FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA RNDr. Petr Budinský, CSc.

FINANČNÍ MATEMATIKA Budoucí hodnota při různých typech úročení FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 2

Příklad: Uvažujme FV = 100.000 Kč a úrokovou sazbu r = 12 %. Jak se zhodnotí uvedená investice během 3 let. FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 3

Současná hodnota vypočtená z budoucí hodnoty FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 4

Příklad: Uvažujme peněžní toky dané následující tabulkou a úrokovou mírou r = 6 %, přičemž úroky jsou připisovány: a) jedenkrát ročně FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 5

Příklad: Uvažujme peněžní toky dané následující tabulkou a úrokovou mírou r = 6 %, přičemž úroky jsou připisovány: b) spojitě FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 6

Výnosové procento (výnos) při pevných peněžních tocích FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 7

Rovnosti a nerovnosti mezi výnosy FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 8

Příklad: Investujeme částku P = 10.000 Kč na dobu 5 let, přičemž po 5 letech inkasujeme částku FV = 21.000 Kč. FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 9

Příklad: Uvažujme půjčku 1.000.000. Kč na 10 let. Tato půjčka je splácena v pravidelných ročních splátkách (ve stejné výši) tak, aby poskytovala výnos y (1) = 8 % p. a. 1.000.000 = C (1/(1+ y) + 1/(1+ y) 2 +... +1/(1+ y) 10 1.000.000 = C[1-1/(1 1/(1 + y) 10 ]/y C = 1.000.000 0,08/[1 1/1,08 10 ] = 149.029,49 Kč 10 ) Z této splátky bude 80.000 činit splátka úroků a o zbylou částku 69.029,49 Kč se sníží splácená částka - zbytková část bude tedy činit 930.970,51 Kč. FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 10

Tabulka splátek FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 11

Dluhopisy FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 12

Součtový vzorec pro cenu dluhopisu FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 13

Pravidla pro dluhopisy Pravidlo 1: Je-li výnos y roven kupónové sazbě c, potom je cena dluhopisu P rovna jeho nominální hodnotě FV; je-li výnos y větší, resp. menší než kupónová sazba c, potom cena dluhopisu P je menší, resp. větší než nominální hodnota FV. Pravidlo 2: Jestliže cena dluhopisu vzroste, resp. klesne, má to za následek snížení, resp. zvýšení výnosu dluhopisu. Obráceně: pokles, resp. vzestup úrokových sazeb (výnosů) má za následek vzestup, resp. pokles cen dluhopisů FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 14

Pravidla pro dluhopisy Pravidlo 3: Prodává-li se dluhopis s diskontem, resp. s prémií, potom v případě, že se výnos dluhopisu nezmění, snižuje se výše diskontu, resp. prémie se zkracováním doby do splatnosti dluhopisu. Pravidlo 4: Prodává-li se dluhopis s diskontem, resp. s prémií, potom v případě, že se výnos dluhopisu nemění, diskont, resp. prémie se snižuje se zvyšující se rychlostí s tím, jak se doba do splatnosti dluhopisu zkracuje. FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 15

Pravidla pro dluhopisy Pravidlo 5: Pokles ve výnosu dluhopisu vede ke zvýšení ceny dluhopisu o částku vyšší než je částka (v absolutní hodnotě) odpovídající snížení ceny dluhopisu stejně velkém vzestupu ve výnosu dluhopisu. Příklad: Uvažujme 5letý dluhopis s nominální hodnotou FV = 1.000 Kč, kupónovou sazbou c = 10 % a výnosem y = 14 %. Výnos 12 % 13 % 14 % 15 % 16 % Cena 927,90 894,48 862,68 832,39 803,54 Přírůstek 65,22 31,80 0-30,29-59,14 FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 16

Pravidla pro dluhopisy Pokračování příkladu: FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 17

Závislost ceny dluhopisu na zbytkové době do splatnosti FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 18

Oceňování dluhopisu - obecně FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 19

A + B = 360 FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 20

Příklad: Uvažujme 5letý dluhopis s nominální hodnotou FV = 10.000 Kč vydaný 6. 2. 1998 se splatností 6. 2. 2003 a s kupónovou sazbou C = 14,85 %. Výnos toho to dluhopisu byl y = 7 % ke dni 9. 11. 1999. FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 21

Citlivost cen dluhopisů na změny ve výnosech Modifikovaná durace dluhopisu D mod je kladné číslo, které vyjadřuje, o kolik procent se zvýší, resp. sníží cena dluhopisu, jestliže se výnosy sníží, resp. zvýší o 1 %. FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 22

