Úlohy k přednášce Kvantová mechanika (UFY100)

Transkript

1 Úlohy k přednášce Kvantová mechanika (UFY100) Určeno pro 2. ročník učitelství fyziky pro SŠ Poslední úpravy: 12. března 2014 Následující text obsahuje stručná zadání úloh k přednášce, z části řešená na cvičeních. Jeho přečtení (včetně propočítání příkladů) ale jen těžko nahradí osobní účast na cvičeních! Jednotlivé úlohy jsou vybírány z následujících materiálů: Pišút J., Černý V., Prešnajder P.: Zbierka úloh z kvantovej mechaniky. ALFA Bratislava-SNTL Praha 1985 Skála L.:Úvod do kvantové mechaniky, Academia, Praha 2005 Bílek O., Kapsa V.: Kvantová mechanika pro učitele (předběžná verze) Lim K.Y: Problems and Solutions on Quantum Mechanics. World Scientific Publishing Co. Singapore, 2000 Další úlohy včetně jejich podrobného řešení lze nalézt v elektronické sbírce, v kapitole Fyzika mikrosvěta, viz fyzikalniulohy.cz. Budu vděčná za jakékoli připomínky směřující k vylepšení tohoto textu nebo výuky. Zdeňka Koupilová mff.cuni.cz) 1

2 1. Podivuhodný svět malých rozměrů 1.1.) a. Nejprve odhadněte: Kolik atomů obsahuje 1 g železa (cca špendlík)? Pokud bychom ho rozřezali na krychličky, ve kterých by byl vždy jeden atom, a tyto krychličky narovnali za sebe do řady, dosáhne tato řada kolem třídy, Prahy, ČR, světa, k Měsíci, ke Slunci, kolem celé Galaxie...? b. Proveďte výpočet (M R = 55 g mol 1, ρ = 7,8 g cm 3 ). 1.2.) Doplňte tabulku (příslušné vztahy i číselné hodnoty): m v p T E λ těleso 1 kg 100 km/h elektron 1 ev proton 1 ev foton 500 nm 1.3.) Pro fotoefekt a Comptonův jev a) vysvětlete stručně (1 větou) kvalitativně podstatu jevu (co se děje, co pozorujeme) b) ukažte, kde přesně selhává klasické vysvětlení c) popište, jak vysvětluje daný jev kvantová mechanika. 1.4.) Fólie z draslíku je ve vzdálenosti r = 3,5 m od bodového izotropního zdroje světla, který má výkon P = 1,5 W. Výstupní práce pro draslík je rovna 2,2 ev. Předpokládejme, že energie je přenášena dopadajícím světelným svazkem spojitě a plynule (tj. klasicky). Jak dlouho potrvá, než fólie vstřebá dost energie na to, aby emitovala elektron? Předpokládejme, že fólie absorbuje všechnu dopadající energii a že elektron bude emitován, jestliže potřebnou energii absorbuje ploška o poloměru 5, m (přibližně rozměr atomu). (Pozn. Ve skutečnosti stačí čekat na první elektrony méně než 10 9 s. Proč tomu tak je?) 1.5.) Z následujících hodnot naměřených při fotoelektrickém pokusu na lithiu určete Planckovu konstantu a výstupní práci pro lithium. Nakreslete vhodný graf. vlnová délka (nm) 433,9 404,7 365,0 312,5 253,5 brzdný potenciál (V) 0,55 0,73 1,09 1,67 2,57 2

3 2. Matematika kvantové mechaniky Musíme si uvědomit, že zatímco chování nejmenších částic nelze jednoznačně popsat obvyklým jazykem, řeč matematiky je i nadále postačující... (Werner Karl Heisenberg) 2.1 Komplexní čísla Zopakujte si teorii: různé způsoby zápisu (algebraický, goniometrický, exponenciální) a přechody mezi nimi, výpočet velikosti a argumentu operace (sčítání, odčítání, násobení, dělení, mocnina, odmocnina) s komplexními čísly v různých tvarech, Moivrova věta grafické znázornení čísla a provádění operací graficky komplexní sdružení (značíme hvězdičkou!), sdružení součtu a součinu, součet, rozdíl a součin sdružených čísel komplexní funkce (rozdíl mezi komplexní funkcí reálné proměnné a funkcí komplexní proměnné) 2.1.) Převeďte do všech tvarů (v základním tvaru), určete velikost a argument, číslo komplexně sdružené a zakreslete vše do Gaussovy roviny a) z = i b) z = 2 3 2i c) z = 2 3 ( cos( 7π) + i sin( 7π)) 6 6 d) z = 4 ( cos( 57π) i sin( 57π)) 4 4 e) z = 2 e π 2 i 2.2.) Určete hodnotu: i 23, ( i) 31, ( i) 17, e πi, e πi, e 2πi, e π 2 i, e 3π 4 i 2.3.) Spočtěte, zjednodušte a) 1+i 2+i b) z 1 z 2, z 1 z 2, kde z 1 = 2e π 6 i, z 2 = 3e π 2 i, 2.4.) Mají nějaký speciální tvar či hodnotu následující výrazy? a) z + z, b) z z, c) zz 2.5.) Napište co nejvíce způsobů, jak vyjádřit velikost, reálnou a imaginární složku komplexního čísla z. 3

