Pružnost. Pružné deformace (pružiny, podložky) Tuhost systému (nežádoucí průhyb) Kmitání systému (vlastní frekvence)

Pružnost Pružné deformace (pružiny, podložky) Tuhost systému (nežádoucí průhyb) Kmitání systému (vlastní frekvence) R. Hook: ut tensio, sic vis (1676) 1

2

3

Pružnost 1) Modul pružnosti 2) Vazby mezi atomy 3) Uspořádání atomů v tuhých látkách 4) Fyzikální základ modulu pružnosti 5) (Příklad návrhu konstrukce s uvážením elastických deformací) 4

Modul pružnosti Elastické charakteristiky materiálu Měření elastických charakteristik Hodnoty modulu E Téma 1 5

Zobecněný Hookův zákon Anisotropní materiál (Anisotropie = závislost fyzikálních vlastností látek na směru, ve kterém se měří) Elastické koeficienty Tenzor deformací ε ε ε γ γ γ x y z yz zx xy = 11 21 31 41 51 61 12 22 32 42 52 62 13 23 33 43 53 63 14 24 34 44 54 64 15 25 35 45 55 65 16 26 36 46 56 66 * σ x σ y σ z τyz τ zx τ xy Tenzor napětí Matice sice obsahuje 36 prvků, ale díky symetrii indexů je pouze 21 nezávislých 6

1 µ yx µ,, E x E y E z µ xy 1 µ,, E x E y E µ µ xz yz 1,, E x E y E 1 0,0,0,,0,0 G yz 1 0,0,0,0,,0 G zx 1 0,0,0,0,0, G xy zx zy z z,0,0,0,0,0,0,0,0,0 Orthotropní materiál Monokrystal, textura Kompozit matrice + vlákno ε ε γ x y Zobecněný Hookův zákon e zvyšováním symetrie (zavádíme osy x,y,z) se snižuje počet nezávislých elastických koeficientů xy Orthotropie = pravoúhlá anisotropie (zanedbáváme osu z ) 1 µ yx, E x Ey µ xy 1, E x E 1 0,0, Gxy y,0,0 = * σ σ τ x y xy 7

Zobecněný Hookův zákon Orthotropní materiál monokrystaly a) Al (lom. napětí) b) Al (tažnost) c) Al (E) d) Fe (E) e) Fe (G) f) Mg (E) 8

Isotropní materiál Isotropie = vlastnosti jsou na směru nezávislé (opak anisotropie) 1 E, µ, E µ, E 0,0,0, 0,0,0,0, 0,0,0,0,0, µ µ,,0,0,0 E E 1 µ,,0,0,0 E E µ 1,,0,0,0 E E 1,0,0 G 1,0 G 1 G Zobecněný Hookův zákon Polykrystalické materiály kov, keramika částečně i polymery Amorfní látky sklo, některé polymery JEN DVĚ NEZÁVILÉ CHARAKTERITIKY 1 ε x = x ( y + E [ σ µ σ σ ] 1 ε y = y ( x + z E 1 ε z = σ z µ ( σ x + σ y E [ ] σ µ σ σ [ ] z γ = xy γ = yz γ = zx G = τ xy G τ yz G τ G E 2 (1 + µ ) zx 9

Další elastické charakteristiky, jen dvě jsou nezávislé σ = E ε modul v tahu τ = G γ modul ve smyku V p = K objemový modul V µ Poissonův poměr 10

Další elastické charakteristiky, jen dvě jsou nezávislé E K = = 2G ( 1+ µ ) ( 2µ ) 3 1 E µ = E 2G 1 11

Další elastické charakteristiky, jen dvě jsou nezávislé Isotropní materiál: µ a E Poissonův poměr µ poměr poměrného příčného zkrácení k poměrnému podélnému prodloužení v oblasti pružných deformací. Hodnota µ vyjadřuje pružnou stlačitelnost tělesa t t. j. schopnost zmenšovat (při i stlačen ení), nebo zvětšovat (při i tahu) svůj j objem během b pružné deformace. Otázka zvědavého studenta Proč se pro oceli uvádí vždy hodnota µ = 0,33? 12

Definice µ d d d0 d0 ε µ = = = 2 = l l ε1 l l 0 0 ε ε 3 1 ε = ε = µε 3 2 1 13

Jaké hodnoty µ nabývá? Definice µ ( 1 + V ) = ( 1 + ε )( 1 + ε )( 1 + ε ) ( 1 + ε )( 1 µε )( 1 µε ) { } zanedbáme členy s ε 2, ε 3 = 1 + 1 ε 1 ( 1 2µ ) Objem roste 1 Objem je konstantní 1 1 1 2 µ 2 = µ = > 0,5 3 = 0 µ < 0,5 14

