Katedra informatiky, Univerzita Palackého v Olomouci 27. listopadu 2013
Rekonstrukce 3D těles Reprezentace trojrozměrných dat. Hledání povrchu tělesa v těchto datech. Představení několika algoritmů.
Reprezentace a modelování těles těleso = množina bodů v trojrozměrném prostoru těleso = sjednocení dvou disjunktních množin - vnitřní body a hraniční body těleso je spojitý útvar, tvořený jedním celkem tato definice tělesa vylučuje přímky, křivky v prostoru...
Trjúhelníky a sítě trojúhelníků trojúhelník - je vždy konvexní, všechny vrcholy leží v rovině, rychlé algoritmy na jejich vyplňování, zobrazování podporováno grafickým procesorem sít trojúhelníků (triangle mesh) = trojúhelníky, které spolu sdílejí hrany popis sítě 2 logické části: geometrická - souřadnice vrcholů topologická - údaje o tom, které vrcholy tvoří trojúhelník
Sít trojúhelníků rozdělení na topologickou a geometrickou část - praktické pro operace se sítí např. při geometrických transformacích se poze přepočítávají souřadnice vrcholů kriteria pro tvorbu trojúhelníkových sítí Přesné a úsporné vyjádření tvaru, který sít vyjadřuje uspořádání vhodné pro další zpracování
Sít trojúhelníků trojúhelníková sít není vhodná pro modelování tvaru je třeba optimalizovat tak, aby pro co nejmenší počet trojúhelníků byl vymodelován co nejpřesnější tvar Obrázek : Vlevo pravidelná trojúhelníková sít, vpravo jemnější v místech s větší křivostí
Sít trojúhelníků pro některé úlohy je nevhodné rozdělení do dvou struktur (geometrická a topologická) např. zpracování grafickým procesorem chceme, aby bylo co nejméně operací s vrcholy - vhodný výber trojůhelníkové sítě pruh trojúhelníků vějíř trojúhelníků
Hraniční reprezentace těles popis hranice (boundary representation) - tj. popis hraničních bodů informace o vnitřních bodech tělesa se neuchovávají (lze je odvodit z popisu hranice) tato reprezentace je přirozená
Poc ı tac ova grafika Konstruktivnı geometrie te les te leso reprezentova no stromovou strukturou (CSG) uchova vajı cı historii dı lc ı ch konstrukc nı ch kroku CSG primitiva - jednoduche geometricke objekty (kva dr, koule, va lec, kuz el, toroid, jehlan,...) vy sledny objekt je sloz en z CSG primitiv a a prostorovy ch transformacı Obra zek : Popis te lesa CSG stromem Marke ta Krmelova Poc ı tac ova grafika
Objemová reprezentace těles nemáme k dispozici geometrický popis tělesa sada vzorků v určitém místě povrchu, nebo objemu rozprýlená data - kromě hodnotě o jasu, má i souřadnice pravidelné mřížky
Mřížky důležitý je tvar mřížky Obrázek : Zleva - kartézská, pravidelná, pravoúhlá, strukturovaná, nestrukturovaná, blokově strukturovaná, hybridní
Trojrozměrné objekty a data v diskrétní mžížce problém - velké množství dat místo spojité informace pouze diskrétní - složité natáčení o úhly jiné než pravé, zvětšování a pod. výhody - snadná práce s naměřenými daty, snadné zpracování objemu dat jako celku (nezávislé na počtu objektů ve scéně)
Voxel voxel = analogie dvourozměrného pixelu nejmenší element ve trojrozměrném diskrétním prostoru kvádr, nebo krychle v pravoúhlé mřížce
Skalární objemové algoritmy děĺıme na: algoritmy zobrazující povrchy (surface rendering) přímé objemové algoritmy (volume rendering)
Surface rendering (surface-fitting rendering) vytváří geometrickou reprezentaci povrchu (nejčastěji sítí trojúhelníků) následně zobrazují výhody : snížení množství dat
Volume rendering (direct volume rendering) zobrazení dat bez převedení do povrchové reprezentace není potřeba znát, zda prvek (voxel) patří do zobrazovaného tělesa, nebo ne zobrazují jak vnitřek tělesa, tak rozhraní mezi materiály
Algoritmy zobrazující povrchy propojování kontur (opláštění kontur) povrchové kostky (opaque cubes) pochodující kostky dělené kostky
Algoritmy zobrazující objem Jednou z nejznámějších metod je tzv. Ray casting neboli metoda vrhání paprsku. Zobrazování dat touto metodou lze dále členit na: metody pracující s daty bez hledání povrchu, metody hledající povrch, které nezjišt ují normály, metody hledající povrch a jeho normály.