Macaulayova durace FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 23

Macaulayova durace FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 24

Příklad: Parametry dluhopisu jsou následující: FV = 1.000 Kč, n = 5, c = 10 %, y = 14 %. FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 25

Závislost durace na C, Y a n 1. 2. FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 26

Závislost durace na době do splatnosti n FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 27

Odhad změny ceny dluhopisu Příklad: a) b) FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 28

Konvexita dluhopisu Konvexita je někdy nazývána zakřivením dluhopisu. FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 29

Výpočet konvexity CX = 2/y 2 FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 30

INVESTIČNÍ MATEMATIKA Rizika při investicích do dluhopisových portfolií FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 31

Příklad: Uvažujme pětiletý bezkupónový dluhopis, který má nominální hodnotu FV = 1.000 Kč a poskytuje výnos y = 4 %. Do tohoto dluhopisu investujeme a) na 3 roky FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 32

Příklad b) na 7 let FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 33

Investiční horizont X Durace Investujeme-li do konkrétního dluhopisu a je-li náš investiční horizont příliš: krátký - utrpíme ztrátu při vzestupu výnosů ( kapitálová ztráta > vnos z reinvestic ) dlouhý - utrpíme ztrátu při poklesu výnosů ( ztráta z reinvestice > kapitálový výnos ) Je-li investiční horizont roven (Macaulayově) duraci dluhopisu, potom je kapitálová ztráta, resp. ztráta z reinvestic pokryta výnosem z reinvestic, resp. kapitálovým výnosem, a to při vzestupu i při poklesu výnosů. FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 34

Příklad: Uvažujme 8letý dluhopis, který má nominální hodnotu FV = 1.000 Kč s kupónovou sazbou c = 9,2 % a výnosem y = 9,2 %. Pomocí tohoto dluhopisu budeme postupně investovat na 1 rok, 2 roky, 3 roky,, 8 let. Budeme tedy postupně předpokládat 8 nákupu uvedeného dluhopisu. Tyto scénáře předpokládají postupně výnosy ve výši 8,4 %, 8,8 %, 9,2 % (nezměněný výnos), 9,6 % a 10 %. Kombinací zvolené investiční strategie s konkrétním scénářem vývoje výnosů dostaneme 40 různých možností. Pro každou z těchto možností vypočteme výnos k příslušnému investičnímu horizontu. Všechny výsledky jsou shrnuty v tabulce s tím, že každá možnost je popsána blokem, který nazveme hnízdem. Cena dluhopisu P = 1.000 Kč. FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 35

FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 36

FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 37

Durace dluhopisového portfolia FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 38

Příklad: FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 39

Změna hodnoty V 0 při změně výnosového procenta FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 40

Konvexita dluhopisového portfolia FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 41

Vliv konvexity na chování dluhopisových portfolií FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 42

A FV A = 1 000 000 x 1,08 4 = 1 360 489 Benchmark V 4 (A) = 1 000 000 x 1,08 4 = 1 360 489 B V 4 (B) = 500 000 x 1,08 3 x 1,08 1 + 500 000 x 1, 08 5 / 1,08 = 1 360 489 V 4 + (B) = 500 000 x 1,08 3 x 1,08 1 + 500 000 x 1, 08 5 / 1,08 = 1 360 547 V 4 - (B) = 500 000 x 1,08 3 x 1,07 1 + 500 000 x 1, 08 5 / 1,07 = 1 360 548 C V 4 (C) = 500 000 x 1,08 2 x 1,08 2 + 500 000 x 1, 08 6 / 1,08 2 = 1 360 489 V 4 + (C) = 500 000 x 1,08 2 x 1,09 2 + 500 000 x 1, 08 6 / 1,09 2 = 1 360 720 V 4 - (C) = 500 000 x 1,08 2 x 1,07 2 + 500 000 x 1, 08 6 / 1,07 2 = 1 360 724 D V 4 (D) = 500 000 x 1,08 1 x 1,08 3 + 500 000 x 1, 08 7 / 1,08 3 = 1 360 489 V 4 + (D)= 500 000 x 1,08 1 x 1,09 3 + 500 000 x 1, 08 7 / 1,09 3 = 1 361 009 V 4 - (D) = 500 000 x 1,08 1 x 1,07 3 + 500 000 x 1, 08 7 / 1,07 3 = 1 361 019 V 4 + (D) > V 4 + (C) > V 4 + (B) > V 4 (A) V 4 - (D) > V 4 - (C) > V 4 - (B) > V 4 (A) FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 43

