Povrch a objem těles

Transkript

1 Povrch a objem těles ) Kvádr: a.b.c S =.(ab+bc+ac) ) Krychle: a S = 6.a ) Válec: π r.v S = π r.(r+v) Obecně: S podstavy. výška S =. S podstavy + S pláště Vypočtěte objem a povrch kvádru, jehož tělesová úhlopříčka u t = m : 4 : 5 a rozměry jsou v poměru Řezy tělesem: Nejprve vypočteme z obdélníku ABCD hodnotu y : y = 9x + 6x = 5x Potom určíme vztah pro výpočet úhlopříčky : u = 5x + 5x = 5x Tato velikost má být rovna : 5x = x =. = 5 0 Odtud již určíme a, b, c : a = 0 a. b. c, b = 5, c = S =.(ab + bc + ac)

2 6.. = = S = = = = = = Dřevěný sloup tvaru rotačního válce o průměru d = 0,6 m a výšce v = m byl ohoblován do tvaru kvádru s čtvercovou podstavou. Jakou hmotnost má upravený sloup, je-li hustota dřeva ρ = 800 kg m -? K výpočtu potřebujeme určit podstavnou hranu: Platí: d d a = + = 4 4 d a = 0,. Pro určení hmotnosti potřebujeme znát objem tělesa: a.v 0,09.. = 0,54m Hmotnost vypočteme se znalostí vzorce z fyziky: m = ρ.v m = ,54 = 4 kg Jaké množství vody proteče za hodinu potrubím kruhového průřezu o poloměru r = 8 cm, teče-li voda rychlostí,5 m/s? Od okamžiku, kdy je voda do trubky vpuštěna nateče za hodinu do vzdálenosti:, = 9000 m - tento údaj vezmeme jako výšku v. Máme počítat objem válce: v = 9000 m r = 0,08 m π. 0, = 80,955 m πr. v Musíme ještě převést jednotky: 80,955 m = dm (litrů) = 809,55hl Cvičení:.) Učebna má rozměry 0m, 6m a,6m. Kolik žáků by mohlo být do učebny umístěno, má-li podle předpisů připadnout m vzduchu na žáka. [7 + učitel]

3 .) Je dána krychle o hraně a. Jaká musí být hrana krychle, jejíž objem má být x větší než objem původní krychle? [.a ].) Podstavou kolmého hranolu je rovnoramenný trojúhelník, jehož základna je z = 8, cm a rameno r =,7 cm. Výška hranolu je dvojnásobkem výšky v z podstavného trojúhelníku. Určete objem a povrch. [ 47, S = 96,4] 4.) Vypočtěte hranu podstavy pravidelného šestibokého hranolu, jehož výška je rovna hraně podstavy a jehož objem 5 dm. [,88 ] 5.) Pobočná hrana h = 0,cm svírá s rovinou podstavy hranolu úhel γ = 5 0, podstavou je pravidelný pětiúhelník se stranou a =,6 cm. Určete objem hranolu. [ 77,9 ] 6.) Kolik metrů mosazného drátu kruhového průřezu s průměrem d = 0,5 mm váží kg ( ρ = 8,6 g/mm )? [ 59, ] 7.) Určete spotřebu plechu na válcovou nádobu nahoře otevřenou, je-li průměr podstavy d = 85 mm k výšce v poměru :. [ 97, ] 8.) Kolik litrů kapaliny je v nádrži tvaru ležatého rotačního válce, průměru podstavy d = 0,4 m, délky l = m, je-li hloubka kapaliny h = 5 cm? [ 9,067 ] 9.) Určete hmotu železné součásti tvaru pravidelného čtyřbokého hranolu, provrtaného ve směru osy válcovým otvorem (obr. 90). je-li pro železo ρ = 7,8g/cm. [ 575 g] 0.) Tyč kruhového průřezu průměru d = 5 mm a délky l = 5 m váží 5,4 kg. Určete hustotu materiálu. [ 7,6].) V rotačním válci je dáno: S pe = 96 cm, 9 cm. Určete r, u. [ r = 4 cm, u =,8 cm].) Vypočtěte výšku pravidelného trojbokého hranolu vyrobeného ze skla o hmotnosti 9,9 g a hustotě ρ = 500 kg m -. Hrana podstavy má délku cm. [ 5 cm, h = 0 cm] 4.) Jehlan, kužel V = P. v P - plocha podstavy S = P + plášť pro kužel platí: π. r. v S = π. r( r + s) s - strana kužele Jaký objem má kosý kruhový kužel, jehož nejdelší strana a = 80cm svírá s nejkratší stranou b = 50cm úhel γ = 60? Situaci zobrazíme v řezu: Pomocí kosínové věty vypočteme d: d = = = 7 0 Potřebujeme ještě určit v, k jejímu nalezení potřebujeme znát hodnotu úhlu β - tu určíme sinovou větou:

4 b sin β = d sin γ sin β.sin γ = b d o / β = 8 Výšku u vypočteme podle definice funkce sin: sin β = b a v = a.sin β v = 49, 487 Máme všechny potřebné údaje pro dosazení do vzorce pro výpočet objemu: π. r. v π , 487 = 648, 974cm 4) Komolý jehlan: Objem : v( Sp + SpSp + Sp ) Povrch: S = S pláště + S p + S p Vypočtěte povrch a objem pravidelného čtyřbokého komolého jehlanu, je-li hrana dolní podstavy 8 cm a hrana horní podstavy 5 cm. Stěnová výška je 9 cm. a) Povrch S = S pláště + S p + S p S = 4. ( ) = 76cm Pro výpočet objemu potřebujeme znát výšku tělesa. Tu nejlépe určíme v řezu. x = 9-7,5 =,5 v = h x v = 8, 5 = 8, 875 Dále vypočteme objem tělesa - dosazením do vzorce v( Sp + SpSp + Sp ). 8, 875.( ) ( + + ) = cm ,.., 4

5 5) Komolý kužel : Objem: π. v( r + r r + r ) Povrch: ( ) S = π. r + π. r + π r + r. s Vypočtěte objem komolého rotačního kužele, jehož poloměry podstav jsou r, r/ a výška se rovná r. r r r r + + π. ( ) 4 r + r + r r 4 π. ( ) 4 r r 7 7 π. = π. r 6 Cvičení:.).) Vypočtěte povrch a objem pravidelného komolého n-bokého jehlanu, jsou-li dány hrany podstav a a a, pobočná hrana h nebo výška v: a) n =, a =, a = 5, v = 4 b) n = 4, a =,4, a =,8, h =,4 c) n = 6, a = 5, a = 6, v = 0 [ a) S = 60,07 ; 590 ; b) S = 7,6 ; 4,9 ; c) S = 00 ; 6080 ] 4.) Kolik váží ocelový ingot tvaru pravidelného komolého jehlanu čtyřbokého, svírá-li jeho pobočná hrana h = 4dm s rovinou podstavy úhel ϕ = 60 0, hrana větší podstavy je a= dm, měrná hustota ρ= 7,8g/cm. [ 86 kg ] 5.) Plášť pravidelného trojbokého komolého jehlanu je S = 4dm. Pobočná hrana se rovná hraně dolní podstavy a je x delší než hrana horní podstavy. Určete tělesovou výšku. [,66 ] 6.) Pravidelný šestiboký komolý jehlan má podstavné hrany a = 65, a = 5 a pobočnou hranu b = 85. Určete objem a povrch tělesa. [ S = 4 907, ] 7.) Podstavami pravidelného komolého jehlanu jsou čtverce. Délky jejich stran se liší o 6 dm. Objem tělesa je 8 dm, výška v = 7 dm. Vypočtěte délky hran obou podstav. [ a = 9 dm, a = dm ] 8.) Vypočtěte povrch a objem pravidelného komolého čtyřbokého jehlanu, je-li hrana dolní podstavy a = 48, hrana horní podstavy a = 44 a pobočná výška v = 4. [ S = 8 656, 50 69] 5