4 2.2 Vztahy pro Kroneckerův a Levi-Civitův symbol Definice: δ ij = 1 i = j, jinak δ ij = 0 Platí: δ ij = δ ji, δ ii = 3, δ ij δ jk = δ ik Definice: ϵ 123 = ϵ 231 = ϵ 312 = 1, ϵ 132 = ϵ 321 = ϵ 213 = 1, v ostatních případech ϵ ijk = 0 Platí: ϵ ijk = ϵ jik, ϵ iik = 0, ϵ ijk ϵ ijk = 6, ϵ ijk ϵ ijl = 2δ kl, ϵ ijk ϵ ilm = δ jl δ km δ jm δ kl 2.3 Operátory, komutátor, hermitovské sdružení Teorie: definice operátoru, rovnost operátorů (včetně definičních oborů), skládání operátorů, asociativita a komutativita operátorů, definice lineárního operátoru, komutátor, definice hermitovsky sdruženého operátoru a hermitovského operátoru 2.6.) Které z následujících operátorů jsou lineární: a)âf = cf, kde c C b) Bf = f 2 c) Ĉf = f (komplexní sdružení) d) Df = df e) Êf = d2 f f) F f = 1 dx dx 2 f 2.7.) Vynásobte (Â, B jsou lineární): (Â B)(Â + B) 2.8.) Odvoďte vzorečky (z definice komutátoru): [Â, Â] = [ B, Â] = [Â + B, Ĉ] = [Â B, Ĉ] = [Â, BĈ] = 2.9.) Z definice komutátoru spočtěte: [x, d ] = dx [ x, p] =, kde x = x, p = i d dx 2.10.) Spočtěte: [Â B, Ĉ D], [ x, p n ], [ x n, p], [ŷ, p x ] ) K = (x d dx )2, L = ( d dx x)2. Platí K = L? (tzv. kanonická komutační relace) 2.12.) Najděte hermitovsky sdružené operátory k operátorům x, Â = d dx, p ) Dokažte (Â + B) = Â + B a (Â B) = B Â. 4

5 3. Základní postuláty kvantové mechaniky 3.1 Vlnová funkce Teorie: vlastnosti vlnové funkce, vlastnosti a zápis skalárního součinu, skalární součin funkcí, normování, amplituda a hustota pravděpodobnosti 3.1.) Které z následujících funkcí mohou být vlnové funkce na intervalu (, + ) : a) ψ 1 = Ax, b) ψ 2 = Ax 2, c) ψ 3 = Ae x, d) ψ 4 = Ae x, e) ψ 5 = Ae x2, f) ψ 6 = A cos x, g) ψ 7 = A sin x, h) ψ 8 = A(a 2 x 2 ) pro x < a a jinak ψ 8 = 0 Pro vlnové funkce najděte normalizační konstantu A a hustotu pravděpodobnosti. 3.2 Fyzikální veličiny Operátor polohy a hybnosti Teorie: zápis v 3D polohový vektor r = (x, y, z) = (x 1, x 2, x 3 ), vektor hybnosti p = (p x, p y, p z ) = (p 1, p 2, p 3 ), a podobně další vektory vektorové operátory = trojice operátorů, např. r = ( x, ŷ, ẑ) = (x, y, z), p = ( px, p y, p z ) = ( p 1, p 2, p 3 ) = i (,, ) = i ( x y z x 1, x 2, x 3 ). 3.2.) Spočtěte: [ x, p x ] =, [ŷ, p x ] =, [ x i, p j ] =, [ x i, x j ] =, [ p i, p j ] =, kde x i = x i, p i = i x i, tzv. kanonické komutační relace 3.3.) Vypočtěte komutátory: [ŷ p y, ŷ], [ x p x, x + p x ], [ x, ], [ p x, ], Moment hybnosti, energie a jejich komutační relace Definice: moment hybnosti: L = x p Li = ϵ ijk x j p k kinetická energie: T = 1 p 2m i p i = 2 2m potenciální energie: V ( x ) 3.4.) Napište L x pomocí operátoru polohy a hybnosti. 5

6 3.5.) Spočtěte následující komutační relace (využívejte komutátory, které jste již spočetli!!!) a) [ x i, L j ] = [ p i, L j ] = b) [ L 1, L 2 ] a obecněji: [ L i, L j ] = c) [ L 1, L 2 ] a obecněji: [ L i, L 2 ] = 3.6.) Spočtěte: [ x, T ], [ x, V ( x )], [ p, T ], [ p, V ( x )] [ x, L 1 ], [ŷ, L 2 ], [ p x, L 1 ], [ p y, L 1 ], [ L 1, L 2 ] 3.3 Vlastní funkce a vlastní čísla 3.7.) Nalezněte vlastní funkce operátoru p a T. 3.8.) Dokažte: a)vlastní hodnoty hermitovského operátoru jsou reálné. b)vlastní funkce příslušející různým vlastním hodnotám téhož operátoru jsou ortogonální. Teorie Degenerované a degenerované stavy. Postup, jak najít ortonormální systém vlnových funkcí. 3.9.) Dokažte: a) Jestliže mají dva komutátory společný systém vlastních funkcí, pak komutují. b) Jestliže dva operátory komutují, pak mají společný systém vlastních funkcí (předpokládejte pro jednoduchost nedegenerovaná vlastní čísla). 3.4 Princip superpozice 3.10.) Jak spolu souvisí princip superpozice a vlastnosti Hilbertova prostoru? 3.11.) φ, ψ jsou normované vlnové funkce, jaké vlastnosti musí splňovat koeficienty c 1, c 2 C, aby c 1 φ + c 2 ψ byla normovaná vlnová funkce. Jaký je jejich význam? 3.5 Střední hodnota operátoru 3.12.) Najděte střední hodnoty operátorů x, x 2, p, p 2 a ověřte relace neurčitosti ve stavech popsaných vlnovými funkcemi (A je normalizační konstanta, 6

7 a, L jsou pevně daná reálná čísla): a) ψ = Ae x2 b) ψ = Ax(L x) pro 0 < x < L a jinak ψ = 0 Řešení: a) A = 4 1, < x >= 0, < x2 >= a2 πa 2 2, < p >= 0, < p2 >= 2 (2a 2 ) relace neurčitosti: (< x 2 > < x > 2 )(< p 2 > < p > 2 ) = 2 4 ( 2 )2 je splněna dokonce s rovností b) A = 30 L, < x >= L 5 2, < x2 >= 2L2 7, < p >= 0, < p2 >= 10 2 L 2 (< x 2 > < x > 2 )(< p 2 > < p > 2 ) = ( 2 )2 je splněna 3.6 Vývoj stavu 3.13.) Napište základní rovnici popisující vývoj stavu, vyřešte ji pro případ hamiltoniánu nezávislého na čase. Jaký je rozdíl mezi stacionárním a nestacionárním stavem. Napište časový vývoj stacionárního a nestacionárního stavu. 3.7 Axiom o měření 3.14.) Předpokládejme, že máme dva systémy, které se nacházejí ve stavu popsaném stejnou vlnovou funkcí. Na každém systému jednou změříme veličinu A a získáme různé hodnoty. Je to možné? Co můžeme říci o stavu obou systémů před a po měření? 3.15.) Máme systém v neznámém stavu. Změříme veličinu A a dostaneme hodnotu A 1. Ihned poté toto měření zopakujeme. Jakou hodnotu naměříme? 3.16.) Máme k dispozici jediný systém nacházející se v neznámém stavu popsaném vlnovou funkcí ψ. Jak je možné tuto funkci určit? 3.8 Rozšiřující úlohy 3.17.) (*) Odvoďte vztah: [ x, f( B)] = f x ( B). Vypočtěte [, f( B)] ) Vypočtěte komutátory: [ŷ p y, ŷ], [ x p, x + p], [ x, ], [ p x, ], [ x, T ], [ x, V ( x )], [ p, T ], [ p, V ( x )] [ x, L 1 ], [ŷ, L 2 ], [ p x, L 1 ], [ p y, L 1 ], [ L 1, L 2 ] 7

