Logika I. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální fond. Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika I. BI-MLO, ZS 2011/12 1 / 36
Logika I. Význam, historie, jazyk, formule Formule výrokové logiky. Pravdivostní tabulky. Tautologie, kontradikce, splnitelnost. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika I. BI-MLO, ZS 2011/12 2 / 36
Literatura Švejdar, V., Logika - neúplnost, složitost a nutnost, Academia, Praha, 2002. Sochor, A., Logika pro všechny ochotné myslet, Karolinum, Praha, 2011. Demlová, M., Mathematical Logic, ČVUT, Praha: Kernberg Publishing, 2008 Mendelson, E. Introduction to Mathematical Logic, Chapman and Hall, 1997. Copi, I.M. Symbolic Logic, The Macmilian Company, London, 1967. Smullyan, R., Jak se jmenuje tahle knížka?, Navěky nerozhodnuto, Satan, Cantor a nekonečno,... RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika I. BI-MLO, ZS 2011/12 3 / 36
Význam logiky 1 Správné logické úsudky v přirozeném jazyce. 2 Zkoumání logických zákonů 3 Zkoumání logických systémů. NDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika I. BI-MLO, ZS 2011/12 4 / 36
Jestliže jsem nemocný, mám horečku. Mám horečku. Jsem tedy nemocný. Ne. Všichni studenti jsou inteligentní. Někteří inteligentní lidé jsou podivíni. Plyne z toho, že někteří studenti jsou podivíni? Ne. Jediná kniha, kterou jsem kdy četl, je Pán prstenů. Co je opakem tohoto tvrzení neboli co platí, jestliže lžu? Nečetl jsem žádnou knihu, nebo jsem četl jinou knihu, nebo jsem četl ještě další knihu. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika I. BI-MLO, ZS 2011/12 5 / 36
1 Antické Řecko (6. - 3. stol. př. Kr.) 2 Středověk (11. - 13. století) 3 Moderní logika (19. - 20. století) Tam také v Egyptě byla poprvé objevena dialektika. Parmenidés se vyhýbal městům a lidem, strávil dlouhou dobu na skále aby promyslel dialektiku. (Hugo ze St.Victor, 12. stol.) Dialektika (dialegesthai = diskutovat) RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika I. BI-MLO, ZS 2011/12 6 / 36
Parmenidés a Zenón Parmenidés - není mnohost, je jen jedno Zenón - paradoxy Je-li jsoucen mnoho, je nutno, aby jich bylo tolik, kolik jich jest, ani více, ani méně. A je-li jich tolik, kolik jich jest, byla by počtem omezena. Je-li jsoucen mnoho, jsou počtem neomezena, neboť vždy jsou mezi jsoucny jiná a mezi těmi zas jiná, a tak jsou počtem neomezena. Je-li nemožno, aby byla mnohost, a je-li nutno, aby bylo buď jedno, nebo mnohost, a nemůže-li býti mnohost, zbývá, že je jedno. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika I. BI-MLO, ZS 2011/12 7 / 36
Aristotelés Základní zákony logiky zákon vyloučení sporu zákon vyloučeného třetího zákon identity NDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika I. BI-MLO, ZS 2011/12 8 / 36
Aristotelské typy soudů S je P. Všechna/některá S jsou/nejsou P. Kladné Záporné A E Obecné Všechna s jsou p. Žádná s nejsou p. Všechny kočky jsou šelmy. Žádné kočky nejsou šelmy. I O Částečné Některá s jsou p. Některá s nejsou p. Některé kočky jsou šelmy. Některé kočky nejsou šelmy. Kontradikce: A a O, E a I. Subsumpce: z A plyne I, z E plyne O. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika I. BI-MLO, ZS 2011/12 9 / 36
Sylogistika Ze dvou soudů (předpokladů) odvodíme třetí soud (závěr). Kdy je platný? Každá kočka je šelma. Každá šelma je zvíře. Tudíž každá kočka je zvíře. BARBARA. Žádný člověk není zvíře. Některé zvíře je šelma. Tudíž některá šelma není člověk. FRESISON. Tudíž některý člověk není šelma. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika I. BI-MLO, ZS 2011/12 10 / 36
