8 Matice a determinanty
|
|
- Markéta Kadlecová
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = (a ij) i=1,,m, j=1,,n a m1 a m2 a mn kde a ij R, resp a ij C nazýváme prvky matice A Poznámky: řádky (sloupce) matice A jsou vektory z R n (R m ) resp C n (C m ); m n matice A má m řádků a n sloupců; m = n mluvíme o čtvercové matici A stupně n Označení Množinu všech reálných matic rozměru m n budeme značit M m n (R), množinu všech komplexních matic rozměru m n budeme značit M m n (C) Úmluva: Zápisem M m n budeme rozumět množinu všech reálných nebo komplexních matic rozměru m n, zejména v situacích, kdy formulované tvrzení nebo vlastnost platí pro matice rozměru m n, bez ohledu na to, jestli jsou reálné nebo komplexní Definice Rovnost matic: A M m n, B M r s Potom A = B právě tehdy, když m = r, n = s, a b ij = a ij pro všechna i = 1,,m; j = 1,,n Sčítání (odčítání) matic: A,B,C M m n,c = A ± B: c ij = a ij ± b ij pro všechna i = 1,,m; j = 1,,n Násobení skalárem: A M m n, (αa) ij = αa ij pro všechna i = 1,,m; j = 1,,n Poznámka Sčítání matic a násobení matice skalárem je tedy definováno "po složkách" M m n je lineární vektorový prostor dimenze mn Definice (Násobení matic) Bud A M m s, B M s n Matice C = A B M m n je definována takto: s C = (c ij ) i=1,,m, kde c ij := a ik b kj j=1,,n Poznámka (Einsteinova sumační konvence:) s a ik b kj a ik b kj (sčítání přes opakující se indexy) Pozor na interpretaci zápisů typu "a kk " apod k=1 k=1
2 M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 2 Poznámka Pro A,B M n n je definováno A B i B A, obecně je ovšem A B B A, tj násobení matic není komutativní Uvažte například ( ) ( ) A =, B =, kdy A B = ( ), B A = ( Poznámka Násobení matic ovšem je asociativní, tj A (B C) = (A B) C, pokud jsou všechna násobení definována (tj pokud souhlasí rozměry matic) Dále platí (ověřte): A (B + C) = A B + A C, (B + C) A = B A + C A, λ(a + B) = λa + λb, λ(a B) = (λa) B, ) pokud jsou všechny aritmetické operace definovány (tj souhlasí rozměry matic) Definice (Jednotková matice stupně n) Jednotková matice stupně n je matice I M n n tvaru I = Poznámka: Jednotková matice je příkladem tzv diagonální matice (matice, pro kterou a ij = 0, pokud i j) Ověřte: je-li I M n n jednotková matice, pak A I = I A = A, pro všechny matice A M n n Definice Bud A M n n Řekneme, že A má inverzní matici (značíme ji A 1 ), pokud existuje A 1 M n n, taková, že A A 1 = A 1 A = I Pokud A M n n má inverzní matici, říkáme, že A je regulární matice, v opačném případě říkáme, že A je singulární matice Tvrzení 81 Je-li A M n n regulární, pak je A 1 určena jednoznačně a platí (A 1 ) 1 = A Jsou-li A,B M n n regulární, pak i matice A B a B A jsou regulární, a platí (A B) 1 = B 1 A 1, (B A) 1 = A 1 B 1 Množina všech regulárních matic stupně n tvoří grupu vůči operaci násobení matic, přičemž jednotkovým prvkem této grupy je jednotková matice Tvrzení 82 Bud A M n n Potom A je regulární sloupce A jsou LN řádky A jsou LN
3 M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 3 Poznámka: Toto tvrzení ještě později rozšíříme o další ekvivalentní podmínky Definice Transponovanou maticí k matici A M m n nazvu matici A T M n m takovou, že pro její prvky a T ij platí: at ij = a ji pro všechna i = 1,,m; j = 1,,n Řeknu, že matice A M n n je symetrická, pokud A = A T (Uvědomte si na základě definice rovnosti dvou matic, že tento pojem má smysl jen pro matice z M n n ) Řeknu, že matice A M n n je ortogonální, pokud A A T = I Tvrzení 83 Bud A M n n ; potom A A T = I A T A = I Bud A M n n ; potom A je ortogonální (A je regulární a A 1 = A T ) Definice Hermitovsky sdruženou (někdo říká též "adjungovanou") maticí k matici A M m n (C) nazvu matici A H M n m (C) definovanou předpisem A H := A T, kde