Modelování geometrie šikmých zubů čelních kol vhodné pro použití MKP pevnostní analýzy

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta strojní Ústav výrobních strojů a mechanismů Ing. Jaroslav Křička Modelování geometrie šikmých zubů čelních kol vhodné pro použití MKP pevnostní analýzy Studijní obor: Výrobní stroje a zařízení Teze disertace k získání akademického titulu doktor, ve zkratce Ph.D. Praha 2007 1

Disertační práce byla vypracována v kombinované formě doktorského studijního programu na Ústavu výrobních strojů a mechanismů Fakulty strojní ČVUT v Praze. Disertant: Ing. Jaroslav Křička Školitel: Doc. Ing. Jan Bečka, CSc. Oponenti: Prof. Ing. Miroslav Steiner, CSc. Doc. Ing. Boleslav Třeštík, CSc. Doc. Ing. Jaroslav Krátký, Ph.D. Teze byly rozeslány dne: Obhajoba disertace se koná dne: 29.1.2008 S disertací je možné se seznámit na Oddělení vědy a výzkumu Fakulty strojní ČVUT v Praze, Technická 4, Praha 6 Dejvice. Předseda komise pro obhajobu disertace ve studijním oboru Výrobní stroje a zařízení Fakulta strojní ČVUT v Praze Technická 4, Praha 6 Dejvice 2

Souhrn Geometrie šikmých zubů čelních soukolí je tak složitá, že žádný CAD systém dosud neobsahuje nástroje pro její přesné vygenerování z pouhého zadání určujících parametrů. Předmětem řešení disertační práce je proto vypracování postupů použitelných pro modelování přesné 3D geometrie vnějších šikmých zubů čelních kol pro jejich pevnostní analýzu pomocí metody konečných prvků (MKP) tak, aby byla proveditelná na osobních počítačích typu IBM-PC. Práce je rozdělena do dvou hlavních částí. V první, teoretické, je uvedena problematika čelního soukolí se šikmými zuby a historický vývoj návrhu a kontroly čelního ozubení. Popsány jsou rovněž klasické i moderní principy modelování a analýzy strojních součástí, které jsou v disertační práci použité. Druhá část, praktická, se nejprve zabývá možnými postupy vytvoření přesného profilu šikmého zubu v čelním řezu a vygenerováním jeho objemového modelu. Další kapitolou je ověření použitelnosti modelů pro MKP (systém Ansys) z hlediska korektního vytvoření sítě konečných prvků a z hlediska jejich počtu, který určuje velikost úlohy. Pevnostní výpočet klasickými metodami podle normy ISO 6336 obsahuje dva postupy kontroly, výpočet namáhání zubů na dotyk a na ohyb. Vzhledem k náročnosti řešení kontaktních úloh pomocí MKP je v práci uvažováno zatížení zubů pouze ohybem, pro které jsou také všechny výpočty provedené. Vstupními parametry pevnostní kontroly na ohyb pomocí MKP je velikost, průběh a poloha zatížení. Nalezení správného místa na boku modelu šikmého zubu pro vložení zatížení odpovídajícího různým velikostem součinitele nerovnoměrnosti zatížení zubů po šířce je další úlohou, která je předmětem řešení disertační práce. V závěrečné kapitole zabývající se pevnostní analýzou je uvedeno porovnání výsledků obou metod. 3

Summary Helical teeth geometry is a complicated issue. So far, none of the CAD systems contain appropriate tools that would allow the generation of an accurately shaped tooth by simply inserting predefined parameters. The aim of my dissertation thesis titled Modelling of Helical Teeth Geometry Suitable for Application FEM Strength Analysis is to create methods suitable for modelling the accurate 3D helical teeth for the strength analysis employing the Finite Element Method (FEM) on a personal computer IBM-PC. The thesis has two main parts. The first, theoretical, part deals with the historical evolution of gearing, evolution of design and checking of helical involute gearing. It also studies traditional and modern methods of design, modelling and analysis of machine parts. The second, practical, part is devoted to possible approaches to creating the accurate profile of helical tooth in the frontal section and produce its solid model. The next chapter examines the suitability of a solid model for FEM in terms of correct discretisation of the teeth volume by finite elements. According to ISO 6336, the strength analysis includes two types of checking, bending stress and contact stress, respectively. Since the contact stress calculation is very demanding, the thesis covers only load bend. Input parameters of the bending strength analysis employing FEM are: load intensity, distribution and position of load. The thesis also deals with the location of the correct position on the side of the helical tooth. It examines the efect of the load distribution factor on the results of the strength analysis. The final chapter contains the comparison of the results produced by both FEM and ISO 6336. 4

Obsah Seznam zkratek... 4 Značky, jednotky, názvy... 5 Úvod... 6 Cíle disertační práce... 8 1 Ozubené soukolí... 9 1.1 Evolventní soukolí... 9 1.2 Čelní soukolí se šikmými zuby... 9 1.2.1 Záběr čelních kol se šikmými zuby... 10 1.2.2 Zatížení šikmého ozubení a silové poměry... 10 2 Historický vývoj návrhu a pevnostní kontroly ozubení... 12 2.1 Poruchy ozubených kol... 13 2.2 Návrh modulu ozubení... 13 2.3 Pevnostní kontrola ozubení... 13 3 Modelování a analýza strojních součástí... 14 3.1 Podstata modelování... 14 3.2 Základní rozdělení modelů... 15 3.3 Postupy modelování... 15 3.4 Klasický způsob modelování a analýzy... 15 3.5 Moderní způsob modelování a analýzy... 15 4 Modelování čelních kol se šikmými zuby... 16 4.1 Přímé vygenerování ozubení CAD systémem... 16 4.2 Matematický popis geometrie šikmého ozubení... 17 4.3 Určení souřadnic bodů profilu šikmého zubu matematickou simulací jeho výroby... 17 4.4 Vytvoření profilu šikmého zubu simulací jeho výroby v CAD systému... 19 4.5 Vytvoření objemového modelu zubu a kola... 21 4.6 Možné úpravy geometrie modelů ozubení... 22 5 Ověření použitelnosti CAD modelů šikmého ozubení pro MKP analýzu... 22 6 Modelování stopy kontaktu a provozního zatížení šikmých zubů... 23 6.1 Modelování stopy kontaktu šikmých zubů... 24 6.2 Modelování zatížení šikmých zubů... 24 7 Pevnostní analýza šikmého ozubení pomocí MKP... 25 Závěr... 28 Literatura... 30 5

