Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
|
|
- Žaneta Holubová
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:01 Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/ / 26
2 Hlavní body 1 Prehilhertovy prostory 2 Ortogonalita 3 Sdružená matice 4 Diagonalizace a spektrální vlastnosti samosdružených matic Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/ / 26
3 Axiomatická definice skalárního součinu Definice Buď V LP nad T. Zobrazení (.,.) : V V T nazýváme skalární součin, platí-li pro x, y, z V a α T axiomy: 1 (x, αy + z) = α(x, y) + (x, z), (linearita v druhém argumentu) 2 (x, y) = (y, x), (hermitovská symetrie) 3 (x, x) 0 ( (x, x) = 0 x = 0 ). (pozitivní definitnost) Dvojici (V, (.,.)) nazýváme prostorem se skalárním součinem (prehilbertův prostor) a značíme H. Poznámka Je-li T = R v axiomu 2. je vlastnost (x, y) = (y, x) (symetrie), opruhování je v R nadbytečné. Cvičení: Pro libovolné x, y, x H a α T ověřte následující vlastnosti skalárního součinu: (αx + y, z) = α(x, z) + (y, z), (x, θ) = (θ, x) = 0. Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/ / 26
4 Příklady skalárních součinů Na T n definujeme (x, y) := n ξ j η j, kde x = (ξ 1,..., ξ n ), y = (η 1,..., η n ). Snadno ověříme, že jse o skalární součin na T n. Tento skalární součin nazýváme standardním skalárním součinem. Pro f, g C( 0, 1 ) je zobrazení definované vztahem (f, g) := 1 0 j=1 f (x)g(x)dx skalárním součinem na LP C( 0, 1 ). Další příklad skalárního součinu je např. zobrazení definované na prostoru matic C n,n, n n (A, B) := a j,i b j,i. i=1 j=1 Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/ / 26
5 Další příklady skalárních součinů Buďte x, y R n sloupcové vektory a A R n,n. Zobrazení (x, y) := x T Ay splňuje axiom 1. Budeme-li navíc požadovat, aby A = A T, bude splněn i axiom 2. Platí-li tedy ješte 3. aximom je uvedené zobrazení skalárním součinem na R n. Vezměme např. n = 2, potom pro matici ( ) 1 2 A = 2 5 je ( ) ( ) 1 2 y1 (x, y) = (x 1, x 2 ) = x y 1 + 2x 1 y 2 + 2x 2 y 1 + 5x 2 y 2 skalární součin na R 2. Ovšem např. pro volbu y 2 A = ( ) axiom 3. splněný není a uvedené zobrazení skalární součin není. Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/ / 26
6 Skalární součin zadává normu Definice Buď H prostor se skalárním součinem. Zobrazení. : H T definované vztahem nazýváme normou na H. Poznámka ( x H)( x := (x, x) ) Máme-li R 3 se standardním skalárním součinem je x velikost vektoru x, tj. (euklidovská) vzdálenost bodu x = (x 1, x 2, x 3 ) od počátku θ. Z tohoto pohledu lze normu vektoru chápat jako zobecněnou velikost vektoru. Podobně je číslo x y zobecněnou vzdáleností vektorů x a y. Cvičení: Ukažte, že pro x H a α T platí: x 0 x = 0 x = θ, αx = α x. Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/ / 26
7 Vlastnosti normy a skalárního součinu Věta Buď H prehilbertův prostor. Potom pro x, y H platí: 1 (x, y) x y, (Schwarzova nerovnost) 2 x + y x + y, (trojúhelníková nerovnost) 3 x + y 2 + x y 2 = 2( x 2 + y 2 ). (rovnoběžníková rovnost) Důkaz: Tabule. Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/ / 26
8 Hlavní body 1 Prehilhertovy prostory 2 Ortogonalita 3 Sdružená matice 4 Diagonalizace a spektrální vlastnosti samosdružených matic Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/ / 26
9 Ortogonalita Definice Nechť H je prostor se skalárním součinem. Vektory x, y H nazýváme ortogonální (kolmé), právě když (x, y) = 0. Soubor vektorů (x 1,..., x n ) z H nazveme ortogonální (OG), právě když ( i, j ˆn, i j )( (x i, x j ) = 0 ). Soubor vektorů (x 1,..., x n ) nazveme ortonormální (ON), právě když ( i, j ˆn )( (x i, x j ) = δ ij ). Poznámka Máme-li R 2 se standardním skalárním součinem je klasická geometrická kolmost vektorů x a y ekvivalentí rovnosti (x, y) = 0. (Rozmyslete si!) Proto je ortogonalita zobecněním pojmu kolmost z Euklidovské geometrie. Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/ / 26
