Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,
|
|
- Kristina Bártová
- před 6 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se budou vyskytovat v testech na cvičeních. Komplexní čísla kongruence Cvičení.. Spočítejte ( + i) + ( + i) ( + i)( + i) ( + i)/( + i) + i/( + i). Cvičení.. Najděte goniometrický tvar komplexního čísla (+i) a spočítejte ( + i). Cvičení.. Najděte všechny páté odmocniny z komplexního čísla i (tj. najděte všechna řešení rovnice x 5 = i ). Cvičení.. V oboru komplexních čísel řešte soustavu lineárních rovnic ix + ( i)y = i + ( i)x iy = i Cvičení.5. Najděte všechny komplexní kořeny kvadratické rovnice ix + (i )x + =. Cvičení.6. Spočítejte zbytek po dělení čísla číslem 7. Cvičení.7. Najděte poslední cifru čísla 99. Cvičení.8. Dokažte že číslo je dělitelné Cvičení.9. Najděte číslo x {... } pro které 7x (mod ). Soustavy lineárních rovnic Cvičení.. Určete zda matice je v odstupňovaném tvaru. Cvičení.. Najděte všechna řešení soustavy rovnic nad R. 5
2 Cvičení.. Najděte všechna řešení soustavy rovnic nad C. + i i i 5 + i i Cvičení.. Najděte všechna řešení homogenní soustavy rovnic (nad C) s maticí + i i i. i Cvičení.5. Nadjěte polynom třetího stupně jehož graf obsahuje body ( ) ( 5) ( 7). Tělesa a soustavy lineárních rovnic nad tělesy Cvičení.. V tělese Z 7 spočítejte ( ) 5. Cvičení.. Najděte všechna řešení soustavy rovnic nad Z Matice Cvičení.. Spočítejte součin matic nad Z Cvičení.. Zjednodušte výraz ( (A + (B T C + A)) T + AB T + A(B C) T ) T a určete jaké musí mít matice A B C typy aby byl výraz definován. Cvičení.. Spočítejte mocniny reálných matic ( ) 9 ( ) 5
3 Cvičení.. Vyřešte maticovou rovnici nad Z. ( X = Cvičení.5. Najděte všechny reálné čtvercové matice X pro které platí X AX. ) Cvičení.6. Rozhodněte zda jsou dané komplexní matice regulární. + i + i 7 i i i i i i + i i + i i i i 7i + i i Cvičení.7. K matici A nad tělesem Z 5 najděte inverzní pokud existuje.. Cvičení.8. Řešte maticovou rovnici AXB = C kde A B C jsou reálné. B = C = Cvičení.9. Spočítejte ((A B) C) C kde A B C jsou reálné matice. B = C = Cvičení.. Vyjádřete matici A nad Z 7 jako součin elementárních matic pokud to jde. 6 Cvičení.. Najděte LU rozklad reálné matice. 5 Vektorové prostory Cvičení 5.. Zjistěte zda množina vektorů (a) {(x + y + x + y) : x y R}
4 (b) {(x + y x x + y) : x y R} (c) {(x + y + z + ) : x y z R} (d) {(x x x) : x R} je podprostorem R. Cvičení 5.. Zjistěte zda vektor ( i) T leží v lineárním obalu vektorů ( ) T (i ) T (i i ) T C Cvičení 5.. Vyjádřete vektor ( ) T jako lineární kombinaci vektorů ( ) T ( ) T ( ) T Z 5. Cvičení 5.. Zjistěte zda množina {( ) T ( 5 6) T ( ) T } generuje R. Cvičení 5.5. Najděte Ker A pro následující matici nad Z 5. Cvičení 5.6. Zjistěte zda ( ) T Z 5 leží v Im A T a zda ( ) T Z 5 leží v Im A pro matici A nad Z 5. Cvičení 5.7. Zjistěte zda jsou posloupnosti vektorů ze Z lineárně závislé nebo nezávislé. Pokud jsou lineárně závislé vyjádřete jeden z vektorů jako lineární kombinaci ostatních. (a) (( ) T ( ) T ( ) T ( ) T ) (b) (( ) T ( ) T ( ) T ( ) T ) Cvičení 5.8. Najděte nějakou bázi podprostoru V prostoru C. V = ( + i i + i) T ( i + i i ) T ( + i i) T Cvičení 5.9. Najděte (nějaké) báze prostorů Ker A Ker A T Im A a Im A T pro matici A nad Z 5. Cvičení 5.. Určete dimenze Ker A Ker A T Im A a Im A T pro matici A nad Z 5.