8 3.19.) Dokažte, zda operátory násobení reálnou a komplexní funkcí f jsou/nejsou hermitovské ) Najděte operátor hermitovsky sdružený k operátoru dn dx n, L, a T ) (*) Dokažte: exp( i a p x)f(x) = f(x a), kde exp(â) chápeme v rozvoji do řady jako: exp  = 1 n=0 n! (Â)n 3.22.) (*) Jaké vlastnosti musí splňovat vlnové funkce φ, ψ, aby operátor p = i d splňoval podmínku hermitovosti i na konečném intervalu (a, b)? dx Řešení některých komutátorů: [ŷ p y, ŷ] = i ŷ, [ x p, x + p] = 2i, [ x, ] = 2 d dx, [ p x, ] = 0, [ x, T ] = i m p, [ x, V ( x )] = 0, [ p, T ] = 0, [ p, V ( x )] = i V ( x ) [ x, L 1 ] = 0, [ŷ, L 2 ] = 0, [ p x, L 1 ] = 0, [ p y, L 1 ] = i p 3, [ L 1, L 2 ] = i L 3 [ L 1, L 2 ] = 0, [ L i, L 2 ] = 0 8

9 4. Relace neurčitosti 4.1.) Ukažte, že Brownův pohyb lze popisovat klasicky (tj. lze zanedbat důsledky relací neurčitosti). Parametry pohybující se částice m = kg, průměr d 1 µm, polohu lze určit s přesností asi x = d/100, v = 10 6 m/s. 4.2.) Ukažte, že pokud změříme polohu elektronu v základním stavu atomu vodíku, tak téměř jistě tím změníme jeho stav. Tj. je nemožné měřit trajektorii tohoto elektronu. Do popisu atomu vodíku je nutné zahrnout kvantové jevy. 4.3.) Porovnejte neurčitost určení rychlosti elektronu a protonu, pokud obě částice uzavřeme do objemu o velikosti atomu (cca m). Co to znamená pro trajektorii elektronů? [7, m s 1, 4, m s 1 ] 4.4.) Určete minimální energii elektronu a protonu, pokud obě částice uzavřeme do objemu o velikosti atomového jádra (cca m). Porovnejte se skutečnými energiemi. 4.5.) Elektron, který se pohybuje rychlostí 10 6 m s 1, dopadne na fosforeskující stínítko. Polohu záblesku můžeme určit s přesností 10 4 m. Určete minimální nepřesnost v určení rychlosti elektronu. Je lepší se v tomto případě dívat na elektron jako na částici nebo ako na vlnu? [1 m s 1 ] 4.6.) Dalo by se použít principu neurčitosti k vysvětlení, proč při teplotě 0 K musejí mít atomy v krystalu nějakou nenulovou energii, ale pro atomy ideálního plynu nic takového neplatí (tj. při 0 K mohou mít nulovou energii)? 5. Jednoduché systémy 5.1 Nekonečná potenciálová jáma Zadání: Máme potenciál, který je nulový v intervalu (0, L) a nekonečný (V ) mimo něj (uvažujeme jednorozněrnou úlohu). 5.1.) a) Nakreslete si obrázek celé situace. Kde se částice může pohybovat? b) Napište hamiltonián částice v jámě. Napište a vyřešte stacionární Schrödingerovu rovnici pro tuto částici c) Jak zní okrajové podmínky a jak se promítnou do možných hodnot energie této částice? Jaké hodnoty může nabývat kvantové číslo n? 9

10 d) Napište hodnotu energie a stacionární vlnovou funkci pro obecné n a pro hodnoty n = 1, 2, 3, 10. Pro uvedené hodnoty nakreslete amplituty a hustoty pravděpodobnosti. Nezapomeňte vlnové funkce normovat! Co na základě těchto obrázků lze říci o výskytu částice? Vyjmenujte vlastnosti energetických hladin a stacionárních vlnových funkcí. Které vlastnosti řešení stacionárních stavů platí obecně a které budou specifické pro tento problém? e) Pro klasické tělísko je n velmi velké. Jak odpovídají předchozí výsledky klasickému pohledu? 5.2.) Dokažte, že výše spočtené stacionární vlnové funkce jsou navzájem ortogonální. Proč by měly být na sebe kolmé? 5.3.) Na základě obrázků nejprve odhadněte a potom spočítejte střední hodnoty x, x 2, p, p 2 ve stacionárních stavech. 5.4.) Napište obecné řešení nestacionární Schrödingerovy rovnice. Vysvětlete význam koeficientů a spočtěte střední hodnotu energie v obecném stavu. 5.5.) Napište vlnovou funkci částice v této jámě, která je v takovém stavu, že pravděpodobnost naměření energie E 1 je rovna 50%, E 2 20% a E 3 30%. 5.6.) Mějme obecný stav popsaný v čase t=0 vlnovou funkcí ψ = Ax(L x). Jaká je pravděpodobnost, že v tomto stavu naměříme energii E 1, E 2, E 3? Rozložte tento obecný stav na součet stacionárních stavů. Jaká je střední hodnota energie v tomto stavu? 5.7.) Napište stav, který je v t = 0 superpozicí (součtem) základního a prvního excitovaného stavu. Jakou vlnovou funkcí bude systém popsán v obecném čase t? Zůstává vlnová funkce normovaná? Jaká je pravděpodobnost naměření E 1 v časech t = 0 s, 1 s, 2 s,... Určete časový průběh střední hodnoty souřadnice x v tomto stavu. Jak se výsledek liší od výsledku, který bychom získali ze stacionárního počátečního stavu. Své tvrzení podpořte výpočtem. 5.8.) Diskutujte, jak by se změnily výsledky předchozí úloh pro případ nekonečně hluboké jámy symetrické kolem počátku (tj. V = 0 pro x < l/2, jinak V ). Co se děje při l? 5.9.) Uvažujme částici v 2D a 3D krabici - tj. dvoj- resp. trojrozměrné pravoúhlé nekonečně hluboké jámě. Proveďte separaci proměnných ve stacionární Schrödingerově rovnici. Napište stacionární stavy a energie. Kdy mohou být energetické hladiny degenerované? 5.10.) Uvažujme čtvercovou 2D jámu (resp. kryhlovou 3D jámu). Určete stupeň degenerace několika nejnižších hladin. 10