Seznam názvů a zkratek Název Zkratka Cizojazyčný význam Český výklad 2D 2-Dimension Dvourozměrné zobrazení 3D 3-Dimension Třírozměrné zobrazení AGMA American Gear Manufacturers Americká asociace výrobců ozubení Association AMDT Autodesk Mechanical Desktop 3D parametrický modelační program firmy AutoDesk ANSI American National Standards Institute Americký národní institut pro normalizaci Ansys Programový balík pro výpočty MKP AutoCAD Počítačový program firmy AutoDesk pro 2D kreslení a 3D modelování AutoLISP Interpreter programovacího jazyka LISP BS British Standard Britská norma CAD Computer Aided Design Počítačová podpora konstruování (ale i návrhů, kreseb, schémat, projektů, tvorby technické dokumentace) ČSN Česká technická norma DIN Deutches Institut für Normung Německý institut pro normalizaci FEM Finite Element Method Metoda konečných prvků (MKP) IBM International Business Machines Společnost vyrábějící počítačové sestavy a komponenty IBM PC Osobní počítač kompatibilní se standardem IBM PC ISO International Organisation Mezinárodní organizace pro normalizaci for Standardization JGMA Japan Gear Manufacturers Japonská asociace výrobců ozubení Association LISP List Processing Language Programovací jazyk, jazyk zpracování Seznamů Matlab Matrix Laboratory Integrovaný systém pro numerické a symbolické výpočty, analýzu a vizualizaci dat a pro modelování a simulaci procesů MKP Metoda konečných prvků PC Personal Computer Osobní počítač 6

Značky, jednotky, názvy Značka Jednotka Název, význam b mm šířka kola d f mm průměr patní kružnice h mm výška zubu h mm rameno ohybu i 12 - převodový poměr l mm délka stopy kontaktu m mm modul ozubení n s -1 otáčky p - posuv posuvných vazeb p n - přímka nahrazující polotovar kola p 1 - přímka nahrazující polotovar kola q N/mm délkové zatížení q i MPa spojité zatížení dotykové oblasti q max N/mm max. hodnota délkového zatížení r mm poloměr roztečné kružnice s zf mm tloušťka paty zubu x mm souřadnice x a mm souřadnice v prostoru a x b mm souřadnice v prostoru b y mm souřadnice y a mm souřadnice v prostoru a y b mm souřadnice v prostoru b z mm souřadnice z 1 - počet zubů pastorku z 2 - počet zubů kola F t N obvodová síla F ts N směrodatná obvodová síla K - součinitel přídavných zatížení K A - součinitel vnějších dynamických sil K F - součinitel přídavných zatížení pro výpočet na ohyb K Fα - součinitel podílu zatížení jednotlivých zubů (pro výpočet na ohyb) K Fβ - součinitel nerovnoměrnosti zatížení zubů po šířce (pro výpočet na ohyb) K V - součinitel vnitřních dynamických sil K α - součinitel podílu zatížení jednotlivých zubů K β - součinitel nerovnoměrnosti zatížení zubů po šířce O a - počátek soustavy souřadnic prostoru a O b - počátek soustavy souřadnic prostoru b P kw výkon P - bod uchopení obrážecího hřebenu α úhel záběru β úhel sklonu zubů υ úhel odvalení hřebenu υ rad úhel odvalení hřebenu σ F MPa ohybové napětí v nebezpečném průřezu paty zubu ψ m - šířkový poměr ω s -1 úhlová rychlost ω 1 s -1 úhlová rychlost pastorku ω 2 s -1 úhlová rychlost kola 7

Úvod Mezi nejstarší a velmi významné strojní součásti patří ozubená kola. Převody s různými druhy ozubených kol tvoří důležitou součást celé řady strojů a zařízení. Používají se pro přenos mechanické energie a rotačního pohybu mezi dvěma hřídeli, pro změnu otáček hnacích nebo hnaných strojů a pro dosažení potřebné kinematické vazby mezi členy mechanismu. Přestože ozubená kola jsou považována za základní strojní součásti, geometrickou složitostí svých zubů a z toho vyplývající výrobní náročností některých typů, se současně zařazují do skupiny těch nejkomplikovanějších. Návrhové a kontrolní pevnostní výpočty ozubení prošly dlouhým vývojem. Vždy však jejich autoři vycházeli a stále vycházejí z fundamentálních pouček nauky o pružnosti a pevnosti pro základní způsoby namáhání. Původní jednoduché výpočtové vztahy byly postupně doplňovány o množství různých koeficientů s cílem dosáhnout co nejvýstižnějšího popisu reálného ozubení určitého typu, daných rozměrů a použitého materiálu, pracujícího za různých provozních podmínek. Zahrnout do výpočtů všechny faktory mající vliv na provoz a únosnost ozubeného soukolí je ovšem velmi složitá úloha, která nemá jednoznačné řešení. Mnohdy rozdílné teoretické přístupy a metody kontrolních výpočtů byly zvolna sjednocovány a vyvrcholily přijetím standardů a norem. Současná podoba výpočtových vztahů vyžaduje pro jejich efektivní řešení použití výpočetní techniky. Další přístup k analýze strojních součástí obecně představuje počítačové modelování reálných dějů a objektů bez nutnosti jejich fyzické existence. Při provádění kontrolních výpočtů se uplatňují numerické metody. Propracovanost jejich teoretického základu, jejich vývoj a praktické používání jsou způsobeny prudkým růstem výpočetního výkonu počítačů. V průběhu několika posledních desetiletí byla vyvinuta řada metod používaných pro analýzu kontinua. Bezesporu nejpoužívanější z nich pro řešení problémů pružnosti a pevnosti je metoda konečných prvků. Jedním z velmi používaných typů ozubených soukolí je čelní soukolí se šikmými zuby (obr. 1). Složitost tvaru jejich zubů prakticky vylučuje provedení detailní napěťové a deformační analýzy klasickými postupy nauky o pružnosti a pevnosti. Používané postupy podle platných norem vycházejí z různých předpokladů pro zatížení zubů. Množství vlivů, které se při provozu soukolí vyskytují je respektováno řadou koeficientů, jejichž určení samo o sobě není vždy snadnou záležitostí. Zjistit přesné zatížení jednotlivých zubů je velmi problematické i vzhledem k tomu, že zuby nepřicházejí do záběru najednou celé, ale postupně, v závislosti na svém sklonu. Toto postupné zatěžování zabírajících zubů je výhodné z hlediska jejich únosnosti, ale současně velmi komplikuje pevnostní výpočty. 8

