3 Posunovací operátory, harmonický oscilátor

Transkript

1 3 Posunovací operátory, harmonický oscilátor 3.1 Jednoduchý algebraický systém Mějme operátor  a operátor  k němu sdružený, které mezi sebou splňují komutační relace 1 [Â, = m, m R +. (3.1.1) Definujme operátor ˆN   (3.1.) 1. Ukažte, že operátor N je samosdružený a pozitivně definitní.. Nalezněte, čemu se rovnají komutátory [Ĥ, k a [Ĥ, k, kde k N. 3. Nalezněte vlastní hodnoty n operátoru ˆN. 4. Nalezněte normalizované vlastní vektory operátoru ˆN. 5. Ukažte, čemu se rovná  n,  n, kde n je vlastní vektor operátoru ˆN příslušející vlastní hodnotě n. Řešení: 1. Samosdruženost plyne z identit ˆN = ( Â) =  ( ) =   = ˆN. (3.1.3) K dokázání pozitivity operátoru ˆN stačí ukázat, že všechny jeho vlastní hodnoty jsou nezáporné. Předpokládejme, že existuje normalizovaný vlastní vektor n, n n = 1 operátoru ˆN: ˆN n = n n, (3.1.4) kde n je nějaké číslo. Ukážeme, že n musí být reálné nezáporné. Platí n ˆN n = n n n = n (3.1.5) a zároveň takže n ˆN n = n   n =  n 0, (3.1.6) n 0. (3.1.7). Spočítáme nejprve [ˆN, [ = Â, =  [Â, +[Â,  = mâ, (3.1.8) 0 m 1 Vztahu (3.1.1) je třeba rozumět ve smyslu [Â,  = mˆ1, kde ˆ1 je operátor identity.

2 kde jsme v druhé rovnosti využili rozvoje komutátoru (.1.1) a v poslední rovnosti vztahu (3.1.1). Dále dostáváme [ˆN, k = [ˆN,  k 1 =  [ˆN, k 1 +[ˆN,  k 1 mâ = mâ k +[ˆN, k  = mâ k + [ˆN, k Â+ [ˆN,  k mâ = mâ k +[ˆN, k 3  = = kmâ k. (3.1.9) Zcela analogicky se ukáže, že [ˆN, k = kmâ k. (3.1.10) 3. Vlastní hodnoty a vektory operátoru ˆN musejí splňovat rovnici (3.1.4). Předpokládejme, že n 0. Hledáme, čemu se bude rovnat, když zapůsobíme na stav n operátorem ˆNÂ. Využijeme přitom vztah (3.1.9): ˆN k n = (ÂkˆN+ [ˆN, k ) n = a pokud označíme n; k Âk n, dostáváme (ÂkˆN mâ k ) n = (n km)â k n (3.1.11) ˆN n; k = (n km) n; k, (3.1.1) takže stav n; k je rovněž vlastním stavem operátoru ˆN, příslušejícím k vlastní hodnotě n km. Pozitivita operátoru ˆN však omezuje možné hodnoty k: musí platit, že n km 0. Navíc musí existovat takové K N, že ˆN n; K = 0 n; K = 0. (3.1.13) a rovnice (3.1.1) platí jen pro k K. Kdyby tato podmínka nebyla splněna, znamenalo by to, že pro nějaké M N platí n Mm > 0 (vlastní hodnota operátoru ˆN příslušející stavu n; M ) a zároveň n (M + 1)m < 0 (vlastní hodnota operátoru ˆN příslušející stavu n; M 1 ), čímž bychom se dostali do sporu s pozitivitou operátoru ˆN. Nejnižší vlastní hodnota operátoru ˆN je tedy n 0 = 0 a příslušný normalizovaný vlastní vektor označíme 0. Spektrum nalezneme aplikací operátoru  k po vzoru (3.1.9): ) ˆN k n = ( kˆn+ [ˆN, k n = (n+km)â k n (3.1.14) ˆN n;+k = (n+km) n;+k, (3.1.15) kde jsme označili n;+k  k n. Speciálně pokud vyjdeme od základního stavu n 0 = 0, dostáváme ˆN 0;+k = km 0;+k. (3.1.16) Spektrum operátoru ˆN je tedy n k = km, k N 0 (3.1.17)

