Základní radiometrické veličiny

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Základní radiometrické veličiny"

Transkript

1 Základní radiometrické veličiny Radiometrické veličiny se v textech, se kterými jsem se setkal, zavádějí velmi formálně, např. iradiance E= dφ da.pokusiljsemsepřesnějipopsat,cojednotlivéfunkceznamenají.formálnízápisyjsouzde nahrazeny přesně formulovanými limitami. Tato práce v úvodních textech k radiometrii obvykle chybí. Nesvětelný úvod Nanázornéfyzikálníveličině rychlosti sipodrobněukážemevýznamlimitníhopřechodu,kterýse v různých obměnách bude často v tomto textu používat. ledujme bod pohybující se po přímce. V čase t je bod v místě s(t). Derivací funkce s podle t(pokud existuje) dostáváme okamžitou rychlost v(t)= ds dt (t)=lim s(t) s(t+h) h 0 h s(t 2 ) s(t 1 ) = lim. t 2 t 1 0 t t 1 <t 2, t t 1,t 2 2 t 1 Nechť I jemnožinavšechintervalůnar.uvažujmefunkci D:I R,kteráprokaždýčasovýinterval t 1, t 2 vrátívzdálenost,kterousledovanýbodběhemdanéhočasovéhointervaluurazil.přesněji D( t 1, t 2 )=s(t 2 ) s(t 1 ).FunkceDsiceneobsahujeinformaciookamžitépolozeboduvčase t,ale okamžitou rychlost můžeme z této funkce stále počítat: D( t 1, t 2 ) v(t) = lim t 2 t 1 0 t 1 <t 2, t t 1,t 2 t 2 t 1 = lim d t 1,t 2 0 t t 1,t 2 D( t 1, t 2 ) µ t 1, t 2 =(formálně)= dd dt (t). ymbolem µ t 1, t 2 jeoznačenavelikostintervalu t 1, t 2.ymbolem d t 1, t 2 jetakéoznačenavelikost intevalu.tytodvěfunkcesezačnoulišitažumnožinsvyššídimenzínežjedna. Vidíme, že D je funkcí intervalu(ne reálného čísla) a obsahuje veškeré informace pro výpočet okamžité rychlosti a nic navíc. Obráceně, ze znalosti okamžité rychlosti v každém čase t můžeme spočítat hodnotu funkce D pro každý interval: D( t 1, t 2 )= t 1,t 2 v(t) dt. Ukazuje se, že je účelnější při studiu některých fyzikálních veličin pracovat s reálnými funkcemi intervalu, křivky, plochy, objemu, atd. Tyto funkce se chovají jako speciální míry uvedených množin. Uvedemeještějedenpříklad.Nechť Qjemnožinavšech kvádrů tvaru q= i 1 i 2 i 3,kde i 1, i 2, i 3 jsoureálnéintervaly.uvažujmefunkci M: Q R,jejížhodnotaprodanýkvádr qjehmotnostčásti tělesa vymezené kvádrem q. Označme ještě d(q)= sup x y, x, y q tedy vzdálenost dvou nejvzdálenějších bodů množiny q, neboli průměr množiny q. Dále µ(q) značí objem množiny q. Pak můžeme počítat hustotu v bodě x a obráceně, funkci M můžeme určit z hustoty: M(q) ( x)= lim d(q) 0 µ(q) =(formálně)=dm d x, x q M(q)= ( x)d x. Typicky tedy v limitě, která se často nahrazuje zápisem formální derivace, najdeme nějakou funkci intervalu, plochy, objemu atd. dělenou velikostí tohoto intervalu, plochy, objemu. Vyšetřovaná funkce může mít i více proměnných, např. jedna proměná reprezentuje plochu, druhá interval, třetí prostorový úhel, atd. V limitním přechodu vždy přechází průměr nějaké množiny d k nule za doplňující podmínky, že sledovaný bod v množině trvale leží. Má-li množina dimenzi jedna(interval), dělíme v limitním přechodu délkou intrervalu. Má-li množina dimenzi dva(plocha), dělíme velikostí plochy a má-li množina dimenzi tři(objem), dělíme velikostí objemu. Ve všech případech tuto míru množiny značíme stejně: µ. q 1

