Kvantová mechanika (UFY100)

Cvičení k přednášce Kvantová mechanika (UFY100) Letní semestr 2004/2005, Úterý 12:25-13:55 v M4 Určeno pro 2. ročník učitelství fyziky pro SŠ Následující text obsahuje stručný přehled jednotlivých cvičení a zadání příkladů. Je průběžně upravovan vzhledem k tomu, co se na cvičení upravdu udělalo resp. je v plánu udělat. Jeho přečtení (včetně propočítání příkladů) ale jen těžko nahradí osobní účast na cvičeních! Jednotlivé příklady jsou vybírány z následujících materiálů: Pišút J., Černý V., Prešnajder P.: Zbierka úloh z kvantovej mechaniky. ALFA Bratislava-SNTL Praha 1985 Skála L.:Úvod do kvantové mechaniky: Řešené příklady Bílek O., Kapsa V.: Kvantová mechanika pro učitele (předběžná verze) Budu vděčná za jakékoli připomínky směřující k vylepšení tohoto textu nebo přímo cvičení. Zdeňka Broklová (Zdenka.Broklova@matfyz.cz) 1

1. cvičení - 22/2 Spoléhat na úsudek se nemusí v mikrosvětě vyplatit: 1. Nejprve odhadněte: Kolik atomů obsahuje 1 g železa (cca špendlík)? Pokud bychom ho rozřezali na krychličky, ve které by byl vždy jeden atom, a tyto krychličky narovnali za sebe do řady, dosáhne tato řada kolem třídy, Prahy, ČR, světa, k Měsíci, ke Slunci, kolem celé Galaxie,...? 2. Proveďte výpočet (M R = 55 g mol 1, ρ = 7,8 g cm 3 ) Doplňte tabulku m v p T E λ těleso 1 kg 100 km/h elektron 1 ev proton 1 ev foton 500 nm Trocha teorie - operace s komplexními čísly, komplexní funkce, operátor, součin operátorů, asociativita a komutativita operátorů, komutátor, rovnost operátorů, lineární operátor Vynásobte: (Â B)(Â + B) Odvoďte vzorečky (z definice komutátoru): [Â, Â] = [ B, Â] = [Â + B, Ĉ] = [Â B, Ĉ] = [Â, BĈ] = Které z následujících operátorů jsou lineární: Âf = cf, kde c C; Bf = f 2 ; Ĉf = f (komplexní sdružení); Df = df ; dx Êf = d2 f ; dx F 2 f = 1 ; f Spočtěte komutátory: [x, d ] = dx [ x, p] = (tzv. kanonická komutační relace) DÚ: Spočtěte: [Â B, Ĉ D], [ x, p n ], [ x n, p], [ŷ, p x ] K = (x d dx )2, L = ( d dx x)2, platí K = L? 2

2. cvičení - 1/3 Vztahy pro Kroneckerův a Levi-Civitův symbol Definice: δ ij = 1 i = j, jinak δ ij = 0 Platí: δ ij = δ ji, δ ii = 3, δ ij δ jk = δ ik Definice: ɛ 123 = ɛ 231 = ɛ 312 = 1, ɛ 132 = ɛ 321 = ɛ 213 = 1, v ostatních případech ɛ ijk = 0 Platí: ɛ ijk = ɛ jik, ɛ iik = 0, ɛ ijk ɛ ijk = 6, ɛ ijk ɛ ijl = 2δ kl, ɛ ijk ɛ ilm = δ jl δ km δ jm δ kl Kanonické komutační relace [ x, p x ] =, [ŷ, p x ] =, [ x i, p j ] =, [ x i, x j ] =, [ p i, p j ] = Komutační relace momentu hybnosti L = x p Li = ɛ ijk x j p k [ x i, L j ] = [ p i, L j ] = [ L 1, L 2 ] resp. [ L i, L j ] = [ L 1, L 2 ] resp. [ L i, L 2 ] = Vlnová funkce = popis stavu, vlastnosti, skalární součin fcí, normování, skalární součin Které z následujících funkcí mohou být vlnové funkce na intervalu (, + ) : ψ 1 = Ax, ψ 2 = Ax 2, ψ 3 = Ae x, ψ 4 = Ae x, ψ 5 = Ae x2, ψ 6 = A cos x, ψ 7 = A sin x, ψ 8 = A(a 2 x 2 ) pro x < a a jinak ψ 8 = 0 Pro vlnové funkce najděte normalizační konstantu A a hustotu pravděpodobnosti. DÚ: Vypočtěte komutátory: [ŷ p y, ŷ], [ x p, x + p], [ x, ], [ p x, ], [ x, T ], [ x, V ( x )], [ p, T ], [ p, V ( x )] [ x, L 1 ], [ŷ, L 2 ], [ p x, L 1 ], [ p y, L 1 ], [ L 1, L 2 ] 3