Obr. 1 Čelní soukolí se šikmými zuby Zejména geometrická přesnost a tuhost jak ozubení, tak i dalších souvisejících součástí má zásadní vliv na skutečné rozložení zatížení po šířce zubů i mezi zuby. Ve výpočetních vztazích, podle metod v současnosti platné normy ISO 6336, jsou nerovnoměrnost zatížení zubů po šířce a podíl zatížení jednotlivých zubů respektovány prostřednictvím koeficientů K β a K α, zvlášť vždy pro dotyk a pro ohyb. Určení jejich velikostí je jedním ze základních úkolů při pevnostní kontrole ozubení, protože zásadním způsobem ovlivňují výsledky výpočtů. Přestože výpočtové vztahy umožňují zjištění bezpečnosti kontrolovaného soukolí většiny používaných zařízení s dostatečnou přesností, neposkytují přehled o skutečném průběhu napjatosti v celém objemu zubu. V případě požadavků na vysokou spolehlivost převodu ale může být klasické řešení nedostatečné vzhledem ke své omezené vypovídací schopnosti. Je nutné jej doplnit jiným typem výpočtů, který je odlišný od klasického přístupu a tedy na něm nezávislý. Takovou možnost přináší MKP, kterou uvedená norma považuje za další nejpřesnější metodu pevnostní analýzy. Použití MKP vyžaduje vytvoření modelu ozubení buď ve vlastním grafickém editoru výpočetního systému nebo v externím CAD systému. 9

Cíle disertační práce Disertační práce se zabývá postupy počítačového modelování přesné 3D geometrie vnějšího šikmého ozubení čelních kol a modelováním jeho zatížení s ohledem na možnosti provedení pevnostní analýzy pomocí MKP. Zpracované téma disertační práce bylo zvoleno z důvodů potřeby vytvoření příspěvku k problematice CAD modelování a MKP analýzy šikmého ozubení čelních kol. Cílem disertační práce je: uvedení, porovnání a zhodnocení metod použitelných pro vytvoření CAD modelů šikmých zubů čelních kol, ověření možností vytvoření přesných 3D modelů vnějšího šikmého ozubení čelního soukolí simulováním jeho výroby obrážecím hřebenem, ověření použitelnosti vytvořených CAD modelů šikmého ozubení pro pevnostní analýzu pomocí MKP, posouzení vlivu přesnosti modelů na proveditelnost MKP analýzy, modelování zatížení šikmých zubů s ohledem na vliv nerovnoměrnosti rozložení zatížení po šířce zubů, porovnání výsledků pevnostních analýz ozubení na ohyb provedených pomocí MKP s výsledky získanými stávajícími postupy podle normy ISO 6336. Zvolené metody řešení disertační práce a jejich rozsah vychází ze současného stavu poznání uvedené problematiky a z možností programových prostředků dostupných na školícím pracovišti, které byly použité pro splnění vytyčených cílů. 10

1 Ozubené soukolí Ozubené soukolí je tříčlenný mechanismus, který je tvořený jedním párem spoluzabírajících kol a nehybným rámem. Každé z ozubených kol je vzhledem k nehybnému rámu otočně uloženo a tvoří s ním rotační kinematickou dvojici. Vzájemný kontakt spoluzabírajících kol probíhá s bodovým nebo přímkovým stykem a tvoří obecnou kinematickou dvojici. Základní požadavek kladený na ozubená kola, kterým je zaručení konstantního převodového poměru při zachování stálého dotyku záběru minimálně jednoho páru zubů, je dán vztahem i 1,2 ω 1 ω 2 = = konst., 1.1 Evolventní ozubení Základnímu zákonu ozubení a dalším požadavkům vyhovuje evolventní tvar boků zubů spoluzabírajících kol. Splnění základního zákona ozubení bylo velkým historickým mezníkem v používání ozubených převodů. Bylo toho dosaženo detailním rozborem požadavků na plynulost záběru s aplikací konstrukcí kinematické geometrie. Výsledkem byl především zmiňovaný evolventní tvar boku zubu, který zajišťuje plynulost záběru i při změně osové vzdálenosti kol vlivem nepřesností výroby, montáže, opotřebení a deformací. Spolu se snadnou výrobou čelního soukolí jednoduchými nástroji to jsou hlavní důvody, proč se v současné technické praxi téměř výhradně používá právě evolventní ozubení. 1.2 Čelní soukolí se šikmými zuby Čelní kolo se šikmými zuby je takové, které má evolventní zuby navinuty na roztečný válec ve šroubovici. Bok zubu je tedy tvořený evolventní šroubovou plochou. Její geometrie je pro obecné vyšetřování dosti složitá, ale můžeme ji získat např. tak, že ve vhodném CAD systému necháme evolventu táhnout po šroubovici. Stoupání šroubovice je většinou tak velké, že se zuby při malé šířce kola jeví v krátkém úseku jako šikmé. 11

