18. Tělesa řezy, objemy a povrchy, (řez krychle, kvádru, jehlanu, objemy a povrchy mnohostěnů, rotačních těles a jejich částí včetně komolých těles, obvody a obsahy mnohoúhelníků, kruhu a jeho částí) Tělesa Geometrické těleso je prostorově omezený geometrický útvar. Jeho hranicí, povrchem, je uzavřená plocha. Mnohostěn je každé těleso, jehož hranice je sjednocením n mnohoúhelníků takových, že strana každého z nich je zároveň stranou sousedního a žádné dva sousední mnohoúhelníky neleží v téže rovině. Stěny mnohostěnu jsou mnohoúhelníky, kterými je mnohostěn uzavřen. Hrany mnohostěnu jsou stranami mnohoúhelníků. Vrcholy mnohostěnu jsou vrcholy mnohoúhelníků. Stěnová úhlopříčka je úsečka spojující dva vrcholy mnohostěnu, která není jeho hranou. Tělesová úhlopříčka je úsečka spojující dva vrcholy mnohostěnu, které neleží v jedné stěně. Plášť mnohostěnu je sjednocení bočních stěn mnohostěnu Pravidelný mnohostěn je mnohostěn ohraničen pravidelnými mnohoúhelníky. Každému pravidelnému mnohostěnu lze sestrojit vepsanou i opsanou kulovou plochu. (čtyřstěn, šestistěn (krychle), osmistěn, dvanáctistěn a dvacetistěn) Konvexní mnohostěn je takový mnohostěn, ve kterém spojnice každých 2 bodů leží v mnohostěnu. Pro konvexní mnohostěny platí Eulerova věta: s+v = h+2 Síť mnohostěnu jsou stěny mnohostěnu narýsované do jedné roviny. Hranol Řídící mnohoúhelník je n-úhelník A 1,A 2,...,A n ležící v rovině. Směrová přímka (rovina) je každá přímka (rovina) rovnoběžná s přímkou s. n-boký hranolový prostor je sjednocení všech přímek rovnoběžných s přímkou s, které protínají řídící mnohoúhelník. 1
n-boká hranolová plocha je sjednocení všech přímek rovnoběžných s přímkou s, které protínají hranici řídícího mnohoúhelníku. Hranolová plocha je hranice hranolového prostoru. n-boký hranol je průnik hranolového prostoru a vrstvy, jejíž hraniční roviny nejsou směrové. Výška hranolu je tloušťka vrstvy. Podstavy hranolu jsou mnohoúhelníky, které jsou průniky hraničních rovin vrstvy s hranolovým prostorem. Boční stěny jsou ostatní stěny hranolu, které nejsou podstavami. Plášť hranolu je sjednocení všech jeho bočních stěn. Podstavné hrany jsou strany podstav hranolu. Boční hrany jsou ostatní hrany hranolu, které nejsou podstavnými hranami. 1. Kolmý hranol boční stěny jsou kolmé k rovině podstavy 2. Kosý hranol boční stěny nejsou kolmé k rovině podstavy 3. Rovnoběžnostěn protější stěny rovnoběžné (krychle, kvádr, klenec) 4. Kvádr kolmý hranol s obdélníkovou podstavou 5. Krychle kvádr jehož stěnami jsou čtverce 6. Klenec rovnoběžnostěn omezen 6 shodnými kosočtverci Jehlan Hranol Kvádr Krychle V = S p v V = abc V = a 3 S = 2S p +S pl S = 2(ab+ac+bc) S = 6a 2 Řídící mnohoúhelník je n-úhelník A 1,A 2,...,A n ležící v rovině. Hlavní vrchol je bod V, který neleží v řídícím mnohoúhelníku. n-boký jehlanový prostor je sjednocení všech přímek procházejících bodem V, které protínají řídící mnohoúhelník. n-boká jehlanová plocha je sjednocení všech přímek procházejících bodem V, které protínají hranici řídícího mnohoúhelníku. Jehlanová plocha je hranice jehlanového prostoru. 2