K je u kovů prakticky rovno E Vztah mezi K a E 15

Jakých hodnot nabývá µ u kovů? K = E 3 (1 2µ ) E K 1 = ( 2µ ) 3 1 µ = 0, 33 E = 2.10 5 MPa = 200 GPa G = 3 8 E E K = 3 (1 2µ ) G = 7,5.10 4 MPa = 75 GPa 16

Měření elastických charakteristik Kvazistatické metody (pomalé) Dynamické metody nízkofrekvenční vysokofrekvenční 17

Kvazistatické metody Poissonův poměr z definice; tenzometry příp. snímače podélného prodloužení a příčného zúžení Modul E zkouška tahem zkouška ohybem Modul G zkouška krutem 18

Kvazistatické metody 19

Poissonova konstanta µ [ - ] 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0,287 0.35 12 16 20 24 28 32 36 čas t [ s ] Poissonova konstanta µ [ - ] 0.4 0.3 0.25 0.2 0.15 Kvazistatické metody 0,303 0,296 0,307 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 20 čas t [ s ] 0,299

Kvazistatické metody 21

Kvazistatické metody 3000 60 2500-50 C epoxy243_3 epoxy115_3 50-50 C epoxy243_3 epoxy115_3 2000 40 Load [N] 1500 tress [MPa] 30 1000 20 500 10 0 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 Time [s] 1600 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 train [%] 50 1400 1200 60 C epoxy115_2 epoxy315_5 epoxy243_4 40 60 C epoxy243_4 epoxy315_5 epoxy115_2 Load [N] 1000 800 600 tress [MPa] 30 20 400 200 10 0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Time [s] 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 train [%] 22

Kvazistatické metody 15 Young's modulus [GPa] 12 9 6 3 0 243_3 115_3 Z_3 243_2 315_4 failed during cycling 315_1 115_1 X_4 X_3 243_1 X_5 115_4 243_5 315_5 115_2 243_4 315_3 115_5-80 -40 0 40 80 120 Temperature [ C] Poisson's ratio [-] 0.50 0.46 0.42 0.38 0.34 0.30 243_3 failed during cycling Z_3 315_4 243_2 X_5 X_4 X_3 115_1 243_1 315_1 315_5 243_4 115_2 115_5 243_5 115_4 315_3 0.26 115_3-80 -40 0 40 80 120 Temperature [ C] 23

Torzní kyvadlo Dynamické metody G = 128π.Ja.l.f /d 2 4 d - průměr vzorku l - délka vzorku Ja - osový moment setrvačnosti f - vlastní frekvence kmitů kyvadla 24

v D = (E/ρ) ½ rychlost šíření podélných vln Dynamické metody - vysokofrekvenční Pro těleso délky l 0, vlastní frekvencí kmitů f a n-tou harmonickou vlnu platí: v Dn = 2l 0 f n /n, (n = 2,3,4 ) Potom: E = 4.l 2 0.ρ.f 2 /n 2 n Grindosonic 25

Měření elastických charakteristik Mezi hodnotami E určenými při pomalém a rychlém zatěžování jsou rozdíly (asi 10% u kovů, keramiky; u plastů může být i několik řádů) 26

Moduly pružnosti materiálů KOMPOZITY POLYMERY KOVY KERAMIKA 27

Moduly pružnosti materiálů KAUČUK 10 MPa DIAMANT 1 000 000 MPa 28

Moduly pružnosti materiálů 29

Moduly pružnosti materiálů kovy, keramika, skla ( 4 6 10 až10 )MPa plasty ( 4 1až10 )MPa elastická deformace závislost modulu na - vazbách mezi atomy - uspořádání atomů v prostoru 30

Pružnost Modul pružnosti 2) Vazby mezi atomy 3) Uspořádání atomů v tuhých látkách 4) Fyzikální základ modulu pružnosti 5) (Příklad návrhu konstrukce s uvážením elastických deformací) 31

Vazby mezi atomy primární (T m 1000K až 5000K) sekundární (T m 100K až 500K) Vazby mezi atomy U m = < n A r m + B r n 32

Vazby mezi atomy Díky vazbám vzniká kondenzovaný stav látek Kovová - ionty kovů v moři elektronů, těsné uspořádání = největší hustota Iontová - využití oktaedrických a tetraedrických poloh Kovalentní - komplikovaná mřížka, nejpevnější 33

Vazby mezi atomy 34

Kondenzované stavy tav Vazby K E Rozrušené Pevné 1 Kapalina * Velké Nula 2 Tekutý krystal * Velké Malé 0 3 Pryž ekundární Primární Velké E<<K 4 klo * Velké E K 5 Krystal * Velké E K 35