Jejich přednostmi, vzhledem ke kolům s přímými zuby, jsou pozvolný a plynulý vstup i výstup spoluzabírajících zubů do i ze záběru, větší součinitel trvání záběru, klidnější a tišší chod, menší zatížení zubů, nižší mezní počet zubů. Umožňují dokonalejší využití materiálu kol a tím přenos větších výkonů, než je tomu u rozměrově porovnatelných kol s přímými zuby. Nevýhodou je vznik axiální síly, která způsobuje přídavné namáhání hřídelů a ložisek. 1.2.1 Záběr čelních kol se šikmými zuby Záběr pastorku začíná bodem, který leží v oblasti paty jeho zubu. V tomto místě dojde k prvnímu kontaktu s nejvyšším bodem hlavy zubu spoluzabírajícího kola. V průběhu záběru postupuje bod dotyku ve směru otáčení kol po tzv. čáře záběru. Současně se posouvá po bocích dvojice dotýkajících se zubů, na zubu pastorku směrem od paty k hlavě, na zubu kola opačně. K dotyku zubů kol může dojít pouze v záběrovém poli, což je obdélník, jehož strany tvoří úsečka záběru a činná šířka ozubení. 1.2.2 Zatížení šikmého ozubení a silové poměry U čelního soukolí se šikmými zuby se v záběru střídají postupně dva a tři páry zubů. Ke kontaktu evolventních boků zubů dochází podél dotykových úseček, na které se spojitě rozloží přenášené zatížení ležící v rovině záběrového pole. Pro teoreticky přesné a nekonečně tuhé ozubení, hřídele, ložiska a skříň převodu dojde k rovnoměrnému rozložení zatížení po šířce zubů i mezi nimi. Předpokládá se, že všechny zabírající zuby přenášejí stejné měrné zatížení lineárního průběhu a konstantní velikosti po celé délce dotykových úseček (obr..2) Obr. 2 Teoretické zatížení dotykových úseček šikmých zubů 12

U reálného soukolí jsou během provozu silové poměry mezi zuby odlišné od znázorněného teoretického předpokladu. Je to způsobeno vzájemnou kombinací mnoha vlivů vyskytujících se při výrobě, montáži a provozu převodového mechanismu a negativně ovlivňujících vlastnosti a chování celku. Jedná se především o dosažitelnou výrobní a montážní přesnost součástí a o jejich skutečnou tuhost včetně tuhosti kontaktní. Reálná provozní zatížení jsou proto vždy větší než zatížení teoretická. Při návrhových a kontrolních výpočtech ozubení se vychází z obvodové síly, která se vzhledem k teoretickému zatížení zvětšuje pomocí součinitele přídavných zatížení K na sílu směrodatnou =. F ts K F t Přídavná zatížení jsou rozdělena do čtyř skupin uvedených v [6], [9]. První skupinu tvoří vnější přídavná dynamická zatížení, zahrnutá v součiniteli K A. Závisí především na charakteristice hnacího a hnaného stroje a na provozních podmínkách. Druhá skupina představuje vnitřní přídavná dynamická zatížení, zahrnutá součinitelem K V, která vznikají především vlivem výrobních nepřesností zubů a jejich poddajností. Do třetí skupiny patří nerovnoměrnost rozložení zatížení po šířce zubu. Do výpočtů je zahrnuta součinitelem K β. Čtvrtá skupina uvažuje nerovnoměrnost rozložení zatížení mezi současně zabírající páry zubů. Je zahrnuta v součiniteli K α. Součinitel přídavných zatížení je dán součinem dílčích součinitelů =. K K A K V K β K α Určit přesné rozložení skutečného zatížení je obtížné a proto se při výpočtech vychází pouze ze dvou modelů lineárního rozložení zatížení [6]. První model předpokládá rozložení zatížení po celé šířce zubu, ke kterému dojde u přesného ozubení velmi zatíženého soukolí (obr. 3). 13

Obr. 3 Rozložení velkého zatížení přesného zubu Druhý model (obr. 4) plyne z předpokladu, že zatížení přenáší pouze část šířky zubu, které se může vyskytnout u méně přesného a málo zatíženého soukolí. Obr. 4 Rozložení malého zatížení nepřesného zubu Nalezení velikostí součinitelů K β a K α pro konkrétní řešené soukolí patří k nejdůležitějším úlohám při dimenzování ozubení, protože správnost výpočtu se přímo odráží v jeho provozní spolehlivosti. 2 Historický vývoj návrhu a kontroly ozubení Ozubení kol silových převodů je při provozu značně namáháno. Velikost zubu a s ní související velikost jeho nosného průřezu pro dané přenášené zatížení je určena zejména modulem, šířkou zubů a jejich počtem. Určením velikosti modulu a počtu zubů kol se současně rozhoduje o rozměrech soukolí. Velmi často se provádí rychlý návrhový výpočet velikosti modulu podle Bacha. Je však pouze orientační, protože vychází z těchto velmi zjednodušených předpokladů: zub je uvažován jako vetknutý nosník konstantního průřezu, zatěžující silou je osamělá obvodová síla, zatěžující síla je pouze statická, působiště síly je uprostřed šířky zubu, součinitel trvání záběru je roven jedné, zabírá pouze jeden pár zubů. 14

2.1 Poruchy ozubených kol Provoz ozubených převodů je provázen i řadou poruch, které mohou mít následující příčiny[8]: vadný základní materiál ozubení, chybnou výrobu ozubení, nesprávné tepelné a chemicko-tepelné zpracování ozubení, chybnou montáž ozubených kol a dalších součástí účastnících se přenosu rotačního pohybu, nedostatečnou tuhost soustavy skříň převodovky ložiska hřídele kola, nevhodné mazivo, cizí těleso v mazivu, vadná ložiska, náhlé extrémní přetížení, nedostatečné dimenzování ozubení vzhledem k přenášenému výkonu. Snaha o odstranění poruch ozubených kol vedla k vypracování obsáhlé teorie a sestavení mnoha matematických vztahů pro návrh a kontrolu ozubení. 2.2 Návrh modulu ozubení Při návrhu ozubeného převodu se vychází ze zjednodušené představy skutečnosti a z požadavků na minimalizaci rozměrů soukolí. Počet zubů se volí s ohledem na jejich ohybové namáhání a plynulost převodu. Šířka kol spolu s modulem představují dva charakteristické parametry, které se do značné míry vzájemně ovlivňují, přestože únosnost ozubení neroste přímo úměrně se zvětšující se šířkou, protože se projevuje vliv nerovnoměrnosti rozložení zatížení po šířce zubu. Pro určení číselné hodnoty velikosti modulu bylo sestaveno mnoho vztahů, které zohledňují různé faktory mající vliv na únosnost ozubení. 2.3 Pevnostní kontrola ozubení Pevnostní kontrolou ozubení se ověřuje, zda navržené soukolí v provozu splní požadavky na něj kladené. Prvotní výpočtový model ozubení byl rovinný a vycházel z přímých zubů. Předpokládal, že přenosu celého zatížení se účastní pouze jediný zub kola, zatížený 15