A je matice, sestávající z prvků komplexně sdružených k prvkům matice A Řeknu, že matice A M n n (C) je hermitovská (případně "samoadjungovaná"), pokud A = A H Řeknu, že matice A M n n (C) je unitární, pokud A A H = I Tvrzení 84 Bud A M n n (C); potom A A H = I A H A = I Bud A M n n (C); potom A je unitární (A je regulární a A 1 = A H ) Poznámka: Pro A M n n (R) splývají pojmy "hermitovská" a "symetrická"; a "unitární" a "ortogonální" Někdy se používá pro A H též označení A Přesněji, A se užívá pro adjungovanou matici, A H pro matici Hermitovsky sdruženou Názvosloví pochází z teorie operátorů, kde tyto pojmy označují dvě různé vlastnosti Pro zobrazení, která jsou reprezentována konečnými maticemi, oba pojmy splynou Cvičení Ukažte, že platí následující identity (vždy, když je násobení matic definováno alespoň na jedné straně uvažovaných rovností): (Porovnejte tyto identity se vztahem který platí pro regulární matice A, B) (A B) T = B T A T, (A B) H = B H A H (A B) 1 = B 1 A 1,
4 M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 4 82 Soustavy lineárních algebraických rovnic Soustava m lineárních algebraických rovnic (LAR) pro n neznámých x 1,,x n (přičemž "pravá strana" y 1, y m a "koeficienty" a ij jsou dány): a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = y 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = y 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = y m Ax = y A x = y kde A M m n (R) (resp M m n (C)), x x R n (resp C n ), y y R m (resp C m ) Diskuse: 1 Pokud y = 0, říkáme dané soustavě (A x = 0) homogenní soustava LAR Označme N A := { x R n (resp C n ); A x = 0} množinu řešení homogenní soustavy A x = 0 Potom platí: vždy je 0 N A, tedy N A ; pokud N A = {0}, říkáme, že homogenní soustava A x = 0 má pouze triviální řešení; N A je vektorový podprostor prostoru R n (resp C n ), tedy x N A, z N A, α, β R = α x + β z N A 2 Pokud y 0, říkáme dané soustavě (A x = y) nehomogenní soustava LAR Platí: pokud je x P jedno (partikulární) řešení soustavy A x = y, pak všechna řešení soustavy A x = y mají tvar N x P + c J x J, (1) J=1 kde c J jsou konstanty (skaláry), N je dimenze vektorového prostoru N A a x J jsou (lineárně nezávislé) prvky báze prostoru N A Situaci z (1) někdy též formálně zachycujeme zápisem x P + N A Věta 85 Bud A M m n Potom y M m 1! x M n 1, A x = y N A = {0} Navíc platí: pokud N A je netriviální (N A {0}), tak pro pevně zvolené y M m 1 nastane právě jedna z těchto možností: neexistuje x M n 1 takové, že A x = y (soustava nemá řešení); existuje nekonečně mnoho x M n 1 takových, že A x = y (soustava má nekonečně mnoho řešení); tato řešení jsou pak tvaru x P + N A, kde x P je nějaké (jedno) řešení soustavy rovnic A x = y Definice Bud A M m n Hodností matice A (píšeme h(a)) nazveme maximální počet lineárně nezávislých sloupců matice A Tvrzení 86 Bud A M m n Potom h(a) = h(a T )
5 M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 5 Důsledky: Definice hodnosti matice se nezmění, pokud v ní zaměníme slovo "sloupců" slovem "řádků" Pro A M m n je h(a) min(m,n) Definice Bud A M m n, y M m 1, x M n 1 Rozšířenou maticí soustavy A x = y nazvu matici (A; y) M m (n+1), která vznikne rozšířením matice A o jeden sloupec přidáním (sloupcového) vektoru y Věta 87 (Frobenius) Bud A M m n, y M m 1 Potom soustava A x = y je řešitelná (tj existuje alespoň jedno x M n 1 takové, že A x = y) h(a) = h(a; y) Poznámka: Vždy je h(a) h(a; y) (rozmyslete si), tedy platí: soustava A x = y nemá řešení h(a) < h(a; y) Věta 88 Bud A M m n (tedy n je počet sloupců matice A) Potom dimn A + h(a) = n Věta 89 (aneb 1 rozšíření Tvrzení 82) Bud A M n n čtvercová matice Potom A je regulární sloupce A jsou LN řádky A jsou LN h(a) = n dim N A = 0 Rekapitulace: Mějme