3 4. Normalizované vlastní vektory n nalezneme indukcí (vlastní vektory n; ±k obecněnormalizovanénejsou).předpokládejme,ževektor n k příslušejícíkvlastní hodnotě n k = km je normalizovaný. Z (3.1.14) a (3.1.15) víme, že  n k = N + k n k+1, (3.1.18) kde N + k je hledaný normalizační faktor takový, aby n k+1 byl normalizovaný, n k+1 n k+1 = 1. Dostáváme  n k = N + k n k+1 = N + k n k+1 n k+1 = N + k (3.1.19) a zároveň  n k = n k  n k = n k  Â+ [Â, n k = (km+m) n n ˆN m = (k +1)m, (3.1.0) takže N + k = (k +1)m, (3.1.1) Obrácením posledního vztahu dostaneme  n k = (k +1)m n k+1. (3.1.) n k+1 =  m(k +1) n k (3.1.3) a opakovaná aplikace na vektor základího stavu 0 dá n k =  k 0. (3.1.4) k!m k 5. Působení operátoru  n k jsme již nalezli, viz (3.1.). Analogicky dostaneme  n k =   n k 1 = 1 ( ) Â+ [Â, n k 1 km mk = 1 mk [m(k 1)+m n k 1, (3.1.5)  n k = mk n k 1 (3.1.6) Operátory Â,  posouvají stav systému z nižší vlastní hodnoty na vyšší a naopak, proto se nazývají posunovací operátory. Poznámka: Velmičastoseuvažujespeciálnípřípadm = 1,kterýlzezískatzobecného zavedením operátorů â = 1 m Â, â = 1 m Â, ˆn = â â = 1 mâ Â. (3.1.7)

4 Pak n k = k, vlastní vektory se mohou zjednodušeně označit k a vztahy (3.1.3), (3.1.4), (3.1.), (3.1.6) a (3.1.4) přejdou na [â,â = 1, (3.1.8) ˆn k = k k, k N 0, (3.1.9) â k = k k 1, (3.1.30) â k = k +1 k +1, (3.1.31) k = â k k! 0. (3.1.3) 3. Jednorozměrný harmonický oscilátor Harmonický oscilátor je popsán Hamiltoniánem Ĥ = 1 Mˆp + 1 MΩˆx, (3..1) kde M je hmotnost kmitající částice, Ω = k/m je úhlová frekvence oscilátoru. ˆx je operátor souřadnice a ˆp operátor k němu přidružené hybnosti. Oba operátory splňují standardní komutační vztah [ˆx,ˆp = i. (3..) V harmonickém oscilátoru lze vhodně nadefinovat operátory Â,  a tím jej převést na algebraický systém, který jsme vyřešili v předchozím příkladu 3.1. Hledejte  ve tvaru  = αˆx+βˆp, α,β C. (3..3) 1. Nalezněte hodnoty konstant α, β. Spočítejte komutátor [Â, = m a vyjádřete hodnotu čísla m.. Zapište Hamiltonián Ĥ pomocí operátorů Â,  a pomocí operátorů â, â, které splňují komutační relace [ â,â = Napište spektrum (vlastní energie a vlastní vektory) Hamiltoniánu. 4. Vyjádřete operátory hybnosti ˆp a souřadnice ˆx pomocí operátorů â, â. 5. Spočítejte střední hodnoty kde k je vlastní stav Hamiltoniánu. k ˆx k, (3..4) k ˆp k, (3..5) k ˆx k, (3..6) k ˆp k, (3..7) 6. Spočítejte střední hodnoty k ˆT k, (3..8) k ˆV k, (3..9) kde ˆT a ˆV jsou operátory kinetické, resp. potenciální energie oscilátoru, a srovnejte s hodnotou energie ve stavu k (viriálový teorém).

5 7. Ověřte platnost relací neurčitosti mezi polohou a hybností. 8. Pomocí posunovacích operátorů vyjádřených v x reprezentaci nalezněte vlnové funkce Harmonického oscilátoru. Řešení: 1. Dosadíme do (3.1.) a dostaneme ˆN =   = (α ˆx+β ˆp)(αˆx+βˆp) = α ˆx +α β ˆxˆp ˆpˆx+i +αβ ˆpˆx+ β ˆp = α ˆx +(α β +αβ )ˆpˆx+i α β + β ˆp. (3..10) Nyní srovnáváme s Hamiltoniánem (3..1). Předně vidíme, že v Hamiltoniánu nejsou žádné smíšené členy operátoru souřadnice a hybnosti. Proto požadujeme, aby α β +αβ = 0, (3..11) z čehož plyne, že α β musí být ryze imaginární číslo. Bez újmy na obecnosti můžeme nyní zvolit α reálné a β ryze imaginární. Srovnáním příslušných členů výrazu (3..10) s Hamiltoniánem (3..1) lze přiřadit 1 1 α = MΩ, β = i (3..1) M Je ještě potřeba ověřit, že jsou splněny komutační relace (3.1.1): m = [Â, = (αˆx+βˆp)(α ˆx+β ˆp) (α ˆx+β ˆp)(αˆx+βˆp) = (αβ α β) ˆxˆp = (αβ α β)i ˆpˆx+i kde jsme v poslední rovnosti využili (3..1).. Z výsledků předchozí části vidíme, že +(α β αβ )ˆpˆx = αβ i = Ω, (3..13) Ĥ =  Â+ Ω (3..14) K jednodušším operátorům â, â přejdeme pomocí vztahů (3.1.7): Ĥ = mâ â+ Ω ( = Ω â â+ 1 ). (3..15) 3. Spektrum je dáno pomocí vzorce (3.1.9): Ĥ k = E k k Ω (â â k + 1 ) k = E k k ( Ω k + 1 ) k = E k k, (3..16)