SCÉNÁŘE Změna hodnoty V 4 při změně výnosového procenta REALIZOVANÉ VÝNOSY A B C D 5% 1 360 489 1 361 029 1 362 649 1 365 350 6% 1 360 489 1 360 727 1 361 440 1 362 629 7% 1 360 489 1 360 548 1 360 724 1 361 019 8% 1 360 489 1 360 489 1 360 489 1 360 489 9% 1 360 489 1 360 547 1 360 720 1 361 009 10% 1 360 489 1 360 718 1 361 405 1 362 532 11% 1 360 489 1 361 000 1 362 532 1 365 088 FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 44

Portfolio E: 700 000 Kč (n=1) a 300 000 Kč (n=11) n = 1 FV = 540 000 Kč D 1 = 1 n = 11 FV = 1 165 819 Kč D 2 = 11 w 1 D 1 + w 2 D 2 = D P = IH w 1 + w 2 = 1 w 1 + 11 w 2 = 4 w 1 + w 2 = 1 w 1 = 0,7 ; w 2 = 0,3 D E = 0,7 x 1 + 0,3 x 11 = 4 CX E (1,08 2 ) = 0,7 x 1 x 2 + 0,3 x 11 x 12 = 41 IH = 4 1 11 3 7 7/10 3/10 FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 45

BENCHMARK V 4 (A) = 1 360 489 V 4 (E) = 700 000 x 1,08 1 x 1,08 3 + 300 000 x 1,08 11 / 1,08 7 = 1 360 489 V + 4 (E) = 700 000 x 1,08 1 x 1,09 3 + 300 000 x 1,08 11 / 1,09 7 = 1 361 688 V - 4 (E) = 700 000 x 1,08 1 x 1,07 3 + 300 000 x 1,08 11 / 1,07 7 = 1 361 741 D A = D B = D c = D D = D E = 4 CX A < CX B < CX c < CX D < CX E V 4 + (E) > V 4 + (D) > V 4 + (C) > V 4 + (B) > V 4 + (A) V 4 - (E) > V 4 - (D) > V 4 - (C) > V 4 - (B) > V 4 - (A) FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 46

Příklad: Chceme investovat částku 2 800 000 Kč na dobu 5 let, přičemž k dispozici máme dva bezkupónové dluhopisy A, B: A n = 3, y = 4% B n = 10, y = 4% Sestavíme portfolio zajištěné proti úrokovému riziku a vypočteme jeho výnos k investičnímu horizontu za předpokladu, že se výnosy den po nástupu portfolia zvýšily, resp. snížily o 1%. 3w A + 10 w B = 5 w A + w B = 1 7w B = 2 w A = 5 / 7, w B = 2 / 7 A 2 000 000 Kč B 800 000 Kč V 5 = 2 000 000 x 1,04 3 x 1,04 2 + 800 000 x 1,04 10 / 1,04 5 = 3 406 628 Kč V 5 + =2 000 000 x 1,04 3 x 1,05 2 + 800 000 x 1,04 10 / 1,05 5 = 3 408 173 Kč V 5 - = 2 000 000 x 1,04 3 x 1,03 2 + 800 000 x 1,04 10 / 1,03 5 = 3 408 234 Kč FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 47

Derivátové kontrakty FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 48

Forwardový kontrakt FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 49

Opční kontrakt FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 50

Grafy zisku a ztrát z opcí FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 51

Portfolia složená z opcí FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 52

Býčí strategie (Bullish Spread) FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 53

Medvědí strategie (Bearish Spread) FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 54

Motýlí strategie (Butterfly Spread) FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 55

Strategie kondora (Condor Spread) FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 56

Dolní V - kombinace opcí put a call (Bottom Straddle) FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 57

Dolní U - kombinace opcí put a call (Bottom Strangle) FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 58

Zajištění akcie proti poklesu (Hedging) FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 59

Příklad: FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 60

FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 61

Parita put-call FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 62

Příklad: Uvažujme 6měsíční call opci s uplatňovací cenou X = 100 Kč na akcii, jejíž cena S t = 100 Kč. Cena této opce c t = 10 Kč, úroková míra r = 8 % p.a.. (spojité úročení). Vypočteme spravedlivou cenu put opce se stejnou uplatňovací cenou. Cena put opce je p = 5 Kč místo ceny vypočtené na základě parity put a call opcí (6,08 Kč). Put opce je tedy nadhodnocena (nebo call opce podhodnocena), což umožňuje realizovat čistý zisk ve výši FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 63

Dlouhá pozice Krátká pozice FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 64