2 Zavedení radiometrických veličin Nechť jeplocha,tj.podmnožinavprostorur 3,kterájeobrazemnějakéspojitéfunkce ϕ: 0,1 0,1 R 3. Parametrizace ϕ musí splňovat další vlastnosti, abychom mohli hovořit o ploše, ovšem v tomto textu stačí plochu chápat intuitivně. Po ploše mohou lézt dva mravenci, kteří se nikdy nepotkají, pokud nepřekonají okrajplochy.jedenmraveneclezepo vnitřní adruhýpo vnější straněplochy.normálovývektor vregulárnímboděplochy(kolmýnatečnourovinu)vždyorientujemetak,žesměřujeodplochyvenaje viditelný z vnější strany plochy. Dvě množinově shodné plochy se mohou lišit tím, která strana plochy se považuje za vnitřní a která za vnější. Tím, že rozhodneme, která strana je která, jsme plochu orientovali. Plocha může ale nemusí být ve scéně totožná s povrchem nějakého 3D tělesa nebo částí tohoto povrchu. Pokud je, pak plochu orinetujeme přirozeně tak, že vnější strana plochy směřuje vně tělesa a vnitřní strana dovnitř. Označme P množinu všech orientovaných ploch a I bude množina všech časových intervalů. Uvažujmefunkci Q:P I R,jejížhodnotavyjadřujemnožstvísvětelnéenergie,kterédopadnenavnější stranuplochyzačasovýinterval.konkrétnězápisem Q(, t 1, t 2 )vyjadřujememnožstvísvětelnéenergie,kterédopadnenavnějšístranuplochy začasovýinterval t 1, t 2.Fyzikálníjednotkouenergie Qje Joule[J]. Vzhledem k vlnové povaze světla je potřeba rozlišovat světelnou energii na různých vlnových délkách, nebo sečíst(integrálem) světelnou energii v určitém rozsahu vlnových délek. Při osvětlování modelované scény si ovšem vystačíme se zjednodušením tohoto problému: bude nám stačit uvažovat veškerou světelnou energii(tvoříme obraz ve stupních šedi, tj. sčítáme energii na všech viditelných vlnových délkách) nebo rozdělíme spektrum na barevné složky, například červenou, modrou, zelenou. každou barvou pracujeme zvlášť. Rozlišujeme tedy funkci Q pro každou barevnou složku. V dalším textu už vlnová délka nebude kvůli zjednodušení uvažována. Vzhledem k částicové povaze světla se hodí světelnou energii interpretovat jako počet fotonů násobený konstantou e(energií jednoho fotonu). Každý foton(na určité vlnové délce) je nositelem konstantní dále nedělitelné energie. Foton se vždy pohybuje přímočaře rovnoměrnou rychlostí c, dokud nenarazí na nějakou překážku. Z tohoto pohledu je Q množství fotonů, které dopadly na vnější stranu plochy za časovýinterval t 1, t 2.Totomnožstvísamozřejměnásobímekontantou e.dalšíosudfotonůpodosažení vnější strany plochy není v tuto chvíli podstatný. Je-li jen abstraktní plocha, která není povrchem žádného tělesa, pak fotony projdou plochou a dále pokračují v přímočarém pohybu. Je-li povrchem, fotony mohou měnit směr svého pohybu nebo mohou zaniknout(přejít v jinou formu energie). Částicový pohled na světelnou energii je užitečný, když si potřebujeme ujasnit směr šíření světelné energie(tj. směr pohybu fotonů). Matematický model ale využívá integrálů a derivací, tedy spojitou matematiku. Předpokládá se tedy, že je světelná energie dělitelná na libovolně malé části. větelnýtok(flux)jehodnotafunkceφ:p R,kterájedefinovánajako Q(, t 1, t 2 ) Φ(, t)= lim =(formálně)= dq d t 1,t 2 0 µ t t t 1,t 2 1, t 2 dt. (1) větelnýtokvyjadřujecelkový otisk světelnéenergienavnějšístraněplochy vokamžiku t.představit si to můžeme následovně: Po dobu jedné sekundy počítáme fotony, které dopadly na vnější stranu plochy a výsledek vynásobíme energií fotonu e. Pak upřesníme: počítáme fotony jen po dobu např. tisíciny sekundyavýsledeknásobíme1000e.pokudtonestačí,dálezkracujemečas závěrky.tímseblížíme k výše uvedené limitě. Často se počítá osvětlení scén, ve kterých se světelné podmínky(tok) v čase nemění. Pak je uvedená limitarovnaφ(, t) = Q(, 0,1 ),tj.popisujemnožstvíenergiedopadlénavnějšístranuplochy za jednotkový časový interval(za jednotku času). Navíc funkce Φ je pak konstantní v proměné t, takže časovou proměnnou v takovém případě nebudeme používat. Φ() je tedy rovno množství světelné energie dopadlé na vnější stranu plochy za jednotku času. Po dobu jedné sekundy tedy počítáme fotony dopadlé na vnější stranu plochy a výsledný počet vynásobíme konstantou e. Fyzikální jednotka světelného toku jewatt[js 1 ]. Kromě světelné energie dopadající na vnější stranu plochy bude potřeba měřit světelnou energii vyzářenou z vnější strany plochy(fotony, které opustily plochu) a dále bude potřeba často měřit jen 2