soustavu rovnic A x = y, A M m n, y M m 1, tedy matice A má n sloupců Potom nastane právě jedna z těchto tří situací: 1 dim N A = 0:! x M n 1, A x = y 2 dim N A = n h(a) 1 & h(a) = h((a; y)): homogenní soustava A x = 0 má právě n h(a) lineárně nezávislých řešení a soustava A x = y má nekonečně mnoho řešení tvaru x P + N A, kde x P je jedno (partikulární) řešení soustavy A x = y 3 dim N A = n h(a) 1 & h(a) < h((a; y)): homogenní soustava A x = 0 má právě n h(a) lineárně nezávislých řešení a soustava A x = y nemá žádné řešení (není řešitelná) Definice Matici A = (a ij ) nazvu horní trojúhelníkovou maticí, pokud platí a ij = 0 pro všechna i > j Matici A = (a ij ) nazvu dolní trojúhelníkovou maticí, pokud platí a ij = 0 pro všechna i < j Poznámky: Matice je horní trojúhelníková a současně dolní trojúhelníková právě tehdy, když je diagonální Je-li A horní (nebo dolní) trojúhelníková matice, je nalezení řešení soustavy A x = y jednoduché Gaussova eliminační metoda řešení soustavy rovnic A x = y: Upravujeme rozšířenou matici soustavy (A; y) s cílem obdržet na místě A horní trojúhelníkovou matici; používáme tyto úpravy: prohození dvou řádků v matici (A; y) (odpovídá prohození pořadí rovnic v systému); vynechání řádku v matici (A; y), pokud tento řádek tvoří s některými dalšími řádky LZ množinu vektorů (odpovídá vynechání příslušných rovnic v systému);
6 M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 6 vyškrtnutí nulových sloupců (odpovídá vynechání proměnné x j, která se nevyskytuje v soustavě rovnic, z vektoru řešení x); prohození dvou sloupců (odpovídá přečíslování proměnných x j ve vektoru řešení x); přičtení násobku jednoho řádku k jinému řádku matice (A; y) Příklad 1 Řešte tyto soustavy rovnic: (a) 2x + 3y+z= 5 (b) 2x + 3y+z= 5 x + 4y+z= 3 x + 4y+z= 3 x y = 1 x y = 2 (c) 2x + 3y+z= 5 x + 4y+z= 3 x y+z= 1 Řešení: (a) Nemá řešení (b) Nekonečně mnoho řešení tvaru [x, y, z] = [2, 0, 1] + c[1, 1, 5], c R, (dimn A = 1) (c) Právě jedno řešení: [x, y, z] = [ 12 5, 2 5, 1] 83 Determinanty a jejich výpočet Definice Determinant čtvercové matice A M n n, deta, definujeme induktivně takto: Pro A M 1 1, A = (a 11 ), definujeme deta := a 11 Pro A M n n, definujeme deta := n ( 1) j+1 a 1j detm 1j, kde M 1j je matice, která vznikne z matice A vyškrtnutím 1 řádku a j-tého sloupce j=1 Příklad: vzorec pro výpočet determinantu A M 2 2, Sarusovo pravidlo pro A M 3 3 Poznámka Místo označení "det A" používáme někdy zkrácené značení: svislé čáry kolem prvků matice A Tedy a 11 a 12 a 1n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn a n1 a n2 a nn Pravidla pro výpočet determinantů: Je: deta T = deta, proto všechna následující tvrzení platí i tehdy, nahradíme-li všude slova "řádek, řádky" slovy "sloupec, sloupce" Je-li à matice, kterou dostaneme z A prohozením (záměnou) dvou řádků, pak detã = deta Obsahuje-li matice A nulový řádek, nebo jsou-li řádky matice A lineárně závislé, je det A = 0 Přičteme-li k nějakému řádku matice A lineární kombinaci jiných řádků, nezmění se její determinant Vynásobíme-li nějaký řádek matice A číslem α, je determinant výsledné matice roven α det A
7 M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 7 Tvrzení 810 (Rozvoj determinantu podle řádku (sloupce)) Označme M ij matici, kterou dostaneme z A vyškrtnutím i-tého řádku a j-tého sloupce Označme dále A ij := ( 1) i+j detm ij tzv algebraický doplněk prvku a ij vzhledem k matici A Potom platí: resp Poznámka n n deta = a ij A ij = ( 1) i+j a ij detm ij, j=1 j=1 n n deta = a ij A ij = ( 1) i+j a ij detm ij i=1 i=1 i = 1,,n, j = 1,,n Číslo detm ij nazýváme (i,j)-tým minorem matice A Pro všechna i = 1,,n resp j = 1,,n obecněji platí: n a ij A kj = δ ik deta, j=1 resp n a ij A ik = δ jk deta, i=1 kde δ ij je tzv Kroneckerovo delta, mající vlastnost δ ii = 1, δ ij = 0 pro všechna i j Tvrzení 811 Je-li A M n n (horní nebo dolní) trojúhelníková matice, pak n deta = a jj j=1 Bud te A,B M n n Potom det(a B) = deta detb Tvrzení 812 a 11 a 12 a 1n b k1 + c k1 b k2 + c k2 b kn + c kn = a n1 a n2 a nn a 11 a 12 a 1n a 11 a 12 a 1n = b k1 b k2 b kn + c k1 c k2 c kn a n1 a n2 a nn a n1 a n2 a nn