Příklady na procvičení (*) Odvoďte vztah: [ x, f( B)] = f x ( B). Vypočtěte [, f( B)]. Vypočtěte komutátory: [ŷ p y, ŷ], [ x p, x + p], [ x, ], [ p x, ], [ x, T ], [ x, V ( x )], [ p, T ], [ p, V ( x )] [ x, L 1 ], [ŷ, L 2 ], [ p x, L 1 ], [ p y, L 1 ], [ L 1, L 2 ] Najděte operátor hermitovsky sdružený k operátoru dn dx n, L a. Dokažte, že operátory násobení reálnou a komplexní funkcí f jsou nebo nejsou hermitovské. (*) Dokažte: exp( i a p x)f(x) = f(x a), kde exp(â) chápeme v rozvoji do řady jako: exp  = 1 n=0 n! (Â)n (*) Jaké vlastnosti musí splňovat vlnové funkce ϕ, ψ, aby operátor p = i d dx splňoval podmínku hermitovosti i na konečném intervalu (a, b)? 4

3. cvičení - 8/3 DÚ - řešení: [ŷ p y, ŷ] = i ŷ, [ x p, x+ p] = 2i, [ x, ] = 2 d dx, [ p x, ] = 0, [ x, T ] = i m p, [ x, V ( x )] = 0, [ p, T ] = 0, [ p, V ( x )] = i V ( x ) [ x, L 1 ] = 0, [ŷ, L 2 ] = 0, [ p x, L 1 ] = 0, [ p y, L 1 ] = i p 3, [ L 1, L 2 ] = i L 3 [ L 1, L 2 ] = 0, [ L i, L 2 ] = 0 Skalární součin - vlastnosti, možnosti zápisu Hermitovské sdružení a hermitovský operátor Najděte hermitovsky sdružené operátory k operátorům: x, Â = d dx, p x Dokažte: (Â B) = B Â Vlastní funkce a číslo Nalezněte vlastní funkce operátoru p a T. Dokažte, že vlastní hodnoty hermitovského operátoru jsou reálné. Vlastní funkce příslušející různým vlastním hodnotám téhož operátoru jsou ortogonální. Degenerované a degenerované stavy. Postup, jak najít ortonormální systém vlnových funkcí. Princip superpozice ϕ, ψ jsou normované vlnové funkce, jaké vlastnosti musí splňovat koeficienty c 1, c 2 C, aby c 1 ϕ + c 2 ψ byla normovaná vlnová funkce. Jaký je jejich význam? Vývoj stavu - základní rovnice, případ hamiltoniánu nezávislého na čase, stacionární stavy Střední hodnota operátoru Najděte střední hodnoty operátorů x, x 2, p, p 2 a ověřte relace neurčitosti ve stavech popsaných vlnovými funkcemi (A je normalizační konstanta, a, L jsou pevně daná reálná čísla): a) ψ = Ae x2 b) ψ = Ax(L x) pro 0 < x < L a jinak ψ = 0 5

