ÚLOHY Z ELEKTŘINY A MAGNETIZMU SADA 4

ÚLOHY Z ELEKTŘINY A MAGNETIZMU SADA 4 Ptr Dourmashkin MIT 6, přklad: Vítězslav Kříha (7) Obsah SADA 4 ÚLOHA 1: LIDSKÝ KONDENZÁTO ÚLOHA : UDĚLEJTE SI KONDENZÁTO ÚLOHA 3: KONDENZÁTOY ÚLOHA 4: PĚT KÁTKÝCH OTÁZEK ÚLOHA 5: VAN DE GAAFFŮV GENEÁTO 4 ÚLOHA 6: NÁBOJE 4 ÚLOHA 7: KULOVÝ POTENCIÁL 5 ÚLOHA 8: KONDENZÁTO 5 ŘEŠENÍ ÚLOH 6 ÚLOHA 1: LIDSKÝ KONDENZÁTO 6 ÚLOHA : UDĚLEJTE SI KONDENZÁTO 6 ÚLOHA 3: KONDENZÁTOY 6 ÚLOHA 4: PĚT KÁTKÝCH OTÁZEK 7 ÚLOHA 5: VAN DE GAAFFŮV GENEÁTO 7 ÚLOHA 6: NÁBOJE 7 ÚLOHA 7: KULOVÝ POTENCIÁL 8 ÚLOHA 8: KONDENZÁTO 9

Sada 4 Úloha 1: Lidský kondnzátor Jaká j přibližně kapacita typického studnta? Úloha : Uděljt si kondnzátor Mát roličku alobalu a roličku plastové balící fóli Jakou maximální kapacitu můž mít kondnzátor, ktrý s vám pohodlně vjd do kapsy? Úloha 3: Kondnzátory V obvodu ukázaném na obrázku j C =, 1 µf, C = 6, µf, C = 3, µf a V =1, V 3 V výchozím stavu jsou všchny kondnzátory vybity a spínač jsou rozpojné V čas t = s spn spínač S V čas t = T s spínač S rozpojí a téměř okamžitě s spn spínač S 1 V čas t = T s spínač S 1 rozpojí a téměř okamžitě s spn spínač S Spočítjt: (a) Náboj na C běhm < t <T (po spnutí S ) (b) Náboj na C 1 běhm T < t <T (c) Výsldné náboj na kondnzátorch (t > T ) Úloha 4: Pět krátkých otázk Otázka A Tři náboj lží na os x v vzdálnosti a od sb a jsou očíslovány od 1 do 3 zlva doprava ozložní potnciálu j ukázáno na obrázku Ktré tvrzní j pravdivé?

Intnzita lktrického pol j nulová 1 v jistém bodě mzi náboji 1 a a taktéž v jistém bodě mzi náboji a 3 v jistém bodě mzi náboji 1 a, al nikd mzi náboji a 3 3 nikd mzi náboji 1 a, avšak v jistém bodě mzi náboji a 3 4 nikd mzi náboji 1 a ani mzi náboji a 3 Otázka B Přdstavt si tři stjné hmotnosti, ktré s nacházjí v různých gravitačních potnciálch: A) V linárním potnciálu ( V x) B) V konstantním nnulovém potnciálu C) V konstantním nulovém potnciálu, al v místě s V = Ktré tvrzní j pravdivé? 1 Ani jdna hmota s nbud urychlovat Pouz A s urychluj 3 Pouz B s urychluj 4 Pouz C s urychluj 5 A a B s urychluj, al A získá větší zrychlní 6 Všchny hmoty s urychlují, al B získá větší zrychlní 7 Všchny hmoty s urychlují, al C získá větší zrychlní Otázka C Na obrázku j bodový náboj + Q 1 v střdu pomyslné kulové Gaussovy plochy a jiný bodový náboj + Q j mimo tuto plochu Bod P lží na povrchu kulové plochy Ktré tvrzní j pravdivé? 1 Oba náboj + Q 1 a + Q přispívají k clkovému toku intnzity plochou, al pouz náboj + Q 1 přispívá k intnzitě lktrického pol v bodě P Oba náboj + Q 1 a + Q přispívají k clkovému toku intnzity plochou, al pouz náboj + Q přispívá k intnzitě lktrického pol v bodě P 3 Pouz náboj + Q 1 přispívají k clkovému toku intnzity plochou, al oba náboj + Q 1 a + Q přispívají k intnzitě lktrického pol v bodě P 4 Pouz náboj + Q přispívají k clkovému toku intnzity plochou, al oba náboj + Q 1 a + Q přispívají k intnzitě lktrického pol v bodě P 5 Pouz náboj + Q 1 přispívají k clkovému toku intnzity plochou i k intnzitě lktrického pol v bodě P 6 Pouz náboj + Q přispívají k clkovému toku intnzity plochou i k intnzitě lktrického pol v bodě P 3

Otázka D Přdstavt si dipól umístěný v homognním lktrickém poli Ktrý z násldujících výrazů týkající s síly F a momntu síly τ j pravdivý nhldě na orintaci dipólu? 1 F a τ F= a τ 3 F a τ= 4 F a τ= 5 F, al τ můž nbo nmusí být nulová 6 F můž nbo nmusí být nulová, al τ= Otázka E Tyč délky L j homognně nabita s liniovou hustotou náboj λ Vlikost intnzity lktrického pol v vzdálnosti z od střdu tyč podél kolmic k tyči procházjící střdm tyč j dána výrazm 1 3 4 5 λ L / L / 3 / xdx [ x + z ] λ L / xdx L / + λ [ x z ] zdx L / L / 3 / [ x + z ] λ L / zdx L / + [ x z ] λ L / dx L / + [ x z ] Úloha 5: Van d Graaffův gnrátor Při výuc jsm používal malý Van d Graaffův gnrátor, při plném nabití praskal Jaký náboj na něm byl? Uděljt co njlpší odhad nznámých, přičmž si rozmyslt, co vlastně odhadujt Úloha 6: Náboj Na obrázku j pomocí šumové txtury znázorněno lktrické pol vytvořné dvojicí nábojů lžících na os y v místch y = a y = d Náboj v y = j +Q (a) Jaké j znaménko náboj v y = d? (b) Kam směřuj lktrické pol v dolní části obrázku na os y? (c) Nyní zvažt lktrické pol v bodě P (na os v místě y = d) Jaké j v tomto bodě lktrické pol? Kladné, záporné nbo nulové? (d) Vypočítjt znaménko a vlikost náboj Q d v místě y = d 4

() Nyní si přdstavt třtí bodový náboj q aktuálně umístěný v značné vzdálnosti na os x Jaká prác musí být vykonána, aby s tnto náboj přsunul z své pozic do bodu P Poznámka: Pokud jst nvyřšili část (d), al potřbujt jjí výsldky, prostě používjt Q d Úloha 7: Kulový potnciál Elktrický potnciál pro kulově symtrické rozložní náboj j dán vztahm: Oblast I Vr V ( r) = + V ; < r <, Oblast II V V V ( r) = + ; r < r <, ( ) Oblast III V r = ; r >, kd V j potnciál v počátku a j vzdálnost v radiálním směru Graf j na obrázku Úloha 8: Kondnzátor Dskový kondnzátor má kapacitu C J připojn k zdroji lktromotorického napětí ε, dokud s zcla nnabij a pak j odpojn Dsky jsou poté odtažny na vzdálnost d, běhm tohoto děj s naměřný rozdíl potnciálů mzi nimi změní 4 Níž j sada otázk, jak s mění ostatní vličiny I když jsou navazující, odpovědi na přdchozí otázky novlivní možnost správné odpovědi na násldující otázky a) ozdíl potnciálů s 4 zvýší nbo sníží? b) Kolikrát s změní intnzita lktrického pol v důsldku zvětšní vzdálnosti? Nzapomňt uvést, zdali dojd k zsílní či zslabní pol c) Kolikrát s změní nrgi akumulovaná v lktrickém poli v důsldku zvětšní vzdálnosti? Nzapomňt uvést, zdali dojd k zvětšní či zmnšní nrgi d) Dilktrikum s rlativní prmitivitou κ bud zcla vyplňovat objm mzi dskami Kolikrát s změní nrgi akumulovaná v lktrickém poli? Vzrost nbo s zmnší? ) Jaký j objm dilktrika nutný k vyplnění oblasti mzi dskami? Mějt v patrnosti, ž vaš odpověď musí být vyjádřna pomocí proměnných dfinovaných výš, fyzikálních konstant a čísl 5

Řšní úloh Úloha 1: Lidský kondnzátor Dá s na to jít různě Jdna z možností j přdpokládat, ž jst zhruba válc s hustotou vody, jhož rozměry odpovídají vaší hmotnosti Osobně s cítím spíš jako koul Vš, co potřbuji vědět, j můj poloměr V prvním přiblížní j to zhruba mtr (Určitě budu mnší nž dst mtrů a větší nž dst cntimtrů) Takž má kapacita bud kolm C a 1 pf To nní špatná aproximac, podl skutčného měřní mám kapacitu kolm 17 pf Úloha : Uděljt si kondnzátor Při ralizaci budt přirozně vyrábět dskový kondnzátor (alobal, plast, alobal) a potom ho srolujt nbo poskládát, abyst vyplnili objm vaší kapsy Zamyslm s nad kapacitou dskového kondnzátoru: C = εa / d, kd ε = κε Plocha A zálží na tom, kolik si myslít, ž můžt do kapsy nacpat, zatímco prmitivita a tloušťka d závisí na fólii Budu přdpokládat, ž tloušťka bud o trochu mnší nž u listu papíru, d 3 µm a prmitivita j κ = 3 Uhádnout obě tyto hodnoty j snadné Vím, ž tloušťka papíru j kolm 6 µm (štos papíru o 5 listch j tlustý asi 3 cm) a jsm si docla jistý, ž obal j tnčí, al jn tak dvakrát, třikrát, nikoli řádově Také vím, ž běžná dilktrika, jako plasty či sklo, mají rlativní prmitivitu mzi jdničkou a šstkou, tak jsm si zvolil hodnotu z tohoto rozsahu Nžli s pokoušt o odhad A, raději budu uvažovat o objmu Objm tohoto sndvič j V = A( d + dal) 3Ad, za přdpokladu, ž alobal j stjně tlustý jako obalová fóli (soudě podl tuhosti hliníku, alobal nbud tlustější nž papír) Zbývá odhadnout objm kapsy Tn s pochopitlně můž měnit, odhadnu ji na 1 cm 1 cm cm Pak j přibližně Úloha 3: Kondnzátory C = ε A / d κε V / 3d µf (a) Spínač S 1 j rozpnutý, batri nní připojna k obvodu a tudíž na kondnzátorch nní žádný náboj (b) Spínač S 1 j spnutý, batri j připojna do séri s C 1 a C a tudíž na kondnzátorch bud stjný náboj rovný náboji na kvivalntním kondnzátoru 1 1 ( ) C = C + C = 1, 5 µf, kviv 1 ( ) Q T < t < T = Q = C V = 15 µc kviv kviv kviv (c) ozpojním S 1 s z obvodu odpojí batri To znamná, ž náboj na C 1 zůstan, jaký byl Q =15 µc 1 Náboj na C s rozdělí mzi C a C 3, protož jsou na stjném napětí (jsou zapojny parallně) Takž platí 6

3 3 3 ( ) V = Q/ C = V3 = Q3/ C3; Q + Q3 = Q t = T Q Q3 Q C = = C C Q C Náboj s rozdělí v poměru kapacit obou kondnzátorů: Úloha 4: Pět krátkých otázk Q = 1 µc, Q = 5 µc 3 Správné odpovědi jsou: A, B, C3, D5, E3 Úloha 5: Van d Graaffův gnrátor Praskání Van d Graffova gnrátoru j způsobno korónovým výbojm na jho povrchu, což nastan, pokud intnzita lktrického pol přkročí průrazné napětí vzduchu, E ~ 3 1 6 V/m Poloměr j kolm ~ 1 cm (možná míň, al s takhl pěkným kulatým číslm s dobř pracuj) Úloha 6: Náboj q E E = k q 3 µc = k (a) Náboj j záporný J zřjmé, ž jjich znaménka jsou opačná (b) Elktrické pol směřuj vzhůru Silnější záporný náboj účinkuj jako propad (c) Pol v bodě P j nulové J to zřjmé z tvaru silokřivk (d) Vím, ž v bodě P j intnzita nulová, tak pouz potřbujm najít náboj, ktrý by to způsobil: ( + Q) ( Q ) d Ey = k k = Qd = 4Q d ( d ) () K výpočtu prác potřbujm znát změnu potnciální nrgi, jinak řčno potřbujm znát změnu potnciálu Potnciál v bodě P můžm vypočítat suprpozicí potnciálů bodových nábojů V ( P) = k ( + Q) ( Qd ) + k d ( d ) = k ( + Q) ( 4Q) Q + k = k d ( d ) d Prác potřbná k přnsní náboj z nkončna (to, ž j náboj na os x j npodstatné, potnciál v jakémkoli nkončnu j nulový!) j: qq W = U = q V = qv ( P) = k d 7

Úloha 7: Kulový potnciál a) Intnzita j dána záporně vzatou drivací potnciálu a proto platí V Vr Oblast I: < r< : Er = = r V V Oblast II: < r<: Er = = r r V Oblast III: r >: Er = = r (b) Soustava j kulově symtrická, jako uzavřné plochy použijm kulové plochy r > Na povrchu koul j pol nulové, clkový náboj uvnitř uzavřné plochy j tak nulový < r < V této oblasti j S Q V E da = = 4π r = 4π V ε r Pro libovolné r z rozsahu < r < j proto náboj uvnitř kulové plochy rovn Q = V (konstantní kladný) a pro r > j náboj rovn nul To j možné jn thdy, když clkový náboj V bud rozložn na ploš r = : V ε V σ ( r = ) = = 4π ( ) 4 Skutčnost, ž v oblasti <r< s náboj uvnitř uzavřné plochy nmění, znamná, ž v této oblasti žádný náboj nní r < 3 Q V r Vr V této oblasti platí E da = = 4π r = 4π ε S Na rozdíl od přdchozí oblasti, kd byl náboj uvnitř plochy konstantní, nyní mám plynul narůstající náboj uvnitř plochy s zvětšujícím s poloměrm r Jlikož množství náboj narůstá stjně jako objm s r 3, rozložní náboj musí být homognní a hustota náboj tudíž bud konstantní: 3 4 3 V ( ) ( ) Vr Q= 4π ε = π r ρ r ρ r < = 3 ε 3 8

Úloha 8: Kondnzátor a) ozdíl potnciálů s 4 zvýší b) Jlikož náboj s nmění (zdroj j odpojn), nmůž s měnit ani lktrické pol K žádné změně ndojd! c) Elktrické pol j konstantní, al objm, v ktrém s vyskytuj s zvětšil, takž i nrgi musí narůst Kolikrát? Enrgi j U = QV/ Náboj s nzměnil, napětí s zvětšilo čtyřikrát, výsldně s proto nrgi zvětšila 4 d) Umístěním dilktrika s κ zslabí pol, takž i potnciál s κ zslabí Takž, s použitím téhož vzorc U = QV/ Enrgi poklsn κ ) Jak jnom přijít na objm? Musím si přdstavit průřz a vzdálnost mzi dskami První vztah vychází z výrazu pro kapacitu: C = ε A/ x, kd x j původní vzdálnost mzi dskami Typickou proměnnou d nmůžm použít, již jsm jí označili vzdálnost při oddální dsk Dál mám původní napětí V = E x, ktré s čtyřikrát zvětšilo při oddální dsk, takž 4 V = E( x + d ) Z těchto dvou rovnic získám vztah 4V = 4 Ex= E( x+ d) x= d/3 Nyní můžm použít kapacitu k získání plochy a vynásobním vzdálností mzi dskami (tď už x + d) získám objm xc dc d 4d C Objm = A ( x+ d) = ( x+ d) = + d = ε 3ε 3 9ε 9