Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008

Transkript

1 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta

2 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost Kolmost Ortogonální doplněk a jeho vlastnosti 10.1 Vlastnosti v reálném i komplexním případě Definice Nechť V je vektorový prostor nad C. Potom zobrazení (funkce) z kartézského součinu V V C, které dvojici vektorů x a y přiradí číslo x, y se nazývá skalární součin, pokud splňuje následující axiomy (pro všechny x, x, y V a α, β C): 1. x, x 0, x, x = 0 x = 0 (positivní definitnost) 2. αx + βx, y = α x, y + β x, y (bilinearita) (a) αx, y = α x, y (b) x + x, y = x, y + x, y 3. x, y = y, x (symetrie - komplexně sdružené) Poznámka Pro V nad R a vektory x, y V : x, y = y, x Skalární součin značíme: x, y, x y, x.y... Pozorování x, x = x, x, tedy je nutně reálné ( R) i pro skalární součiny nad C x, αy = αy, x = α. y, x = α. x, y Skalární součin může nabývat záporných hodnot Definice Ekvivalentní definice: Skalární součin je pozitivně definitní (1) bilineární forma (2). V R navíc symetrická (3). V C navíc forma, jejíž matice je hermitovská (3). Příklady Standardní skalární součin pro C n, R n : x, y = x i y i 2

3 Jiný součin v R n definovaný pomocí regulární matice A řádu n x, y = x T A T Ay (pozorování: x, x = x T A T Ax = (Ax) 2 i ) Skalární součin ve vektorovém prostoru C[a, b] (integrovatelných funkcí na intervalu [a, b]): f, g = b a f(x)g(x)dx 10.2 Norma Definice (Norma) Norma na vektorovém prostoru V (nad R nebo nad C) je zobrazení V R, které přiradí vektoru x V číslo x a splňuje axiomy: 1. x V : x 0, x = 0 x = 0 2. x V, α C(R) : αx = α. x 3. x, y V : x 0, x + y x + y (trojúhelníková nerovnost) Norma x má význam délky vektoru x. Definice (Normovaný vekt. prostor) Vektorový prostor s nějakou normou nazýváme normovaný. Příklady Norma určená skalárním součinem x = x, x Důkaz (1), (2) plyne z axiomů skalárního součinu, (3): x, y 2 x, x y, y x, y x, x y, y x, x + y, y + 2 x, y ( x, x + y, y ) 2 x + y, x + y ( x, x + y, y ) 2 x + y x + y Kde první nerovnost je důsledek Cauchy-Swarzovy nerovnosti... Ze standardního skalárního součinu na R n dostaneme euklidovskou normu (tj. délku vektoru podle Pythagorovy věty) a euklidovskou vzdálenost (vzdálenost bodů u a v je u v ). Každý vektorový prostor se skalárním součinem.,. je normovaným vektorovým prostorem ( x = x, x ), tedy i metrickým prostorem (d(x, y) = x y ) a tedy i topologickým prostorem. 3

4 L 1 norma na R n : x = x i L 2 norma na C n - Euklidovská norma: x = n x i x i L p norma na R n : x = n p x i p L norma (stejně jako L 1 norma neodpovídá žádnému skalárnímu součinu): x = max,...,n ( x i ) Norma v prostoru integrovatelných funkcí na intervalu [a, b] - C[a, b] f(x) = b a f 2 (x)dx 10.3 Cauchy-Schwarzova nerovnost Věta (Cauchyho-Schwarzova nerovnost) Nechť V je prostor se skalárním součinem nad C a x je norma odvozená ze skalárního součinu. Potom platí: x, y x y ( x, y V ) Důkaz Pro x = 0 nebo y = 0 máme 0 0. Pro libovolné α C platí x + αy 2 0 (platí i bez () 2 ) x + αy 2 = x + αy, x + αy = x, x + αy + α y, x + αy = = x, x + α x, y + α y, x + αα y, y Zvolíme α = x,y (tím se eliminují α x, y a αα y, y ) y,y Po dosazení: 0 x, x + α y, x 0 x, y x, x y, x y, y x, y. y, x x, x. y, y...a po odmocnění x, y 2 x 2. y 2 x, y x. y 4

5 Druhý možný důkaz Nadefinujeme proměnnou t R a zavedeme funkci p(t) := u + t v, u + t v = u + tv 2 Víme: p(t) 0 t R (z axiomu 1 skal. součinu). Z linearity plyne, že u + tv, u + tv = u, u + tv + t v, u + tv = u, u + t u, v + t v, u + t 2 v, v = u 2 + 2t u, v + t 2 v 2. Tj. dostáváme p(t) jako kvadratickou funkci proměnné t: p(t) = t 2 v 2 + 2t u, v + u 2 Protože p(t) má nezáporné hodnoty na celém R, musí mít tato rovnice max. jedno řešení, tj. diskriminant při počítání kořenů nesmí být kladný: D = b 2 4ac = 4 u, v 2 4 u 2 v 2 0 Po vydělení čtyřmi a odmocnění dostáváme: u, v u v Platnost trojúhelníkové nerovnosti pro normy odvozené od skalárního součinu tj. normy odvozené od skalárního součinu splňují všechny axiomy normy. Nechť x = (x 1, x 2,..., x n ) T, y = (1, 1,..., 1) T jsou dva vektory, pak pro standardní skalární součin platí x, y = x i 1 x = n y = n po dosazení do Cauchy-Schwarzovy nerovnosti okamžitě dostaneme nerovnost mezi aritmetickým a kvadratickým průměrem 1 x i 1 x 2 i n n x 2 i Ve vektorových prostorech nad R a C lze definovat úhel, svíraný dvěma vektory: cos ϕ = u, v u v a Cauchyho-Schwarzova nerovnost zaručuje, že cos ϕ 1. 5