3 energii, která odpovídá jen některým fotonům, které přicházejí z vymezeného prostorového úhlu nebo jsou vyzářeny do vymezeného prostorového úhlu. Je proto rozumné přidat funkci Φ kromě proměnné typuplocha ještěproměnou typuprostorovýúhel U.Prostorovýúhelje(neorientovaná)plochana sféře, tedy souvislá množina směrů. ymbolem U označím množinu všech prostorových úhlů. Dále přidám k funkci Φ index, kterým rozliším, zda se jedná o přijatou nebo vyzářenou energii. Dostávám tak poněkud modifikovanéfunkceφ i aφ r : větelnýtokdopadajícínaplochu zesměrů UjehodnotafunkceΦ i : P U R.Jmenovitě Φ i (, U)jemnožstvíenergiedopadlénavnějšístranuplochy zevšechsměrů Uzajednotkučasu.měr pohybu každého započítaného fotonu je tedy opačný nějakému směru, který leží v U. větelnýtokvyzářenýplochou vesměrech UjehodnotafunkceΦ r : P U R.Jmenovitě Φ r (, U)jemnožstvíenergievyzářenévnějšístranouplochy dovšechsměrů Uzajednotkučasu.měr pohybu každého započítaného fotonu je nyní souhlasný s nějakým směrem v U. Množinu směrů U lzerozdělit nadvě disjunktnípodmnožiny.nasměry U 1,kteréjsoudosažitelnézvnějšíčástiplochy,anazbytek U 2.Jezřejmé,žeΦ i (, U)=Φ i (, U 1 ),Φ r (, U)=Φ r (, U 1 ), Φ i (, U 2 )=0,Φ r (, U 2 )=0. Pokud se neomezujeme na určitou množinu směrů vyzářené nebo dopadající energie, stačí volit U=Ω,kdeΩznačíjednotkovousféru.KvůlistručnostipíšemeΦ i (,Ω)=Φ i (),Φ r (,Ω)=Φ r (). Vdalšímtextubudemesvětelnouenergiisledovanounaplošeamnožiněsměrů zaostřovat do bodu a do paprsku. Provedeme to limitním přechodem sledované plochy do bodu a/nebo vymezeného prostorového úhlu do konkrétního směru. Kdybychom tento přechod provedli jen v argumentech funkce Φ, dostaneme nulu. Vychází to například z představy, že pravděpodobnost, že existuje foton, který se strefí přesnědovybranéhobodunebokterýmápřesnězvolenýsměr,jenulová.jetedyzřejmé,ževlimitním přechodu bude potřeba dělit velikostí zmenšované plochy nebo velikostí zmenšovaného prostorového úhlu, abychom dostali smysluplnou fyzikální veličinu. Zvolmeplochu P Panechťbod xležínaploše P.Intenzitaozáření(iradiance)bodu xna ploše Pjehodnotafunkce E: P Rdefinované E( x)= lim Φ i () µ() =(formálně)=dφ i d. (2) Intenzita vyzáření(radiozita) bodu x na ploše P je hodnota funkce B: P R definované B( x)= lim Φ r () µ() =(formálně)=dφ r d. (3) Takže iradiance je světelná energie přicházející se všech směrů(vnější strany plochy) k danému bodu x a radiozita je energie vyzářená bodem x do všech směrů vnější strany plochy. Fyzikální jednotka je [Wm 2 ]. Jepotřebaupozornit,žeuvedenéveličiny Ea Bjsouzávislénavolběplochy P.Hodnota E( x)a B( x)závisínaploše Pv ε-okolíbodu x.tutozávislostjetřebamítnapaměti,ikdyžjidoargumentů funkcí E a B nezapisujeme. Následujícíveličina intenzitazářeníplochyvdanémsměru sevliteratuřenevyskytuje.jezavedena pro účely tohoto textu jako mezistupeň mezi tokem Φ(závislost na množině směrů a celé ploše) a radiancí L(závislost na jediném směru a jediném bodě). Intenzitazářeníplochy vesměru ωjehodnotafunkce I r : P Ω Rdefinované Fyzikálníjednotkaintenzityzářeníje[Wsr 1 ]. θ n Φ r (, U) I r (, ω)= lim =(formálně)= dφ r d(u) 0 µ(u) d ω. (4) ω U ω P P Obrázek 1 Obrázek 2 3 x ω