11 5.11.) Mějme 2D potenciálovou jámu, ukažte, že při a = b/2 = L dojde k náhodné degeneraci energie stavů n 1 = 1, n 2 = 4 a n 1 = 2, n 2 = 2. pozn.: E = 2 8m ( n2 1 a + n2 2 2 b ) Potenciálový skok Zadání: Mějme (jednorozměrný) potenciál ve V = 0 pro x < 0 a V = V 0 > 0 pro x > ) a) Nakreslete obrázek. Najděte řešení stacionární Schrödingerovy rovnice pro E > V 0. b) Uvažujte pouze částice nalétávající z jedné strany. Určete koeficienty průchodu a odrazu pro E < V 0 i E > V 0. Porovnejte jejich hodnoty s klasickými hodnotami. c) Vytvořte graf závislosti koeficientu průchodu a odrazu na energii (resp. poměru energie částice a výšky schodu) ) a) Na tento potenciálový skok nalétávají ve směru kladné osy x částice s energii E a hmotností m. Jaká relativní část častic se od potenciálového schodu odrazí, a jaká projde, jestliže E = 4/3V.) b) Odrazí se nějaké částice, pokud by s touto energii na schod nalétávaly z opačné strany? (Využijte předchozí výpočty.) 5.14.) Svazek elektronů letí s kinetickou energii 80 ev v uzemněné kovové trubici. Elektrony potom vletí do druhé trubice s potenciálem 50 V. Situaci můžeme modelovat pomocí potenciálního skoku. Jaká část elektronů se odrazí zpět? Kolik by se jich odrazilo, pokud potenciál druhé trubice by byl -50 V? [asi 5%, asi 1% ] 5.3 Potenciálová bariéra, tunelový jev 5.15.) a) Nalezněte vlnové funkce v pravoúhlou potenciálovou bariérou (V = V 0 > 0 pro 0 x a, jinak V = 0). Řešte pro E castice > V 0 i 0 < E castice < V 0. b) Určete koeficienty odrazu R a průchodu T částice pravoúhlou potenciálovou bariérou (V = V 0 > 0 pro 0 x a, jinak V = 0). c) Nakreslete grafy závislosti R a T a) na energii α částice, která zdolává potenciálovou bariéru vysokou 15 MeV a širokou 1 fm. b) na šířce potenciálové bariéry výšky 15 MeV, jestliže je energie α částice 11

12 10 MeV, resp. 20 MeV. Jsou na křivkách nějaká zajímavá místa? Vysvětlete chování částice v takovém případě ) Spočítejte pravděpodobnost α rozpadu, pokud by částice α s kinetickou energii E = 5 MeV musela pro opuštění jádra překonat potenciálovou bariéru o výšce 15 MeV a šířce 0,5 fm. (pozn.. = 200 MeV fm) [cca 60%] 5.17.) Spočítejte pravděpodobnost, že míč o hmotnosti 1 kg a rychlosti 1 m/s projde milimetrovou (metrovou) zdí, na jejíž proražení by potřeboval energii 1 J. Potenciálová bariéra, tunelový jev výsledky 2mE 2m E V k =, κ = 2 2 Pro E castice > V 0 : C = k + κ 2κ Eei(k κ)a D = k κ 2κ Eei(k+κ)a A = 1 4kκ [4kκ cos(κa) 2i(k2 +κ 2 ) sin(κa)]ee ika B = 1 4kκ [ 2i(k2 +κ 2 ) sin(κa)]ee ika R = T = Pro 0 < E castice < V 0 : (k 2 κ 2 ) 2 sin 2 κa 4k 2 κ 2 + (k 2 κ 2 ) 2 sin 2 κa = V 2 sin 2 κa 4E(E V ) + V 2 sin 2 κa 4k 2 κ 2 4k 2 κ 2 + (k 2 κ 2 ) 2 sin 2 κa = 4E(E V ) 4E(E V ) + V 2 sin 2 κa C = ik + κ 2κ Eeika κa D = ik + κ 2κ Ee ika+κa A = E eika 4ikκ [(κ + ik)2 e κa (κ ik) 2 e κa ] = E eika 2kκ [(κ2 k 2 ) sinh κa + 2ik cosh κa] B = E eika 4ikκ [ (κ2 + k 2 )e κa + (κ 2 + k 2 )e κa ] = E eika 2kκ (κ2 + k 2 ) sinh κ T = (k 2 + κ 2 ) 2 sinh 2 κa R = 4k 2 κ 2 + (k 2 + κ 2 ) 2 sinh 2 κa 4k 2 κ 2 4k 2 κ 2 + (k 2 + κ 2 ) 2 sinh 2 κa, při κa 1 T 16k2 κ 2 k 2 + κ 2 e 2κa 12