Vrcholová přímka (rovina) je každá přímka (rovina) procházející bodem V. n-boký jehlan je průnik n-bokého jehlanového prostoru a vrstvy, jejíž hraniční rovina má s tímto prostorem jediný společný bod V. Výška jehlanu je tloušťka vrstvy. Podstava jehlanu je mnohoúhelník, který je průnikem hraniční roviny vrstvy neprocházející vrcholem s jehlanovým prostorem. Boční stěny jsou stěny jehlanu, které obsahují hlavní vrchol. Plášť jehlanu je sjednocení všech jeho bočních stěn. Podstavné hrany jsou strany podstavy jehlanu. Boční hrany jsou ostatní hrany jehlanu, které nejsou podstavnými hranami. Stěnová výška je vzdálenost hlavního vrcholu od podstavné hrany v boční stěně. 1. Kolmý jehlan přímka určená středem souměrnosti podstavy a vrcholem je kolmá k podstavě 2. Kosý jehlan jehlan který není kolmý 3. Čtyřstěn trojboký jehlan 4. Komolý jehlan protneme-li jehlan rovinou rovnoběžnou s rovinou podstavy, vzniknou dvě tělesa jehlan a komolý jehlan, který má dvě podstavy mnohoúhelníky, boční stěny jsou lichoběžníky Jehlan Komolý jehlan V = 1 3 S p v V = 1 3 v(s p1 + S p1 S p2 +S p2 ) S = S p +S pl S = S p1 +S p2 +S pl Rotační válec vznikne rotací obdélníka ABCD kolem jeho strany BC. Rotační válcová plocha vznikne rotací přímky AD. Rotační válcový prostor je prostor omezený rotační válcovou plochou. Podstavné hrany válce vzniknou rotací bodů A a D, jsou to kružnice. Podstavy válce vzniknou rotací úseček AB a CD, jsou to kruhy. Hranice válce vznikne rotací úseček AB, CD a AD. Plášť válce vznikne rotací úsečky AD. 3
Osa válce je přímka BC. Výška válce je délka úsečky BC. Poloměr podstavy válce je délka úsečky AB. Válec V = S p v = πr 2 v S = 2S p +S pl = 2πr 2 +2πrv Rotační kužel vznikne rotací pravoúhlého trojúhelníku kolem přímky obsahující jednu jeho odvěsnu. Rotační kuželová plocha vznikne rotací přepony CA. Rotační kuželový prostor je prostor omezený rotační kuželovou plochou. Podstavná hrany kužele vznikne rotací bodu A, je to kružnice. Podstava kužele vznikne rotací úsečky AB, je to kruh. Vrchol kužele je bod C. Hranice kužele vznikne rotací úseček AB a CA. Plášť kužele vznikne rotací úsečky CA. Osa kužele je přímka BC. Výška kužele je délka úsečky BC. Poloměr podstavy kužele je délka úsečky AB. 1. Rotační komolý kužel vzniká rotací pravoúhlého lichoběžníku kolem přímky, v níž leží jeho kratší rameno. Kužel Komolý kužel V = 1 3 S p v = 1 3 πr2 v V = 1 3 πv(r2 1 +r 1 r 2 +r 2 2) S = S p +S pl = πr 2 +πrs S = πr 2 1 +πr 2 2 +π(r 1 +r 2 )s 4
Koule vznikne rotací půlkruhu kolem přímky, která obsahuje jeho průměr. Kulová plocha vznikne rotací půlkružnice, která ohraničuje daný půlkruh. Střed koule, kulové plochy je středem daného půlkruhu. Poloměr koule, kulové plochy je poloměrem daného půlkruhu. Hlavní kružnice je každá kružnice, která vznikne průnikem kulové plochy a roviny, která prochází jejím středem. Vedlejší kružnice je každá kružnice, která vznikne průnikem kulové plochy a roviny, která neprochází jejím středem. 