4 Naobrázku1sedívámezbokuna rovnou plochu asledujemejejíintenzituzářenívesměru ω. Vidíme,žejevdanémsměrustejná,jakointenzitazáření rovné plochy,kterájekolmánasměr záření,pokudsamozřejměmezi a nenížádnápřekážkasvětla: I r (, ω)=i r (, ω). Zjevněplatí µ( )=cosθ µ(),kde θjeúhelmezinormálouplochy asměrem ω.vnásledujícím limitnímpřechodu,kdy světelnýválec I r přejdeve světelnýpaprsek L r (radiancebodu)semísto plochy pracujesplochou,tedysprůmětem,kterýjekolmýnasměr ω.tímbudezaručena nezávislost radiance na zvolené ploše. Předpokládámeplochu P Pananíregulárníbod x.zář(radiance)bodu xvesměru ωje hodnotafunkce L r : P Ω R,kterájedefinovanápro x Pasměr ω Ωtakto: L r ( x, ω)= lim I r (, ω) µ( ) = lim I r (, ω) cos θ µ() =(formálně)= di r cos θd = d 2 Φ r cos θdd ω, (5) zde θjeúhelmezinormálouplochy Pvbodě xasměrem ω.fyzikálníjednotkazářeje[wm 1 sr 1 ]. Analogicky,jakovyzářenáradiance L r zbodu xvesměru ωsedefinujepřijatáradiance L i zesměru ωvbodě x: formálně tedy: L i ( x, ω)= lim I i (, ω) cos θ µ(), L i ( x, ω)= kde I i(, ω)= lim d(u) 0 ω U d 2 Φ i cos θdd ω. Φ i (, U), µ(u) Jepotřebazdůraznit,žeradianceboduvdanémsměrunenízávislánavolběplochy P.Kdybychom stejnýmbodem xproložilijinouplochu P,kterámájinounormáluvbodě x(obrázek2),paksetypicky stane, že lim I r (, ω) µ() lim I r (, ω) µ(), ale L r ( x, ω)= lim I r (, ω) cos θ µ() = lim I r (, ω) cos θ µ(), takžefaktor1/cos θjemožnovnímatjako korekční koeficient,kterýzajistí,ževeličina Ljenezávislá navolběplochy P.Plochaovšemnesmíbýtorientovánatak,abynormálasvíralasesměrem ωúhelvětší než π/2.vtakovémpřípaděnenísměr ωdosažitelnýzvnějšístranyplochyaje L=0. P ω P P ω P x x x x paprsek Obrázek 3 Obrázek 4 Podél celého paprsku(kde nejsou překážky) naměříme stejnou hodnotu veličiny L. To znamená, žezvolíme-libod xvpaprskuaproložímejímplochu P,kteráprotínápaprsekvbodě x,adálejinde napaprskuvolímebod x aproložímejímplochu P,kterárovněžprotínápaprsekvezvolenémbodě (obrázek3),pakje L( x, ω)=l( x, ± ω).indexy L i resp L r aznaménko+nebo jepotřebadorovnice doplnitpodletoho,jakjsouorientoványplochy Pa P vzhledemkesměrupaprsku ω. peciálně,nechť xa x ležínatělesechspovrchem P a P atytobodyjsouvzájmeněviditelné (obrázek4).nechť ωjesměrod xk x.pak L r ( x, ω)=l i ( x, ω). 4

5 Vztahy mezi radiometrickými veličinami Radiometrické veličiny, které jsou zavedeny jako derivace podle plochy, času nebo prostorového úhlu jiných veličin, lze použít zpětně pro výpočet těchto jiných veličin integrováním. Viz též nesvětelný úvod: výpočet vzdálenosti D z rychlosti nebo výpočet hmotnosti z hustoty. ProtožejesvětelnýtokΦmožnopočítatzenergie Q,formálněΦ= dq dt (podrobněji viz rovnice 1), platí Q(, t 1, t 2 )= Φ(, t)dt. Protožejeiradiance EpočítánazpříchozíhotokuΦ i,formálně E= dφ i d,aradiozita Bzodchozíhotoku Φ r,formálně B= dφ r ds (podrobněji viz rovnice 2, 3), je Φ i ()= E( x)ds, Φ r ()= B( x) ds. Protožeintenzituzářeníplochyvesměru I r jemožnopočítatzφ r,formálně I r = dφ dω (podrobnějiviz rovnici 4), je Φ r (, U)= I r (, ω)d ω. (6) U t 1,t 2 Protožeradianci L r jemožnopočítatzφ r,formálně L r = d2 Φ r cos θdsd ω (podrobnějivizrovnici5),je Φ r (, U)= U L r ( x, ω)cosθdsd ω. Vevnitřnímintegráluseintegrujepodleproměnné xpřesplochu,přitomseměníiθ,cožjeúhelmezi (konstantním)směrem ωa(proměnlivou)normálouplochy n x vbodě x.pokudnaploše existujíbody x,zekterýchsměr ωnenídosažitelnývnějšístranouplochy(tj. θ > π/2),jesamozřejmě L r ( x, ω)=0.ve vnějším integrálu se integruje podle proměnné ω přes množinu směrů. Podle Fubiniovy věty lze pořadí integrování obrátit, tedy Φ r (, U)= L r ( x, ω)cosθd ωds. U Analogickévztahyplatípro L i aφ i. Veličina E (iradiance) zahrnuje energii přicházející ze všech směrů k danému bodu x. Je-li bod xregulárníbodplochy P,množinavšechpřípustnýchsměrů,zekterýchjemožnoozářitbod x,tvoří hemisféru Ω x,p = { ω;úhelmezi ωanormálou n x jemenšínež π/2}. Takževtomtopřípadělze EpočítatjakointegrálzL i takto: E( x, P)= L i ( x, ω)cosθd ω. Ω x,p V tomto integrále se rovněž mění θ, tentokrát kvůli tomu, že se mění ω, zatímco normála je konstantní. Analogickylzepočítat Bpomocí L r jako B( x, P)= L r ( x, ω)cosθd ω. Ω x,p Ztěchtointegrálůjeznovavidětzávislostveličin Ea Bnaploše P. Je potřeba upozornit, že pro singulární body(například hrany nebo kouty) je možné použít přímo definici E resp. B, ale ne zde uvedené integrální vzorce. V singulárních bodech není totiž L definováno a také integrovaná množina není nutně hemisféra. Radiozitní metoda předpokládá B jako integrál přes hemisféru, tj. pracuje s veličinou B jen v regulárních bodech plochy. Přirozeně pak v singulárních bodech plochy(např. v koutech) tato metoda selhává. 5