6 Z takto definovaného úhlu mezi dvěma vektory plyne i kosinová věta: u v 2 = u 2 + v 2 2 u v cos ϕ 10.4 Kolmost Definice (kolmé vektory) Vektory x a y z prostoru se skalárním součinem jsou vzájemně kolmé (ortogonální), pokud x, y = 0, značíme x y. Definice (ortogonální a ortonormální systém) Soustava (systém) vektorů v 1,..., v n se nazývá ortogonální, jestliže v i, v j = 0 (v i v j ) pro i j (tj. všechny její vektory jsou navzájem kolmé). Platí-li ještě navíc v i = 1 pro i = 1,..., n, jedná se o soustavu ortonormální (vektory jsou kolmé a navíc mají jednotkovou normu). Pozorování Každý systém nenulových vzájemně kolmých vektorů (tj. i ortonormální nebo ortogonální) je lineárně nezávislý. Jestliže ortogonální systém generuje celý vektorový prostor, je jeho bází. Algoritmus (Gram-Schmidtova ortogonalizace) Tento algoritmus zajišťuje převedení libovolné báze (v 1,..., v n ) vektorového prostoru V na ekvivalentní ortogonální bázi (w 1,..., w n ). Ortonormalizace báze už po jeho proběhnutí znamená jen vynásobení každého w i číslem 1 w i. Jeho průběh: 1. Zvolme w 1 := v Pro i postupně od 1 do n opakujme: Najdi w i = v i a i,1 w 1 a i,2 w 2 a i,i 1 w i 1 tak, aby pro j {1,..., i} platilo: w i w j Dá se ukázat že koeficienty a i,j jsou tvaru a i,j = v i, w j w j 2 3. Po n iteracích dostaneme w 1,..., w n jako ortogonální bázi prostoru V. Alternativní postup - Gram-Schmidtova normalizace: 1. Dány: x 1,..., x m V lineárně nezávislé. 6

7 2. Pro k = 1,..., m proveď: k 1 y k := x k x k, z j z j j=1 z k := 1 y k y k 3. Ukonči: z 1,..., z m je ortonormální systém ve V a L(z 1,..., z m ) = L(x 1,..., x m ) Buď (v 1,..., v n ) báze vekt. prostoru se skal. součinem. Potom existuje ortonormální báze (w 1,..., w n ), kdy pro každé k {1,..., n} je L(v 1,..., v k ) = L(w 1,..., w k ). Díky tomu se každý ortogonální systém vektorů v konečnědimensionálním vekt. prostoru se skalárním součinem dá rozšířit na ortogonální bázi (to můžeme díky Gram-Schmidtově ortogonalizaci a Steinitzově větě o výměně). Věta (Fourierovy koeficienty) Máme-li danou nějakou ortonormální bázi B = b 1,..., b n vektorového prostoru V, pak pro každé x V platí: x = x, b i b i a souřadnice x, b i nazveme Fourierovy koeficienty vektoru x. Poznámka Fourierovy řady jsou souřadnice funkcí ve vektorovém prostoru spojitých funkcí na [ π, π] se skalárním součinem f, g = π π f(x)g(x)dx 10.5 Ortogonální doplněk a jeho vlastnosti Definice Nechť V je množina vektorů ve vektorovém prostoru W se skalárním součinem. Ortogonálním doplňkem V (značíme V ) rozumíme množinu V = {v W ; x V : v, x = 0} Lemma (Vlastnosti) Nechť V je podprostor prostoru W konečné dimenze. Potom platí: 1. V je podprostor W 2. dim(v ) = dim(w ) dim(v ) 3. (V ) = V (z rozšiřitelnosti ortogonální báze) 4. V V = {0}, V V = W (operace je spojení dvou podprostorů...l(v V )) 7

8 5. U, V podprostory W. Je-li U V, pak U V (x V x y V x u U x U ) 6. (U V ) = U V 7. (U V ) = U V Definice (Ortogonální projekce) Ortogonální projekce vekt. prostoru V na podprostor U V je zobrazení, které každému vektoru v V přiřadí vektor u U tak, že v u = min{ v w, w U} tedy vektor u U, který má ze všech vektorů z U nejmenší vzdálenost od v. Ten se pak nazývá ortogonální projekcí vektoru v. 8