6 9.) Písek je narovnán na hromadě, jejíž obdélníková podstava má rozměry a =, m, b =,7 m. Horní hrana c =, m. Výška hromady je, m. Kolik m písku je v hromadě vyrovnáno? [,776 5 m ] 0.) V rotačním kuželi svírají strany osového řezu úhel γ = 70 40, délka kruhové hrany je 84,9 cm. Vypočtěte tělesovou výšku. [ 8,5 cm ].) Rovnostranný kužel má tělesovou výšku v = 5 cm, vypočtěte jeho stranu a poloměr podstavy. [ a = 7, cm, r = 8,66 cm ].) Obsah osového řezu nerotačního kužele je P = 500, strana s = 40 svírá s druhou stranou s úhel α = 0.Vypočtěte poloměr podstavy a tělesovou výšku. [ r =,6, v = 9,7 ].) Vypočtěte objem rotačního kužele, je-li r = 6 cm, S = 4,76 cm. [ 0,8 cm] 4.) Vypočtěte povrch rotačního kužele, je-li v = 4,8 dm, 0 dm. [ S = 9,9 dm ] 5.) Vypočtěte poloměry r, r podstav rotačního komolého kužele, je-li jeho strana s = r + r, tělesová výška v = dm a odchylka strany od roviny podstavy je α = 45. [ r =,07 ; r =,07 ] 6.) Násypná šachta má tvar rotačního komolého kužele ; vypočtěte poloměry podstav r, r, je-li strana s = m, odchylka strany od roviny podstavy je α = 0 a tělesová výška kužele doplňujícího komolý kužel na úplný je v = m. [ r =,464 mm ; r =,7 mm ] 7.) Vypočtěte výšku rotačního komolého kužele, je-li dán jeho objem 56 cm a poloměry podstav r = 9,4 cm a r = 4, cm [ v =,87 cm ] 8.) Rotační kužel o tělesové výšce dm a poloměru podstavy 7 dm máme rozpůlit rovinou rovnoběžnou s podstavou. Jak velký bude poloměr řezu a výšky obou částí? [ r = 5,556 dm ; v = 7,46 dm ; v = 4,54 dm ] 9.) Střecha věže má tvar pravidelného čtyřbokého jehlanu o délce podstavné hrany a = 7, m a tělesové výšce v = 4,8 m. Kolik m plechu se spotřebuje na její pokrytí, počítáme-li na spoje a odpad 5%. [ 00 m ] 0.) Kolik cm materiálu se spotřebuje na výrobu nálevky tvaru komolého kužele, jehož průměry podstav jsou d = 0 mm, d = 40 mm a výška nálevky v = 6 mm? [ cm ] 6.)Koule a její části: Celá koule: 4 π. r Kulová úseč: S = 4. π. r π. r. v π. v + 6 Kulový vrchlík: S =. π. r. v 6

7 Kulová výseč:. π. r. v Kulová vrstva: V π. r. v π. r. v π. v = Kulový pás: S =. π. r. v Vypočtěte poloměr železné koule ( ρ = 7 8) Nejprve určíme objem koule Vypočteme r : r = V 4π. 99, 48 r = 4π r = 6,05 Poloměr koule je asi 6 cm m ρ =... V, o hmotnosti 7 50 g. m ρ 750 = 99, 48dm 7, 8 4. π. r Válcová nádoba o poloměru r = dm je naplněna vodou. Určete, kolik litrů vody vytlačí koule o poloměru r = 5 dm, vložená na válcovou nádobu a jaký je povrch suché části koule. r = x + r x = 5 9 = 4dm v = dm 6 v v ) objem úseče π r. r. + π V 8 = π π = π = 4, 66dm 6 6 ) obsah vrchlíku S = π.rv = π = 8,7 dm (v =.r - v ) Polokulovitá nádoba o poloměru r = cm je naplněna vodou. Kolik litrů vody z ní vyteče, nakloníme-li ji o 0? 7

8 v r o = sin0 v =. 0,5 = 6 cm r = r = cm r =. cos 0 r = 0,4 cm v π. r. + π. r v + π v 6 6 π π. 0, 4. + π. 6 π ( ) = 488 cm =,5 l Určete povrch kotle, s rozměry: v = 0, m r = 0,6 m r = r + ( r - v) r = r + r - rv + v r = r + v 0, 6 + 0, 04 = v 0, 4 r = m S =. πrv + π.r.l = 4π. 0, + π. 0,6. =,5 m +7,54 m = 0,04 m Miska tvaru polokoule má vnitřní průměr d = 8 cm. Kolik litrů vody je v misce, naplní-li ji voda do výšky 0 cm? Továrenská nádrž na líh se skládá z pláště rotačního válce a z kulového vrchlíku. Kolik kg nátěru je třeba na celou nádrž, jeslliže na 8,5 m je třeba kg? r = 96 6 = 80 =, 4cm π. v ( r + v ) 6 v v V r = π.. + π. 6 π. 0 (., ) = 44cm =, 4dm 6 8