13 5.4 Konečná jáma Potenciál je definován: V (x) = V 0 < 0 pro 0 < x < L, jinak V (x) = 0. Nakreslete obrázek, jakých hodnot může nabývat energie částice, která se pohybuje v tomto potenciálu? 5.18.) Použijte výsledky získané pro potenciální bariéru pro řešení konečně hluboké potenciálové jámy pro E > 0. Nakreslete závislost R a T na E ) Napište okrajové podmínky pro případ E < 0. Vysvětlete, z jakého důvodu jsou v jámě povolené jen některé hladiny (diskrétní spektrum). 5.5 Lineární harmonický oscilátor (LHO) 5.20.) Určete amplitudu nulových kmitů závažíčka na pružince (m = 1 g, ω = 1 s 1, g. = 10 m s 2 ). Určete vzdálenost energetických hladin a stupeň excitace tohoto oscilátoru při výchylce 1 cm ) Pro LHO v základním stavu napište vlnovou funkci, nakreslete hustotu pravděpodobnosti, vypočtěte pravděpodobnost nalezení částice mimo klasickou oblast ) Nakreslete vlnové funkce a hustoty pravděpodobnosti pro základní stav a několik prvních excitovaných stavů. Napište vlastnosti těchto funkcí (všímejte si symetrií, počtu nulových bodů, asymptot,...) ) Dvě částice na sebe navzájem působí pružnou silou a pohybují se volně podél osy x (uvažujeme jen jednorozměrný pohyb). Napište hamiltonián soustavy ve vhodné souřadné soustavě. Jak budou vypadat stacionární řešení a energie? 5.24.) Z relací neurčitosti určete spodní mez k energii LHO. (nápověda: Z ( a b) 2 0 plyne a + b 2 ab.) 5.25.) Spočtěte hustotu pravděpodobnosti nalezení částice v klasickém LHO. Ukažte, že se jedná o limitu kvantové hustoty pravděpodobnosti při n. (Návod: hustota pravděpodobnosti je úměrná době, po kterou se v daném kousku oscilátoru částice vyskytuje). 13

14 applety: kvantová jáma kvantový oscilátor ) V appletu se pokuste vytvořit takový nestacionární stav, který by se co nejlépe podobal vlnovému klubku, který nemá maximum uprostřed jámy. Sledujte a popište časový vývoj tohoto stavu ) a) V appletu si vytvořte postupně několik nestacionárních stavů, které budou tvořeny vždy superpozicí dvou stacionárních stavů. Sledujte časové vývoje jejich hustoty pravděpodobnosti. Vytvořte hypotézu, na čem závisí perioda vývoje. (Pozor, v appletu lze měnit rychlost animace, její rychlost bude ovlivněna i zvoleným časovým krokem a možná i rychlostí počitače.) b) Řešte stejnou úlohu pro částici v nekonečně hluboké jámě. c) Zkuste vytvořit společnou hypotézu, na čem závisí perioda takového nestacionárního stavu. Její formulace by měla být univerzální na jakékoli dva stacionární stavy částice v libovolném potenciálu. d) Ověřte hypotézu výpočtem. 5.6 Volná částice (x a) 2 ( 2d 2 ) ) Mějte vlnovou funkci ve tvaru vlnového klubka ψ(x, t) = ( 2d2 π )1/4 e Ověřte normovanost této vlnové funkce. Spočítejte < x >, < x 2 >, < p > a < p 2 > v tomto stavu ) Dokažte, že funkce ψ(x, t) = ( 2a2 π )1/4 1 ( a 2 +ibt )1/2 exp( x2 ) je řešením Schrödingerovy rovnice pro volnou částici (v jednorozměrném případě). a 2 +ibt Spočtěte a nakreslete vlnovou funkci, hustotu prsti a hustotu toku pravděpodobnosti v čase t = 0 s a v nějakém libovolném t > 0. Popište, jak se bude hustota pravděpodobnosti a hustota toku pravděpodobnosti vyvíjet v čase. 14

15 6. Základní postuláty QM souhrn 6.1.) Doplňte nebo upravte následující text tak, aby byl co nejpřesnější: Stav částice v okamžiku t je v kvantové mechanice... popsán... (s proměnnými...), která musí být... a mít všechny.... Z principu superpozice plyne, že prostor stavů je z matematického hlediska.... Vlnové funkce, které se liší pouze... konstantou popisují... stav(y) částice. Ortonormální funkce jsou... a na sebe navzájem.... Hermitovské operátory mají pouze... vlastní čísla. Dvě vlastní funkce, kterým přísluší... vlastní čísla, jsou navzájem ortogonální. Každé fyzikální veličině je přiřazen... a... operátor. Množina vlastních hodnot tohoto operátoru odpovídá množině... v experimentu. Skalární součin (ψ, F ψ) odpovídá... veličiny F ve... určenou z dostatečného množství opakování daného experimentu (za předpokladu, že ψ je... ). Množina všech vlastních funkcí ψ n tvoří... stavového prostoru. Pokud je systém popsán vlastní funkcí operátoru F, potom má v tomto stavu... hodnotu rovnou..., což znamená, že.... Ke komutujícím operátorům je možné nalézt jejich... systém vlastních funkcí. Pokud dva operátory nekomutují, potom... možné obě veličiny... změřit. Vývoj systému je popsán... Pokud hamiltonián systému nezávisí na čase jsou jediné možné hodnoty energie rovny... číslům... (tzv.... Schrödingerova rovnice). Ve stacionárních stavech jsou... nezávislé na čase. Nestacionární stavy získáme ) Rozhodněte o pravdivosti a případně opravte: a) Fyzikálně je vlnová funkce rovna hustotě pravděpodobnosti nalezení částice v daném místě a čase. b) Stav částice, který je dán superpozicí dvou jiných stavů, získáme sečtením obou hustot pravděpodobností s příslušnými koeficienty. c) K jednomu vlastnímu číslu existuje vždy právě jedna vlastní funkce. d) Není možné současně naměřit všechny složky hybnosti částice. e) Řešení stacionární Schrödingerovi rovnice nezávisí na čase. 15

