího momentu na mezi vzniku trhlin odpovídajícího prostému kroucení určeného podle Saint-Venantovy funkce; v případě osového tlaku 4 MPa dosahuje toto zvýšení dokonce až 186 % této hodnoty [] (obr. 1, zkoumané průřezy mají poměr stran 1:1 až 1:8). V případě osového tahu naopak dochází k dramatickému poklesu torzní únosnosti průřezu. Hodnoty byly spočítány pro betonový průřez bez uvažování výztuže. Tento účinek se samozřejmě projevuje stejným způsobem též u předpjatých konstrukčních prvků, které jsou současně namáhány kroucením (obr. 11). Tahové napětí v důsledku působení tahové síly v průřezu a stejně tak ohybové namáhání naopak vyvolávají snížení torzní únosnosti průřezu, které může být velmi významné, podobně jako je tomu v důsledku namáhání od působení posouvající síly []. 4/17 technologie konstrukce sanace BETON 53
Tab. 1 Vnitřní síly a zatěžovací sekvence ve výpočtovém modelu Tab. 1 Internal forces and loading sequences in structural model ZS1 vlastní tíha samotného oblouku ZS tíha stojek a nosné konstrukce ZS3 nahodilé zatížení N [kn] -3 3 M y [knm] -1 4 [knm] N [kn] -5 635 M y [knm] - 454 [knm] N [kn] -11 95 M y [knm] -11 91 [knm] 1 71 1 Torzní moment [knm] 3 5 15 1 5 Diagram torzní moment zkroucení ( -Φ) Charakteristická únosnost pro působící Charakteristická únosnost pro působící N+ Charakteristická únosnost pro působící N+ +M Účinky zatížení na konstrukci = reálné zatížení Obr. 1 Únosnost v kroucení při různých kombinacích namáhání Fig. 1 Load carrying capacity in torsion for different combinations of loading,,5 1, 1,5,,5 3, Zkroucení Φ [mrad] PRAKTICKÁ APLIKACE POSOUZENÍ PRŮŘEZU MOSTNÍHO OBLOUKU Pro znázornění vlivu a významu všech ostatních složek vnitřních sil na torzní kapacitu průřezu na reálné konstrukci mostního oblouku byl zpracován konkrétní příklad, který je založený na projektu rekonstrukce jednoho většího dálničního obloukového mostu. Podrobným vyšetřením byl zjištěn průřez s extrémním namáháním, cca v 1/6 rozpětí oblouku. Ve sledovaném řezu (průřez rozměrů 8,6 1,5 m) působí kombinace vnitřních sil (charakteristické vzájemně odpovídající si hodnoty náležící k jednomu zatěžovacímu stavu): normálová síla N = -4 887 kn, ohybový moment od ohybu ve svislém směru M y = -15 775 knm, posouvající síla ve svislém směru V y = -3 kn, krouticí moment = -1 71 knm. Aby nelineární výpočet po vzniku trhlin odpovídal realitě, bylo nutné přesně vystihnout historii postupného zatěžování mostního oblouku. Za tímto účelem byly odseparovány vnitřní síly pro jednotlivé fáze funkčního života konstrukce: zatížení od vlastní tíhy oblouku, přírůstek zatížení od stojek a nosné konstrukce, přírůstek zatížení od nahodilých zatížení. Materiálové vlastnosti použité ve výpočtu: tahová pevnost betonu f ctk,.5 = 1,667 MPa, modul pružnosti E c = 35 MPa, pevnost v tlaku f ck = 4 MPa. Pro průkaz vysokých rezerv únosnosti nebyl v této fázi výpočtu účinek betonářské výztuže respektován. Zatížení torzním momentem bylo vnášeno vynucenou deformací kroucením bylo tedy možné zachytit sestupnou větev pracovního diagramu. Byl použit numerický model vytvořený v programu ATENA [3]. Aby bylo získáno porovnání vlivu sekvence zatěžování a chronologického pořadí působení ostatních složek vnitřních sil na torzní kapacitu průřezu, byl tentýž výpočet proveden pro dvě další varianty: varianta zatížení průřezu pouze torzním momentem bez současného působení normálové síly a ohybového momentu, varianta s normálovou silou působící spolu s torzním momentem, ale bez současného působení ohybového momentu. Grafy znázorňující výsledky porovnávacích výpočtů jsou znázorněny na obr. 1. Jak je patrné z grafu znázorňujícího závislost torzního momentu na úhlu zkroucení, sklon křivek pro zatížení samotným torzním momentem a torzním momentem spolu s tlakovou normálovou silou je velmi podobný. Liší se však zásadně maximální hodnotou, která odpovídá torznímu momentu na mezi vzniku trhlin. To je v úplné shodě s výsledky obecné studie uvedenými na obr. 8. Zásadním zjištěním je skutečnost, že zatěžující krouticí