Algoritmy zobrazující objem Budeme brát v úvahu data v trojrozměrné mřížce. Písmenem I i si označíme hodnotu intenzity i-tého vzorku podél paprsku. Písmenem J označíme množinu započítaných vzorků (vzorků zasažených paprskem, případně vyhovují nějakému dalšímu kritériu) viz. 4 Obrázek : Označení.
Metody nehledající povrch Tyto metody tím, že nehledají povrch a nevyžadují žádné předzpracování, jsou rychlé a proto se hodí zejména pro vytváření náhledu. Patří sem metody: Maximum intensity projection Summed intensity projection Average intensity projection
Maximum intensity projection Tato metoda zobrazuje pouze nejjasnější struktury podél paprsku. Pro každý bod se vypočítává hodnota I pomocí vzorce: I = max i J I i. Obrázek : Výstup z programu Volume - maximum intensity projection.
Summed intensity projection Tato metoda počítá jas jako součet jasů podél paprsku pomocí vzorce: I = i J I i Obrázek : Výstup z programu Volume - summed intensity projection.
Average intensity projection jas průměruje dle vzorce: I = i J I i J Obrázek : Výstup z programu Volume - average intensity projection.
Metody s jednoduchým zobrazením povrchu Tyto metody vyžadují znalost hraniční hustoty tělesa, které chceme zobrazit. Prvnímu pixelu na dráze paprsku, který patří do tělesa, přiřadíme hodnotu jasu podle hloubky (vzdálenosti od plochy procházející okrajem snímků). Takto zobrazený povrch ale nevypadá příliš objemově. Potlačuje šum vzorkování a s ním i hrany a nespojitosti. Ještě jednodušší metodou je zobrazit první pixel na dráze paprsku s jeho hodnotou. Tato metoda nezobrazuje tvar, ale pouze barvu povrchu objektu.
Metody s jednoduchým zobrazením povrchu Obrázek : Výstup z programu Volume - zobrazní povrchu bez výpočtu normál.
Obrázek : Výstup z programu Volume - zobrazní povrchu bez výpočtu normál II.
Metody zobrazující povrch s normálou Těmito metodami získáme kvalitnější zobrazení objektu, díky tomu, že se snažíme odhadnout orientaci povrchu v místě dopadu paprsku. Zmíníme tři nejznámější metody pro odhad normál. Patří sem metody: Z-buffer gradient shadding Voxel gradient shading Gray-level gradient shading
Z-buffer gradient shadding Normálu aproximuje vektorem, jehož kolmým průmětem do plochy obrazovky je vektor gradientu v paměti hloubky. Složky normály vypočítáme: n 0 = Z(p x + 1, p y ) Z(p x 1, p y ), n 1 = Z(p x, p y + 1) Z(p x, p y 1), n 2 = 1, kde [p x, p y ] jsou souřadnice pixelu, pro který počítáme normálu. Na konci je potřeba takto vypočítaný vektor normovat. Tato metoda zachycuje tvar tělesa, ale na zaoblených površích jsou vidět vrstevnice.