6 takže ( E k = Ω k + 1 ), k N 0 (3..17) a vlastní vektory jsou dané vztahem (3.1.3). 4. Dosadíme α, β z (3..1) do (3..3), čímž dostaneme ( â =  = 1 ) 1 1 Ω Ω MΩˆx+i Mˆp ( MΩ = ˆx+ i ) MΩˆp, (3..18) ( MΩ â = ˆx i ) MΩˆp. (3..19) Sečtení a odečtení vede k inverzním vzorcům ˆx = (â +â ), (3..0) MΩ MΩ ˆp = i (â â ). (3..1) 5. K výpočtu středních hodnot dosadíme vyjádření operátorů ˆx, ˆp z(3..0) (3..1) a k práci s posunovacími operátory využijeme vztahů (3.1.30) (3.1.31): k ˆx k = MΩ k â +â k ( ) = k +1 k k +1 + k k k 1 = MΩ = 0, (3..) jelikožvlastnívektory k 1, k a k +1 jsounasebekolmé.podobnědostaneme k ˆp k = 0. (3..3) Můžeme odpozorovat pravidlo, že střední hodnota k f(r,s;â,â ) k, kde f(r,s;â,â ) je funkce součinu r operátorů â a s operátorů â v libovolném pořadí, je nenulová pouze tehdy, když r = s. Obecněji maticový element l f(r,s;â,â k je nenulový, pokud l+r = k +s.

7 Pro kvadratické operátory dostáváme k ˆx k = MΩ k ( â +â ) k = MΩ k â 0 +ââ +â â+ â 0 k = MΩ k k +1 k +1+ k k k = (k +1), (3..4) MΩ k ˆp k = MΩ 6. Operátor kinetické energie je Dosazením z (3..5) dostaneme k ˆT k = 1 M k ( â â ) k = MΩ k â ââ â â+ â k 0 0 = MΩ (k +1). (3..5) ˆT = 1 Mˆp. (3..6) MΩ (k +1) = 1 ( Ω k + 1 ) = E k. (3..7) Podobně pro potenciál ˆV = 1 MΩˆx (3..8) dostaneme užitím (3..4) k ˆV k = 1 MΩ MΩ (k +1) = 1 ( Ω k + 1 ) = E k. (3..9) Viriálový teorém udává vztah mezi střední hodnotou operátoru kinetické energie a operátoru potenciálu v libovolném stavu ψ : ψ ˆT ψ = ψ ˆx d dˆxˆv(ˆx) ψ, (3..30) což se v případě, že ˆV(ˆx) je homogenní funkce stupně s, zjednoduší na ψ ˆT ψ = s ψ ˆV ψ. (3..31) V případě harmonického oscilátoru je s = a z vyjádření středních hodnot kinetické energie (3..7) a potenciálu (3..9) vidíme, že viriálový teorém je splněn. 7. Relace neurčitosti znějí Výrazu d dˆxˆv(ˆx) je třeba rozumět ve smyslu d dx V(x) x=ˆx. x p 4, (3..3)

8 kde x = k ˆx k k ˆx k, (3..33) p = k ˆp k k ˆp k. (3..34) Dosadíme-li do relace neurčitosti střední hodnoty ze vztahů (3..), (3..4), (3..3), (3..5), dostaneme x p = k ˆx k k ˆp x = (k +1) MΩ(k +1) MΩ = (k +1). (3..35) 4 Vidíme, že jelikož k 0, relace neurčitosti jsou splněny. Stav s nejmenší možnou neurčitostí je základní stav s k = 0.