moment na reálné konstrukci oblouku příslušející tomuto průřezu ( = 1 71 knm, vodorovná fia lová čára na obr. 1) je a to dokonce s řádovou rezervou snadno přenášen betonovým průřezem, a to stále ještě v lineárním režimu. Znamená to, že příčná výztuž by vůbec nebyla namáhána a nelineární režim by ve všech řešených zatěžovacích kombinacích nebyl mobilizován; klecový model se v tomto případě prokazuje jako zcela neadekvátní. U zatížení tlakovou normálovou silou a torzním momentem je moment na mezi vzniku trhlin výrazně posunut výše s ohledem na příznivé působení tlakové síly, která redukuje velikost hlavních tahů indukovaných kroucením. Po dosažení torzního momentu na mezi vzniku trhlin nastává pokles (ale nikoliv úplná ztráta) torzní kapacity průřezu. Toto zásadní zjištění prokazuje, že velmi významná část únosnosti zůstává trvale zachována díky postupné mobilizaci dalších částí betonového průřezu. U prvku zatíženého pouze torzním momentem je tato zbytková torzní kapacita průřezu rovna cca % torzního momentu na mezi vzniku trhlin, zatímco u prvku namáhaného současně tlakovou silou a torzním momentem dosahuje zbytková kapacita velikosti dokonce cca 8 % torzního momentu na mezi vzniku trhlin. Tento výrazný rozdíl oproti namáhání pouze od torzního momentu je dán opět příznivým působením tlakové síly, která redukuje velikosti hlavních napětí od kroucení a napomáhá aktivaci okolních trhlinami dosud neporušených částí průřezu. Co se interakce normálové síly, ohybového a torzního momentu týká, tak zde má diagram -Φ průběh poněkud odlišný. Vzestupná větev je plošší a nárůst torzního momentu je pozvolný. Kolaps průřezu nastane ze všech ostatních režimů nejdříve. Vysvětlit to lze tím, že v tomto případě byla respektována reálná sekvence zatěžování průřezu, kdy spolu s normálovou silou byl aplikován ohybový moment, který odčerpával rezervu v hlavních napětích betonu. To, že v tomto příkladu uvedený moment na mezi vzniku trhlin je téměř to- 54 BETON technologie konstrukce sanace 4/17
tožný s momentem na mezi vzniku trhlin pro průřez namáhaný pouze kroucením, je dílem náhodné souhry faktorů, kdy se příznivý vliv tlakové normálové síly vzájemně vyruší s nepříznivým vlivem ohybového momentu. U reálné konstrukce je proto vždy zapotřebí provést výpočet založený na skutečně zjištěných vnitřních silách a v sekvencích zatěžování odpovídajících realitě. Projektanti pro podrobné statické analýzy vnitřních sil v konstrukcích používají obvykle pokročilé a časově náročné přístupy založené na moderních finitních metodách (obvykle MKP). Pro návrh a posuzování průřezů však často preferují krajně zjednodušené modely, zhusta založené na překonaných předpokladech. Pro vyvážené projektování je však třeba věnovat těmto dvěma stupňům stejnou pozornost a úsilí. ZÁVĚR Model náhradního tenkostěnného průřezu, který po vzniku trhlin a aktivaci výztuže přechází do klecového modelu, má řadu principiálních rozporů se skutečností, zejména: nerespektuje skutečný tvar průřezu, rozhodující je zde pouze plocha uzavřená střednicí náhradního průřezu bez ohledu na jeho tvar, vztahy pro efektivní tloušťku náhradního průřezu dávají nereálné hodnoty; u velmi protáhlých průřezů tyto efektivní tloušťky zaplňují celou plochu průřezu, smykový tok v náhradním tenkostěnném modelu obíhá průřez ve stálé hodnotě, v rozích průřezu udává náhradní tenkostěnný model napětí, ale podle zákona o vzájemnosti smykových napětí tam musí být nutně napětí nulové, smykové napětí v náhradním tenkostěnném průřezu je počítáno jako v tenkostěnném uzavřeném průřezu, tj. rovnoměrně rozdělené po efektivní tloušťce, což neodpovídá skutečnosti, udává podceněné, tedy nebezpečné, hodnoty smykových napětí. Na metodice působení betonových průřezů při zatížení kroucením založené na náhradním tenkostěnném průřezu je nejzáludnější to, že je považována za správnou, přitom jak je ukázáno na obr. 5, tak tento model výrazně podhodnocuje hodnoty smykových napětí od kroucení, což je na straně nebezpečné. Míra podhodnocení je značná udává hodnoty nižší