6 větelné zdroje Výkon(power)světelnéhozdrojejeΦ r (P),kde Pjeplochaobklopujícísvětelnýzdroj(např.sféra) a měří se jen světelná energie pocházející ze světelného zdroje(tedy nikoli např. odražené světlo). Mezi zdrojem světla a obklopující plochou P nesmí být žádné překážky. Je zřejmé, že výkon zdroje nezávisí navolběobklopujícíplochy P.Jerozumnéza P volitpovrchsvětelnéhozdrojeavpřípaděbodového zdroje sféru se středem ve zdroji. Zářivostzdroje(radiantintenzity)je I r (P, ω),kde Pjeplochaobklopujícísvětelnýzdrojaωje zvolenýúhel.vpřípaděideálníhobodovéhozdrojeplocha Pvdanémsměru ωzářívjedinémbodě (singularita)azářivost I r (P, ω)jeprovšechnysměry ωshodnáajerovna I=Φ r (P)/4π(výkonuzdroje děleném plochou jednotkové koule). Tato rovnost je důsledkem rovnice(6): Φ r (P)=Φ r (P,Ω)= Ω I r (P, ω)dω= Ω Idω= I dω=i 4π. Ω 6

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010)

1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010) 1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010) Pravděpodobnost pojmy 1. Diskrétní pravděpodobnostní prostor(definice, vlastnosti, příklad). Diskrétní pravděpodobnostní prostor je trojice(ω, A, P), kde

Více

+ ω y = 0 pohybová rovnice tlumených kmitů. r dr dt. B m. k m. Tlumené kmity

+ ω y = 0 pohybová rovnice tlumených kmitů. r dr dt. B m. k m. Tlumené kmity Tlumené kmit V praxi téměř vžd brání pohbu nějaká brzdicí síla, jejíž původ je v třecích silách mezi reálnými těles. Matematický popis těchto sil bývá dosti komplikovaný. Velmi často se vsktuje tzv. viskózní

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,

Více

Euklidovský prostor Stručnější verze

Euklidovský prostor Stručnější verze [1] Euklidovský prostor Stručnější verze definice Eulidovského prostoru kartézský souřadnicový systém vektorový součin v E 3 vlastnosti přímek a rovin v E 3 a) eprostor-v2, 16, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c)

Více

Spojitost funkcí více proměnných

Spojitost funkcí více proměnných Reálné funkce více proměnných Reálnou funkcí n reálných proměnných rozumíme zobrazení, které každé uspořádané n ticireálnýchčíselznějaképodmnožinykartézskéhosoučinur R=R n přiřazuje nějaké reálné číslo.

Více

Akustika. Rychlost zvukové vlny v v prostředí s hustotou ρ a modulem objemové pružnosti K

Akustika. Rychlost zvukové vlny v v prostředí s hustotou ρ a modulem objemové pružnosti K zvuk každé mechanické vlnění v látkovém prostředí, které je schopno vyvolat v lidském uchu sluchový vjem akustika zabývá se fyzikálními ději spojenými se vznikem zvukového vlnění, jeho šířením a vnímáním

Více

K přednášce NUFY028 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 01 10. Spojitá prostředí: rovnice struny Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 2014

K přednášce NUFY028 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 01 10. Spojitá prostředí: rovnice struny Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 2014 K přednášce NUFY8 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 1 1 Spojitá prostředí: rovnice strun Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 14 Spojitá prostředí: rovnice strun Dosud jsme se zabývali pohbem soustav

Více

(Auto)korelační funkce. 2. 11. 2015 Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada www.fzu.cz/ ~ cada

(Auto)korelační funkce. 2. 11. 2015 Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada www.fzu.cz/ ~ cada (Auto)korelační funkce 1 Náhodné procesy Korelace mezi náhodnými proměnnými má široké uplatnění v elektrotechnické praxi, kde se snažíme o porovnávání dvou signálů, které by měly být stejné. Příkladem

Více

Projekty do předmětu MF

Projekty do předmětu MF Univerzita Palackého v Olomouci Přírodovědecká fakulta Katedra optiky ZÁVĚREČNÁ PRÁCE Projekty do předmětu MF Vypracoval: Miroslav Mlynář E-mail: mlynarm@centrum.cz Studijní program: B1701 Fyzika Studijní

Více

Rezonanční elektromotor

Rezonanční elektromotor - 1 - Rezonanční elektromotor Ing. Ladislav Kopecký, 2002 Použití elektromechanického oscilátoru pro převod energie cívky v rezonanci na mechanickou práci má dvě velké nevýhody: 1) Kmitavý pohyb má menší

Více

ELEKTRICKÉ SVĚTLO 1 Řešené příklady

ELEKTRICKÉ SVĚTLO 1 Řešené příklady ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNCKÉ V PRAE FAKULTA ELEKTROTECHNCKÁ magisterský studijní program nteligentní budovy ELEKTRCKÉ SVĚTLO Řešené příklady Prof. ng. Jiří Habel DrSc. a kolektiv Praha Předmluva Předkládaná

Více

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0 Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud

Více

1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1.