jenom na ohyb osamělou obvodovou silou působící staticky na konci hlavy zubu uprostřed jeho šířky. Mezi nejstarší způsoby výpočtu při řešení ozubení patří metoda podle Bacha, která vychází z uvedených předpokladů, že ohyb zubu způsobuje obvodová síla F t na ramenu h. Obr. 5 Skutečný tvar přímého zubu V průběhu dlouhé doby používání ozubených kol se dospělo k závěrům, že provozuschopnost soukolí je nejvíce omezena únosností boků zubů v dotyku a únosností zubů v ohybu. Na základě těchto poznatků bylo sestaveno mnoho různých výpočetních postupů, které se s postupem doby vzájemně doplňovaly a prolínaly. Nakonec vedly k sestavení standardů a norem. Nejčastěji se pro návrh a kontrolu ozubení používají normy ČSN, ISO, DIN, BS, AGMA, ANSI, JGMA. S probíhajícím sjednocováním Evropy je v ČR nahrazována někde dosud ještě používaná norma ČSN 01 4686: 1988 normou ISO 6336. Tato norma připouští vedle experimentálního zkoušení soukolí i další způsoby kontroly ozubení, včetně použití MKP. Náročnost přípravy vstupních dat, vlastního výpočtu a vyhodnocení výsledků však způsobuje, že se MKP dosud využívá pouze v omezené míře. 3 Modelování a analýza strojních součástí 3.1 Podstata modelování Modelování je velmi efektivní metodou pro řešení nejen inženýrských problémů. Spočívá v cílevědomé náhradě reálného systému nebo jevu modelem s cílem získání důvěryhodných informací o fungování systému, např. technického objektu. Výsledkem modelování by mělo být dosažení předpovědi pokud možno 16

s co největší přesností a nejlepší vypovídací schopností, a tím ušetření času, materiálních a finančních prostředků při vývoji, výrobě, provozu a řízení systémů. 3.2 Základní rozdělení modelů Základní rozdělení modelů rozlišuje pouze dva typy. Modely fyzické jsou takové, které reálně existují. Jsou vytvořeny z odpovídajícího materiálu ve skutečné velikosti nebo ve vhodném měřítku. Modely abstraktní nebo-li formální jsou nehmotné, zkoumaný objekt popisují soustavou znaků nebo graficky. Mezi abstraktní modely patří i takové, které jsou vytvořeny pomocí CAD programů. 3.3 Postupy modelování V současnosti jsou možnosti modelovacích programových prostředků (např. CAD systémy) a prostředků pro analýzu vytvořených modelů (např. MKP systémy) už na takové úrovni, že je možné nasadit je prakticky ve všech oblastech lidské činnosti. Při jejich využívání se uplatňují dva postupy. První spočívá v tom, že zkoumaný reálný objekt je vymodelován pomocí vhodného systému s různým stupněm abstrakce a podroben požadované analýze. Získané výstupy analýzy se využívají pro objasnění jeho skutečného nebo možného chování. Druhý postup se od prvního odlišuje tím, že reálný objekt není předmětem procesu modelování a analýzy, ale vzniká až po ověření funkčnosti a chování modelu. 3.4 Klasický způsob modelování a analýzy Klasický způsob modelování spočívá v tom, že konstruktér navrhovanou součást idealizuje. Nahradí ji takovou fiktivní součástí, která navrhovanou svým tvarem nejlépe vystihuje. Potom s využitím jednoduchých vztahů popisujících základní způsoby zatížení určí napjatost a deformaci. 3.5 Moderní způsob modelování a analýzy Moderní způsob modelování znamená, že se nově vyvíjená nebo již vyrobená součást vytvoří nejčastěji jako objemový model (3D model, solid model) v některém z CAD systémů. Takto vytvořený model věrně vystihuje rozměry a tvar skutečné součásti a je mu přiřazen i odpovídající materiál. V případě použití parametrického modeláře je možné snadno provádět různé úpravy tvarů a vytvářet konstrukční varianty. Vytvoření přesného modelu může však být v případech značně tvarově složitých těles velmi pracné a časově náročné. 17

Pro analýzu modelovaného tělesa nebo soustavy těles se používají specializované programové prostředky, které buď přímo umožňují vytvoření potřebné geometrie ve vlastním modeláři nebo její načtení přes některý z výměnných datových formátů. 4 Modelování čelních kol se šikmými zuby Aby bylo možné ozubení podrobit pevnostní analýze pomocí MKP, musí být nejprve vytvořený jeho datový popis model. 4.1 Přímé vygenerování ozubení CAD systémem Nejsnadnější cestou pro získání modelů šikmého ozubení je použití takového softwarového produktu CAD systému, který přímo umožňuje vytvoření potřebné geometrie ozubených kol pomocí standardní sady příkazů nebo nástrojů. Takovým systémem je např. SolidWorks Office Premium 2007, obsahující v Knihovně návrhů složku Toolbox s generátory různých typů strojních součástí, mezi nimi i ozubených kol. Po důkladnějším prostudování geometrie vygenerovaného kola na zvětšeném detailu ozubení se ale snadno zjistí, že profily zubů neodpovídají požadavku na tvarovou přesnost, která je pro pevnostní analýzu nutným předpokladem. Obr. 6 Náhrada profilu zubů lichoběžníkem 18

4.2 Matematický popis geometrie šikmého ozubení Dalším způsobem získání přesného tvaru zubu je provést jeho matematický popis a polohy bodů na jeho povrchu určit výpočtem. Souřadnice bodů evolventy a přechodové křivky lze vypočítat opakovaným řešením parametrických rovnic evolventy se zvoleným úhlovým krokem odvalování tvořící přímky. Tento postup je sice možný, ale velmi pracný, proto není pro vytvoření modelů použitý. 4.3 Určení souřadnic bodů profilu šikmého zubu matematickou simulací jeho výroby Dalším způsobem, jak získat datový popis boku šikmého zubu v podobě diskrétních souřadnic jeho bodů, je provést matematickou simulaci výroby jeho profilu obrážením pomocí hřebenového nástroje. Profil zubu bude vytvářen v čelním řezu, z čehož vyplývá, že i použitý výrobní nástroj hřeben musí mít rozměry tomuto řezu odpovídající. Tvar zubu je třeba popsat takovými geometrickými entitami, jejichž určení v rovině lze snadno vyjádřit pomocí jednoduchých matematických vztahů. Pro popis jsou proto zvoleny úsečky, které jsou jednoznačně definovány pomocí dvou různých bodů. Dále je nutné provést matematický popis polotovaru ozubeného kola. V reálném prostředí je tvořený hmotným válcem známých rozměrů, z něhož výrobní nástroj postupně odřezává přebytečný materiál a vytváří tak bok zubu. Válec polotovaru použitý pro matematickou simulaci výroby je v oblasti jeho záběru s nástrojem nahrazen množinou ekvidistantních přímek (obr. 7). pn A yb p1 B K Ob L xb p ya Oa xa Obr. 7 Nahrazení polotovaru kola množinou přímek, výchozí poloha nástroje 19