Základní myšlenky QM - doplňte: Stav částice v okamžiku t je v kvantové mechanice... popsán... (s proměnnými...), která musí být... a mít všechny.... Z principu superpozice plyne, že prostor stavů je z matematického hlediska.... Vlnové funkce, které se liší pouze... konstantou popisují... stav(y) částice. Ortonormální funkce jsou... a na sebe navzájem.... Hermitovské operátory mají pouze... vlastní čísla. Dvě vlastní funkce, kterým přísluší... vlastní čísla, jsou navzájem ortogonální. Každé fyzikální veličině je přiřazen... a... operátor. Množina vlastních hodnot tohoto operátoru odpovídá množině... v experimentu. Skalární součin (ψ, F ψ) odpovídá... veličiny F ve... určenou z dostatečného množství opakování daného experimentu (za předpokladu, že ψ je... ). Množina všech vlastních funkcí ψ n tvoří... stavového prostoru. Pokud je systém popsán vlastní funkcí operátoru F, potom má v tomto stavu... hodnotu rovnou..., což znamená, že.... Ke komutujícím operátorům je možné nalézt jejich... systém vlastních funkcí. Pokud dva operátory nekomutují, potom... možné obě veličiny... změřit. Vývoj systému je popsán... Pokud hamiltonián systému nezávisí na čase jsou jediné možné hodnoty energie rovny... číslům... (tzv.... Schrödingerova rovnice). Ve stacionárních stavech jsou... nezávislé na čase. Nestacionární stavy získáme.... Rozhodněte o pravdivosti a případně opravte: Fyzikálně je vlnová funkce rovna hustotě pravděpodobnosti nalezení částice v daném místě a čase. Stav částice, který je dán superpozicí dvou jiných stavů, získáme sečtením obou hustot pravděpodobností s příslušnými koeficienty. K jednomu vlastnímu číslu existuje vždy právě jedna vlastní funkce. Není možné současně naměřit všechny složky hybnosti částice. Řešení stacionární Schrödingerovi rovnice nezávisí na čase. 6

4. cvičení - 15/3 + 5. cvičení - 22/3 Výsledky posledního příkladu z minulého cvičení: a) A = 4 1, < x >= 0, < x2 >= a2 πa 2 2, < p >= 0, < p2 >= 2 (2a 2 ) relace neurčitosti: (< x 2 > < x > 2 )(< p 2 > < p > 2 ) = 2 4 ( 2 )2 je splněna dokonce s rovností 30 b) A = L, < x >= L 5 2, < x2 >= 2L2 7, < p >= 0, < p2 >= 10 2 L 2 (< x 2 > < x > 2 )(< p 2 > < p > 2 ) = 10 28 2 ( 2 )2 je splněna Nekonečná potenciálová jáma Máme potenciál, který je nulový v intervalu (0, L) a nekonečný (V ) mimo něj (uvažujeme jednorozněrnou úlohu). 1. Nakreslete si obrázek celé situace. Kde se částice může pohybovat? 2. Napište hamiltonián částice v jámě. Vyřešte stacionární Schrödingerovu rovnici pro tuto částici 3. Jak zní okrajové podmínky a jak se promítnou do možných hodnot energie této částice? Jaké hodnoty může nabývat kvantové číslo n? 3. Napište hodnotu energie a stacionární vlnovou funkci pro obecné n a pro hodnoty n = 1, 2, 3, 10. Pro uvedené hodnoty nakreslete amplituty a hustoty pravděpodobnosti. Nezapomeňte funkce normovat! Co na základě těchto obrázků lze říci o výskytu částice? 4. Vyjmenujte některé zajímavé vlastnosti energetických hladin a stacionárních vlnových funkcí. 5. Dokažte, že stacionární vlnové funkce jsou navzájem ortogonální. Na základě obrázků nejprve odhadněte a potom spočítejte střední hodnoty x, x 2, p, p 2 ve stacionárních stavech. 6. Pro klasické tělísko je n velmi velké. Jak odpovídají předchozí výsledky klasickému pohledu? 7. Které vlastnosti řešení stacionární Schrödingerovy rovnice, jimiž jsme se zabývali, platí obecně a které budou specifické pro tento problém? 8. Napište obecné řešení stacionární Schrödingerovy rovnice. Vysvětlete význam koeficientů a napište střední hodnotu energie v tomto obecném stavu. 9. Napište vlnovou funkci částice v této jámě, která je v takovém stavu, že pravděpodobnost naměření energie E 1 je rovna 50%, E 2 20% a E 3 30%. 10. Mějme obecný stav popsaný v čase t=0 vlnovou funkcí ψ = Ax(L x). Jaká je pravděpodobnost, že v tomto stavu naměříme energii E 1, E 2, E 3? 7