cca o třetinu oproti hodnotám podle Saint- -Venantovy funkce, která pro masivní obdélníkové průřezy bez výjimky platí, nerespektuje deplanaci průřezu, zejména její omezení, ignoruje vzniklé bimomenty a jim odpovídající doplňková normálová napětí, klecový model má tlusté stěny t ef ; výztuž potom (kromě modelu podle druhého kritéria doporučení metodiky MC1) neleží uprostřed tloušťky stěny náhradního tenkostěnného průřezu (obr. 1b, c). Z tohoto důvodu v klecovém modelu, v předpokládaném systému tvořeném ocelovými táhly výztuže a tlačenými betonovými vzpěrami o tloušťce t ef, jsou síly v těchto táhlech a vzpěrách mimoběžné neleží v téže rovině; rovinnost tohoto systému je samozřejmě nutnou podmínkou jeho předpokládané funkce, klecový model úplně ignoruje poruchami nepostižené rozměrné jádro průřezu vypouští z působení oblast, kde jsou smyková napětí nejmenší jádro průřezu, zásadním nedostatkem tohoto přístupu je skutečnost, že úplně ignoruje současné působení dalších druhů namáhání, které zásadně ovlivní stav napětí a též způsob porušení (osové namáhání tlaková nebo tahová síla; ohybové namáhání poruší symetrii namáhání a způsob porušování (podobný efekt vyvozuje i posouvající síla)); tlaková síla velmi významně zvyšuje torzní únosnost, zatímco tahová síla, ohybové momenty a posouvající síly torzní únosnost redukují, výpočet prostým součtem výsledků výpočtů jednotlivých zatěžujících faktorů (ohybu, tahu nebo tlaku, smyku a kroucení) založených na často primitivních předpokladech (tedy v principu nelineárních) je samozřejmě z elementárních principů mechaniky zcela chybný, klecový model je založen na předpokladu plné funkce betonových tlakových vzpěr. Není definováno jak postupovat v případě, že beton v těchto vzpěrách není již plnohodnotný v důsledku současného působení dalších složek vnitřních sil (axiálních, ohybových a smykových), při návrhu betonových prvků je nezbytné mít na paměti rozdíl mezi metodikou posuzování nosníkových prvků namáhaných ohybem, u kterých se posuzuje trhlinami porušený průřez a z tohoto důvodu je potom předpoklad vyloučeného tahového působení průřezu oprávněný, a na Literatura: [1] KOVÁŘ, A. Theorie kroucení. Praha: Nakladatelství ČSAV, 1954. [] PRŮŠA, J. Analýza reálného statického působení betonových obloukových mostů. Praha, 17. Disertační práce. ČVUT v Praze, Fakulta stavební, Katedra betonových a zděných konstrukcí. [3] ČERVENKA, V. Numerický model ATENA. [4] fib Model Code for Concrete Structures 1. Berlin: Ernst und Sohn, 13. [5] TEPLÝ, B., ŠTEVULA, M., ROVNANÍKOVÁ, P. Nové trendy při navrhování a posuzování betonových konstrukcí ve vztahu k připravovaným změnám v EN 6 a fib Model Code. Beton TKS. 17, roč. 17, č. 3, s. 49. [6] PRIESTLEY, M. J. N., SEIBLE, F., CALVI, G. M. Seismic design and retrofit of bridges. New York: John Wiley & Sons, 1996. [7] ČSN EN 199-1-1, ed.. Eurokód : Navrhování betonových konstrukcí Část 1-1: Obecná pravidla a pravidla pro pozemní stavby. Praha: ÚNMZ, 11. druhé straně metodikou posuzování prvků namáhaných čistě kroucením, kdy naprostá většina průřezu zůstává při běžných hladinách namáhání tahovým porušením netknuta. Torzní účinky, jako významná složka namáhání betonových konstrukčních prvků, představují závažnou problematiku při navrhování a posuzování betonových konstrukcí, jejíž řešení je v současné době velmi aktuální ve vztahu k připravovaným změnám v celé soustavě evropských norem (Eurokódů) a ve fib Model Code, jak je podrobně diskutováno v [5]. Prezentované výsledky souvisí s řešením grantového projektu GAČR č. 16-4454S a projektu CESTI (č. TE 1168) podporovaného TAČR. prof. Ing. Vladimír Křístek, DrSc., dr.h.c., FEng. Fakulta stavební ČVUT v Praze e-mail: vladimirkristek@seznam.cz Ing. Jaroslav Průša, Ph.D. JLP creative, s. r. o. e-mail: prusa.jaroslav@jlpcreative.cz prof. Ing. Jan L. Vítek, CSc., FEng. Metrostav, a. s. & Fakulta stavební ČVUT v Praze e-mail: jan.vitek@metrostav.cz Text článku byl posouzen odborným lektorem. The text was reviewed. 4/17 technologie konstrukce sanace BETON 55