10 Dvě věty Věta (Pythagorova věta) Nechť (x, y) je OG soubor vektorů z H. Potom x + y 2 = x 2 + y 2. Důkaz: Tabule. Věta OG soubor nenulových vektorů je LN. Speciálně, každý ON soubor vektorů je LN. Důkaz: Tabule. Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/ / 26
11 Besselova nerovnost Definice Nechť (x 1,..., x k ) je ON soubor vektorů z H, x H. Číslo (x i, x), i ˆk, nazýváme i-tý Fourierův koeficient vektoru x vzhledem k souboru (x 1,..., x k ). Pozorování: Nechť (x 1,..., x k ) je ON soubor vektorů z H, x H. Potom vektor x k (x j, x)x j je kolmý na všechny vektory souboru (x 1,..., x k ). (Ověřte!) Věta (Besselova nerovnost) Nechť (x 1,..., x k ) je ON soubor vektorů z H, x H. Potom platí Důkaz: Tabule. j=1 k (x j, x) 2 x 2. j=1 Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/ / 26
12 ON báze Definice Je-li ON soubor (x 1,..., x n ) vektorů z H navíc báze H, nazýváme jej ortnormální báze prostoru H. Věta Nechť (x 1,..., x n ) je ON soubor vektorů z H. Potom (x 1,..., x n ) je ON báze právě tehdy, když neexistuje nenulový vektor, který by byl kolmý na všechny vektory souboru (x 1,..., x n ), tzn. Důkaz: Tabule. ( x H)( ( i ˆn)((x i, x) = 0) x = θ ). Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/ / 26
13 Prostor s ON bází Věta Nechť X = (x 1,..., x n ) je ON báze H. Potom platí ( ) n ( x H) x = (x i, x)x i (i-tá souřadnice x v bázi X je rovna i-tému Fourierovu koeficientu (x i, x)) ( ) n ( x, y H) (x, y) = (x i, x)(x i, y) ( Skalární součin počítaný v souřadnicích vypadá jako standardní s. s. ) ( ) n ( x H) x 2 = (x i, x) 2 (Parsevalova rovnost) Důkaz: Tabule. i=1 i=1 i=1 Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/ / 26
14 Gramův-Schmidtův ortogonalizační proces Ukážeme si metodu, jak lze každý LN soubor zortnormalizovat, tj. udělat z něj ON soubor, který generuje stejný podprostor. Speciálně z každé báze lze v prehilbetově prostoru zkonstruovat ON bázi. Tedy v každém prehilbetově prostoru existuje ON báze. Věta (Gramův-Schmidtův ortogonalizační proces) Buď (x 1,..., x k ) LN soubor vektorů z H. Potom existuje ON soubor (y 1,..., y k ) vektorů z H takový, že ( l ˆk)( x 1,..., x l = y 1,..., y l ). Důkaz: G.-S. proces rekurentně napočítáme vektory ON souboru : y 1 := x 1 x 1, z l+1 := x l+1 l (y j, x l+1 )y j, y l+1 := z l+1 z l+1. j=1 Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/ / 26
15 Příklad G.-S. OG proces 1/2 Uvažujte R 4 se standardním sk. součinem. Nalezněte ON bázi podprostoru P = x 1, x 2, x 3 R 4, je-li x 1 = (1, 2, 2, 1), x 2 = (1, 1, 5, 3), x 3 = (3, 2, 8, 7). Soubor (x 1, x 2, x 3 ) je LN, zortnormalizujeme ho G.-S. procesem. y 1 := x 1 x 1 = 1 10 (1, 2, 2, 1). z 2 := x 2 (y 1, x 2 )y 1 = (1, 1, 5, 3) 10 (1, 2, 2, 1) = (2, 3, 3, 2) 10 y 2 := z 2 z 2 = 1 26 (2, 3, 3, 2) Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/ / 26
16 Příklad G.-S. OG proces 2/2 Konečně z 3 := x 3 (y 1, x 3 )y 1 (y 2, x 3 )y 2 = (3, 2, 8, 7) (1, 2, 2, 1) (2, 3, 3, 2) = (2, 1, 1, 2) y 3 := z 3 z 3 = 1 10 (2, 1, 1, 2) Soubor (y 1, y 2, y 3 ) je ON báze podprostoru P. Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/ / 26
17 Ortogonální doplněk Definice Buď H prehilbertův prostor, M H. Množinu M = {x H ( y M)((x, y) = 0)} nazýváme ortogonální doplněk množiny M do prostoru H. Věta (o ortogonálním rozkladu) Nechť P H, dim P <, potom 1 H = P P, 2 (P ) = P. Důkaz: Tabule. Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/ / 26