Rozložte tento obecný stav na součet stacionárních stavů. Jaká je střední hodnota energie v tomto stavu? 11. Diskutujte, jak by změnily předchozí výsledky pro případ nekonečně hluboké jámy symetrické kolem počátku (tj. V = 0 pro x < l/2, jinak V ). 12. Uvažujme částici v krabici - tj. trojrozměrné nekonečné jámě. Proveďte separaci proměnných v nestacionární Schrödingerově rovnici. Napište stacionární stavy a energie. Kdy mohou být energetické hladiny degenerované? 13. Napište obecné řešení nestacionární Schrödingerovy rovnice. 14. Napište stav, který je v t=0 superpozicí základního a prvního excitovaného stavu (oba jsou zastoupeny stejnou měrou). Jakou vlnovou funkcí bude systém popsán v čase t? Zůstává vlnová funkce normovaná? Jaká je pravděpodobnost naměření E 1 v časech t = 0 s, 1 s, 2 s,... Určete časový průběh střední hodnoty souřednice x v tomto stavu. Jak se výsledek liší od výsledku, který bychom získali ze stacionárního počátečního stavu. Své tvrzení podpořte výpočtem. 6. cvičení - 29/3 Dodatek k potenciálové jámě Co se děje při l? Diskutujte případ částice v krabici s periodickými okrajovými podmínkami. Mějme 2D potenciálovou jámu, ukažte, že při a = b/2 = L dojde k náhodné degeneraci energie stavů n 1 = 1, n 2 = 4 a n 1 = 2, n 2 = 2. pozn.: E = 2 8m ( n2 1 a + n2 2 2 b ). 2 Axiom o měření příklady 1, 2 a 3 str. 17 sbírka L. Skály 8

7. cvičení - 5/4 Potenciálový skok Mějme (jednorozměrný) potenciál ve V = 0 pro x < 0 a V = V 0 > 0 pro x > 0. Na tento potenciálový skok nalétávají ve směru kladné osy x částice s energii E a hmotností m. Jaká relativní část častic se od potenciálového schodu odrazí, a jaká projde? (spočítejte obecně pro E > V 0 a potom dosaďte E = 4/3V ) Odrazí se nějaké částice, pokud by na schod nalétávaly z opačné strany? Potenciálová bariéra, tunelový jev Určete koeficienty odrazu R a průchodu T částice pravoúhlou potenciálovou bariérou (V = V 0 > 0 pro 0 x a, jinak V = 0). Řešte pro E castice > V 0 i 0 < E castice < V 0. Nakreslete grafy závislosti R a T na energii částice resp. šířce bariéry. Spočítejte pravděpodobnost α rozpadu, pokud by částice α s energii E = 5 MeV musela pro opuštění jádra překonat potenciálovou bariéru o výšce 15 MeV a šířce 0,5 fm. Spočítejte pravděpodobnost, že míč o hmotnosti 1 kg a rychlosti 1 m/s projde centimetrovou (metrovou) zdí, na jejíž přeskočení by potřeboval (z klidu) energii 1 J. Potenciálová bariéra, tunelový jev - výsledky Pro E castice > V 0 : R = (k 2 κ 2 ) 2 sin 2 κa 4k 2 κ 2 + (k 2 κ 2 ) 2 sin 2 κa T = 4k 2 κ 2 4k 2 κ 2 + (k 2 κ 2 ) 2 sin 2 κa Pro 0 < E castice < V 0 : (k 2 + β 2 ) 2 sinh 2 βa R = 4k 2 β 2 + (k 2 + β 2 ) 2 sinh 2 βa T = 4k 2 β 2 4k 2 β 2 + (k 2 + β 2 ) 2 sinh 2 βa, při βa 1 T 16k2 β 2 k 2 + β 2 e 2βa 9