Z-buffer gradient shadding
Voxel gradient shading odhaduje oproti předešlé metodě normálu podle gradientu v binárním objemu vzorků. Složky gradientu nabývají hodnot { 1, 0, 1} a složky výsledné normály nabývají jednu z 27 hodnot. Složky gradientu spočítáme dle následujících vzorců: n 0 = b(p x + 1, p y, p z ) b(p x 1, p y, p z ), n 1 = b(p x, p y + 1, p z ) b(p x, p y 1, p z ), n 2 = b(p x, p y, p z + 1) b(p x, p y, p z 1), kde [p x, p y, p z ] jsou souřadnice pixelu a hodnota b(p x, p y, p z ) nabývající 1 nebo 0 představuje funkci příslušnosti pixelu k povrchu. Stejně jako v předešlé metodě se i zde objevují vrstevnice.
Obrázek : VýstupMarkéta z programu Krmelová Volume Počítačová - Voxel grafika gradient shading. Voxel gradient shading
Gray-level gradient shading předpokládá, že na povrchu dochází k největší změně hodnot vzorků, tj. opět počítáme s tím, že normála bude ve směru gradientu, ale budeme zde narozdíl od předchozí metody počítat s původními hodnotami. Složky normály tedy vypočítáme: n 0 = f (p x + 1, p y, p z ) f (p x 1, p y, p z ), n 1 = f (p x, p y + 1, p z ) f (p x, p y 1, p z ), n 2 = f (p x, p y, p z + 1) f (p x, p y, p z 1).
Obrázek : Výstup z Markéta programu Krmelová Volume Počítačová - Gray-level grafika gradient shading. Gray-level gradient shading
Surface rendering (surface-fitting rendering) hledáme povrch reprezentující konstantní hodnotu vzorků vytváří geometrickou reprezentaci povrchu (nejčastěji sítí trojúhelníků) následně zobrazují výhody : snížení množství dat
Rekonstrukce povrchu opláštěním kontur hledání hranic tělesa v jednotlivých vzorcích (kontura) přiřazení kontur opláštění
Obrázek : Vstupní objekt.
Obrázek : Sada řezů.
a) b) c) d) e) Obrázek : Ukázka odhadu skutečného povrchu pokud nemáme další informaci o tvaru tělesa mezi řezy.
Kontura kontura = orientovaný jednoduchý uzavřený polygon c i = p 1, p 2,..., p n kontury se v rámci řezu neprotínají 2 druhy kontur - vnější kontura, díra hledání kontur například metodou Marching Squares Obrázek : Kontura a kontura s dírou.
Rekonstrukce povrchu opláštěním kontur máme kontury a hledáme odhad původního tvaru povrchu ve formě trojúhelníkové sítě chybí nám data mezi jednotlivými vzorky - hrubý odhad kĺıčový problém - vzájemné přiřazení kontur je potřeba další znalost o struktuře vzorkovaného objektu (jiný postup u kulovitých útvarů a při rekonstrukci objektu stromové struktury)
Heuristiky pro přiřazení kontur Plocha překrytí kontur = velikost kolmé projekce sousedních kontur Obrázek : Kritérium překrytí kontur.
Heuristiky pro přiřazení kontur Zobecněné válce = kontury mají tvar kruhu nebo elipsy - středy lezí přibližně na jedné přímce Obrázek : Zobecněné válce.
Heuristiky pro přiřazení kontur Strom minimálního pokrytí v grafu kontur - sestavuje se graf, jednotlivé kontury jsou uzly a hrany tvoří propojení kontur. Hrany se ohodnocují podle vzdálenosti. Hledáme zde strom minimálního pokrytí. Obrázek : Správné a chybné propojení kontur.
Propojení kontur propojení jednotlivých kontur sítí trojúhelníků problém větvení a spojování kontur různé metody si různě poradí s větvením heuristiky, které nezkoumají celý obvod kontury, ale pouze definují kritéria, která musí splňovat nově přidaný trojúhelník lokální a globální metriky
Propojení kontur Minimální povrch - objem trojúhelníku - nehodí se pokud jsou kontury posunuty Obrázek : Chybné spojení kontur.
Propojení kontur Směr přiřazení - preferuje spojnice, které se moc neliší od spojnice těžišt Maximální objem - objem kĺınu, který tvoří trojúhelníková záplata a spojnice těžišt kontur Obrázek : Maximální objem.