18 Příklad Uvažujme R 3 se standardním skalárním součinem a P = (1, 1, 1). Množina řešení rovnice je podprostorem P. Dostáváme ((1, 1, 1), (x, y, x)) = x + y + z = 0 P = ( 1, 0, 1), ( 1, 1, 0). Rovnost R 3 = P P nám říká, že každý vektor x R 3 lze jediným způsobem rozložit na dva kolmé vektory u a v, kde vektor u leží v přímce P, vektor v leží v rovině P a x = u + v. Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/ / 26
19 Hlavní body 1 Prehilhertovy prostory 2 Ortogonalita 3 Sdružená matice 4 Diagonalizace a spektrální vlastnosti samosdružených matic Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/ / 26
20 Sdružená matice Ve zbylé části bude těleso T = R, nebo T = C. Definice Buď (α ij ) = A T n,n. Matici (α i,j ) = A T n,n, jejíž prvky jsou definované vztahem ( i, j ˆn)(α i,j = α j,i ), nazýváme sdruženou maticí k matici A (tedy A = A T ). Cvičení: Pro A, B T n,n, α T, ověřte následující vlastnosti: 1 (A + B) = A + B, 2 (αa) = αa, 3 (AB) = B A, 4 (A ) = A, 5 E = E, Θ = Θ, 6 je-li A regulární, je i A regulární a platí (A ) 1 = (A 1 ). 7 ( x, y T n )((x, Ay) = (A x, y)) ((.,.) je standardní skal. souč. na T n ) Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/ / 26
21 Speciální matice Definice Buď A T n,n. Říkáme, že matice A je 1 samosdružená, právě když A = A. Pro T = C nazýváme A hermitovskou. Pro T = R nazýváme A symetrickou. 2 izometrická, právě když AA = E(= A A). Pro T = C nazýváme A unitární. Pro T = R nazýváme A ortogonální. Poznámka Tedy izometrická matice A je vždy regulární a platí A 1 = A. Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/ / 26
22 Vlastnosti unitárních matic Následují věty vyslovíme pro unitární matice (T = C), analogická tvrzení platí pro matice ortogonální (T = R). Věta Uvažujme C n prostor se standardním skalárním součinem, A C n,n. Následující tvzení jsou ekvivalentní: 1 A je unitární. 2 A je unitární. 3 Sloupce matice A tvoří ON bázi C n. 4 Řádky matice A tvoří ON bázi C n. Důkaz: Tabule. Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/ / 26
23 Další vlastnosti unitárních matic Věta Buď A C n,n unitární a C n prostor se standardním skalárním součinem. Potom platí 1 det A = 1, 2 ( x C n )( Ax = x ), 3 λ σ(a) λ = 1. Důkaz: Tabule. Cvičení: Ukažte, že součin unitárních matic je unitární matice. Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/ / 26
24 Hlavní body 1 Prehilhertovy prostory 2 Ortogonalita 3 Sdružená matice 4 Diagonalizace a spektrální vlastnosti samosdružených matic Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/ / 26
25 Reálná vlastní čísla a kolmost vlastních vektorů Věta Buď A T n,n samosdružená matice a T n prostor se standardním skalárním součinem. Potom 1 σ(a) R, 2 vlastní vektory A příslušející dvěma různým vlastním číslům jsou kolmé. Důkaz: Tabule. Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/ / 26
26 Diagonalizace samosdružené matice Věta (Spektrální teorém) Buď A C n,n hermitovská matice. Potom je A podobná diagonální matici D a regulární matici P z relace podobnosti lze volit izometrickou. Tedy platí A = P DP. (Protože pro izometrickou P je P 1 = P.) Důkaz: Neuvedeme. Poznámka Pro hermitovskou matici A tedy platí ( λ σ(a))(ν g (λ) = ν a (λ)). Dále pro f : C C umíme definovat f (A). Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/ / 26
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
VíceLineární algebra : Lineární (ne)závislost
Lineární algebra : Lineární (ne)závislost (4. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií
VíceSkalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy.