Body na boku profilu zubu se vypočítávají jako průsečíky množiny přímek s úsečkami, které nahrazují zub nástroje. Odvalovací pohyb hřebenu je složený z posuvů ve směrech os x a y a současné rotace kolem osy z. Pro řešení úloh určování polohy je použitá maticová metoda kinematiky. Uvedený postup je naprogramovaný pro systém Matlab a výstupem je: grafické znázornění poloh poloviny hřebenu při jeho odvalování o jednu rozteč kolem osy zubové mezery vzhledem k možnému podříznutí paty zubu (obr. 8), vykreslení boční křivky profilu zubu a vypočtených průsečíků (obr. 9), matice souřadnic vypočtených průsečíků. Obr. 8 Odvalení poloviny zubu hřebenu, trajektorie odvalení Obr. 9 Boční křivka profilu zubu a vypočítané body profilu 20

4.4 Vytvoření profilu šikmého zubu simulací jeho výroby obrážením v CAD systému Získání profilu šikmého zubu v čelním řezu je založeno na stejném principu, který se využívá při výrobě přímého ozubení skutečného kola obrážecím hřebenovým nástrojem nožem systémem Maag. 2 [0,0,0] P 1 Obr. 10 Odvalování obrážecího hřebenu Hřeben postupuje po trajektorii jejíž souřadnice jsou vypočteny z parametrických rovnic evolventy kružnice v pravoúhlé souřadnicové soustavě x y = r cosϑ + = r sinϑ ) ϑ sinϑ ) ϑ cosϑ Odvalení hřebenu o jednu rozteč přímo v prostředí AutoCADu a zobrazení všech jeho poloh provede program napsaný v jazyku AutoLisp. Vysokým počtem poloh hřebenu získáme velmi přesný tvar boku zubu, ale současně dojde k extrémnímu nárůstu množství dat pro manipulaci v CAD systému. V další etapě dojde pomocí logické operace Rozdíl k odečtení 3D hřebenů od 3D polotovaru kola a vznikne částečně obrobený polotovar kola (obr. 11).. 21

[0,0,0] P 2 1 Obr. 11 Částečně obrobený polotovar kola Zubová mezera položená kolem úsečky 1 je vytvořena úplně a s vysokou přesností odpovídá čelnímu řezu zubové mezery kola se šikmými zuby. Využitím příkazů AutoCADu pro kreslení a editaci se dále získá přesný profil celého zubu (obr. 12). Obr. 12 Přesný profil zubu Takto získaný profil zubu má na svých bocích křivky složené z příliš velkého počtu nestejně dlouhých úseků, což by se negativně projevilo při modelování 3D zubu nebo dokonce celého kola svými vysokými nároky na potřebný výkon počítače. Do podobné situace bychom se dostali i při pevnostní analýze pomocí MKP. Automatický generátor sítě preprocesoru by vygeneroval takový počet prvků, který mnohonásobně převyšuje limit počtu uzlů univerzitní licence Ansysu. Další pracovní postup se proto musí směřovat k výrazném snížení počtu bodů na boku profilu a dosažení jejich rovnoměrného rozložení. AutoCAD umožňuje rozdělit rovinnou křivku na zvolený počet stejně dlouhých úseků se současným zobrazením hraničních bodů (obr. 13). 22

Obr. 13 Zjednodušené profily zubů, počty úseků na bocích Tímto způsobem lze získat zjednodušené boční křivky profilů zubů a použít je pro vytvoření 3D modelů šikmých zubů. 4.5 Vytvoření objemového modelu zubu a kola Vytvořením 2D profilů zubů byla ukončena práce v prostředí AutoCADu. Pro získání 3D modelu šroubovitě vinutého zubu a následné vymodelování celého kola nebo jenom jeho segmentu s několika zuby je nutné použít systém Autodesk Mechanical Desktop (AMDT), který umožňuje tažení profilu po šroubovici. Obr. 14 Konečný tvar šikmého zubu 23

4.6 Možné úpravy geometrie modelů ozubení V průběhu vytváření modelů lze provádět jakékoliv změny a úpravy geometrie přesného tvaru. Některé se mohou týkat pouze 2D profilu zubu, jiné 3D modelu zubu nebo celého kola. Každý zub kola může být vymodelován nezávisle na ostatních ze samostatného profilu. Jejich sloučením prostřednictvím logických operací vznikne buď celé kolo nebo pouze ozubený segment. Do modelů je tak možné zanést v průběhu jejich vytváření nepřesnost výroby profilu, korekci a modifikaci ozubení, chyby v rozteči sousedních zubů, zkosení čelní plochy, možné chyby v montáži způsobené nedodržením osové vzdálenosti nebo rovnoběžnosti os hřídelů, natočení kola z roviny záběru vlivem pružných deformací hřídele, ložisek a skříně převodovky, poškození povrchu boku zubu, ulomení celého zubu nebo jeho části, trhlinu v patě zubu. 5 Ověření použitelnosti CAD modelů šikmého ozubení pro MKP analýzu Vhodnost modelů je posuzována z několika hledisek. Prvním hlediskem je bezchybný přenos vytvořené 3D geometrie modelu zubu z CAD systému do MKP systému. Druhým hlediskem při posuzování vhodnosti modelů pro MKP je vytvoření konečných prvků v celém objemu zubu automatickým generátorem sítě. Třetím hlediskem je velikost konečných prvků, kterou je současně určený i jejich počet ovlivňující přesnost výsledků pevnostní analýzy a náročnost jejího provedení. Testování jsou podrobeny vybrané modely šikmých zubů, vytvořené s různou přesností výchozího profilu. 5 úseků na boku profilu 30 úseků na boku profilu Tab. 1 Modely zubů pro Ψ m = 8, m = 2,5 24