8 M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 8 84 Použití determinantů k výpočtům 1 Regularita a hodnost matice Věta 813 (aneb 2 rozšíření Tvrzení 82) Bud A M n n čtvercová matice Potom A je regulární sloupce A jsou LN řádky A jsou LN h(a) = n dimn A = 0 deta 0 Definice Subdeterminantem dané matice A M n n nazveme determinant jakékoli matice Ã, která vznikne z matice A vyškrtnutím stejného počtu řádků a sloupcůstupněm subdeterminantu detã nazveme stupeň (tj rozměr) příslušné (čtvercové) matice à Věta 814 Hodnost matice A M n n je rovna maximálnímu stupni všech nenulových subdeterminantů matice A 2 Výpočet inverzní matice Věta 815 Je-li A M n n regulární matice, pak prvky α ij její inverzní matice A 1 jsou dány vzorci: α ij = A ji deta, kde A ji je algebraický doplněk k prvku a ji matice A i, j = 1,,n, 3 Cramerovo pravidlo pro řešení soustavy A x = y Věta 816 Bud A M n n regulární matice, y M n 1 Potom složky x 1,,x n řešení rovnice A x = y jsou dány vzorci: kde matice A (i) y x i = deta(i) y deta, i = 1,,n, vznikne tak, že v matici A nahradíme její i-tý sloupec vektorem y Příklad 2 Řešte pomocí Cramerova pravidla: 2x + 3y+z= 5 x + 4y+z= 3 x y+z= 1 Řešení: Je = 5 0, = 2, = 12, = 5, Proto x = 12 5, y = 2 5, z = 5 5 = 1 Porovnejte výsledek s výsledkem Příkladu 1 c)
9 M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 9 4 Nalezení kolmého vektoru ke dvěma vektorům v R 3, jejich vektorový součin Definice (Kolmé vektory) Bud te x = (x 1,,x n ), y = (y 1,,y n ) dva vektory z R n Řekneme, že tyto dva vektory jsou kolmé (ortogonální), pokud n x y := x j y j = 0 j=1 Výraz x y nazýváme skalárním součinem vektorů x y Poznámka Platí x y = y x Definice (Vektorový součin dvou vektorů z R 3 ) Bud te x = (x 1,x 2,x 3 ), y = (y 1,y 2,y 3 ) R 3 Definujme vektorový součin těchto dvou vektorů předpisem ( ) x x y := 2 x 3 y 2 y 3, x 1 x 3 y 1 y 3, x 1 x 2 y 1 y 2 R 3 (2) Věta 817 Pro x, y R 3 platí: y x = ( x y) x a y jsou lineárně nezávislé x y 0 Jsou-li x a y jsou lineárně nezávislé, pak je vektor x y kolmý jak k vektoru x, tak k vektoru y Poznámka Bud te x, y, z R 3 Potom z ( x y) = Odtud ihned plyne předchozí věta (rozmyslete si) z 1 z 2 z 3 x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 Označme i = (1,0,0), j = (0,1,0), k = (0,0,1) Definici vektorového součinu pak lze formálně zachytit i takto: i j k x y = x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 Poznámka Označme e 1 = (1,0,,0),, e n = (0,0,,1) R n Vektorový součin v R n lze definovat pro (n 1) vektorů x 1,, x n 1 R n pomocí následujícího determinantu: e 1 e 2 e n x 1 x 2 x n 1 x 1 1 x 1 2 x 1 n := x1 n 1 x2 n 1 xn n 1 Jsou-li vektory x 1,, x n 1 lineárně nezávislé v R n, je (nenulový) vektor x 1 x 2 x n 1 kolmý ke všem těmto vektorům 5 Objem rovnoběžnostěnu v R n Tvrzení 818 Necht a 1 = (a 1 1,,a1 n),, a n = (a n 1,,an n) je n lineárně nezávislých vektorů v R n Potom absolutní hodnota determinantu a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a n 1 a n 2 a n n je číselně rovna objemu rovnoběžnostěnu, jehož hrany tvoří tyto vektory