16 7. Moment hybnosti 7.1.) Jakým způsobem se odvodí vyjádření operátoru momentu hybnosti (jeho složek), operátoru L 2 a T ve sférických souřadnicích? 7.2.) Pro jaké potenciály je moment hybnosti, resp. průmět momentu hybnosti do daného směru integrálem pohybu? 7.3.) Najděte vlastní stavy operátoru L z ve sférických souřadnicích. 8. Atom vodíku 8.1.) Na kterých kvantových číslech závisí energie a jednotlivé části vlnové funkce? Jaké hodnoty mohou nabývat kvantová čísla l, m při pevně zvoleném n? Rozepište detailně všechny možnosti pro n = 3. Určete stupeň degenerace energetické hladiny n. 8.2.) V tabulce jsou kvantová čísla pro různé stavy atomu vodíku. Určete, které stavy jsou možné a které jsou nemožné? n l m ) a) Kolik hodnot může nabývat l při pevně zvoleném n? b) Kolik hodnot může nabývat m při pevně zvoleném l? c) Kolik hodnot může nabývat m při pevně zvoleném n? d) Jaký je stupeň degenerace každé energetické hladiny? 8.4.) Jaká energie je třeba k utržení elektronu z atomu vodíku? Jaká je vlnová délka fotonu, který může excitovat vodík v základním stavu do prvního excitovaného stavu? Jakému přechodu odpovídá světlo vodíkové výbojky o vlnové délce 656 nm? 8.5.) Ověřte vlnové délky a barvy viditelných čar Balmerovy série ve spektru atomu vodíku. 8.6.) Jakým napětím je třeba urychlit elektron, aby měl dostatečnou energii a) k excitaci atomu vodíku ze základního stavu do první excitovaného stavu? b) k ionizaci atomu vodíku? 8.7.) Elektron v atomu vodíku vybudíme do 3. excitovaného stavu. Určete energii, která k tomu byla nutná. Vypočtěte a graficky znázorněte různé 16

17 možné energie (a vlnové délky) fotonů, které atom vodíku může vyzářit během návratu do základního stavu. Do kterých spektrálních sérii patří. 8.8.) Pro základní stav atomu vodíku spočítejte: r, r 2 a nejpravděpodobnější vzdálenost elektronu od jádra. Jaká je pravděpodobnost nalezení částice ve vzdálenosti větší než 3a? Jaká je pravděpodobnost nalezení elektronu v jádře (r jadro m)? (pozn. ψ 100 = Ne r/a, nezapomeňte normovat) 8.9.) Neutron o rychlosti 34 km/s se srazí s vodíkovým atomem v základním stavu v klidu. Ukažte, že tato srážka musí být pružná, tj. zachová se kinetická energie. (Návod: Ukažte, že atom se při této srážce nemůže excitovat.) 8.10.) Celková energie elektronu v základním stavu je -13,6 ev. Považujme ho za klasickou částici, která obíhá proton po kruhové dráze o Bohrově poloměru. Určete jeho potenciální energii, kinetickou energii a rychlost ) V roce 1996 se fyzikům podařilo vytvořit atom antivodíku. Ten se skládá z pozitronu, který se pohybuje kolem antiprotonu. Pozitron je antičástice elektronu a antielektron je antičástice protonu. Částice a antičástice mají stejnou hmotnost, ale opačný náboj. Jak se bude lišit spektrum antivodíku od spektra vodíku? 9. Spin 9.1 Částice v elmag. poli Hamiltonián bezespinové částice v elmag. poli je: H = 1 2m ( p q A ) 2 + qϕ 9.1.) Dokažte, že pro homogenní elektrické a magnetické pole lze potenciály vyjádřit jako: ϕ = r E a A = 1/2 r B. 9.2.) Ukažte, že ve slabém homogenním magnetickém poli lze hamiltonián bezspinové nabité částice psát jako H = 2m 1 p 2 2m q B L. Jaký je význam jednotlivých členů? Jak interakce s magnetickým polem přispívá k energii? 9.3.) Ukažte, že klasické kanonické Hamiltonovy pohybové rovnice odvozené z výše uvedeného hamiltoniánu odpovídají Newtonovým pohybovým rovnicím, v kterých vystupuje Lorentzova síla. (Pozn. p je kanonicky sdružená hybnost k polohovému vektoru r, je různá od p mech = m v.) 9.4.) Najděte operátor rychlosti v = (v 1, v 2, v 3 ) bezspinové částice v elektro- 17

18 magnetickom poli. Vypočtěte komutátor [v i, v j ]. 9.5.) Jak lze napsat vlnovou funkci volné částice ve sférických souřadnicích (pomocí vlastních funkcí T, L 2, L z? Jak se projeví zapnutí slabého homogenního magnetického pole na energii této částice v daném stacionárním stavu? Jak by se předchozí úvahy lišily pro částici ve sféricky symetrickém potenciálu? Uvažujete nabitou částici v homogenním magnetickém poli (A = ( By, 0, 0)). Najděte přesné řešení pro energie - tzv. Landauovy hladiny. (Hint: Vlnovou funkci předpokládejte ve tvaru ψ( x ) = χ(y)e i (p xx+p z z) ). 9.2 Maticová reprezentace momentu hybnosti 9.6.) Jaké jsou vlastní čísla a vlastní stavy operátoru momentu hybnosti? Jakými kvantovými čísly je označujeme? Budeme pracovat se systémem s konstantním celkovým momentem hybnosti l = 1. (Lze si to představit také tak, že máme elektron v atomu vodíku a známe jeho n a l, která se nebudou měnit. Měnit se tedy může pouze m.) 9.7.) Jaká je dimenze našeho Hilbertova prostoru? Zavedeme si následující značení pro jednotlivé stavy: 1 m = 1 ψ 1 = ( 1 3 ) sin θ 2 2π eiφ 0 1, m = 0 ψ 0 = ( 1 3 ) sin θ 1 1, 0 2 π 0 m = 1 ψ 1 = ( 1 3 ) sin θ 2 2π e iφ , ) Ověřte kolmost uvedených stavů v souřadnicové reprezentaci i v maticové reprezentaci. 9.9.) V našem značení je stav reprezentován vektorem se třemi složkami. Jak budou reprezentovány operátory? (Pozn.: Operátor působí na stav a vyrábí z něj jiný stav.) 18