1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1. 2. Některá důležitá rozdělení Diskrétní rozdělení. Alternativní rozdělení Ap) Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy náhodná veličina X nabývá pouze dvou hodnot a a pro její pravděpodobnostní funkci platí:

Více

Jak pracovat s absolutními hodnotami

Jak pracovat s absolutními hodnotami Jak pracovat s absolutními hodnotami Petr Matyáš 1 Co to je absolutní hodnota Absolutní hodnota čísla a, dále ji budeme označovat výrazem a, je jeho vzdálenost od nuly na ose x, tedy je to vždy číslo kladné.

Více

9. Úvod do teorie PDR

9. Úvod do teorie PDR 9. Úvod do teorie PDR A. Základní poznatky o soustavách ODR1 Diferenciální rovnici nazveme parciální, jestliže neznámá funkce závisí na dvou či více proměnných (příslušná rovnice tedy obsahuje parciální

Více

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS EEKTŘINA A MAGNETIZMUS XII Střídavé obvody Obsah STŘÍDAÉ OBODY ZDOJE STŘÍDAÉHO NAPĚTÍ JEDNODUHÉ STŘÍDAÉ OBODY EZISTO JAKO ZÁTĚŽ 3 ÍKA JAKO ZÁTĚŽ 5 3 KONDENZÁTO JAKO ZÁTĚŽ 6 3 SÉIOÝ OBOD 7 3 IMPEDANE 3

Více

Matematika 1 pro PEF PaE

Matematika 1 pro PEF PaE Derivace funkcí jedné proměnné / 9 Matematika pro PEF PaE 4. Derivace funkcí jedné proměnné Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Derivace funkcí jedné proměnné Nejjednodušší derivace 2 / 9 Derivace

Více

9. Umělé osvětlení. 9.1 Základní veličiny. e. (9.1) I =. (9.6)

9. Umělé osvětlení. 9.1 Základní veličiny. e. (9.1) I =. (9.6) 9. Umělé osvětlení Umělé osvětlení vhodně doplňuje nebo cela nahrauje denní osvětlení v případě jeho nedostatku a tím přispívá ke lepšení rakové pohody člověka. Umělé osvětlení ale potřebuje droj energie,

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ DO MNSP STAVEBNÍ INŽENÝRSTVÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2008 2009

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ DO MNSP STAVEBNÍ INŽENÝRSTVÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2008 2009 FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ DO MNSP STAVEBNÍ INŽENÝRSTVÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2008 2009 OBOR: POZEMNÍ STAVBY (S) A. MATEMATIKA TEST. Hladina významnosti testu α při testování nulové hypotézy

Více

Matematika pro chemické inženýry

Matematika pro chemické inženýry Matematika pro chemické inženýry Drahoslava Janovská Plošný integrál Přednášky Z 216-217 ponzorováno grantem VŠCHT Praha, PIGA 413-17-6642, 216 Povinná látka. Bude v písemkách a bude se zkoušet při ústní

Více

FYZIKÁLNÍ CHEMIE I: 2. ČÁST

FYZIKÁLNÍ CHEMIE I: 2. ČÁST Univerzita J. E. Purkyně v Ústí nad Labem Přírodovědecká fakulta FYZIKÁLNÍ CHEMIE I: 2. ČÁST KCH/P401 Ivo Nezbeda Ústí nad Labem 2013 1 Obor: Klíčová slova: Anotace: Toxikologie a analýza škodlivin, Chemie

Více

Rozptyl. Pozn.: rozptyl je nezávislý na posunu hustoty pravděpodobnosti na ose x, protože Var(X) mi určuje jen šířku rozdělení.

Rozptyl. Pozn.: rozptyl je nezávislý na posunu hustoty pravděpodobnosti na ose x, protože Var(X) mi určuje jen šířku rozdělení. Rozptyl Základní vlastnosti disperze Var(konst) = 0 Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) (nezávislé proměnné) Lineární změna jednotek Y = rx + s, například z C na F. Jak vypočítám střední hodnotu a rozptyl? Pozn.:

Více

Kapacita. Gaussův zákon elektrostatiky

Kapacita. Gaussův zákon elektrostatiky Kapacita Dosud jsme se zabývali vztahy mezi náboji ve vakuu. Prostředí mezi náboji jsme charakterizovali permitivitou ε a uvedli jsme, že ve vakuu je ε = 8,854.1-1 C.V -1.m -1. V této kapitole se budeme

Více

http://user.mendelu.cz/marik, kde je dostupný ve formě vhodné pro tisk i ve formě vhodné pro prohlížení na obrazovce a z adresy http://is.mendelu.

http://user.mendelu.cz/marik, kde je dostupný ve formě vhodné pro tisk i ve formě vhodné pro prohlížení na obrazovce a z adresy http://is.mendelu. Inženýrská matematika Robert Mařík Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg.