6 Skalární součin Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy. Příklad: Určete odchylku přímek p, q : p : x =1+3t,
VícePROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,
VíceLineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace
Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace (14. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 21. dubna 2014, 19:37 1 2 14.1 Vlastní čísla a vlastní vektory Nechť je
VíceLineární algebra : Báze a dimenze
Lineární algebra : Báze a dimenze (5. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 9. dubna 2014, 13:33 1 2 5.1 Báze lineárního prostoru Definice 1. O množině vektorů M z LP V řekneme,
VíceFaculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
Tomáš Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 1 / 63 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 / 63 Aritmetický vektor Definition 1 Aritmetický vektor x je uspořádaná
VíceLineární algebra : Lineární prostor
Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární
VíceLineární algebra : Lineární zobrazení
Lineární algebra : Lineární zobrazení (6. přednáška František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 20. května 2014, 22:40 1 2 6.1 Lineární zobrazení Definice 1. Buďte P a Q dva lineární prostory
Více2 Vektorové normy. Základy numerické matematiky - NMNM201. Definice 1 (Norma). Norma je funkcionál splňující pro libovolné vektory x a y a pro
Cvičení 1 Základy numerické matematiky - NMNM201 1 Základní pojmy opakování Definice 1 (Norma). Norma je funkcionál splňující pro libovolné vektory x a y a pro libovolný skalár α C následující podmínky:
VíceLineární algebra : Násobení matic a inverzní matice
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VíceSymetrické a kvadratické formy
Symetrické a kvadratické formy Aplikace: klasifikace kvadrik(r 2 ) a kvadratických ploch(r 3 ), optimalizace(mpi) BI-LIN (Symetrické a kvadratické formy) 1 / 20 V celé přednášce uvažujeme číselné těleso
Více8 Matice a determinanty
M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou
VíceNecht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme
Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární
Více19 Hilbertovy prostory
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem
VíceEUKLIDOVSKÉ PROSTORY
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,
Více15 Maticový a vektorový počet II
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.
VíceDEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které
VíceÚvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
VíceMatematika I 12a Euklidovská geometrie
Matematika I 12a Euklidovská geometrie Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 12. 2012 Obsah přednášky 1 Euklidovské prostory 2 Odchylky podprostorů 3 Standardní úlohy 4 Objemy Plán přednášky
VíceVlastní číslo, vektor
[1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost
VíceLineární algebra : Změna báze
Lineární algebra : Změna báze (13. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 8. dubna 2014, 10:47 1 2 13.1 Matice přechodu Definice 1. Nechť X = (x 1,..., x n ) a Y = (y 1,...,
VíceDefinice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
Více7. Lineární vektorové prostory
7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární
Více6.1 Vektorový prostor
6 Vektorový prostor, vektory Lineární závislost vektorů 6.1 Vektorový prostor Nechť je dán soubor nějakých prvků, v němž je dána jistá struktura vztahů mezi jednotlivými prvky nebo v němž jsou předepsána
VíceZdrojem většiny příkladů je sbírka úloh 1. cvičení ( ) 2. cvičení ( )
Příklady řešené na cvičení LA II - LS 1/13 Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh http://kam.mff.cuni.cz/~sbirka/ 1. cvičení (..13) 1. Rozhodněte, které z následujících operací jsou skalárním součinem
VíceZáklady maticového počtu Matice, determinant, definitnost
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n
VíceČetba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Lineární (vektorový) prostor Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:
VíceLineární algebra : Polynomy
Lineární algebra : Polynomy (2. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České
Více11. Skalární součin a ortogonalita p. 1/16
11. Skalární součin a ortogonalita 11. Skalární součin a ortogonalita p. 1/16 11. Skalární součin a ortogonalita p. 2/16 Skalární součin a ortogonalita 1. Definice skalárního součinu 2. Norma vektoru 3.