5 Cvičení 5.. Z vektorů v v... v R vyberte nějakou bázi jejich lineárního obalu. 5 9 v = 7 v = 8 v = 7 v = 6 6 Cvičení 5.. Zjistěte zda B = (( ) T ( ) T (5 ) T ) je bází R a pokud ano najděte souřadnice vektoru ( 7 ) T vzhledem k B. Cvičení 5.. Ověřte že vektor u leží v podprostoru V = v v v prostoru Z 5 ověřte že B = (v v v ) je bází V a najděte [u] B. v = v = v = u = Cvičení 5.. Určete matici přechodu od báze B prostoru Z 7 k bázi C. B = 5 6 C = 6 Cvičení 5.5. Ověřte že B a C jsou báze prostoru V R a najděte matici přechodu od B k C. V = B = C = 5 Cvičení 5.6. Souřadnice vektoru u Z 7 vzhledem k bázi B jsou (x x x ) T. Určete [u] C je-li B = 6 5 C = 6. Cvičení 5.7. Určete bázové sloupce matice A nad Z 7 a vyjádřete ostatní sloupce jako lineární kombinaci bázových Cvičení 5.8. Určete hodnost komplexní matice A. + i i i + i i + i i + i 5
6 Cvičení 5.9. Najděte skeletní rozklad matice A nad Z 5. Cvičení 5.. Určete dimenzi průniku a součtu podprostorů U V R. U = V = Cvičení 5.. Zjistěte zda R = U + V kde U = V =. 6 Determinant Cvičení 6.. Najděte redukovaný cyklický zápis permutace α βγ kde permutace α β γ S 8 jsou dány tabulkami α = β = γ = Cvičení 6.. Najděte redukovaný cyklický zápis permutace α βγ kde permutace α β γ S 8 jsou dány redukovaným cyklickým zápisem. α = ( 7 )( 5 6) β = ( )( 6) γ = ( )( 8)( 6) Cvičení 6.. Najděte všechny permutace π S 8 pro které α πβ = γ kde α = ( 7 )( 5 6) β = ( )( 6) γ = ( )( 8)( 6) Cvičení 6.. Vyjádřete permutaci ρ S 8 danou tabulkou jako složení transpozic ρ = Cvičení 6.5. Určete znaménko permutací α β γ a γβ α kde α β γ S 8 jsou dány tabulkami α = β = γ =
7 Cvičení 6.6. Vypište všechny sudé a všechny liché permutace v S (v redukovaném cyklickém zápisu). Cvičení 6.7. Spočítejte determinanty následujících matic nad Z Cvičení 6.8. S jakým znaménkem vystupují v determinantu matice (a ij ) 7 7 sčítanci a a 7 a a a 5 a 56 a 67 a a 7 a 56 a 5 a 7 a a 6? Cvičení 6.9. Spočítejte determinant matice A nad Z Cvičení 6.. V závislosti na parametrech a b c d e f g h i j k l m n R spočítejte determinant matice A. a b c d e f g h i j k l m n l Cvičení 6.. Užitím Cramerova pravidla spočítejte druhou složku řešení soustavy rovnic (nad R). 5 Cvičení 6.. Určete adj (A) a A pro reálnou matici A Skalární součin Cvičení 7.. Při standardním skalárním součinu v R spočítejte normu vektorů u a v a úhel mezi nimi. u = ( ) v = ( 5) 7
8 Cvičení 7.. Skalární součin na R je dán předpisem u v = u T 5 v. Spočítejte úhel mezi vektory T a ( ) T. Cvičení 7.. Spočítejte normu polynomu ix +(i ) vzhledem ke skalárnímu součinu f g = fg. Cvičení 7.. Skalární součin na C je dán předpisem u v = u 5 v. Najděte všechny vektory kolmé na vektor u = ( i) T. Najděte nějakou ortogonální bázi u v a znormováním najděte ortonormální bázi. Cvičení 7.5. Najděte souřadnice vektoru (π 7) vzhledem k bázi prostoru R. ( ( ) ( ) ( )) Cvičení 7.6. V prostoru R se skalárním součinem je B = ( T ( ) T ) ortonormální báze. Určete ( ) T T Cvičení 7.7. V prostoru C se standardním skalárním součinem určete ortogonální doplněk roviny ( i) T ( + i ) T. Cvičení 7.8. V prostoru R se skalárním součinem je B = ( T ( ) T ) ortonormální báze. Určete ortogonální doplněk přímky T. Cvičení 7.9. V prostoru R se standardním skalárním součinem určete ortogonální projekci vektoru ( ) T na přímku ( 5 6) T. Cvičení 7.. V prostoru R se standardním skalárním součinem určete nejlepší aproximaci vektoru ( ) T v rovině ( ) T ( ) T a chybu této aproximace. Cvičení 7.. Metodou nejmenších čtverců najděte nejlepší řešení soustavy. Cvičení 7.. V prostoru R se standardním skalárním součinem ortogonalizujte bázi (( ) T ( ) T ( 5 ) T ). K nalezené ortogonální bázi určete příslušnou ortonormální. 8
9 Cvičení 7.. Najděte QR-rozklad QR reálné matice 5. Určete Q. Cvičení 7.. V prostoru R se standardním skalárním součinem najděte ortonormální bázi podprostoru W = ( ) T ( ) T ( ) T a určete ortogonální projekci a kolmici vektoru ( ) T na W. 8 Lineární zobrazení Cvičení 8.. Lineární zobrazení f : Z 5 Z 5 je dáno předpisem f x x x + x = + x. x x + x + x Určete matici f vzhledem k bázím B a C. B = C = (( ) ( )) Cvičení 8.. Matice lineárního zobrazení f : Z 5 Z 5 vzhledem k bázím B a C je A. Určete f((x x x ) T ). ( ) B = C =. Cvičení 8.. Lineární zobrazení f : Z 5 Z 5 splňuje f = f = f = ( ). Určete jeho matici vzhledem ke kanonickým bázím. Cvičení 8.. Matice f : Z 5 Z 5 vzhledem k bázím B a C je A. Určete matici f vzhledem k D a E. ( ) ( ) B = C = ( ) ( ) D = E = 9
10 Cvičení 8.5. Matice f : Z 5 Z 5 vzhledem k bázím B a C je A. Určete souřadnice f(u) vzhledem bázi E víte-li že souřadnice u vzhledem k bázi D jsou (x x ) T. ( ) (( B = (( D = ) ( ) ( )) E = )) (( C = (( ) ( ) ( )) )) Cvičení 8.6. Matice f : Z 5 Z 5 vzhledem k bázím B a C je A. Určete zda f je automorfismus a najděte matici f vzhledem k D a E. ( ) ( ) B = C = ( ) ( ) D = E = Cvičení 8.7. Matice f : Z 5 Z 5 vzhledem k bázím B a C je A matice g : Z 5 Z 5 vzhledem k bázím D a E je X. Určete matici fg vzhledem ke kanonickým bázím. ( ) X = B = ( ) ( ) ( ) C = D = E = Cvičení 8.8. Matice f : Z 5 Z 5 vzhledem k bázím B a C je A matice g : Z 5 Z 5 vzhledem k bázím D a E je X. Určete matici f + g vzhledem ke kanonickým bázím. ( ( ( C = ) ( X = )) D = (( ) (( B = ) ( )) E = ) ( (( )) ) ( Cvičení 8.9. Matice f : Z Z vzhledem k bázím B a C je A. Určete jádro a obraz f. B = C = ))
11 9 Vlastní čísla a vektory Cvičení 9.. Určete charakteristický polynom komplexní matice A. i i + i i Cvičení 9.. Určete vlastní čísla (i s algebraickými násobnostmi) a vlastní vektory lineárního operátoru f na prostoru R. f((x x x ) T ) = (x x x + x + x x + x + x ) T Cvičení 9.. Matice lineárního operátoru na Z 5 vhledem k bázi B je A. Určete vlastní čísla (i s algebraickými násobnostmi) a příslušné vlastní vektory operátoru f. B = Cvičení 9.. Určete vlastní čísla (i s algebraickými násobnostmi) a vlastní vektory matice A nad Z. Cvičení 9.5. Určete koeficienty u λ λ a konstantní koeficient charakteristického polynomu reálné matice A. Cvičení 9.6. Zjistěte zda je reálná matice A diagonalizovatelná. Pokud ano najděte regulární matici R a diagonální matici D tak aby D = R AR. Cvičení 9.7. Zjistěte zda je operátor f na prostoru Z 7 diagonalizovatelný. Pokud ano najděte bázi B takovou že [f] B B je diagonální a určete [f]b B. f((x x x ) T = (5x + x + x x + x + 6x x + 6x ) T
12 Cvičení 9.8. Matice lineárního operátoru f na prostoru Z vzhledem k bázi B je A. Zjistěte zda f je diagonalizovatelný. Pokud ano najděte bázi C takovou že [f] C C je diagonální a určete [f]c C. B = Cvičení 9.9. Najděte vlastní čísla a jejich geometrické a algebraické násobnosti operátoru f A na Z. Cvičení 9.. Operátor f na Z splňuje f(( ) T ) = ( ) T f(( ) T ) = ( ) T f(( ) T ) = ( ) T. Určete jeho charakteristický polynom. Cvičení 9.. Najděte vzorec pro a n v následující posloupnosti reálných čísel. a = a = a n = 6a n 5a n pro n. Cvičení 9.. Najděte n-tou mocninu reálné matice A. 5 Cvičení 9.. Vyřešte diferenční rovnici (diskrétní lineární dynamický systém) x k+ = Ax k s počátečním vektorem x R x = Cvičení 9.. Vyřešte soustavu diferenciálních rovnic (neznámé jsou reálné funkce reálné proměnné). u = u + u u = u + u Cvičení 9.5. Vypočítejte A pro reálnou matici
13 Cvičení 9.6. Vyřešte diferenční rovnici x k = f(x k ) pro počáteční vektor x = T kde operátor f : R R je dán vztahem x x + y f = y x + 5y Cvičení 9.7. Najděte regulární matici R a matici J v Jordanově kanonickém tvaru takovou že J = R AR kde A je reálná matice Dále vypočtěte A n. Cvičení 9.8. Lineární operátor f na R je dán předpisem níže. Najděte bázi B prostoru R a matici f vzhledem k B tak že [f] B B je v Jordanově kanonickém tvaru. x 8x y + 7z f y z = x + y + z x + y z Cvičení 9.9. Matice operátoru f na R vzhledem k bázi B je A. Najděte bázi C aby [f] C C byla v Jordanově kanonickém tvaru. ( ) B = Cvičení 9.. Najděte matici J v Jordanově kanonickém tvaru podobnou matici A nad Z 5 a matici R takovou že R AR = J. Cvičení 9.. Najděte bázi prostoru R složenou z Jordanových řetízků operátoru f A a matici f A vzhledem k této bázi. Cvičení 9.. Najděte bázi prostoru R složenou z Jordanových řetízků operátoru f A a matici f A vzhledem k této bázi.
14 Cvičení 9.. Najděte bázi B prostoru Z 7 pro kterou je [f A ] B B v Jordanově kanonickém tvaru Cvičení 9.. Najděte bázi B prostoru C pro kterou je [f] B B kanonickém tvaru. x ix + y f = y ix + y v Jordanově Cvičení 9.5. Zjistěte zda je matice A nad Z podobná matici v Jordanově kanonickém tvaru. Cvičení 9.6. Spočítejte n-tou mocninu matice A nad R. 8 7 Cvičení 9.7. Řešte diferenční rovnici v k = Av s počáteční podmínkou v = ( ) T. 8 7 Cvičení 9.8. Najděte vzorec pro n-tý člen posloupnosti a n. a = a = a = a n+ = 5a n+ 8a n+ + a n Cvičení 9.9. O reálné matici A řádu víme že má charakteristický polynom p(x) = ( x) 9 ( x) dim(ker (A I )) = dim(ker (A I )) = dim(ker ((A I ) )) = 7 dim(ker ((A I ) )) = 9. Určete matici J v Jordanově kanonickém tvaru podobnou matici A. Cvičení 9.. Zjistěte zda M = B je invariantním podprostorem operátoru f A na prostoru Z. Pokud ano nalezněte matici restrikce f A na M vzhledem k bázi B. B =
15 Cvičení 9.. Pro operátor f na R najděte nějakou bázi B prostoru Im f a určete matici zúžení f na Im f vzhledem k B. x x + y + z f y z = x y + z x + z Cvičení 9.. Zjistěte zda je komplexní matice A normální. + i i i i Cvičení 9.. Najděte ortonormální bázi B prostoru R se standardním skalárním součinem vzhledem ke které je matice operátoru f diagonální a najděte [f] B B. f x y z = x + y + z x + y + z x + y + z Cvičení 9.. Najděte ortogonální matici Q a diagonální matici A takovou že QDQ T. Cvičení 9.5. Zjistěte zda je reálná matice A pozitivně (semi)definitní. Cvičení 9.6. Najděte ortonormální báze B C prostorů R R takové že [f A ] B C je obdélníková diagonální matice s nezápornými prvky na diagonále. Cvičení 9.7. Najděte singulární rozklad a kompaktní singulární rozklad reálné matice A. Bilineární formy Cvičení.. Najděte matici bilineární formy f na Z 5 vzhledem k bázi B znáte-li její matici vzhledem k bázi C. ( ) ( ) B = C = [f] C = 5
16 Cvičení.. Rozložte danou bilineární formu na prostoru Z 7 na součet symetrické a antisymetrické. x y f x x y y = x y +x y +x y +6x y +5x y +x y +5x y Cvičení.. je dáno analytické vyjádření kvadratické formy f na prostoru R vzhledem k bázi B. Určete matici příslušné symetrické bilineární formy vzhledem k bázi C. (( B = ) ( )) (( C = ) ( )) f (x y) = x +x x +5x Cvičení.. Najděte f-ortogonální bázi prostoru Z a určete matici f vzhledem k této bázi kde f ((x x x x ) T ) = x x + x x + x x + x x + x x + x x Cvičení.5. Najděte f-ortogonální bázi Z a určete matici f vzhledem k této bázi kde [f] B = B = Cvičení.6. Rozložte matici A na součin LDL T kde L je dolní trojúhelníková s jedničkami na diagonále a D je diagonální. Cvičení.7. Určete signaturu bilineární formy f: [f] K = 5 Cvičení.8. Určete signaturu kvadratické formy f : f ((x x x x x 5 ) T ) = x + x x + 6x x + 8x x + 5x + x x Cvičení.9. Najděte bázi R která je f-ortogonální a zároveň ortonormální vzhledem ke standardnímu skalárnímu součinu. f ((x x ) T ) = x x x + x Cvičení.. Analyzujte následující útvar v R. U = {(x x ) T : x 6x x + 9x + x x 7 = } 6
17 Afinní prostory Cvičení.. Zjistěte zda S je soustava souřadnic v afinním prostoru Z 5. S = Cvičení.. Zjistěte zda S je soustava souřadnic v afinním prostoru A s prostorem vektorů V nad tělesem R. ( ) 6 5 S = + V V = 5 5 Cvičení.. Najděte vyjádření bodu b a vektoru v vzhledem k soustavě souřadnic S afinního prostoru Z 5. S = b = v = Cvičení.. Zjistěte zda bod b leží v afinním prostoru A (s prostorem vektorů V nad tělesem R). Pokud ano najděte jeho souřadnice vzhledem k soustavě souřadnic S = (a u u ). a + V = a + u u = + b = Cvičení.5. Souřadnice bodu b vzhledem k soustavě souřadnic S afinního prostoru Z 5 jsou ( ) T. Najděte souřadnice b vzhledem k soustavě souřadnic R. S = R = Cvičení.6. Zjistěte zda body a = ( ) T a = ( ) T a = ( ) T a = ( ) T v afinním prostoru Z 5 tvoří barycentrickou soustavu souřadnic. Pokud ano najděte barycentrické souřadnice bodu b = ( ) T v této barycentrické soustavě. Cvičení.7. Najděte parametrické vyjádření podprostoru B = ( ) T ( 6 ) T ( ) T afinního prostoru Z 7 a zjistěte dimenzi tohoto podprostoru. Cvičení.8. Najděte rovnicové vyjádření podprostoru B = ( ) T ( 6 ) T ( ) T afinního prostoru Z 7 vzhledem ke kanonické soustavě souřadnic a zjistěte dimenzi tohoto podprostoru. 7
18 Cvičení.9. Najděte parametrické vyjádření podprostoru B afinního prostoru Z 5 7 daného rovnicemi vzhledem ke kanonické soustavě souřadnic a zjistěte dimenzi tohoto podprostoru. x + x + 5x + x 5 = x + 6x + x + x = x + 5x 5 = Cvičení.. Najděte vyjádření podprostoru B afinního prostoru Z 5 7 jako afinní kombinaci bodů. Podprostor B je dán rovnicemi vzhledem ke kanonické soustavě souřadnic. Zjistěte také dimenzi tohoto podprostoru. x + x + 5x + x 5 = x + 6x + x + x = x + 5x 5 = Cvičení.. Najděte vyjádření podprostoru B afinního prostoru R 5 jako afinní kombinaci bodů a zjistěte dimenzi B. Podprostor B je dán parametricky. B = ( ) T + ( ) T ( ) T ( 5 ) T Cvičení.. Najděte rovnicové vyjádření podprostoru B afinního prostoru R 5 vzhledem ke kanonické soustavě souřadnic a jeho dimenzi. Podprostor B je dán parametricky. B = ( ) T + ( ) T ( ) T ( 5 ) T Cvičení.. Najděte všechny normálové vektory podprostoru B afinního eukleidovského prostoru R 5 se standardním skalárním součinem. B = ( ) T + ( ) T ( ) T ( 5 ) T Cvičení.. Určete obraz bodu ( ) T R při afinním zobrazení F : R R splňujícím ( F = F = F = F = a obraz vektoru ( ) T při příslušném lineárním zobrazení f. Cvičení.5. Určete obraz bodu (x x x ) T R při afinním zobrazení F : R R splňujícím F = F = F = F ( = Cvičení.6. Lineární zobrazení f : R R vytvořené afinním zobrazením F má vzhledem k bázi B matici A. Navíc F ( T ) = ( ) T. Určete F (( ) T ). (( B = ) ( 5 5 )) ( ) ) ). 8
ÚlohykpřednášceNMAG101a120: Lineární algebra a geometrie 1,
ÚlohykpřednášceNMAGa: Lineární algebra a geometrie 5 Verzezedne9.prosince Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se budou
Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh 1. cvičení ( ) 2. cvičení ( )
Příklady řešené na cvičení LA II - LS 1/13 Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh http://kam.mff.cuni.cz/~sbirka/ 1. cvičení (..13) 1. Rozhodněte, které z následujících operací jsou skalárním součinem
NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Doba řešení: 3 hodiny
NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Závěrečná zkouška verze cvičná 9.1.2013 Doba řešení: 3 hodiny Přednášející: L. Barto, J. Tůma Křestní jméno: Příjmení: Instrukce Neotvírejte
maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést
Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud
Program SMP pro kombinované studium
Zadání příkladů k procvičení na seminář Program SMP pro kombinované studium Nejdůležitější typy příkladů - minimum znalostí před zkouškovou písemkou 1) Matice 1. Pro matice 1 0 2 1 0 3 B = 7 3 4 4 2 0
Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory
Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory Zkouška ověřuje znalost základních pojmů, porozumění teorii a schopnost aplikovat teorii při
Matematika 2 (Fakulta ekonomická) Cvičení z lineární algebry. TU v Liberci
Matematika 2 (Fakulta ekonomická) Cvičení z lineární algebry TU v Liberci Jiří Hozman 1. dubna 2010 Cvičení 2 Příklad 1. Rozhodněte, zda lze vektor x vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů u, v, w, v
1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x
1 ZOBRAZENÍ 1 Zobrazení a algebraické struktury 1 Zobrazení Příklad 1.1. (a) Ukažte, že zobrazení f : x na otevřený interval ( 1, 1). x x +1 je bijekce množiny reálných čísel R (b) Necht a, b R, a < b.
vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).
Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,
Cvičení z Lineární algebry 1
Cvičení z Lineární algebry Michael Krbek podzim 2003 2392003 Hodina Jsou dána komplexní čísla z = +2 i a w = 2 i Vyjádřete c algebraickém tvaru (z + w) 3,, (zw), z w 2 Řešte v komplexním oboru rovnice
1 Vektorové prostory a podprostory
Pro nahrazení účasti v jednotlivých cvičeních (resp. pro studenty kombinované formy) je dostačující vypracování a odevzdání tučně vyznačených příkladů. 1 Vektorové prostory a podprostory Definujte vektorový
Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,
15 Maticový a vektorový počet II
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.
Vlastní čísla a vlastní vektory
5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi
ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)
Operace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
Tomáš Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 1 / 63 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 / 63 Aritmetický vektor Definition 1 Aritmetický vektor x je uspořádaná
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které
A0B01LAA Lineární algebra a aplikace (příklady na cvičení- řešení)
A0B0LAA Lineární algebra a aplikace příklady na cvičení- řešení Martin Hadrava martin@hadrava.eu. ledna 0.týdenod9.9. Řešení soustav lineárních rovnic Gaussovou eliminační metodou diskuse počtu řešení..
Linearní algebra příklady
Linearní algebra příklady 6. listopadu 008 9:56 Značení: E jednotková matice, E ij matice mající v pozici (i, j jedničku a jinak nuly. [...]... lineární obal dané soustavy vektorů. Popište pomocí maticového
Lineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
Úlohy k pøedná¹ce NMAG 102: Lineární algebra a geometrie 2, 2016
Úlohy k øedná¹ce NMG : Lineární algebra a geometrie, Verze ze dne kvìtna Toto je seznam øímoèarých øíkladù k øedná¹ce Úlohy z tohoto seznamu je nezbytnì nutné umìt øe¹it Oakování Nech» = ; ; a = rostoru
ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík
Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup
AVDAT Vektory a matice
AVDAT Vektory a matice Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Vektory x = x 1 x 2. x p y = y 1 y 2. y p Řádkový vektor dostaneme transpozicí sloupcového vektoru x
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního
Vlastní čísla a vlastní vektory
Kapitola 15 Vlastní čísla a vlastní vektory V této a následujících kapitolách budeme zkoumat jeden z nejdůležitějších pojmů tohoto kurzu. Definice15.1 Buď A:V Vlineárnízobrazení,Vvektorovýprostornad tělesem
Požadavky ke zkoušce
Požadavky ke zkoušce Zkouška z předmětu MATEMATIKA 2 má dvě části Písemná část: Písemná část se ještě dále rozděluje na praktickou část písemku a teoretickou část test. Písemka trvá 90 minut a je v ní
7. Lineární vektorové prostory
7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy
Vlastní číslo, vektor
[1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost
Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách
Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Ústní zkouška z oboru Náročnost zkoušky je podtržena její ústní formou a komisionálním charakterem. Předmětem bakalářské zkoušky
Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat
Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních
Vlastní čísla a vlastní vektory
Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální
Matematika I pracovní listy
Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny
VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru
ZADÁNÍ ZKOUŠKOVÉ PÍSEMNÉ PRÁCE Z PŘEDMĚTU LINEÁRNÍ ALGEBRA PRO IT. Verze 1.1A
Verze 1.1A Čas na práci: 1 minut Za každý úkol můžete získat maximálně 1 bodů. Řešení každého příkladu zapisujte čitelně a srozumitelně, 2x 1 +4x 3 +3x 4 = 4 x 1 +2x 2 +4x 3 3x 4 = 1 2x 1 +x 2 x 3 3x 4
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n
11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při
. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti:. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..
Podobnost matic. Definice 8.6. Dány matice A, B M n (C). Jestliže existuje regulární matice P M n (C) tak,
Podobnost matic Definice 84 Dány matice A, B M n (C) Jestliže existuje regulární matice P M n (C) tak, že B = P 1 AP, pak říkáme, že matice B je podobná matici A a píšeme A B Takto zavedená binární relace
Matematika I 12a Euklidovská geometrie
Matematika I 12a Euklidovská geometrie Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 12. 2012 Obsah přednášky 1 Euklidovské prostory 2 Odchylky podprostorů 3 Standardní úlohy 4 Objemy Plán přednášky
1 Projekce a projektory
Cvičení 3 - zadání a řešení úloh Základy numerické matematiky - NMNM20 Verze z 5. října 208 Projekce a projektory Opakování ortogonální projekce Definice (Ortogonální projekce). Uvažujme V vektorový prostor
Vlastnosti lineárních zobrazení a velikost vektorů
Drsná matematika I 8. přednáška Vlastnosti lineárních zobrazení a velikost vektorů Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 15. 11. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Matice zobrazení 3 Vlastní
ALG2: Lineární Algebra (Skripta Horák, jako doplněk i skripta Kovár v IS)
ALG2: Lineární Algebra (Skripta Horák, jako doplněk i skripta Kovár v IS) Info ke zkoušce: zkouška Algebra 2 je typu kolokvium (= ústní zkouška), tj. u zkoušky není žádná písemka, jen ústní část. Máte
11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ
11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..
Požadavky ke zkoušce. Ukázková písemka
Požadavky ke zkoušce Zkouška z předmětu MATEMATIKA 1 má dvě části Písemná část: Písemná část se ještě dále rozděluje na praktickou část písemku a teoretickou část test. Písemka trvá 90 minut a je v ní
MATEMATIKA I. Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15. I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie
MATEMATIKA I Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie 1. Základní pojmy (a) Základy teorie množin: množina a její prvky, podmnožina, průnik,
a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se
POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY
POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY Bakalářský studijní program B1101 (studijní obory - Aplikovaná matematika, Matematické metody v ekonomice, Aplikovaná matematika pro řešení krizových situací)
ALGEBRA. 1. Pomocí Eukleidova algoritmu najděte největší společný dělitel čísel a a b. a) a = 204, b = 54, b) a = , b =
ALGEBRA 1 Úkol na 13. 11. 2018 1. Pomocí Eukleidova algoritmu najděte největší společný dělitel čísel a a b. a) a = 204, b = 54, b) a = 353 623, b = 244 571. 2. Připomeňte si, že pro ε = cos 2π 3 + i sin
MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
Operace s maticemi
Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =
Pro jakou hodnotu parametru α jsou zadané vektory kolmé? (Návod: Vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin roven nule.)
Vybrané příklady ze skript J. Neustupa, S. Kračmar: Sbírka příkladů z Matematiky I I. LINEÁRNÍ ALGEBRA I.. Vektory, vektorové prostory Jsou zadány vektory u, v, w a reálná čísla α, β, γ. Vypočítejte vektor
(2) [B] Nechť G je konečná grupa tvořena celočíselnými maticemi roměru 2 2 s operací násobení. Nalezněte všechny takové grupy až na izomorfizmus.
(1 [B] Nechť A : R 6 R 6 je lineární zobrazební takové, že A 26 = I. Najděte lineární prostory V 1, V 2 a V 3 takové, že R 6 = V 1 V 2 V 3 dim V 1 = dim V 2 = dim V 3 AV 1 V 1, AV 2 V 2 a AV 3 V 3 (2 [B]
Ortogonální projekce a ortogonální zobrazení
Drsná matematika I 9. přednáška Ortogonální projekce a ortogonální zobrazení Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 27. 4. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Projekce a ortogonální zobrazení
7 Analytické vyjádření shodnosti
7 Analytické vyjádření shodnosti 7.1 Analytická vyjádření shodných zobrazení v E 2 Osová souměrnost Osová souměrnost O(o) podle osy o s obecnou rovnicí o : ax + by + c =0: x = x 2a (ax + by + c) a 2 +
Gymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021
Maturitní témata MATEMATIKA 1. Funkce a jejich základní vlastnosti. Definice funkce, def. obor a obor hodnot funkce, funkce sudá, lichá, monotónnost funkce, funkce omezená, lokální a globální extrémy funkce,
ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/
Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/
z textu Lineární algebra
2 Úvodní poznámky Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/
8 Matice a determinanty
M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou
Arnoldiho a Lanczosova metoda
Arnoldiho a Lanczosova metoda 1 Částečný problém vlastních čísel Ne vždy je potřeba (a někdy to není ani technicky možné) nalézt celé spektrum dané matice (velké řídké matice). Úloze, ve které chceme aproximovat
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
Numerické metody a programování
Projekt: Inovace výuky optiky se zaměřením na získání experimentálních dovedností Registrační číslo: CZ.1.7/2.2./28.157 Numerické metody a programování Lekce 4 Tento projekt je spolufinancován Evropským
Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)
Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost
Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program
Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní
Numerické metody a programování. Lekce 4
Numerické metody a programování Lekce 4 Linarní algebra soustava lineárních algebraických rovnic a 11 a 12 x 2 a 1, N x N = b 1 a 21 a 22 x 2 a 2, N x N = b 2 a M,1 a M,2 x 2 a M,N x N = b M zkráceně A
Základy matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé
2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21
2 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 21 21 Vektory 21 Úlohy k samostatnému řešení 21 22 Přímka a rovina v prostoru 22 Úlohy k samostatnému řešení 22 23 Vzájemná poloha přímek a rovin 25 Úlohy k samostatnému
formou exkurzu přibližuje problematiku aplikace lineární algebry ve výpočetní tomografii.
1 Úvod Cílem mé práce je sestavit sbírku úloh z lineární algebry a geometrie, která je určena především pro posluchače druhého semestru programů matematika, aplikovaná matematika a informatika. Celá práce
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)
Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci a vzájemném rušení ) Muhammada ibn Músá al-chvárizmího (790? - 850?, Chiva, Bagdád),
1 LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 Lineární algebra Slovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy islámského matematika Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci
Matematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
Základy matematiky pracovní listy
Dagmar Dlouhá, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny pro předmět Základy matematiky vyučovaný Katedrou matematiky
18. První rozklad lineární transformace
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 18. První rozklad lineární transformace Úmluva. Vtéto přednášce V je vektorový prostor
Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky
PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a
1. LINEÁRNÍ ALGEBRA Vektory Operace s vektory... 8 Úlohy k samostatnému řešení... 8
1 Lineární algebra 1 LINEÁRNÍ ALGEBRA 8 11 Vektory 8 111 Operace s vektory 8 8 112 Lineární závislost a nezávislost vektorů 8 8 113 Báze vektorového prostoru 9 9 12 Determinant 9 9 13 Matice 1 131 Operace
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.
KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení
Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava
Lineární algebra 9. přednáška: Ortogonalita Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la Text byl vytvořen
Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel
Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -
CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19
CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné
Definice 28 (Ortogonální doplněk vektorového podprostoru). V k V n ; V k V. (Pech:AGLÚ/str D.5.1)
14.3 Kolmost podprostorů 14.3.1 Ortogonální doplněk vektorového prostou Ve vektorovém prostoru dimenze 3 je ortogonálním doplňkem roviny (přesněji vektorového prostoru dimenze ) přímka na ní kolmá (vektorový
K2 7 E=. 2 1 Snadno zjistíme, že všechny nenulové násobky vektoru( 2, 1) jsou vlastními vektorymatice[ϕ]
. Vlastní čísla a vlastní vektory.. Uvažujme endomorfismus ϕ na reálném vektorovém prostoru R s maticí [ϕ] K = vzhledemkekanonickébázi K 6. (a) Najděte všechna vlastní čísla a všechny jim příslušné vlastní
[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}
Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální
x 2 = a 2 + tv 2 tedy (a 1, a 2 ) T + [(v 1, v 2 )] T A + V Příklad. U = R n neprázdná množina řešení soustavy Ax = b.
1. Afinní podprostory 1.1. Motivace. Uvažujme R 3. Jeho všechny vektorové podprostory jsou počátek, přímky a roviny procházející počátkem a celé R 3. Chceme-li v R 3 dělat geometrii potřebujeme i jiné
Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze
Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............
1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
Soustavy linea rnı ch rovnic
[1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
Matematika 1 sbírka příkladů
Matematika 1 sbírka příkladů RNDr. Rudolf SCHWARZ, CSc. Brno 2012 1. Poznámka Výsledky jednotlivých příkladů mají tuto barvu. 2. Poznámka Pokud je v hranatých závorkách uvedeno písmeno, označuje, ze které
MATEMATIKA I Požadavky ke zkoušce pro 1. ročník, skupina A 2017/18
MATEMATIKA I Požadavky ke zkoušce pro 1. ročník, skupina A 2017/18 I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie 1. Základní pojmy (a) Základy teorie množin: množina a její prvky, podmnožina, průnik,
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 14.
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 14. Vlastní vektory Bud V vektorový prostor nad polem P. Lineární zobrazení f : V
Jedná se o soustavy ve tvaru A X = B, kde A je daná matice typu m n,
Soutavy lineárních algebraických rovnic Jedná se o soustavy ve tvaru A X = B, kde A je daná matice typu m n, X R n je sloupcový vektor n neznámých x 1,..., x n, B R m je daný sloupcový vektor pravých stran
B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.
4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti
(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
19 Eukleidovský bodový prostor
19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma
Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky
PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a