Více

CVIČENÍ č. 3 STATIKA TEKUTIN

CVIČENÍ č. 3 STATIKA TEKUTIN Rovnováha, Síly na rovinné stěny CVIČENÍ č. 3 STATIKA TEKUTIN Příklad č. 1: Nákladní automobil s cisternou ve tvaru kvádru o rozměrech H x L x B se pohybuje přímočarým pohybem po nakloněné rovině se zrychlením

Více

Úvod. Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali

Úvod. Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali NEURČITÝ INTEGRÁL Úvod Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali Umět pracovat s integrálním počtem Je důležité pro

Více

Výtok kapaliny otvorem ve dně nádrže (výtok kapaliny z danaidy)

Výtok kapaliny otvorem ve dně nádrže (výtok kapaliny z danaidy) Výtok kapaliny otvorem ve dně nádrže (výtok kapaliny z danaidy) Úvod: Problematika výtoku kapaliny z nádrže se uplatňuje při vyprazdňování nádrží a při nejjednodušším nastavování konstantních průtoků.

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

Seismografy a Seismické pozorovací sítě mají pro seismo

Seismografy a Seismické pozorovací sítě mají pro seismo Seismografy a Seismické pozorovací sítě mají pro seismologii tak zásadní důležitost jakou mají teleskopy pro astronomii či urychlovače pro fyziku. Bez nich bychom věděli jen pramálo o tom, jak vypadá nitro

Více

6. T e s t o v á n í h y p o t é z

6. T e s t o v á n í h y p o t é z 6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Přednáška STATISTIKA II - EKONOMETRIE Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Regresní analýza Cíl regresní analýzy: stanovení formy (trendu, tvaru, průběhu)

Více

Ele 1 elektromagnetická indukce, střídavý proud, základní veličiny, RLC v obvodu střídavého proudu

Ele 1 elektromagnetická indukce, střídavý proud, základní veličiny, RLC v obvodu střídavého proudu Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: ELEKTROTECHNIKA PRVNÍ ZDENĚK KOVAL Název zpracovaného celku: 30. 9. 203 Ele elektromagnetická indukce, střídavý proud, základní veličiny, RLC v obvodu střídavého proudu

Více

Elektronický učební text pro podporu výuky klasické mechaniky pro posluchače učitelství I. Mechanika hmotného bodu

Elektronický učební text pro podporu výuky klasické mechaniky pro posluchače učitelství I. Mechanika hmotného bodu Elektronický učební text pro podporu výuky klasické mechaniky pro posluchače učitelství I Mechanika hmotného bodu Autor: Kateřina Kárová Text vznikl v rámci bakalářské práce roku 2006. Návod na práci s

Více

ELEKTRICKÉ SVĚTLO 1 Řešené příklady

ELEKTRICKÉ SVĚTLO 1 Řešené příklady ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNCKÉ V PRAE FAKULTA ELEKTROTECHNCKÁ magisterský studijní program nteligentní budovy ELEKTRCKÉ SVĚTLO Řešené příklady Prof. ng. Jiří Habel DrSc. a kolektiv Praha Předmluva Předkládaná

Více

1 Funkce dvou a tří proměnných

1 Funkce dvou a tří proměnných 1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2

Více

GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY

GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY ARNOŠT VEČERKA VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ

Více

ŠROUBOVÝ A PROSTOROVÝ POHYB ROTAČNĚ SYMETRICKÉHO TĚLESA

ŠROUBOVÝ A PROSTOROVÝ POHYB ROTAČNĚ SYMETRICKÉHO TĚLESA ŠROUBOVÝ A PROSTOROVÝ POHYB ROTAČNĚ SYMETRICKÉHO TĚLESA Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc Pojem šroubového pohybu Šroubový pohyb je definován jako pohyb, jejž lze ve vhodném referenčním bodě rozložit

Více

Studium kladného sloupce doutnavého výboje pomocí elektrostatických sond: jednoduchá sonda

Studium kladného sloupce doutnavého výboje pomocí elektrostatických sond: jednoduchá sonda 1 Úvod Studium kladného sloupce doutnavého výboje pomocí elektrostatických sond: jednoduchá sonda V této úloze se zaměříme na měření parametrů kladného sloupce doutnavého výboje, proto je vhodné se na

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Clemův motor vs. zákon zachování energie

Clemův motor vs. zákon zachování energie Clemův motor vs. zákon zachování energie (c) Ing. Ladislav Kopecký, 2009 V učebnicích fyziky se traduje, že energii nelze ani získat z ničeho, ani ji zničit, pouze ji lze přeměnit na jiný druh. Z této

Více

Osvětlování a stínování

Osvětlování a stínování Osvětlování a stínování Pavel Strachota FJFI ČVUT v Praze 21. dubna 2010 Obsah 1 Vlastnosti osvětlovacích modelů 2 Světelné zdroje a stíny 3 Phongův osvětlovací model 4 Stínování 5 Mlha Obsah 1 Vlastnosti

Více

Kapitola 8: Dvojný integrál 1/26

Kapitola 8: Dvojný integrál 1/26 Kapitola 8: vojný integrál 1/26 vojný integrál - osnova kapitoly 2/26 dvojný integrál přes obdélník definice výpočet (Fubiniova věta pro obdélník) dvojný integrál přes standardní množinu definice výpočet

Více

17. Posloupnosti a řady funkcí

17. Posloupnosti a řady funkcí 17. Posloupnosti a řady funkcí Aplikovaná matematika III, NMAF073 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2011/12 17.1 Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí Definice Necht M je množina, f, f n : M R m, m, n N.