8. cvičení - 11/4 Dvojšterbinový experiment (Feynmann R. a kol. (2000), Přednášky z fyziky s řešenými příklady 1, Fragment, Havlíčkův Brod - kapitoly 37, 38) Relace neurčitosti Ukažte, že Brownův pohyb lze popisovat klasicky (tj. lze zanedbat důsledky relací neurčitosti). Parametry pohybující se částice m = 10 13 kg, průměr d 1 µm, polohu lze určit s přesností asi x = d/100, v = 10 6 m/s. Ukažte, že pokud změříme polohu elektronu v základním stavu atomu vodíku, tak téměř jistě tím změníme jeho stav. Tj. je nemožné měřit trajektorii tohoto elektronu. Do popisu atomu vodíku je nutné zahrnout kvantové jevy. Koherentní stavy - referátek Lineární harmonický oscilátor (LHO) shrnutí - referátek Určete amplitudu nulových kmitů závažíčka na pružince (m = 1g, ω = 1 Hz, g. = 10 ms 2 ). Určete vzdálenost energetických hladin a stupeň excitace při výchylce 1 cm. Pro LHO v základním stavu - napište vlnovou funkci, nakreslete hustotu pravděpodobnosti, vypočtěte pravděpodobnost nalezení částice mimo klasickou oblast. Dvě částice na sebe navzájem působí pružnou silou a pohybují se volně podél osy x (uvažujeme jen jednorozměrný pohyb). Napište hamiltonián soustavy ve vhodné souřadné soustavě. Jak budou vypadat stacionární řešení a energie? Z relací neurčitosti určete spodní mez k energii LHO. (nápověda: Z ( a b) 2 0 plyne a + b 2 ab.) 10

Testík 1.) (3b) Vysvětlete, uveďte příklad, použití, vlastnosti,...: nedegenerovaný stav - vlastní číslo operátoru - princip superpozice - nekomutující operátory - střední hodnota fyzikální veličiny - hermitovský operátor 2a.) (1b) U dvou stejných systémů naměřením nezávisle různou energii. Znamená to, že systémy byli před měřením v různých stavech? Proč? 2b.) (1b) Mám dva zcela stejné systémy ve stejném stavu. V obou nezávisle změřím energii. Mohou se změřené hodnoty se lišit? Proč? 3.) (1+2+2b) ψ 0, ψ 1 a ψ 2 jsou stacionární stavy harmonického oscilátoru, kterým odpovídají energie E 0, E 1 a E 2. a) Napište vlnovou funkci stavu, ve kterém je 70% pravděpodobnost naměření hodnoty energie E 0 a 30% pravděpodobnost naměření E 2. b) Jaké hodnoty energie a s jakou pravděpodobností mohu naměřit ve stavu ψ = 0, 71ψ 1 + 0, 71ψ 2. Jaká je střední hodnota energie? c) Napište, jak bude tato funkce vypadat v čase t = 3 s. Jaká bude střední hodnota energie v tomto čase? 10. cvičení - 26/4 Pro jaké potenciály je moment hybnosti, resp. průmět momentu hybnosti do daného směru integrálem pohybu? Atom vodíku Stacionární stavy atomu vodíku jako společné vlastní funkce Ĥ, L 2 a L z. Jaké hodnoty mohou nabývat kvantová čísla l, m při pevně zvoleném n? Jaký je stupeň degenerace energetické hladiny. (Konkrétně rozepište pro n = 3). Jaká energie je třeba k utržení elektronu z atomu vodíku? Jaká je vlnová délka fotonu, který může excitovat vodík v základním stavu do prvního excitovaného stavu? Jakému přechodu odpovídá světlo vodíkové výbojky o vlnové délce 656 nm. Hustoty pravděpodobnosti nalezení částice v jednotlivých orbitalech Pro základní stav atomu vodíku spočítejte: < r >, < r 2 > a nejpravděpodobnější vzdálenost elektronu od jádra. Jaká je pravděpodobnost nalezení částice ve vzdálenosti větší než 3a? Jaká je pravděpodobnost nalezení elektronu v jádře (r jadro 10 15 m)? (pozn. ψ 100 = Ne r/a ) 11