Závěr vhodné pro aproximaci dat s většíme rozestupy mezi vzorky mnoho různých přístupů k propojení kontur, je potřeba znát dodatečné informace
Pochodující kostky (Marching Cubes) publikována 1987 W. Lorensenen and H. Clinem v knize Computer Grapgics Vstup: objemová data v pravidelné mřížce a konstanta prahu Výstup - množství trojůhelníků aproximující povrch data chápe jako krychle a ty postupně prochází a počítá jednotlivé trojúhelníky pro danou krychli velké množství trojúhelníků - pro každou krychli mohou vzniknout až 4 trojúhelníky nezohledňuje globální pohled
Marching Squeres Pracuje stejně jako Marching Cubes, ale v 2D hledá hranici dat dvourozměrnou mřížku s indexy i a j Mřížka je o rozměru m n (hodnoty i = 0,..., m 1 a j = 0,..., n 1) f ij = f (x 0 + ih, y 0 + jh) hodnoty funkce v jednotlivých bodech mřížky f 0 hodnota, pro kterou hledáme křivku.
Algoritmus Marching Squeres Každému bodu mřížky přiřadíme hodnotu f ij = f (x 0 + ih, y 0 + jh) Pro každý čtverec: vypočítáme index čtverce Interpolujeme vrcholy na aktivních hranách Pro každou hranu: vykresĺıme hranu
Algoritmus Marching Squeres Zjistíme zda je vrchol uvnitř tělesa, nebo vně Pokud pro sousední vrcholy platí, že jeden je vně a jeden uvnitř - křivka prochází mězi nimi Díky ním můžeme každému čtverci jednoznačně přiřadit index
Algoritmus Marching Squeres Index čtverce - index = 2 0 A + 2 1 B + 2 2 C + 2 3 D A, B, C, D jsou hodnoty 0 nebo 1, podle toho, zda body A, B, C, D jsou vnitřními nebo vnějšími body index nabývá hodnot 0... 15
Algoritmus Marching Squeres Máme index čtverce, do pomocné tabulky se podíváme, na kterých hranách leží vrcholy úseček (aproximující hranici) interpolujeme tyto vrcholy (možné použít střed hrany, ale lepší lineární interpolace)
Algoritmus Marching Squeres D = 2 x3 C = 6 4 y2 A = 3 1 B = 3 f 0 = 4 index = 2 0 A + 2 1 B + 2 2 C + 2 3 D, dostaneme index = 0 + 0 + 4 + 0 = 4 krajní body úsečky leží na hranách 2 a 3 a hodnota ve výchozím bodě a b v koncovém I (u) = mu + n, I (a) = 0, I (b) = h h je délka hrany čtverce
Algoritmus Marching Squeres I (u) = f 0 a b a. V našem případě tedy: x = y = f 0 f (D) f (C) f (D) h = 4 2 6 2 h = h 2, f 0 f (B) f (C) f (B) h = 4 3 6 3 h = h 3.
Algoritmus Marching Squeres - Závěr vznikají nejednoznačnosti není možné rozhodnout zda použít spíše úsečky v prvním řádku, nebo ve druhém. V rámci algoritmu jde o věc konvence - pokud první a druhý řádek nekombinujeme bude výsledná křivka všude plynule navazovat prvního řádek - křivka tvoří nesouvislé struktury, druhý řádek - souvislejší celky.
Algoritmus Marching cubes Každému bodu mřížky přiřadíme hodnotu f ijk = f (x 0 + ih, y 0 + jh, z 0 + kh) Pro každou krychli: vypočítáme index krychle Interpolujeme vrcholy na aktivních hranách Pro každý trojúhelník: vykresĺıme trojúhelník
Algoritmus 4 4 5 7 5 7 11 8 0 6 0 6 10 9 1 3 1 3 2 2 Obrázek : Označení hran a vrcholů krychle
Algoritmus Obrázek : Všechny možné kombinace umístění trojúhelníků v krychli
Nejednoznačnosti algoritmu vede ke dírám jak je vidět na obr. Vyřešením této nejednoznačnosti se vyhneme dírám, ale nezaručí nám to správnou topologii viz.