Pružnost Modul pružnosti Vazby mezi atomy 3) Uspořádání atomů v tuhých látkách 4) Fyzikální základ modulu pružnosti 5) (Příklad návrhu konstrukce s uvážením elastických deformací) 36

Uspořádání atomů 37

Těsné uspořádání - kovy 38

truktura hcp Mg, Zn,, Co, a - Ti hexagonal - close packed structure 39

Těsné uspořádání - kovy 40

truktura fcc Al, Cu, Au, Ag, Pt, Ni, γ-fe face centred cubic structure 41

truktura bcc α-fe, Mo, W, Ta body centred - cubic structure Polymorfie změna mřížky s teplotou, železo α γ δ (910/1400) C 42

Iontová vazba - keramika 43

Iontová vazba - keramika 44

Kovalentní vazba - keramika Diamant Mřížka se vzdaluje od těsného uspořádání Křemen 45

Kovalentní vazba - sklo Křemenné sklo teplota tavení 1200 C Na, Ca, Fe terminátoři 700 C 46

Kovalentní vazba polymery (plasty) Termoplasty PE, PP, P, PMMA Termosety (reaktoplasty( reaktoplasty) Elastomery (pryže, gumy) 47

Etylén H H C = C monomér H H Počet monomérů (n) 1 6 35 140 430 teplota měknutí C -167-12 37 93 109 charakter při +20 C plyn kapalina tuk vosk pevná látka tupeň polymerizace 3 10 10 5 48

Polymery (plasty) H H H H H H H H C - C - C - C - C - C - C - C H R H R H R H R R ---- H polyetylén (odpadní trubky, isolátory) R ---- CH3 polypropylén (odolnější vůči světlu, auto) R ---- Cl polyvinylchlorid (střešní a podlahové krytiny) R ---- C6H5 polystyrén (gram desky, příbory, izolace) 49

Tvary molekul plastů Polymery (plasty) 50

Krystaly plastu - sferolity Polymery (plasty) 51

Pružnost Modul pružnosti Vazby mezi atomy Uspořádání atomů v tuhých látkách 4) Fyzikální základ modulu pružnosti 5) (Příklad návrhu konstrukce s uvážením elastických deformací) 52

Fyzikální podstata modulu pružnosti tuhost vazby 0 = d 2 dr U 2 r = r 0 53

Tuhost vazby Modul pružnosti Typ vazby 0 [N/m] E 0 r 0 [MPa] C-C 180 1 000 000 E 0 0 r0 iontová Na-Cl 9-21 (0,3 0,7) 100 000 0 kovová Cu-Cu 15-40 (0,3-1,5) 100 000 H - můstek 2 8 000 Van der Waals 1 2 000 Teorie platí u kovů a keramiky; modul pružnosti některých plastů (kaučuk, pryž) je až o tři řády nižší ve srovnání s teorií. 54

Polymery v závislosti na teplotě kelná oblast 55

Polymery v závislosti na teplotě Oblast skelného přechodu -T g ekundární vazby začínají tát 56

Polymery v závislosti na teplotě Kaučukovitá oblast Pryže - pružná deformace, kde µ = 0,5 57

Polymery v závislosti na teplotě Příklady teplotní závislosti E 58

Materiál složený ze dvou materiálů, který má lepší vlastnosti než jednotlivé složky Částicové kompozity Polyetylén + živice WC + Co ic + Al Modul pružnosti kompozitu Vláknové kompozity GFRP glass fiber reinforced polymer CFRP carbon BFRP boron Mg + vlákna Al2O3 (blok motoru) Celulóza + lignin ic (Nicalon)/glass 59

napětí působí rovnoběžně s vlákny deformace vláken f i matrice m je stejná E komp komp = V f. E f σ = V. σ + (1 V ). σ σ = E. ε = V. E. ε + (1 V ). E. ε f f f + (1 V f f ). E napětí působí kolmo na vlákna - vlákna i matrice přenáší stejné napětí σ E E komp komp = = V f V E f f σ E f + + (1 V (1 V E Modul pružnosti kompozitu m f f ) ) 1 m σ E m f f m f Vláknové kompozity m ε = V. ε + (1 V ). ε f f 60 m

kelná matrice s vlákny (hott( Glass Meinz) borosilikátové sklo (DURAN) vlákna ic (NICALON) Young s modulus [GPa] Poisson s ratio Thermal exp. coeff. [K -1 ] Tensile strength [MPa] Fracture toughness [MPam 0.5 ] Glass matrix DURAN 63 0.22 3.25.10-6 60 0.6 Fibre ic Nicalon 198 0.20 3.0.10-6 2750?? Composite 118 0.21 3.1.10-6 600-700 ~ 26 61

kelná matrice s vlákny 62

63