VíceČetba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Vektorový (lineární) prostor (připomenutí) Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost
VíceKatedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava
Lineární algebra 9. přednáška: Ortogonalita Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la Text byl vytvořen
VíceMatematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 14.
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 14. Vlastní vektory Bud V vektorový prostor nad polem P. Lineární zobrazení f : V
Vícematiceteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést
Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud
Více1 Projekce a projektory
Cvičení 3 - zadání a řešení úloh Základy numerické matematiky - NMNM20 Verze z 5. října 208 Projekce a projektory Opakování ortogonální projekce Definice (Ortogonální projekce). Uvažujme V vektorový prostor
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
VíceOperace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
VíceVlastní čísla a vlastní vektory
5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé
VíceLineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity)
4 Lineární zobrazení Definice: Nechť V a W jsou vektorové prostory Zobrazení A : V W (zobrazení z V do W nazýváme lineárním zobrazením, pokud pro všechna x V, y V a α R platí 1 A(x y = A(x A(y (vlastnost
VíceLineární algebra : Násobení matic a inverzní matice
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. března 2014, 12:42 1 2 0.1 Násobení matic Definice 1. Buďte m, n, p N, A
VíceKatedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1
Lineární algebra 10. přednáška: Ortogonalita II Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1 Text byl vytvořen
VíceEukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)
Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
Více[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}
Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
VíceOrtogonální projekce a ortogonální zobrazení
Drsná matematika I 9. přednáška Ortogonální projekce a ortogonální zobrazení Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 27. 4. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Projekce a ortogonální zobrazení
VíceCvičení z Lineární algebry 1
Cvičení z Lineární algebry Michael Krbek podzim 2003 2392003 Hodina Jsou dána komplexní čísla z = +2 i a w = 2 i Vyjádřete c algebraickém tvaru (z + w) 3,, (zw), z w 2 Řešte v komplexním oboru rovnice
Více6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2
6 Skalární součin Skalární součin 1 je operace, která dvěma vektorům (je to tedy binární operace) přiřazuje skalár (v našem případě jde o reálné číslo, obecně se jedná o prvek nějakého tělesa T ). Dovoluje
VíceÚlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,
Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
Více7 Ortogonální a ortonormální vektory
7 Ortogonální a ortonormální vektory Ze vztahu (5) pro výpočet odchylky dvou vektorů vyplývá, že nenulové vektory u, v jsou na sebe kolmé právě tehdy, když u v =0. Tato skutečnost nám poslouží k zavedení
Vícex 2 = a 2 + tv 2 tedy (a 1, a 2 ) T + [(v 1, v 2 )] T A + V Příklad. U = R n neprázdná množina řešení soustavy Ax = b.
1. Afinní podprostory 1.1. Motivace. Uvažujme R 3. Jeho všechny vektorové podprostory jsou počátek, přímky a roviny procházející počátkem a celé R 3. Chceme-li v R 3 dělat geometrii potřebujeme i jiné
VíceMatice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule.
Matice Definice. Maticí typu m n nazýváme obdélníkové pole, tvořené z m n reálných čísel (tzv. prvků matice), zapsaných v m řádcích a n sloupcích. Značíme např. A = (a ij ), kde i = 1,..., m, j = 1,...,
VíceOperace s maticemi
Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =
VíceLinearní algebra příklady
Linearní algebra příklady 6. listopadu 008 9:56 Značení: E jednotková matice, E ij matice mající v pozici (i, j jedničku a jinak nuly. [...]... lineární obal dané soustavy vektorů. Popište pomocí maticového
VíceVĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru
VíceVlastní čísla a vlastní vektory
Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální
Více1 Vektorové prostory a podprostory
Pro nahrazení účasti v jednotlivých cvičeních (resp. pro studenty kombinované formy) je dostačující vypracování a odevzdání tučně vyznačených příkladů. 1 Vektorové prostory a podprostory Definujte vektorový
VíceALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)
VíceČetba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Vlastní čísla a vektory Google Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:
Vícepříkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.
Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl
VíceInterpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
VíceLineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití)
Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 2. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 40 Obsah 1 Vektory
VíceMatematická analýza pro informatiky I.
Matematická analýza pro informatiky I. 10. přednáška Diferenciální počet funkcí více proměnných (II) Jan Tomeček jan.tomecek@upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci
VíceDefinice : Definice :
KAPITOLA 7: Spektrální analýza operátorů a matic [PAN16-K7-1] Definice : Necht H je komplexní Hilbertův prostor. Řekneme, že operátor T B(H) je normální, jestliže T T = T T. Operátor T B(H) je normální
VíceLineární algebra : Polynomy
Lineární algebra : Polynomy (2. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 19. února 2014, 11:30 1 2 0.1 Značení a těleso komplexních čísel Značení N := {1, 2, 3... }... množina
VíceINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Báze vektorových prostorů, transformace souřadnic Michal Botur Přednáška
VíceDefinice 28 (Ortogonální doplněk vektorového podprostoru). V k V n ; V k V. (Pech:AGLÚ/str D.5.1)
14.3 Kolmost podprostorů 14.3.1 Ortogonální doplněk vektorového prostou Ve vektorovém prostoru dimenze 3 je ortogonálním doplňkem roviny (přesněji vektorového prostoru dimenze ) přímka na ní kolmá (vektorový
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
VíceDnešní látka Opakování: normy vektorů a matic, podmíněnost matic Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda
Předmět: MA 4 Dnešní látka Opakování: normy vektorů a matic, podmíněnost matic Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Četba: Text o lineární algebře v Příručce přežití na webových
VíceÚlohy nejmenších čtverců
Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.
Více6 Lineární geometrie. 6.1 Lineární variety
6 Lineární geometrie Motivace. Pojem lineární varieta, který budeme v této kapitole studovat z nejrůznějších úhlů pohledu, není žádnou umělou konstrukcí. Příkladem lineární variety je totiž množina řešení
Vícevyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).
Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých
VíceAplikovaná numerická matematika - ANM
Aplikovaná numerická matematika - ANM 3 Řešení soustav lineárních rovnic iterační metody doc Ing Róbert Lórencz, CSc České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových
VíceKapitola 5. Symetrické matice
Kapitola 5 Symetrické matice Symetrické matice mají mezi všemi maticemi významné postavení. Nejen, že se častěji vyskytují v aplikacích, ale i jejich matematické vlastnosti jsou specifické. V této kapitole
VíceZákladní pojmy teorie množin Vektorové prostory
Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy
VíceAplikovaná numerická matematika
Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních
VíceArnoldiho a Lanczosova metoda
Arnoldiho a Lanczosova metoda 1 Částečný problém vlastních čísel Ne vždy je potřeba (a někdy to není ani technicky možné) nalézt celé spektrum dané matice (velké řídké matice). Úloze, ve které chceme aproximovat
VíceV předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
VíceALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,
VíceDatum sestavení dokumentu: 11. června Lineární algebra 2. L ubomíra Balková a Emil Humhal
Datum sestavení dokumentu: června 22 Lineární algebra 2 L ubomíra Balková a Emil Humhal e-mail: lubomirabalkova@fjficvutcz, emilhumhal@fjficvutcz Obsah Matice a lineární zobrazení 2 Lineárnímu zobrazení
Více5. Singulární rozklad
5. Singulární rozklad Petr Tichý 31. října 2012 1 Singulární rozklad matice Jeden z nejdůležitějších teoretických i praktických nástrojů maticových výpočtů. Umožňuje určit hodnost či normu matice, ortogonální
VíceVektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,
Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),
Víceftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/
Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/
Vícez textu Lineární algebra
2 Úvodní poznámky Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/
VíceKapitola 11: Vektory a matice 1/19
Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =
VíceKapitola 11: Vektory a matice:
Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
VíceSkalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.
Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný
VíceKatedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava luk76/la1
Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://homel.vsb.cz/ luk76/la1 Text
Více(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
Více6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet
6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.
VícePrimitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program
Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní
Více