10 M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty Závěrečné poznámky Věta 819 Bud A M m n (R) Potom zobrazení ϕ : R n R m definované předpisem ϕ( x) := A x pro všechna x R n je lineární Bud ϕ : R n R m lineární zobrazení Potom existuje právě jedna matice A ϕ M m n (R) taková, že ϕ( x) = A ϕ x pro všechna x R n V tomto případě říkáme, že A ϕ reprezentuje zobrazení ϕ Věta 820 Pokud n = m a A ϕ M n n (R) reprezentuje lineární zobrazení ϕ : R n R n, platí ϕ je prosté ϕ je "na" A ϕ je regulární Předchozí dvě věty zůstanou v platnosti, nahradíme-li všude symbol R symbolem C
7. Lineární vektorové prostory
7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární
Matematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku
VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
Kapitola 11: Vektory a matice:
Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i
15 Maticový a vektorový počet II
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.
VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru
MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
Kapitola 11: Vektory a matice 1/19
Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =
Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n
Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
Operace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu.
Determinanty Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Determinanty Definice determinantu Sarrusovo a křížové pravidlo Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu Výpočet determinantů 2 Inverzní
Úvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
Soustavy lineárních rovnic
Přednáška MATEMATIKA č 4 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz 27 10 2010 Soustava lineárních rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a
Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n
[1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem
10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo
0. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo (PEF PaA) Petr Gurka aktualizováno 9. prosince 202 Obsah Základní pojmy. Motivace.................................2 Aritmetický vektorový
Základy matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které
Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití)
Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 2. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 40 Obsah 1 Vektory
Operace s maticemi
Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =
1 Vektorové prostory.
1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které
Matice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule.
Matice Definice. Maticí typu m n nazýváme obdélníkové pole, tvořené z m n reálných čísel (tzv. prvků matice), zapsaných v m řádcích a n sloupcích. Značíme např. A = (a ij ), kde i = 1,..., m, j = 1,...,
Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru
1 1. Lineární algebra 1.1. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Hodnost matice Aritmetické vektory Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ).
1 Determinanty a inverzní matice
Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého
maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést
Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud
1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x
1 ZOBRAZENÍ 1 Zobrazení a algebraické struktury 1 Zobrazení Příklad 1.1. (a) Ukažte, že zobrazení f : x na otevřený interval ( 1, 1). x x +1 je bijekce množiny reálných čísel R (b) Necht a, b R, a < b.
Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém
1 1.2. Soustavy lineárních rovnic Soustava lineárních rovnic Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2...
Čtvercové matice. Čtvercová matice je taková matice, jejíž počet řádků je roven počtu jejích sloupců
Determinant matice Čtvercové matice Čtvercová matice je taková matice, jejíž počet řádků je roven počtu jejích sloupců Determinant je zobrazení, které přiřadí každé čtvercové matici A skalár (reálné číslo).
