Je-li dána hranolová nebo jehlanová plocha s podstavou v rovině σ a rovina řezu ρ:

Transkript

1 Kapitola 1 Elementární plochy 1.1 Základní pojmy Elementární plochou budeme rozumět hranolovou, jehlanovou, válcovou, kuželovou a kulovou plochu. Pokud tyto plochy omezíme, popř. přidáme podstavy, můžeme získt známá tělesa (hranol, jehlan, válec nebo kužel). Hranolová plocha je určena lomenou čarou k (k σ) a směrem s, který nenáleží dané rovině (s σ), a je tvořena přímkami površkami, které protínají lomenou čáru k a jsou směru s.(obr. 1.1) Jehlanová plocha je určena lomenou čarou k (k σ) a bodem V, který neleží v rovině dané křivky (V σ), a je tvořena přímkami površkami, které protínají lomenou čáru k a procházejí bodem V.(obr. 1.2) Válcová plocha je určena rovinnou křivkou k (k σ) a směrem s, který nenáleží dané rovině (s σ), a je tvořena přímkami površkami, které protínají křivku k a jsou směru s.(obr. 1.3 a 1.5) Kuželová plocha je určena rovinnou křivkou k (k σ) a bodem V, který neleží v rovině dané křivky (V σ), a je tvořena přímkami površkami, které protínají křivku k a procházejí bodem V.(obr. 1.4 a 1.6) Kulová plocha je množina bodů v prostoru, které mají od pevného bodu S stejnou vzdálenost r. 1.2 Řezy na elementárních plochách K určení řezů na elementárních plochách je vhodné si zopakovat znalosti o osové afinitě a středové kolineaci (viz kapitoly??,??). Řez na elementární ploše najdeme pomocí následujícího algoritmu: Je-li dána hranolová nebo jehlanová plocha s podstavou v rovině σ a rovina řezu ρ: 1. Sestrojíme průsečnici roviny podstavy a roviny řezu. (o = ρ σ) 2. Sestrojíme jeden bod řezu tj. průnik jedné hrany s rovinou ρ. (metoda krycí přímky) 1

2 1.2. Řezy na elementárních plochách 2 Obrázek 1.1: Obrázek 1.2: Obrázek 1.3: Obrázek 1.4: 3. Další body můžeme sestrojit také jako průniky jednotlivých hran s rovinou řezu, ale jednodušší a rychlejší metodou je použití afinity pro hranolovou a kolineace pro jehlanovou plochu. a) V případě hranolové plochy sestrojíme další body řezu pomocí osové afinity určené osou o = ρ σ, směrem, který je rovnoběžný s hranami (neležícími v rovině podstavy) a dvojicí bodů, kterou tvoří bod podstavy a bod řezu, ležící na jedné hraně. Body řezu jsou obrazy vrcholů podstavy. b) V případě jehlanové plochy sestrojíme další body řezu pomocí středové kolineace. Kolineace je určena osou o = ρ σ, středem, kterým je vrchol jehlanu a dvojicí bodů, kterou tvoří bod podstavy a bod řezu, ležící na jedné hraně. Body řezu jsou obrazy vrcholů podstavy. Je-li dána válcová nebo kuželová plocha s podstavou v rovině σ a rovina řezu ρ, zvolíme dostatečný počet površek a najdeme body řezu jako v případě hranolové a jehlanové plochy. (Aproximujeme plochu válcovou plochou hranolovou a plochu kuželovou plochou jehlanovou.) Získanými body proložíme křivku řezu. Příklad 1.1 Sestrojte řez jehlanu ABCDV, který má podstavu ABCD v půdorysně,

3 1.2. Řezy na elementárních plochách 3 Obrázek 1.5: Obrázek 1.6: rovinou ρ určenou stopami. - obr.1.7. Obrázek 1.7: Obrázek 1.8: Řešení: (obr.1.8) 1. Najdeme průsečnici roviny řezu a roviny podstavy, tou je půdorysná stopa roviny ρ. 2. Určíme průsečík přímky AV s rovinou ρ. a) Zvolíme půdorysně krycí přímku s 1 = AV 1. b) Určíme stopníky P a M krycí přímky s (P p ρ, M 1 y, M m ρ ). c) Body P a M určují přímku s. d) Průsečík přímek s a AV je hledaným průsečíkem A.