Počet úseků na boku zubu Délka úseku na boku zubu [ mm ] Velikost prvku absolutní [ mm ] Velikost prvku vzhledem k modulu [ % ] Počet prvků v objemu zubu Počet uzlů 5 1,315 10 0,681 20 0,344 30 0,229 2,5 100 1 985 3 377 2 80 3 579 5 800 1,5 60 7 000 10 920 1 40 19 716 29 510 0,5 20 184 919 233 080 0,25 10 1 514 148 1 962 342 2,5 100 2 791 4 718 2 80 4 787 7 712 1,5 60 8 867 13 767 1 40 26 388 38 827 0,5 20 163 093 204 613 0,25 10 1 498 096 1 940 598 2,5 100 4 816 8 081 2 80 7 220 11 721 1,5 60 12 583 20 357 1 40 35 152 53 593 0,5 20 220 967 279 512 0,25 10 1 440 039 1 863 445 2,5 100 6 159 10 502 2 80 8 886 15 388 1,5 60 15 021 24 806 1 40 40 658 67 998 0,5 20 259 189 327 794 0,25 10 1 636 222 2 119 832 Optimální hodnoty vzhledem k možnostem CAD a MKP systémů Přesahuje limit počtu prvků univerzitní licence Ansysu Tab. 2 Počty konečných prvků v modelu zubu pro Ψ m = 8, m = 2,5 6 Modelování stopy kontaktu a provozního zatížení šikmých zubů Při provozu soukolí se vnější zatížení rozloží mezi více párů zubů, které se právě nacházejí v oblasti záběrové plochy. Určení toho, jaký skutečný podíl z celkového zatížení připadá na jednotlivé páry zubů je obtížná úloha. Rozložení zatížení je ovlivněno především přesností výroby a tuhostí jak ozubení, tak dalších součástí. Vyřešení této úlohy s využitím CAD modelů ozubení pomocí MKP by znamenalo řešit kontaktní úlohy, které však svou náročností a rozsahem přesahují rámec této práce. Podrobné řešení 3D kontaktní úlohy neumožňuje ani dostupný výpočetní MKP systém, protože limit počtu prvků univerzitní licence ANSYSu je pro tento typ úloh příliš malý. 25

6.1 Modelování stopy kontaktu šikmých zubů Pro umístění zatížení na šikmý zub musíme nejprve najít správnou polohu dotykové úsečky na jeho boku, která je skloněná. Směřuje od hlavy zubu u jednoho čela k patě zubu u čela druhého. Systém AMDT dovoluje provést analýzu kolizí těles v sestavě a současně zobrazit průnik obou těles jako barevně odlišené kolizní těleso. Toho je možné využít tak, že od již vytvořeného modelu zubu prvního kola se v jeho modelovém prostoru odečte profil zubu druhého kola, tažený po šroubovici se záměrně vnesenou kolizí zubů, spočívající v úpravě počátku šroubovice s příslušným natočením 2D profilu zubu. Výsledkem je vznik stopy kontaktu na boku zubu. Obr. 15 Stopa kontaktu na boku zubu 6.2 Modelování zatížení šikmých zubů Ve výpočetním systému Ansys je dosti problematické na zub vložit spojitá zatížení s průběhy podle obr. 3 a obr. 4. Proto byla nahrazena spojitým zatížením po částech konstantní velikosti pro různé velikosti součinitele K Fβ (obr. 16). Podmínkou pro odpovídající náhradu je rovnost velikostí původní a náhradní plochy zatížení. 26

Obr. 16 Náhradní zatížení zubů Velikost zatížení vkládaná do stopy kontaktu je vypočtena z výkonu přenášeného soukolím, z poměrné délky dotykové úsečky připadající na zatěžovaný zub a z plochy dotykové oblasti. 7 Pevnostní analýza šikmého ozubení pomocí MKP Důvodem k provedení pevnostní analýzy šikmého ozubení na ohyb pomocí MKP je dosažení několika cílů. Prvním je ověření její proveditelnosti na modelech vytvořených postupy uvedenými ve statích 4.3 a 4.4, které se nejvíce přibližují reálnému výrobnímu procesu. Druhým cílem je získání detailního přehledu o rozložení napětí v celém průřezu zatíženého zubu, jehož není možné dosáhnout jiným způsobem. 27

Třetím cílem je porovnání jejích konkrétních výsledků s pevnostní kontrolou provedenou podle normy ISO 6336. Jako první vzorek bylo zvoleno soukolí z materiálu, s parametry a zatížením uvedenými v tab. 3. z 1 z 2 α β ψ m P n 1 materiál 21 87 20 25 8 30kW 2960 min -1 14 220.4 Tab. 3 Parametry pro určení velikosti modulu prvního soukolí Velikost normálového modulu byla určena s využitím návrhových vztahů podle Bacha a podle normy ČSN 01 4686 z únavy v ohybu postupy uvedenými v [2] a v [9]. Návrh podle Bach ČSN 01 4686 Modul minimální střední maximální m [mm] 2,748 K F = 1 K F = 1,625 K F = 3,375 1,999 2,351 2,999 Tab. 4 Velikosti modulu podle způsobu výpočtu Průměrná hodnota modulu je m = 2,524 mm, zvolena byla nejbližší normalizovaná velikost m = 2,5 mm. Vypočtené hodnoty velikostí prvního hlavního napětí (v systému Ansys označení S1, tahové napětí) jsou uvedeny v tab. 5 a porovnány s výsledky získanými podle ISO 6336 (graf. 1, graf 2). 28