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
Obsah. Lineární rovnice. Definice 7.9. a i x i = a 1 x a n x n = b,
Obsah Lineární rovnice Definice 77 Uvažujme číselné těleso T a prvky a 1,, a n, b T Úloha určit všechny n-tice (x 1,, x n ) T n, pro něž platí n a i x i = a 1 x 1 + + a n x n = b, i=1 se nazývá lineární
1/10. Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic
1/10 Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic Soustavy lineárních algebraických rovnic 2/10 Definice: Soustavou m lineárních algebraických rovnic o n neznámých rozumíme soustavu rovnic a 11
7 Lineární vektorové prostory
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 7: Lineární vektorové prostory 1 7 Lineární vektorové prostory 7.1 LVP - definice a příklady Definice. MnožinaGse nazývá grupou, jestliže v G je definována
Lineární algebra Operace s vektory a maticemi
Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................
Lineární algebra. Matice, operace s maticemi
Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo
ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/
Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/
z textu Lineární algebra
2 Úvodní poznámky Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. března 2014, 12:42 1 2 0.1 Násobení matic Definice 1. Buďte m, n, p N, A
12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25
12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního
Jedná se o soustavy ve tvaru A X = B, kde A je daná matice typu m n,
Soutavy lineárních algebraických rovnic Jedná se o soustavy ve tvaru A X = B, kde A je daná matice typu m n, X R n je sloupcový vektor n neznámých x 1,..., x n, B R m je daný sloupcový vektor pravých stran
Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat
Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních
Soustavy lineárních rovnic a determinanty
Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny
Číselné vektory, matice, determinanty
Číselné vektory, matice, determinanty Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny
Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,
Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),
Matematika 2 (Fakulta ekonomická) Cvičení z lineární algebry. TU v Liberci
Matematika 2 (Fakulta ekonomická) Cvičení z lineární algebry TU v Liberci Jiří Hozman 1. dubna 2010 Cvičení 2 Příklad 1. Rozhodněte, zda lze vektor x vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů u, v, w, v
ČTVERCOVÉ MATICE. Čtvercová matice je taková matice, kde počet řádků je roven počtu jejích sloupců. det(a) značíme determinant čtvercové matice A
ČTVERCOVÉ MTICE Čtvercová matice je taková matice, kde počet řádků je roven počtu jejích sloupců. det() značíme determinant čtvercové matice Regulární matice hodnost je rovna jejímu řádu determinant je
Množinu všech matic typu m n nad tělesem T budeme označovat M m n (T ), množinu všech čtvercových matic stupně n nad T pak M n (T ).
Matice Definice 4.1 Necht (T ; +, je číselné těleso, m, n N a dále necht a ij T pro všechny indexy i = 1, 2,..., m a j = 1, 2,..., n. Potom schéma a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n... = (a ij m n a m1
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
Determinanty. Determinanty. Přednáška MATEMATIKA č. 3. Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 3 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 21. 10. 2010 Uvažujme neprázdnou množinu přirozených čísel M = {1, 2,..., n}. Z kombinatoriky
Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29
Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci a vzájemném rušení ) Muhammada ibn Músá al-chvárizmího (790? - 850?, Chiva, Bagdád),
1 LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 Lineární algebra Slovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy islámského matematika Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,
HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s
HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s
Soustavy linea rnı ch rovnic
[1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.
1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
10. DETERMINANTY " # $!
10. DETERMINANTY $ V této kapitole zavedeme determinanty čtvercových matic libovolného rozměru nad pevným tělesem, řekneme si jejich základní vlastnosti a naučíme se je vypočítat včetně příkladů jejich
příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.
Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl
MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET MPV, LADP TUL, ZS 2009/10
1 MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET 2 koncepce/slides: Jan Picek přednášející: Jiří Veselý KAP, tel. 485352290, budova H konzul. hodiny: dle úmluvy e-mail: jvesely@karlin.mff.cuni.cz
Matematika 2 pro PEF PaE
Determinanty / 8 Matematika 2 pro PEF PaE 3 Determinanty Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Permutace Determinanty Výpočet determinantu z definice 2 / 8 Permutací množiny {,, n} rozumíme prosté
Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.