1. Kulový vrchlík část kulové plochy omezená její libovolnou kružnicí 2. Kulová úseč vzniká po protnutí koule rovinou 3. Kulová výseč sjednocení kulové úseče a rotačního kužele, který má s kulovou úsečí společnou podstavu a jeho vrchol je středem koule 4. Kulová vrstva průnik kulové plochy a vrstvy s hraničními rovinami, jejíchž vzdálenost od středu je menší než poloměr Koule Kulová úseč V = 4 3 πr3 V = 1 6 πv(3 2 +v 2 ) S = 4πr 2 S = S p +S pl = π 2 +2πrv Kulová vrstva V = 1 6 πv(3 21 +3 22 +v 2 ) S = S p +S pl = π 21 +π 22 +2πrv Kulová výseč V = 2 3 πvr2 S = 2πrv +πr Anuloid (torus) vzniká rotací kruh kolem přímky, která leží v rovině tohoto kruhu a tento kruh neprotíná. Objem a povrch těles Objem tělesa je kladné reálné číslo přiřazené tělesu tak, že platí: 1. Shodná tělesa mají objemy sobě rovné. 2. Jestliže je těleso složeno z několika navzájem se neprotínajících těles, je jeho objem roven součtu objemů těchto těles. 3. Objem krychle, jejíž hrana má délku 1 (jednotková krychle) je 1. 5
Povrch tělesa je obsah jeho hranice. Cavalieriho princip Jestliže pro dvě tělesa existuje taková rovina, že každá rovina s ní rovnoběžná protíná obě tělesa v rovinných útvarech se stejnými obsahy, mají tělesa stejný objem. První Guldinova věta Objem rotačního tělesa je roven objemu hranolu, jehož podstava má stejný obsah jako rotující obrazec a jehož výška je rovna délce kružnice o poloměru rovném vzdálenosti těžiště rotujícího obrazce od osy rotace. Je-li tedy plocha rotujícího obrazce S a vzdálenost jeho těžiště od osy otáčení y T, pak objem vzniklého rotačního tělesa je určen vztahem V = 2πy T S Druhá Guldinova věta Obsah pláště rotačního tělesa je roven obsahu obdélníku, jehož délky stran jsou rovny délce obvodu rotujícího obrazce a délce kružnice o poloměru rovném vzdálenosti těžiště rotujícího obrazce od osy rotace. Je-li tedy délka obvodu rotujícího obrazce l a vzdálenost těžiště rotujícího obrazce od osy otáčení y T, pak plocha rotujícího tělesa má obsah S = 2πy T l Řez tělesa Jedná se o rovinný útvar, jehož hranice je průnik hranice tělesa a roviny řezu. Sestrojit řez rovinu znamená sestrojit průsečnice dané roviny s rovinami jednotlivých stěn. Věta 1: Leží-li dva různé body v rovině, leží v této rovině i přímka jimi určená. Věta 2: Dvě rovnoběžné roviny protíná třetí rovina ve dvou rovnoběžných přímkách. Věta 3: Jestliže jsou každé dvě ze tří rovin různoběžné a tyto tři roviny mají jediný společný bod, procházejí tímto společným bodem všechny tři průsečnice. 6
Obvody a obsahy rovinných útvarů Pravidelný n-úhelník o = n a S = 1 2 n a Trojúhelník o = a+b+c S = 1 2 a v a S = 1 2 absinγ S = s(s a)(s b)(s c);s = a+b+c 2 S = s Obdélník o = 2(a+b) S = ab Čtverec o = 4a S = a 2 S = 1 2 e2 Kosodélník o = 2(a+b) S = a v a Kosočtverec o = 4a S = a v S = 1 2 ef Lichoběžník o = a+b+c+d S = 1 2 (a+c)v Kruh o = 2πr S = πr 2 Mezikruží o = 2πr 1 +2πr 2 S = πr1 2 πr2 2 Kruhová výseč o = απr απr2 +2r S = 180 360 Kruhová úseč o = απr 180 +2rsin α S = 1 ( απ ) 2 2 r2 180 sinα 7