9 Výška vrchlíku r r v = ( ) + r r = r rv + v + r rv = v + r v + r r = v r = + 9 = 5 r = 5m S = π rv + π r. h + π. r Spotřeba S = π ( rv + r h + r ) : 8,5 = 4,8 kg = 5kg S = π ( ) S = π ( ) S = m Určete obsah osvětlené plochy na kouli poloměru r = cm, kterou osvětluje svítící bod vzdálený od středu koule 40 cm. r = s( r v) r = sr sv r sr = sv S = πrv = π..8,4 = 6,cm. sr r v = s r( s r) = s v = = = = , 4cm Cvičení:.) Vypočtěte objem a povrch koule, jsou-li dány poloměry dvou rovnoběžných řezů r = 8 cm, r = 8 cm a jejich vzdálenost v = 5 cm. [ cm ; S = 7 cm ].) Koule o poloměru cm je proťata rovinou ve vzdálenosti 4 cm od středu koule. Vypočtěte povrch a objem příslušné kulové úseče. [ S = 005, cm ; 876,6 cm ].) Rovina protne kouli o poloměru r = 9,8 dm v kruhu o poloměru r = 7,9 dm. Vypočtěte povrch a objem příslušné kulové úseče. [ S = 44,7 dm ; 45,85 dm ] 4.) Vypočtěte povrch kulového pásu, který vznikne z kulové plochy o poloměru r = 6 cm; poloměry kružnic, v nichž rovnoběžné roviny protínají kulovou plochu, jsou r =, cm a r = 0 cm. [ S = 6,8 cm ] 5.) Jak daleko od středu koule je svítící bod, je-li osvětlena čtvrtina koule? [ x = r ] 6.) Stanovte velikost povrchu zemského, který lze spatřit z letadla letícího ve výšce h = 000m. ( poloměr Země r = 670 km) [ 0 000km ] 9

10 7.) Určete povrchn a hmotnost dvojvypuklé čočky o průměru 0 cm, je-li poloměr křivosti jedné kulové plochy 0 cm, poloměr druhé 8 cm. ( ρ =,5 g/ cm ) [ S = 7 cm ; 4,7 cm ; m = 440 g ] 8.) Ploskovypuklá skleněná čočka má poloměr r = 5,4 cm, tloušťku t =, cm, hmotnost m = 9,6 g. Určete hustotu skla, z něhož je zhotovena. [ ρ =,48 g/cm ] 9.) Kulová úseč, jejíž výška v = 5 cm má objem 850 cm. Určete velikost poloměru koule r, ze které úseč vznikla. [,5 ] 40.) Určete objem kulové vrstvy, která vznikne z polokoule o poloměru r = 5 cm odříznutím úseče, jejíž výška v =,5 cm. [ 0 ] 4.) Válcová nádoba, jejíž podstava má poloměr r = 8 cm, je naplněna zčásti vodou. O kolik cm vystoupí voda v nádobě, vhodí-li se do ní koule o poloměru r = 6 cm? [ 4,5cm ] 4.) Nádoba tvaru duté polokoule je naplněna vodou. Nakloníme-li ji o 0, vyteče z ní litrů vody. Kolik litrů vody zbývá v nádobě? [ 5 litrů ] 4.) Bronzový podstavec má tvar kulové vrstvy. Jeho výška je dm, poloměry podstav 4 dm a dm a poloměr příslušné koule r = 5 dm. Vypočtěte jeho hmotnost a povrch. Hustota bronzu je 8 800kg.m -. [ 50 kg, 0 dm ] 44.) Kolik m plechu je třeba na výrobu kotle tvaru polokoule s víkem o průměru,6 m, přičteme-li 5 % na spoje a odpad? Vypočtěte objem vody v tomto kotli v hektolitrech, sahá -li voda do výšky 60cm. [ 6,9 m, 6,79 hl ] 45.) Vnitřní povrch vodojemu tvaru koule je 707 dm. Pojme 8 hl vody? [ ne ] 0