Megarská škola Eubulides, Diodoros z Kronu, Filo z Megary (4. stol. B.C.) Člověk o sobě říká, že lže. Mluví pravdu nebo lže? Člověk, který má hlavu porostlou vlasy, není holohlavý. Vytrhneme-li mu jeden vlas, nestane se holohlavým. Avšak pokračujeme-li v tomto procesu, holohlavým se časem stane. Co jsi neztratil, to máš. Ale neztratil jsi rohy. Tedy je máš. Tento člověk je švec. Tento člověk je dobrý. Tudíž tento člověk je dobrý švec. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika I. BI-MLO, ZS 2011/12 11 / 36
Stoicko-megarská škola Zenón z Kitia, Chrysippos (4. - 3. stol. B.C.) 1 Jestliže prvé, pak druhé, avšak prvé, tudíž druhé. 2 Jestliže prvé, pak druhé, avšak ne druhé, tudíž ne prvé. 3 Ne zároveň prvé a druhé, avšak prvé, tudíž ne druhé. 4 Buď jen prvé, nebo jen druhé, ale prvé, tudíž ne druhé. 5 Buď jen prvé, nebo jen druhé, ale ne druhé, tudíž prvé. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika I. BI-MLO, ZS 2011/12 12 / 36
G.W.Leibniz (1646-1718) Mathesis universalis. Universální jazyk - characteristica universalis Platná odvozovací pravidla - calculus ratiocinator Ariadnina niť: Calculemus! NDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika I. BI-MLO, ZS 2011/12 13 / 36
B. Bolzano (1781-1848) A 1 : Existuje alespoň jedna pravdivá věta. A n+1 : Věta A n je pravdivá. Existuje nekonečně pravdivých vět. Vědosloví. O logice. NDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika I. BI-MLO, ZS 2011/12 14 / 36
G. Frege (1848-1925) Formalizace jazyka: spojky, kvantifikátory, proměnné, relace Axiomatický systém: 6 axiomů + 1 odvozovací pravidlo Důkaz: posloupnost formuĺı. Logicismus. Begrifftschrift, Die Grundlagen der Arithmetik. NDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika I. BI-MLO, ZS 2011/12 15 / 36
D. Hilbert (1862-1943) Hilbertův program Formalizace matematických i jiných discipĺın. Převedení do axiomatického tvaru. Důkaz bezespornosti formálního systému. NDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika I. BI-MLO, ZS 2011/12 16 / 36
Kurt Gődel (1906-1978) Věty o neúplnosti. V každé teorii T, která obsahuje aritmetiku, existuje nedokazatelné tvrzení. Nelze dokázat bezespornost teorie obsahující aritmetiku. NDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika I. BI-MLO, ZS 2011/12 17 / 36
Neklasické logiky Intuicionistická logika: nepřijímá princip vyloučeného třetího. Konstruktivistická matematika. (J.Brouwer) Modální logika: přidává predikát je možné, je nutné. Je možné, že P = Není nutné, že ne-p. Je nutné, že P = Není možné, že ne-p (Aristotelés, W.Ockham, J.D. Scottus, Saul Kripke) Fuzzy-logika: pravdivostní hodnota výroku leží mezi 0 a 1. (L.Zadeh, J.Lukasiewicz, K.Gödel, P.Hájek, Pavelka) RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika I. BI-MLO, ZS 2011/12 18 / 36
Výroková logika Definice Prvotní výrok je jednoduchá oznamovací věta, u které má smysl se ptát, zda je či není pravdivá. Prvotní výroky označujeme velkými tiskacími písmeny A, B,...A 1, A 2,..., kterým říkáme prvotní formule. A: Je rok 2011. B: 2 + 2 = 5. C: Studuji FIT. P: Prší. A 1 : Bitva u Hastingsu byla v roce 1066. A 2 : Bitva na Bílé hoře byla v roce 1621. Množina prvotních výroků: { Je rok 2011., 2 + 2 = 5.,... } Množina prvotních formuĺı: {A, B, C, P, A 1, A 2 } RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika I. BI-MLO, ZS 2011/12 19 / 36
Pravdivostní hodnota Definice Pravdivostní ohodnocení množiny prvotních výroků je funkce v z množiny prvotních formuĺı do množiny {0, 1}. Výroku A přiřadí pravdivostní hodnotu 1, jestliže je pravdivý, v(a) = 1. Výroku A přiřadí pravdivostní hodnotu 0, jestliže je nepravdivý, v(a) = 0. A: Je rok 2011. v(a) = 1. B: 2 + 2 = 5. v(b) = 0. C: Studuji FIT. v(c) = 1. P: Prší. v(p) = 0 (?) K: Půjdu do kina. (?) A 1 : Bitva u Hastingsu byla v roce 1066. v(a 1 ) = 1. A 2 : Bitva u Bílé hory byla v roce 1621. v(a 2 ) = 0. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika I. BI-MLO, ZS 2011/12 20 / 36