19 9.10.) Jak lze vypočítat jednotlivé složky operátorů L x, L y, L z a L 2? Pokuste se spočítat složky L z. Výsledek předchozího příkladu aneb operátory: i 0 L x = L y = 2 i 0 i L z = i 0 L 2 = ) Proč jsou L z a L 2 diagonální? Dalo se to odhadnout již před výpočtem? Jaký je význam čísel na diagonále? 9.12.) Ověřte, že i v maticové reprezentaci zůstaly v platnosti vztahy: L 2 x + L 2 y + L 2 z = L 2, [L x, L y ] = i L z, [L x, L 2 ] = 0 atd., L z l, m = m l, m, L 2 l, m = 2 l(l + 1) l, m 9.13.) Jak by vypadala maticová reprezentace, pokud bychom pracovali při l = 3, resp. při obecně zvoleném pevném l? 9.3 Spin 9.14.) Na základě zkušeností z předchozí kapitoly odhadněte, jaké hodnotě l by odpovídala maticová reprezentace s maticemi 2x2. Maticová reprezentace spinu: (( ) ( ) ( S = i 1 0,, i kde σ jsou tzv. Pauliho matice )) = 2 σ, 9.15.) Vlastnosti Pauliho matic přímým výpočtem ukažte: a) σ i σ j = δ ij 1 + iϵ ijk σ k, b) [σ i, σ j ] = 2iϵ ijk σ k, c) {σ i, σ j } σ i σ j + σ j σ i = 2δ ij ) Ověřte, že složky spinu splňují stejné komutační relace jako složky momentu hybnosti ) Vypočtěte S ) Spočtěte [S 2 x, S z ] pro spin 1/2. 19

20 9.19.) Kolik prvků bude mít báze tohoto prostoru? Zvolte pro ně nějaké označení. Jaký je jejich fyzikální význam? (Všimněte si diagonálnosti matic!) 9.20.) Určete vlastní stavy a vlastní čísla S x, S y, S z, S 2. ( ) cos(θ/2) 9.21.) Pro částici ve spinovém stavu určete možné naměřitelné sin(θ/2) hodnoty pro průmět spinu S z, příslušné pravděpodobnosti a střední hodnotu S z v tomto stavu ) Spočtěte operátor Ŝ n průmětu spinu do směru n = (n x, n y, n z ) = ( cos(φ) sin(θ), sin(φ) sin(θ), cos(θ) ). Určete jeho vlastní čísla. Je výsledek překvapující? ( ) a 9.23.) Nechť částice je ve spinovém stavu popsaném vektorem, kde b a, b jsou reálná. Spočítejte pravděpodobnost naměření jednotlivých hodnot a střední hodnotu průmětu spinu do směru x, resp. y, resp. z ) a) Napište operátor průmětu spinu elektronu do směru (1,0,1) (pozor na normalizaci a jednotkovost). Najděte jeho vlastní hodnoty a funkce. Pracujte v reprezentaci Ŝz. b) Pomocí nehomogenního magnetického pole (jako v S-G experimentu) vytvoříme svazek elektronů s průmětem spinu do kladného směru osy z. Tento svazek necháme procházet dalším magnetem natočeným ve výše popsaném směru. Popište, co se stane (včetně číselných hodnot) ) Spočtěte pravděpodobnost naměření obou průmětů spinu do směru, který je odchýlen o úhel θ od osy z (φ = 0) ve stavu z+, tj. ve stavu, který odpovídá vlastnímu stavu s vlastní hodnotou +1/2 průmětu spinu do osy z ) Pomocí Stern-Gerlachova zařízení natočeného ve směru z vybereme z původně nepolarizovaného svazku pouze elektrony, které mají průmět spinu do osy z roven + /2. Tento svazek necháme projít dalším Stern-Gerlachovým přístrojem natočeným ve směru x, pokud dojde k rozštěpení svazku vybereme opět svazek s kladným průmetem spinu. Ten necháme projít Stern- Gerlachovým přístrojem natočeným opět ve směru z. Spočtěte poměry, v jakých se štěpí svazky ve všech přístrojích, a vysvětlete rozdíl, oproti klasickému chování. 20

21 9.4 Pauliho rovnice Pauliho hamiltonián (I jednotková matice 2x2, µ B = e 2m e Bohrův magneton): ( H P 1 = ( p q ) A ) 2 + qϕ + V I + µ 2m B σ B + HSO, kde H SO L S ) Vysledujte matematickou strukturu Pauliho rovnice (co je matice, co vektor, co skalár). Rozepište H P do matic ) Který člen odpovídá a) náboji ve vnějším elektrickém poli, b) náboji ve vnějším magnetickém poli, c) orbitálnímu magnetickému momentu ve vnějším poli, d) spinovému magnetickému momentu ve vnějším poli, e) vazbě mezi spinem elektronu a jeho orbitálním magnetickým polem ) V jakém případě bude člen odpovídající interakci spinu a vnějšího magnetického pole diagonální? V čem je to zajímavé/důležité? 10. Přibližné metody řešení úlov v QM 10.1 Variační počet 10.1.) Uvažujme částici v nekonečné potenciální jámě. Pomocí variačního počtu nalezněte vlnovou funkci základního stavu ve tvaru ψ = a λ x λ. Určete o kolik se liší energie tohoto základního stavu od přesného řešení ) Pomocí variační metody odhadněte energii základního stavu pro potenciál V (x) = Cx 4, kde C > 0. Minimalizaci proveďte na třídě funkcí ve tvaru ψ = 4 1 x2 exp( ), kde a je parametr. a 2 π 2a 2 Hint: x 2k e ax2 dx = (2k 1) π 0 2 k+1 a (2k+1)/ ) Pomocí variační metody odhadněte energii základního stavu pro potenciál V (x) = C x, kde C > 0. Minimalizaci proveďte na třídě funkcí ve tvaru ψ = 4 1 x2 exp( ), kde a je parametr. a 2 π 2a 2 21

22 10.2 Stacionární poruchový počet nedegenerované případy 10.4.) Elektron je vázaný na úsečku L/2 x L/2. Najděte korekce k energii dané malou poruchou V (x) = αx (resp. V (x) = βx 2 ). Jak se změní energie fotonu emitovaného při přechodu z prvního excitovaného stavu do základního? 10.5.) Jednorozměrný harmonický oscilátor s nábojem e vložíme do slabého elektrostatického pole s intenzitou E. Určete změnu energie základního stavu danou touto poruchou v prvním a druhém řádu poruchové teorie. Spočítejte i přesnou hodnotu energie a porovnejte ji s výsledkem poruchového výpočtu ) Uvažujme elektron se spinem 1/2 v silném magnetickém poli B ve směru osy z. Toto pole složíme se slabým polem b ve směru osy x. Najděte vlastní hodnoty energie a spinory přesně a pomocí poruchové metody. (Řešte pouze spinovou část Pauliho rovnice) 10.7.) Uvažujme neporušený hamiltonián H 0 a poruchu V dané maticemi: c 0 H 0 = V = c c Určete: - Korekci k energii v prvním řádu poruchového počtu. - Korekci k energii v druhém řádu poruchového počtu. - Korekci k vlastním stavům v prvním řádu poruchového počtu. - Korekci k vlastním stavům řádu poruchového počtu. - Rozviňte přesné energie v mocninách c a porovnejte s předchozími výsledky ) Spočítejte opravu (v prvním řádu poruchové teorie) energie základního stavu harmonického oscilátoru, pokud k hamiltoniánu přidáme první relativistickou opravu, tj. člen 1 p 4. 8 m 3 c 2 d Hint: 4 e x2 = (16x 4 48x )e x2 dx ) Zeemanův jev atom ve slabém homogenním magnetickém poli. a) Pro bezspinový elektron ukažte, že dojde k úplnému sejmutí degenerace vůči m. b) Uvažujte reálný elektron se spinem 1/2, H = H 0 + H LS + H B, kde H B = e B (L 2mc z + 2S z ). b1) Uvažujme velmi slabé mag. pole, které přidáme jako poruchu. b2) Uvažujme silnější magnetické pole, takže LS-vazbu přidáme jako poruchu. 22

23 10.3 Stacionární poruchový počet degenerované případy ) Ilustrujte použití poruchového počtu v degenerovaném případě na dvojhladinovém ( ) systému s energií E, kde porucha je popsána jako V = 0 V V ) Starkův efekt Jak se změní energie atomu vodíku v základním a prvním excitovaném stavu, pokud je vložen do homogenního elektrického pole? Počítejte v prvním řádu poruchové teorie a určete vlastní stavy přizpůsobené poruše Nestacionární poruchový počet ) LHO je umístěn v kondenzátoru a v čase t je v základním stavu. Zapneme a vypneme pole uvnitř kondenzátoru ϵ = ϵ 0 exp( t 2 /τ 2 ). Určete pravděpodobnost, že v čase t bude oscilátor v excitovaném stavu. Diskutujte vztah mezi pravděpodobností a velikosti parametru τ ) Porucha konstantní v čase v čase t = 0 je systém ve stacionárním stavu, v tomto čase zapneme konstantní poruchu. Spočtěte pravděpodobnost přechodu do jiného stacionárního stavu v daném čase t > ) Porucha periodická v čase v čase t = 0 začne působit porucha ve tvaru V = V exp(iωt) + V exp( iω), určete pravděpodobnost přechodu z počátečního stacionárního stavu i do koncového stacionárního stavu f v čase t > Vícečásticové systémy 11.1.) Typicky potenciální energie vzájmené interakce mezi dvěma částicemi závisí pouze na jejich relativní poloze r = r 1 r 2 (a ještě častěji jen na jejich relativní vzdálenosti r). Označme R = (m 1 r 1 + m 2 r 2 )/(m 1 + m 2 ). a) Rozmyslete si, že R udává polohu hmotného středu soustavy dvou částic. b) Odvoďte následující vztahy: r 1 = R + µ m 1 r, r 2 = R µ m 2 r, 23

24 1 = µ m 2 R + r, 2 = µ m 1 R r, kde µ = m 1 m 2 /(m 1 + m 2 ) je tzv. redukovaná hmotnost. c) Napište tvar stacionární Schrödingerovy rovnice. Co můžeme říci o řešení této rovnice, vzhledem k separovanosti souřadnic? 11.2.) Na základě předchozí úlohy opravte vztah pro energie elektronu v atomu vodíku náhradou hmotnosti elektronu redukovanou hmotností. a) Určete, jaké chyby (v procentech) jsme se dopustili při výpočtu vazbové energie elektronu v atomu vodíku. b) Najděte, jaký bude rozdíl ve vlnových délkách Balmerovy čáry (přechod z n = 3 na n = 2) pro vodík a deuterium. c) Určete vazbovou energii pozitronia (elektron obíhá kolem pozitronu). d) Určete, ve které části spektra bude ležet první čára Lymanovy série (přechod z n = 2 na n = 1) pro mionový vodík kolem protonu obíhá mion (částice, která má stejné vlastnosti jako elektron, ale je 207x těžší) ) Ukažte, že vlnová funkce pro dvě (resp. tři) nerozlišitelné částice musí být buď symetrická nebo antisymetrická. Vycházejte z toho, že vícečásticová vlnová funkce musí být vlastní funkcí operátoru permutace ) Uvažujte dvě vzájemně neinteragující částice v nekonečně hluboké jámě. Napište energii a příslušnou vlnovou funkci (funkce) základního a prvního exitovaného stavu, jestliže částice jsou a) různé, ale stejně těžké, b) identické bosony, c) identické ferminony. Diskutujte degeneraci obou stavů ) Ve stavu s S = 1 a L = 0 je potenciální energie neutronu a protonu (v těžišťovém systému) popsána funkcí V (r) = V 0 exp( r/a), kde a = 2, m a V 0 = 32 MeV. Variační metodou odhadněte vazbovou energii deuteronu. (Volte zkušební funkci ve tvaru ϕ(r) = A exp( αr), kde α je volný parametr a A je dáno normováním.) Porovnejte s experimentální hodnotou -2,225 MeV ) Zahrňte vzájemnou interakci obou elektronů v atomu helia do energie základního stavu a) poruchovou metodou b) variační metodou (tvar funkce volte jako bez zahrnutí vzájemné interakce, parametrem je v ní uvedený náboj jádra Z - stínění jádra druhým elektronem) c) jak by byla zahrnuta symetrie/antisymetrie prostorové části vlnové funkce při zahrnutí možných spinových stavů, jak se to projeví na spektru helia. 24