Maticová reprezentace momentu hybnosti Pracujme se systémem s konstantním celkovým momentem hybnosti l = 1. Jaké jsou vlastní čísla a vlastní stavy operátorů hybnosti? Jakými kvantovými čísly je označujeme? Značení pro stavy: m = 1 ψ 1 = ( 1 3 2 2π ) sin θ eiϕ 1 0 1, 1 > 0 m = 0 ψ 0 = ( 1 3 2 π ) sin θ 0 1 1, 0 > 0 m = 1 ψ 1 = ( 1 3 2 2π ) sin θ e iϕ 0 0 1, 1 > 1 Značení pro operátory: L x = 0 1 0 2 1 0 1 L y = 0 i 0 2 i 0 i 0 1 0 0 i 0 L z = 1 0 0 0 0 0 0 0 1 Ověřte funkčnost tohoto značení na následujících vztazích: L 2 x + L 2 y + L 2 z = L 2, [L x, L y ] = i L z, [L x, L 2 ] = 0atd., L z l, m >= m l, m >, L 2 l, m >= 2 l(l + 1) l, m > L 2 = 2 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Vytvořte podobný formalismus pro l = 1/2 a také ho ověřte na předchozích vztazích. pozn: složky ( ) ( ) ( 0 1 0 i 1 0 L jsou úměrné tzv. Pauliho maticím 1 0 i 0 0 1 ) Jak spočítám průmět momentu hybnosti do směru n = (nx, n y, n z ) = ( cos(ϕ) sin(θ), sin(ϕ) sin(θ), cos(θ) )? Napište operátor průmětu L do tohoto směru a spočítejte jeho vlastní čísla a stavy. 12

11. a 12. cvičení - 3/5 + 10/5 Spin Vlastnosti Pauliho matic - přímým výpočtem ukažte: [σ i, σ j ] = 2iɛ ijk σ k σ i σ j = δ ij + iɛ ijk σ k Pauliho rovnice (její matematická struktura), spin-orbitální interakce Částice v elektromagnetickém poli Dokažte, že pro homogenní elektrické a magnetické pole lze potenciály vyjádřit jako: φ = r E a A = 1/2 r B. Ukažte, že ve slabém homogenním poli lze hamiltonián bezspinové nabité částice psát jako H = 2m 1 p 2 2m q B L. Jaký je význam jednotlivých členů? Jak interakce s magnetickým polem přispívá k energii? (pozn.: potenciál nabité částice v elmag. poli: H = 1 ( p q A ) 2 qφ ) 2m Jak bude vypadat řešení volné částice ve sférických souřednicích. Jak se projeví zapnutí homogenního magnetického pole na energii? Stern-Gerlachův experiment - několik různě natočených SG za sebou (SG jako filtr) Zeemanův jev Napište hamiltonián elektronu v atomu vodíku, který je v homogenním magnetickém poli. Jak magnetické pole změnilo symetrii problému? V jakém případě bude člen odpovídající interakci spinu a vnějšího magnetického pole diagonální? Proč je důležité, aby byl tento člen diagonální? Jak velké budou příspěvky k energiím hladin atomu, který není v magnetickém poli? Jak se změní degenerace hladin? 13