1. Negace A: Není pravda, že A. A je nepravdivé. A: Je rok 2011. v(a) = 1 A: Není pravda, že je rok 2011. Není rok 2011. v( A) = 0 B: 2 + 2 = 5. v(b) = 0 B: 2 + 2 5. v( B) = 1 A A 1 0 0 1 RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika I. BI-MLO, ZS 2011/12 21 / 36
2. Konjunkce A B: A a B. A C: Je rok 2011 a studuji FIT. v(a C) = 1 A 1 A 2 : Bitva u Hastingsu byla v roce 1066 a bitva na Bílé hoře v roce 1621. v(a 1 A 2 ) = 0 A B A B 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika I. BI-MLO, ZS 2011/12 22 / 36
3. Disjunkce A B: A nebo B. A C: Je rok 2011 nebo studuji FIT. v(a C) = 1 A 1 A 2 : Bitva u Hastingsu byla v roce 1066 nebo bitva na Bílé hoře v roce 1621. v(a 1 A 2 ) = 1 A B A B 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika I. BI-MLO, ZS 2011/12 23 / 36
4. Implikace A B: Z A plyne B. Jestliže A, pak B. A implikuje B. P: Prší. K: Jdu do kina. P K: Jestliže prší, pak jdu do kina. Prší a jdu do kina. v(p K) = 1 Neprší a jdu do kina. v(p K) = 1 Prší a nejdu do kina. v(p K) = 0 Neprší a nejdu do kina. v(p K) = 1 A B A B 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika I. BI-MLO, ZS 2011/12 24 / 36
5. Ekvivalence A B: A právě tehdy, když B. A tehdy a jen tehdy, když B. A je ekvivalentní s B. P K: Jdu do kina právě tehdy, když prší. Jdu do kina vždy, když prší. Jdu do kina a prší. v(p K) = 1 Jdu do kina a neprší. v(p K) = 0 Nejdu do kina a prší. v(p K) = 0 Nejdu do kina a neprší. v(p K) = 1 A B A B 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika I. BI-MLO, ZS 2011/12 25 / 36
Formule výrokové logiky Definice Jazyk výrokové logiky obsahuje: množina prvotních formuĺı A, B, C,..., logické spojky,,,,, závorky (, ). Definice Výroková formule: I. Prvotní formule je výroková formule. II. Jsou-li A, B výrokové formule, pak jsou i A, (A B), (A B), (A B), (A B) výrokové formule. III. Každá výroková formule vznikne konečným užitím pravidel I. a II. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika I. BI-MLO, ZS 2011/12 26 / 36
Pravdivostní hodnota Definice Je-li dáno pravdivostní ohodnocení prvotních formuĺı, pak pravdivostní hodnotu výrokové formule určíme dle následující tabulky: A B A A B A B A B A B 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika I. BI-MLO, ZS 2011/12 27 / 36
Pravdivostní tabulky pro dvě prvotní formule A (B A) A B A B A (A (B A)) 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 A (B A) 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 A B RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika I. BI-MLO, ZS 2011/12 28 / 36
Pravdivostní tabulky pro tři prvotní formule A ( B C) A ( B C) 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika I. BI-MLO, ZS 2011/12 29 / 36
Pravdivostní tabulky pro n prvotních formuĺı 1 prvotní formule - 2 řádky tabulky 2 prvotní formule - 4 řádky tabulky 3 prvotní formule - 8 řádek tabulky n prvotních formuĺı - 2 n možných ohodnocení - 2 n řádků tabulky RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika I. BI-MLO, ZS 2011/12 30 / 36
Ostrov poctivců a padouchů Poctivci mluví vždy pravdu, padouši vždy lžou. 1 Zde máme dva obyvatele ostrova A,B. A prohlásí: Pokud je B poctivec, pak já jsem padouch. - A (B A). 2 Tentokrát A řekne: Buď já jsem padouch nebo je B poctivec. - A ( A B). 3 Potkal jsem dva, kteří odpočívali pod stromem. Zeptal jsem se: Je mezi vámi poctivec? Odpověděl, a já znal správnou odpověď na svou otázku. Kdo byl ten, kterého jsem se zeptal? A co ten druhý? 4 Jste v jeskyni na ostrově poctivců a padouchů. Z této jeskyně vedou dva východy. Jeden východ vede na svobodu, druhý na smrt. Před každým z nich stojí domorodý strážce. Můžete mu položit pouze jednu otázku, abyste se dozvěděl/a, jak se zachránit. Jakou? RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika I. BI-MLO, ZS 2011/12 31 / 36