Pochodující čtyřstěny - Marching Tetrahedra Tato metoda byla poprvé uvedena B.A. Paynem a A.W. Togou v knize Surface Mapping Brain Function on 3D Models pokusem o odstranění nejednoznačností v metodě Marching Cubes krychle se rozděĺı na 5 čtyřstěnů a trojúhelníky se umíst ují do nich
Pochodující čtyřstěny - Marching Tetrahedra Problém děr byl v tomto algoritmu zcela vyřešen, ale na úkor nárustu počtu trojúhelníků a nutnosti střídání způsobu dělení krychle (To je nutné pro zachování spojitosti povrchu). Zlepšení návaznosti lze vylepšit dělením na 6 či 24 čtyřstěnů tento algoritmus není v praxi příliš používán
Marching cubes 33 zaručuje topologii a řeší nejednoznačnosti tím, že: má rozšířenou look-up tabulku provádí dodatečné zkoumání krychle
Rozšířená look-up tabulka
Algoritmus Marching cubes 33 look-up tabulka tabulka případů označení stěn (faces) Obrázek : označení stěn (faces)
Tabulka případů
Řešení nejednoznačností Řešení face nejednoznačností dva protilehlé vrcholy A a C jedné stěny jsou pozitivní (leží v tělese) a další dva B a D jsou negativní Testujeme, zda jsou vrcholy A a C propojeny uvnitř stěny, nebo ne sign(face label F (A) (F (A) F (C) F (B) F (D)))
Řešení nejednoznačností Řešení vnitřních nejednoznačností dva diagonálně protilehlé vrcholy krychle mohou být propojené skrz krychli pokud je zde řetězec pozitivních vrcholů spojující tyto vrcholy přez hrany, nebo v případě přez face (není vnitřní nejednoznačnost) pokud existuje rovina P, kde jsou oba protilehlé vrcholy (A t a C t ) pozitivní řešíme jako face nejednoznačnost
Závěr řeší nejednoznačnosti metody Marching Cubes generuje více trojúhelníků může vzniknout až 12 trojúhelníků, což je 3x více než je tomu v jednoduché metodě Marching Cubes
Dividing Cubes - Dělené kostky v roce 1988 v publikaci Two Algorithms for the Three-Dimensional Reconstruction of Tomograms H.E. Cline, W.E Lorensen, S.Ludke, C.R. Crawford a B.C. Teeter řeší převážně problém pomalého vykreslování tělesa, který vzniká při rasterizaci obrovského množství malých plošek vykresĺı pouze povrchové body s normálou nevýhodou této metody je ztráta informace o tom, ke které ploše bod náleží nemožnost přibĺıžení tělesa
Dividing Cubes - Algoritmus Načteme objemová data a prahovou konstantu, pro kterou hledáme povrch. Do paměti načteme čtyři sousedící řezy. Vytvoříme krychli, kterou definujeme 8 body dvou sousedících řezů. Ve všech osmi vrcholech vypočítáme vektor gradientu - jednotlivé složky vypočítáme jako rozdíl mezi předchozím a následujícím sousedem ve směru každé osy. Ohodnotíme každou krychli. Krychle je: Vnitřní - pokud intenzita všech vrcholů je menší než prahová konstanta Vnější - pokud intenzita všech vrcholů je větší než prahová konstanta jinak protínají povrch hledaného obrazu
Dividing Cubes - Algoritmus Rozděĺıme všechny krychle na a b c subkrychĺı, které jsou velké jako zobrazované body. Denzitu každého vrcholu vypočítáme lineární interpolací. Procházíme jednotlivé subkrychle a hledáme ty, které leží na hranici tělesa (některé vrcholy leží uvnitř a některé vně). Interpolujeme vektor gradientu těchto krychĺı. Vypočítáme intenzitu světla každého povrchového bodu, projekcí normálového vektoru podél směru pohledu.