[1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.
Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34
Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická
Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet
6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.
Definice 28 (Ortogonální doplněk vektorového podprostoru). V k V n ; V k V. (Pech:AGLÚ/str D.5.1)
14.3 Kolmost podprostorů 14.3.1 Ortogonální doplněk vektorového prostou Ve vektorovém prostoru dimenze 3 je ortogonálním doplňkem roviny (přesněji vektorového prostoru dimenze ) přímka na ní kolmá (vektorový
Vektory a matice. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Vektory a matice Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
Soustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 14.
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 14. Vlastní vektory Bud V vektorový prostor nad polem P. Lineární zobrazení f : V
Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic
Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Příklad 2x 3y + z = 5 3x + 5y + 2z = 4 x + 2y z = 1 Soustava lineárních rovnic obecně Maticový tvar: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a
1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
Základy matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 3. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 21 Co nás dneska čeká... Co je to soustava lineárních
10 Funkce více proměnných
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného
Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
Tomáš Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 1 / 63 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 / 63 Aritmetický vektor Definition 1 Aritmetický vektor x je uspořádaná
Aplikovaná numerická matematika - ANM
Aplikovaná numerická matematika - ANM 3 Řešení soustav lineárních rovnic iterační metody doc Ing Róbert Lórencz, CSc České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových
Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Vektorový (lineární) prostor (připomenutí) Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost
AVDAT Vektory a matice
AVDAT Vektory a matice Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Vektory x = x 1 x 2. x p y = y 1 y 2. y p Řádkový vektor dostaneme transpozicí sloupcového vektoru x
Lineární algebra. Soustavy lineárních rovnic
Lineární algebra Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/28.0326
Determinant matice řádu 5 budeme počítat opakovaným použitím rozvoje determinantu podle vybraného řádku nebo sloupce. Aby byl náš výpočet
Řešené příklady z lineární algebry - část 2 Příklad 2.: Určete determinant matice A: A = 4 4. Řešení: Determinant matice řádu budeme počítat opakovaným použitím rozvoje determinantu podle vybraného řádku
3. Matice a determinanty
. Matice a determinanty Teorie matic a determinantů představuje úvod do lineární algebry. Nejrozsáhlejší aplikace mají matice a determinanty při řešení systémů lineárních rovnic. Pojem determinantu zavedl
Vlastní čísla a vlastní vektory
Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální
a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se
ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)
Program SMP pro kombinované studium
Zadání příkladů k procvičení na seminář Program SMP pro kombinované studium Nejdůležitější typy příkladů - minimum znalostí před zkouškovou písemkou 1) Matice 1. Pro matice 1 0 2 1 0 3 B = 7 3 4 4 2 0
Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Lineární (vektorový) prostor Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:
P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 =
1 Výpočet inverzní matice Věta 1 Necht P U elementární matice vzniklá el úpravou U Pak je P U regulární Důkaz: Protože elementární úprava U je invertovatelná, existuje el úprava U, která vrací změny U
Matice. a m1 a m2... a mn
Matice Nechť (R, +, ) je okruh a nechť m, n jsou přirozená čísla Matice typu m/n nad okruhem (R, +, ) vznikne, když libovolných m n prvků z R naskládáme do obdélníkového schematu o m řádcích a n sloupcích
Co je obsahem numerických metod?
Numerické metody Úvod Úvod Co je obsahem numerických metod? Numerické metody slouží k přibližnému výpočtu věcí, které se přesně vypočítat bud nedají vůbec, nebo by byl výpočet neúměrně pracný. Obsahem
Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)
Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
2 Vektorové normy. Základy numerické matematiky - NMNM201. Definice 1 (Norma). Norma je funkcionál splňující pro libovolné vektory x a y a pro
Cvičení 1 Základy numerické matematiky - NMNM201 1 Základní pojmy opakování Definice 1 (Norma). Norma je funkcionál splňující pro libovolné vektory x a y a pro libovolný skalár α C následující podmínky:
Numerické metody a programování
Projekt: Inovace výuky optiky se zaměřením na získání experimentálních dovedností Registrační číslo: CZ.1.7/2.2./28.157 Numerické metody a programování Lekce 4 Tento projekt je spolufinancován Evropským