4 1.2. Řezy na elementárních plochách 4 3. Body B, C, D získáme pomocí kolineace určené osou o = p ρ, středem S = V a párem odpovídajících si bodů A, A. Příklad 1.2 Sestrojte řez hranolu, jehož podstava ABCDE leží v rovině xz a hrany jsou rovnoběžné s osou y, rovinou ρ určenou stopami. - obr.1.9. Řešení: (obr.1.10) 1. Najdeme průsečnici roviny řezu a roviny podstavy, tou je nárysná stopa roviny ρ. 2. Protože rovina řezu protíná podstavu ABCDE (protíná ji stopa n ρ ), určíme dva body řezu jako průsečíky stopy n ρ s podstavou. 3. Určíme průsečík B přímky BB s rovinou ρ. 4. Body C, D, E získáme jako obrazy bodů C, D, E v afinitě určené osou o = n ρ a párem odpovídajících si bodů B, B. Obrázek 1.9: Obrázek 1.10: Řezem kulové plochy rovinou ρ je kružnice (potřebujeme znát rovinu, střed, poloměr) 1. Sestrojíme kolmici k: k ρ, S k. 2. Určíme průsečík O: O = k ρ, dostáváme střed řezu. 3. Vypočítáme poloměr R: Zjistíme OS (skutečnou velikost úsečky) a potom R = r2 OS Řezem je kružnice : l (O, R).

5 1.3. Průsečíky přímky s plochou 5 Obrázek 1.11: Obrázek 1.12: 1.3 Průsečíky přímky s plochou 1. Proložíme přímkou p libovolnou rovinu ρ 2. Najdeme řez plochy (tělesa) rovinou ρ 3. Najdeme průsečíky přímky p a řezu Aby byl řez co nejjednodušší volíme jako rovinu ρ tzv. vrcholovou rovinu, která pro kužel a jehlan prochází vrcholem (a přímkou p) pro válec a kužel je rovnoběžná s površkami (a prochází přímkou p) Příklad 1.3 Sestrojte průsečík přímky p s kuželem, jehož podstava leží v rovině xy a vrcholem je bod V. - obr Řešení: (obr.1.14) 1. Přímkou p proložíme vrcholovou rovinu ρ(p, V ). Podstava kužele je v půdorysně, potřebujeme tedy půdorysnou stopu roviny ρ a) Určíme stopník P přímky p. b) Zvolíme bod M na přímce p. c) Určíme stopník P přímky V M. d) Spojnice stopníků P a P je půdorysná stopa roviny ρ. 2. Stopa p ρ protne podstavu ve dvou bodech, které spojíme s vrcholem a získáme řez kužele vrcholovou rovinou. 3. Průnik řezu a přímky p jsou body X, Y. V těchto bodech protíná přímka p kužel. Příklad 1.4 Sestrojte průsečík přímky p s hranolem, jehož podstava leží v rovině xz a hrany jsou rovnoběžné s osou y. - obr.1.16.

6 1.3. Průsečíky přímky s plochou 6 Řešení: (obr.1.17) Obrázek 1.13: Obrázek 1.14: 1. Přímkou p proložíme vrcholovou rovinu ρ. Podstava hranolu je v nárysně, potřebujeme tedy nárysnou stopu roviny ρ a) Určíme nárysný stopník N přímky p. b) Zvolíme bod M na přímce p. b) Bodem M vedeme rovnoběžku q s hranou BB. c) Určíme stopník N přímky q. d) Spojnice stopníků N a N je nárysná stopa roviny ρ. 2. Stopa n ρ protne podstavu ve dvou bodech, kterými vedeme rovnoběžky s hranami a získáme řez hranolu vrcholovou rovinou. 3. Průnik řezu a přímky p jsou body X, Y. V těchto bodech protíná přímka p hranol.

7 1.3. Průsečíky přímky s plochou Obrázek 1.15: Obrázek 1.16: Obrázek 1.17: