Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,

Transkript

1 Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se budou vyskytovat v testech na cvičeních. Komplexní čísla kongruence Cvičení.. Spočítejte ( + i) + ( + i) ( + i)( + i) ( + i)/( + i) + i/( + i). Cvičení.. Najděte goniometrický tvar komplexního čísla (+i) a spočítejte ( + i). Cvičení.. Najděte všechny páté odmocniny z komplexního čísla i (tj. najděte všechna řešení rovnice x 5 = i ). Cvičení.. V oboru komplexních čísel řešte soustavu lineárních rovnic ix + ( i)y = i + ( i)x iy = i Cvičení.5. Najděte všechny komplexní kořeny kvadratické rovnice ix + (i )x + =. Cvičení.6. Spočítejte zbytek po dělení čísla číslem 7. Cvičení.7. Najděte poslední cifru čísla 99. Cvičení.8. Dokažte že číslo je dělitelné Cvičení.9. Najděte číslo x {... } pro které 7x (mod ). Soustavy lineárních rovnic Cvičení.. Určete zda matice je v odstupňovaném tvaru. Cvičení.. Najděte všechna řešení soustavy rovnic nad R. 5

2 Cvičení.. Najděte všechna řešení soustavy rovnic nad C. + i i i 5 + i i Cvičení.. Najděte všechna řešení homogenní soustavy rovnic (nad C) s maticí + i i i. i Cvičení.5. Nadjěte polynom třetího stupně jehož graf obsahuje body ( ) ( 5) ( 7). Tělesa a soustavy lineárních rovnic nad tělesy Cvičení.. V tělese Z 7 spočítejte ( ) 5. Cvičení.. Najděte všechna řešení soustavy rovnic nad Z Matice Cvičení.. Spočítejte součin matic nad Z Cvičení.. Zjednodušte výraz ( (A + (B T C + A)) T + AB T + A(B C) T ) T a určete jaké musí mít matice A B C typy aby byl výraz definován. Cvičení.. Spočítejte mocniny reálných matic ( ) 9 ( ) 5

3 Cvičení.. Vyřešte maticovou rovnici nad Z. ( X = Cvičení.5. Najděte všechny reálné čtvercové matice X pro které platí X AX. ) Cvičení.6. Rozhodněte zda jsou dané komplexní matice regulární. + i + i 7 i i i i i i + i i + i i i i 7i + i i Cvičení.7. K matici A nad tělesem Z 5 najděte inverzní pokud existuje.. Cvičení.8. Řešte maticovou rovnici AXB = C kde A B C jsou reálné. B = C = Cvičení.9. Spočítejte ((A B) C) C kde A B C jsou reálné matice. B = C = Cvičení.. Vyjádřete matici A nad Z 7 jako součin elementárních matic pokud to jde. 6 Cvičení.. Najděte LU rozklad reálné matice. 5 Vektorové prostory Cvičení 5.. Zjistěte zda množina vektorů (a) {(x + y + x + y) : x y R}

4 (b) {(x + y x x + y) : x y R} (c) {(x + y + z + ) : x y z R} (d) {(x x x) : x R} je podprostorem R. Cvičení 5.. Zjistěte zda vektor ( i) T leží v lineárním obalu vektorů ( ) T (i ) T (i i ) T C Cvičení 5.. Vyjádřete vektor ( ) T jako lineární kombinaci vektorů ( ) T ( ) T ( ) T Z 5. Cvičení 5.. Zjistěte zda množina {( ) T ( 5 6) T ( ) T } generuje R. Cvičení 5.5. Najděte Ker A pro následující matici nad Z 5. Cvičení 5.6. Zjistěte zda ( ) T Z 5 leží v Im A T a zda ( ) T Z 5 leží v Im A pro matici A nad Z 5. Cvičení 5.7. Zjistěte zda jsou posloupnosti vektorů ze Z lineárně závislé nebo nezávislé. Pokud jsou lineárně závislé vyjádřete jeden z vektorů jako lineární kombinaci ostatních. (a) (( ) T ( ) T ( ) T ( ) T ) (b) (( ) T ( ) T ( ) T ( ) T ) Cvičení 5.8. Najděte nějakou bázi podprostoru V prostoru C. V = ( + i i + i) T ( i + i i ) T ( + i i) T Cvičení 5.9. Najděte (nějaké) báze prostorů Ker A Ker A T Im A a Im A T pro matici A nad Z 5. Cvičení 5.. Určete dimenze Ker A Ker A T Im A a Im A T pro matici A nad Z 5.

5 Cvičení 5.. Z vektorů v v... v R vyberte nějakou bázi jejich lineárního obalu. 5 9 v = 7 v = 8 v = 7 v = 6 6 Cvičení 5.. Zjistěte zda B = (( ) T ( ) T (5 ) T ) je bází R a pokud ano najděte souřadnice vektoru ( 7 ) T vzhledem k B. Cvičení 5.. Ověřte že vektor u leží v podprostoru V = v v v prostoru Z 5 ověřte že B = (v v v ) je bází V a najděte [u] B. v = v = v = u = Cvičení 5.. Určete matici přechodu od báze B prostoru Z 7 k bázi C. B = 5 6 C = 6 Cvičení 5.5. Ověřte že B a C jsou báze prostoru V R a najděte matici přechodu od B k C. V = B = C = 5 Cvičení 5.6. Souřadnice vektoru u Z 7 vzhledem k bázi B jsou (x x x ) T. Určete [u] C je-li B = 6 5 C = 6. Cvičení 5.7. Určete bázové sloupce matice A nad Z 7 a vyjádřete ostatní sloupce jako lineární kombinaci bázových Cvičení 5.8. Určete hodnost komplexní matice A. + i i i + i i + i i + i 5

6 Cvičení 5.9. Najděte skeletní rozklad matice A nad Z 5. Cvičení 5.. Určete dimenzi průniku a součtu podprostorů U V R. U = V = Cvičení 5.. Zjistěte zda R = U + V kde U = V =. 6 Determinant Cvičení 6.. Najděte redukovaný cyklický zápis permutace α βγ kde permutace α β γ S 8 jsou dány tabulkami α = β = γ = Cvičení 6.. Najděte redukovaný cyklický zápis permutace α βγ kde permutace α β γ S 8 jsou dány redukovaným cyklickým zápisem. α = ( 7 )( 5 6) β = ( )( 6) γ = ( )( 8)( 6) Cvičení 6.. Najděte všechny permutace π S 8 pro které α πβ = γ kde α = ( 7 )( 5 6) β = ( )( 6) γ = ( )( 8)( 6) Cvičení 6.. Vyjádřete permutaci ρ S 8 danou tabulkou jako složení transpozic ρ = Cvičení 6.5. Určete znaménko permutací α β γ a γβ α kde α β γ S 8 jsou dány tabulkami α = β = γ =

7 Cvičení 6.6. Vypište všechny sudé a všechny liché permutace v S (v redukovaném cyklickém zápisu). Cvičení 6.7. Spočítejte determinanty následujících matic nad Z Cvičení 6.8. S jakým znaménkem vystupují v determinantu matice (a ij ) 7 7 sčítanci a a 7 a a a 5 a 56 a 67 a a 7 a 56 a 5 a 7 a a 6? Cvičení 6.9. Spočítejte determinant matice A nad Z Cvičení 6.. V závislosti na parametrech a b c d e f g h i j k l m n R spočítejte determinant matice A. a b c d e f g h i j k l m n l Cvičení 6.. Užitím Cramerova pravidla spočítejte druhou složku řešení soustavy rovnic (nad R). 5 Cvičení 6.. Určete adj (A) a A pro reálnou matici A Skalární součin Cvičení 7.. Při standardním skalárním součinu v R spočítejte normu vektorů u a v a úhel mezi nimi. u = ( ) v = ( 5) 7

8 Cvičení 7.. Skalární součin na R je dán předpisem u v = u T 5 v. Spočítejte úhel mezi vektory T a ( ) T. Cvičení 7.. Spočítejte normu polynomu ix +(i ) vzhledem ke skalárnímu součinu f g = fg. Cvičení 7.. Skalární součin na C je dán předpisem u v = u 5 v. Najděte všechny vektory kolmé na vektor u = ( i) T. Najděte nějakou ortogonální bázi u v a znormováním najděte ortonormální bázi. Cvičení 7.5. Najděte souřadnice vektoru (π 7) vzhledem k bázi prostoru R. ( ( ) ( ) ( )) Cvičení 7.6. V prostoru R se skalárním součinem je B = ( T ( ) T ) ortonormální báze. Určete ( ) T T Cvičení 7.7. V prostoru C se standardním skalárním součinem určete ortogonální doplněk roviny ( i) T ( + i ) T. Cvičení 7.8. V prostoru R se skalárním součinem je B = ( T ( ) T ) ortonormální báze. Určete ortogonální doplněk přímky T. Cvičení 7.9. V prostoru R se standardním skalárním součinem určete ortogonální projekci vektoru ( ) T na přímku ( 5 6) T. Cvičení 7.. V prostoru R se standardním skalárním součinem určete nejlepší aproximaci vektoru ( ) T v rovině ( ) T ( ) T a chybu této aproximace. Cvičení 7.. Metodou nejmenších čtverců najděte nejlepší řešení soustavy. Cvičení 7.. V prostoru R se standardním skalárním součinem ortogonalizujte bázi (( ) T ( ) T ( 5 ) T ). K nalezené ortogonální bázi určete příslušnou ortonormální. 8

9 Cvičení 7.. Najděte QR-rozklad QR reálné matice 5. Určete Q. Cvičení 7.. V prostoru R se standardním skalárním součinem najděte ortonormální bázi podprostoru W = ( ) T ( ) T ( ) T a určete ortogonální projekci a kolmici vektoru ( ) T na W. 8 Lineární zobrazení Cvičení 8.. Lineární zobrazení f : Z 5 Z 5 je dáno předpisem f x x x + x = + x. x x + x + x Určete matici f vzhledem k bázím B a C. B = C = (( ) ( )) Cvičení 8.. Matice lineárního zobrazení f : Z 5 Z 5 vzhledem k bázím B a C je A. Určete f((x x x ) T ). ( ) B = C =. Cvičení 8.. Lineární zobrazení f : Z 5 Z 5 splňuje f = f = f = ( ). Určete jeho matici vzhledem ke kanonickým bázím. Cvičení 8.. Matice f : Z 5 Z 5 vzhledem k bázím B a C je A. Určete matici f vzhledem k D a E. ( ) ( ) B = C = ( ) ( ) D = E = 9

10 Cvičení 8.5. Matice f : Z 5 Z 5 vzhledem k bázím B a C je A. Určete souřadnice f(u) vzhledem bázi E víte-li že souřadnice u vzhledem k bázi D jsou (x x ) T. ( ) (( B = (( D = ) ( ) ( )) E = )) (( C = (( ) ( ) ( )) )) Cvičení 8.6. Matice f : Z 5 Z 5 vzhledem k bázím B a C je A. Určete zda f je automorfismus a najděte matici f vzhledem k D a E. ( ) ( ) B = C = ( ) ( ) D = E = Cvičení 8.7. Matice f : Z 5 Z 5 vzhledem k bázím B a C je A matice g : Z 5 Z 5 vzhledem k bázím D a E je X. Určete matici fg vzhledem ke kanonickým bázím. ( ) X = B = ( ) ( ) ( ) C = D = E = Cvičení 8.8. Matice f : Z 5 Z 5 vzhledem k bázím B a C je A matice g : Z 5 Z 5 vzhledem k bázím D a E je X. Určete matici f + g vzhledem ke kanonickým bázím. ( ( ( C = ) ( X = )) D = (( ) (( B = ) ( )) E = ) ( (( )) ) ( Cvičení 8.9. Matice f : Z Z vzhledem k bázím B a C je A. Určete jádro a obraz f. B = C = ))

11 9 Vlastní čísla a vektory Cvičení 9.. Určete charakteristický polynom komplexní matice A. i i + i i Cvičení 9.. Určete vlastní čísla (i s algebraickými násobnostmi) a vlastní vektory lineárního operátoru f na prostoru R. f((x x x ) T ) = (x x x + x + x x + x + x ) T Cvičení 9.. Matice lineárního operátoru na Z 5 vhledem k bázi B je A. Určete vlastní čísla (i s algebraickými násobnostmi) a příslušné vlastní vektory operátoru f. B = Cvičení 9.. Určete vlastní čísla (i s algebraickými násobnostmi) a vlastní vektory matice A nad Z. Cvičení 9.5. Určete koeficienty u λ λ a konstantní koeficient charakteristického polynomu reálné matice A. Cvičení 9.6. Zjistěte zda je reálná matice A diagonalizovatelná. Pokud ano najděte regulární matici R a diagonální matici D tak aby D = R AR. Cvičení 9.7. Zjistěte zda je operátor f na prostoru Z 7 diagonalizovatelný. Pokud ano najděte bázi B takovou že [f] B B je diagonální a určete [f]b B. f((x x x ) T = (5x + x + x x + x + 6x x + 6x ) T

12 Cvičení 9.8. Matice lineárního operátoru f na prostoru Z vzhledem k bázi B je A. Zjistěte zda f je diagonalizovatelný. Pokud ano najděte bázi C takovou že [f] C C je diagonální a určete [f]c C. B = Cvičení 9.9. Najděte vlastní čísla a jejich geometrické a algebraické násobnosti operátoru f A na Z. Cvičení 9.. Operátor f na Z splňuje f(( ) T ) = ( ) T f(( ) T ) = ( ) T f(( ) T ) = ( ) T. Určete jeho charakteristický polynom. Cvičení 9.. Najděte vzorec pro a n v následující posloupnosti reálných čísel. a = a = a n = 6a n 5a n pro n. Cvičení 9.. Najděte n-tou mocninu reálné matice A. 5 Cvičení 9.. Vyřešte diferenční rovnici (diskrétní lineární dynamický systém) x k+ = Ax k s počátečním vektorem x R x = Cvičení 9.. Vyřešte soustavu diferenciálních rovnic (neznámé jsou reálné funkce reálné proměnné). u = u + u u = u + u Cvičení 9.5. Vypočítejte A pro reálnou matici

13 Cvičení 9.6. Vyřešte diferenční rovnici x k = f(x k ) pro počáteční vektor x = T kde operátor f : R R je dán vztahem x x + y f = y x + 5y Cvičení 9.7. Najděte regulární matici R a matici J v Jordanově kanonickém tvaru takovou že J = R AR kde A je reálná matice Dále vypočtěte A n. Cvičení 9.8. Lineární operátor f na R je dán předpisem níže. Najděte bázi B prostoru R a matici f vzhledem k B tak že [f] B B je v Jordanově kanonickém tvaru. x 8x y + 7z f y z = x + y + z x + y z Cvičení 9.9. Matice operátoru f na R vzhledem k bázi B je A. Najděte bázi C aby [f] C C byla v Jordanově kanonickém tvaru. ( ) B = Cvičení 9.. Najděte matici J v Jordanově kanonickém tvaru podobnou matici A nad Z 5 a matici R takovou že R AR = J. Cvičení 9.. Najděte bázi prostoru R složenou z Jordanových řetízků operátoru f A a matici f A vzhledem k této bázi. Cvičení 9.. Najděte bázi prostoru R složenou z Jordanových řetízků operátoru f A a matici f A vzhledem k této bázi.

14 Cvičení 9.. Najděte bázi B prostoru Z 7 pro kterou je [f A ] B B v Jordanově kanonickém tvaru Cvičení 9.. Najděte bázi B prostoru C pro kterou je [f] B B kanonickém tvaru. x ix + y f = y ix + y v Jordanově Cvičení 9.5. Zjistěte zda je matice A nad Z podobná matici v Jordanově kanonickém tvaru. Cvičení 9.6. Spočítejte n-tou mocninu matice A nad R. 8 7 Cvičení 9.7. Řešte diferenční rovnici v k = Av s počáteční podmínkou v = ( ) T. 8 7 Cvičení 9.8. Najděte vzorec pro n-tý člen posloupnosti a n. a = a = a = a n+ = 5a n+ 8a n+ + a n Cvičení 9.9. O reálné matici A řádu víme že má charakteristický polynom p(x) = ( x) 9 ( x) dim(ker (A I )) = dim(ker (A I )) = dim(ker ((A I ) )) = 7 dim(ker ((A I ) )) = 9. Určete matici J v Jordanově kanonickém tvaru podobnou matici A. Cvičení 9.. Zjistěte zda M = B je invariantním podprostorem operátoru f A na prostoru Z. Pokud ano nalezněte matici restrikce f A na M vzhledem k bázi B. B =

15 Cvičení 9.. Pro operátor f na R najděte nějakou bázi B prostoru Im f a určete matici zúžení f na Im f vzhledem k B. x x + y + z f y z = x y + z x + z Cvičení 9.. Zjistěte zda je komplexní matice A normální. + i i i i Cvičení 9.. Najděte ortonormální bázi B prostoru R se standardním skalárním součinem vzhledem ke které je matice operátoru f diagonální a najděte [f] B B. f x y z = x + y + z x + y + z x + y + z Cvičení 9.. Najděte ortogonální matici Q a diagonální matici A takovou že QDQ T. Cvičení 9.5. Zjistěte zda je reálná matice A pozitivně (semi)definitní. Cvičení 9.6. Najděte ortonormální báze B C prostorů R R takové že [f A ] B C je obdélníková diagonální matice s nezápornými prvky na diagonále. Cvičení 9.7. Najděte singulární rozklad a kompaktní singulární rozklad reálné matice A. Bilineární formy Cvičení.. Najděte matici bilineární formy f na Z 5 vzhledem k bázi B znáte-li její matici vzhledem k bázi C. ( ) ( ) B = C = [f] C = 5

16 Cvičení.. Rozložte danou bilineární formu na prostoru Z 7 na součet symetrické a antisymetrické. x y f x x y y = x y +x y +x y +6x y +5x y +x y +5x y Cvičení.. je dáno analytické vyjádření kvadratické formy f na prostoru R vzhledem k bázi B. Určete matici příslušné symetrické bilineární formy vzhledem k bázi C. (( B = ) ( )) (( C = ) ( )) f (x y) = x +x x +5x Cvičení.. Najděte f-ortogonální bázi prostoru Z a určete matici f vzhledem k této bázi kde f ((x x x x ) T ) = x x + x x + x x + x x + x x + x x Cvičení.5. Najděte f-ortogonální bázi Z a určete matici f vzhledem k této bázi kde [f] B = B = Cvičení.6. Rozložte matici A na součin LDL T kde L je dolní trojúhelníková s jedničkami na diagonále a D je diagonální. Cvičení.7. Určete signaturu bilineární formy f: [f] K = 5 Cvičení.8. Určete signaturu kvadratické formy f : f ((x x x x x 5 ) T ) = x + x x + 6x x + 8x x + 5x + x x Cvičení.9. Najděte bázi R která je f-ortogonální a zároveň ortonormální vzhledem ke standardnímu skalárnímu součinu. f ((x x ) T ) = x x x + x Cvičení.. Analyzujte následující útvar v R. U = {(x x ) T : x 6x x + 9x + x x 7 = } 6

17 Afinní prostory Cvičení.. Zjistěte zda S je soustava souřadnic v afinním prostoru Z 5. S = Cvičení.. Zjistěte zda S je soustava souřadnic v afinním prostoru A s prostorem vektorů V nad tělesem R. ( ) 6 5 S = + V V = 5 5 Cvičení.. Najděte vyjádření bodu b a vektoru v vzhledem k soustavě souřadnic S afinního prostoru Z 5. S = b = v = Cvičení.. Zjistěte zda bod b leží v afinním prostoru A (s prostorem vektorů V nad tělesem R). Pokud ano najděte jeho souřadnice vzhledem k soustavě souřadnic S = (a u u ). a + V = a + u u = + b = Cvičení.5. Souřadnice bodu b vzhledem k soustavě souřadnic S afinního prostoru Z 5 jsou ( ) T. Najděte souřadnice b vzhledem k soustavě souřadnic R. S = R = Cvičení.6. Zjistěte zda body a = ( ) T a = ( ) T a = ( ) T a = ( ) T v afinním prostoru Z 5 tvoří barycentrickou soustavu souřadnic. Pokud ano najděte barycentrické souřadnice bodu b = ( ) T v této barycentrické soustavě. Cvičení.7. Najděte parametrické vyjádření podprostoru B = ( ) T ( 6 ) T ( ) T afinního prostoru Z 7 a zjistěte dimenzi tohoto podprostoru. Cvičení.8. Najděte rovnicové vyjádření podprostoru B = ( ) T ( 6 ) T ( ) T afinního prostoru Z 7 vzhledem ke kanonické soustavě souřadnic a zjistěte dimenzi tohoto podprostoru. 7

18 Cvičení.9. Najděte parametrické vyjádření podprostoru B afinního prostoru Z 5 7 daného rovnicemi vzhledem ke kanonické soustavě souřadnic a zjistěte dimenzi tohoto podprostoru. x + x + 5x + x 5 = x + 6x + x + x = x + 5x 5 = Cvičení.. Najděte vyjádření podprostoru B afinního prostoru Z 5 7 jako afinní kombinaci bodů. Podprostor B je dán rovnicemi vzhledem ke kanonické soustavě souřadnic. Zjistěte také dimenzi tohoto podprostoru. x + x + 5x + x 5 = x + 6x + x + x = x + 5x 5 = Cvičení.. Najděte vyjádření podprostoru B afinního prostoru R 5 jako afinní kombinaci bodů a zjistěte dimenzi B. Podprostor B je dán parametricky. B = ( ) T + ( ) T ( ) T ( 5 ) T Cvičení.. Najděte rovnicové vyjádření podprostoru B afinního prostoru R 5 vzhledem ke kanonické soustavě souřadnic a jeho dimenzi. Podprostor B je dán parametricky. B = ( ) T + ( ) T ( ) T ( 5 ) T Cvičení.. Najděte všechny normálové vektory podprostoru B afinního eukleidovského prostoru R 5 se standardním skalárním součinem. B = ( ) T + ( ) T ( ) T ( 5 ) T Cvičení.. Určete obraz bodu ( ) T R při afinním zobrazení F : R R splňujícím ( F = F = F = F = a obraz vektoru ( ) T při příslušném lineárním zobrazení f. Cvičení.5. Určete obraz bodu (x x x ) T R při afinním zobrazení F : R R splňujícím F = F = F = F ( = Cvičení.6. Lineární zobrazení f : R R vytvořené afinním zobrazením F má vzhledem k bázi B matici A. Navíc F ( T ) = ( ) T. Určete F (( ) T ). (( B = ) ( 5 5 )) ( ) ) ). 8