Pastorek 21 zubů Kolo 87 zubů Poměr metod Napětí σ F [MPa] podle metody výpočtu MKP / MKP ČSN ISO 6336 ČSN ISO 6336 KFβ Pastorek Kolo Pastorek Kolo Pastorek Kolo 1 165,876 161,384 144,26 143,21 1,150 1,127 1,1 178,648 170,639 158,68 157,53 1,126 1,083 1,15 182,527 177,883 165,89 164,69 1,100 1,080 1,2 190,819 185,472 173,11 171,85 1,102 1,079 1,25 196,263 193,046 180,32 179,01 1,088 1,078 1,35 211,607 202,158 194,75 193,33 1,087 1,046 1,5 227,688 219,431 216,39 214,82 1,052 1,021 1,75 252,178 246,712 252,46 250,62 0,999 0,984 2 278,936 276,366 288,52 286,42 0,967 0,965 2,5 320,409 312,457 360,65 358,03 0,888 0,873 Tab. 5 Porovnání maximálních napětí σ F Graf 1 Průběhy maximálních napětí σ F pastorku 29

Graf 2 Průběhy maximálních napětí σ F kola Závěr Na závěr lze konstatovat, že cíle disertační práce, zabývající se postupy modelování šikmých zubů čelních kol, se podařilo, i přes jejich velký rozsah a provázející obtíže, splnit. Z uváděných čtyř postupů pro získání 3D geometrie šikmého ozubení jsou pro MKP použitelné pouze tři. První postup, spočívající v přímém vygenerování ozubení CAD systémem, je nevhodný pro příliš velké zjednodušení geometrie. Druhý způsob, kterým je matematický popis profilu zubu, je příliš pracný a vyžaduje opakované řešení složité soustavy rovnic. Po obtížích s jejich řešením jsem ho opustil. Třetím způsobem je matematická simulace obrážení, jejímž výstupem jsou souřadnice bodů na boku profilu zubu, použitelné pro jeho vytvoření v CAD systému. Poslední metoda získání profilu šikmých zubů využívá možnosti provedení simulace jeho výroby přímo v CAD systému. Pro dané účely je nejvhodnější, protože je možné snadno provést změnu tvaru nástroje a jeho nastavení vzhledem k polotovaru vyráběného kola. Použití CAD systému umožňuje skutečné modelování ozubení v pravém smyslu slova, bez potřeby předchozích etap, zabývajících se přípravou dat řešením složitých matematických vztahů. 30

Pro dosažení kvalitních výsledků MKP je třeba v řešeném objemu vytvořit hustou síť prvků. Z důvodů omezené kapacity univerzitní licence výpočetního systému Ansys jsem zvolil řešení pouze samostatných zubů namáhaných ohybem místo řešení segmentů kol se všemi současně zabírajícími zuby a uvažování jejich kontaktu. Provádění výpočtů MKP vyžadovalo použití výkonného počítače a jeho on-line připojení na licenční server. U některých modelů zubů nevytvořil automatický generátor systému Ansys síť konečných prvků, protože v oblasti vymodelované stopy kontaktu se spoluzabírajícím zubem by některé prvky měly nekorektní geometrii (příliš malý vrcholový úhel). Odstranit tento stav se podařilo pouze pootočením výchozího modelu zubu a profilu zubu spoluzabírajícího kola v záběru o velmi malý úhel před vytvořením stopy kontaktu. Uvedené řešení ještě více zvyšuje náročnost přípravy modelů pro MKP i vzhledem k tomu, že jej často bylo nutné provádět opakovaně. Výsledky výpočtů pomocí MKP provedené na několika vzorcích ozubení vykazují dobrou shodu s výsledky dosaženými podle ISO 6336. Grafické znázornění průběhu napjatosti umožňuje nalezení případných kritických míst, která při řešení klasickým způsobem zůstávají neodhalená. Přínosem disertační práce je porovnání a ověření možných postupů modelování přesné 3D geometrie šikmého ozubení pro jeho pevnostní analýzu pomocí MKP na počítačích typu IBM PC. Vysoká náročnost přípravy modelů pro analýzu i její provedení potvrzuje skutečnost, že se v praxi dosud používá pouze v omezené míře. Cílem mé další práce v oblasti modelování ozubení je vytvoření modulu, integrovatelného do CAD systémů, pro automatické generování přesné 3D geometrie ozubení podle zadaných parametrů. 31

Literatura Seznam v tezích použité literatury [1] BEČKA, J. Modelování a výpočty ozubených kol na PC. Praha: Vydavatelství ČVUT, 2003. ISBN 80-01-02725-2. [2] BOLEK, A. KOCHMAN, J. Části strojů, 2. svazek. Praha: SNTL, 1990. [3] JANČÍK, L. ZÝMA, J. Části a mechanismy strojů. Praha: Vydavatelství ČVUT, 2004. ISBN 80-01-02891-7. [4] ONDRÁČEK, E. JANÍČEK, P. Výpočtové modely v technické praxi. Praha: SNTL, 1990. ISBN 80-03-00458-6. [5] PĚKNÝ, A. Části strojů. Praha: Státní zemědělské nakladatelství, 1972. [6] ŠALAMOUN, Č. SUCHÝ, M. Čelní a šroubová soukolí s evolventním ozubením. Praha: SNTL, 1990. ISBN 80-03-00532-9. [7] ŠVEC, V. Části a mechanismy strojů: mechanické převody. Praha: Vydavatelství ČVUT, 2003. ISBN 80-01-01934-9. [8] TUPLIN, W. A. Namáhání ozubených kol. Praha: SNTL. 1964. [9] ČSN 01 4686 Pevnostní výpočet čelních a kuželových ozubených kol. Praha: ÚNM, 1988. [10] ČSN ISO 6336 Výpočet únosnosti čelních ozubených kol s přímými a šikmými zuby. Praha: ČNI, (návrh 1998). Seznam prací disertanta vztahujících se k disertaci [1] BEČKA, J. KŘIČKA, J. Modelování zubů ozubených kol. Sborník referátů z XLIV. konference kateder částí a mechanismů strojů. Praha: ČVUT, Fakulta strojní, 2003. ISBN 80-01-02788-0. [2] KŘIČKA, J. BEČKA, J. Static Check of Countershaft by Using Matlab. In: Proceedings of Workshop 2003. Prague: CTU, 2003. ISBN 80-01-02708-2. [3] KŘIČKA, J. BEČKA, J. Simulation of Geometry and Load of Spur Gearing with Helical Teeth. In: Proceedings of Workshop 2004. Prague: CTU, 2004. ISBN 80-01-02945-X. 32