Více

1. Obyčejné diferenciální rovnice

1. Obyčejné diferenciální rovnice & 8..8 8: Josef Hekrdla obyčejné diferenciální rovnice-separace proměnných. Obyčejné diferenciální rovnice Rovnice, ve které je neznámá funkcí a v rovnici se vyskytuje spolu se svými derivacemi, se nazývá

Více

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S Plošné integrály příklad 5 Určete souřadnice těžiště části roviny xy z =, která leží v prvním oktantu x >, y >, z >. Řešení: ouřadnice těžiště x T, y T a z T homogenní plochy lze určit pomocí plošných

Více

PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU

PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU 6.1 Křivkový integrál 1. druhu Definice 1. Množina R n se nazývá prostá regulární křivka v R n právě tehdy, když existuje vzájemně jednoznačné zobrazení

Více

Část 3. Literatura : Otakar Maštovský; HYDROMECHANIKA Jaromír Noskijevič, MECHANIKA TEKUTIN František Šob; HYDROMECHANIKA

Část 3. Literatura : Otakar Maštovský; HYDROMECHANIKA Jaromír Noskijevič, MECHANIKA TEKUTIN František Šob; HYDROMECHANIKA HYDROMECHANIKA HYDROSTATIKA základní zákon hdrostatik Část 3 Literatura : Otakar Maštovský; HYDROMECHANIKA Jaromír Noskijevič, MECHANIKA TEKUTIN František Šob; HYDROMECHANIKA Hdrostatika - obsah Základn

Více

MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu

MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z PŘEDNÁŠEK JAN MALÝ Obsah 1. Parciální diferenciální rovnice obecně 1. Kvaazilineární rovnice prvního řádu 1 3. Lineární rovnice druhého řádu

Více

FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE. Úloha 4: Balmerova série vodíku. Abstrakt

FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE. Úloha 4: Balmerova série vodíku. Abstrakt FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE Datum měření:.. 00 Úloha 4: Balmerova série vodíku Jméno: Jiří Slabý Pracovní skupina: 4 Ročník a kroužek:. ročník,. kroužek, pondělí 3:30 Spolupracovala: Eliška Greplová

Více

1 Tepelné kapacity krystalů

1 Tepelné kapacity krystalů Kvantová a statistická fyzika 2 Termodynamika a statistická fyzika) 1 Tepelné kapacity krystalů Statistická fyzika dokáže vysvětlit tepelné kapacity látek a jejich teplotní závislosti alespoň tehdy, pokud

Více

Regulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím.

Regulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Regulární matice Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Věta. Pro každou čtvercovou matici A = (a ij ) řádu n nad tělesem (T, +, ) jsou následující podmínky ekvivalentní: (i) Řádky matice

Více

Komplexní analýza. Laplaceova transformace. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze

Komplexní analýza. Laplaceova transformace. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Komplexní analýza Laplaceova transformace Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Laplaceova transformace 1 / 18 Definice Definice Laplaceovou

Více

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ. Matematika 3. RNDr. Břetislav Fajmon, PhD. Autoři textu:

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ. Matematika 3. RNDr. Břetislav Fajmon, PhD. Autoři textu: FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Matematika 3 Garant předmětu: RNDr. Břetislav Fajmon, PhD Autoři textu: Mgr. Irena Růžičková RNDr. Břetislav Fajmon, PhD

Více

zejména Dijkstrův algoritmus pro hledání minimální cesty a hladový algoritmus pro hledání minimální kostry.

zejména Dijkstrův algoritmus pro hledání minimální cesty a hladový algoritmus pro hledání minimální kostry. Kapitola Ohodnocené grafy V praktických aplikacích teorie grafů zpravidla graf slouží jako nástroj k popisu nějaké struktury. Jednotlivé prvky této struktury mají často přiřazeny nějaké hodnoty (může jít

Více

3.2 Rovnice postupné vlny v bodové řadě a v prostoru

3.2 Rovnice postupné vlny v bodové řadě a v prostoru 3 Vlny 3.1 Úvod Vlnění můžeme pozorovat například na vodní hladině, hodíme-li do vody kámen. Mechanické vlnění je děj, při kterém se kmitání šíří látkovým prostředím. To znamená, že například zvuk, který

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

Kapitola 7: Integrál. 1/17

Kapitola 7: Integrál. 1/17 Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený

Více

Derivace. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Derivace. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

x y +30x, 12x+30 18y 18y 18x+54

x y +30x, 12x+30 18y 18y 18x+54 MA Řešené příklady 3 c phabala 00 MA: Řešené příklady Funkce více proměnných: Extrémy.Najděteaklasifikujtelokálníextrémyfunkce f(x,y)=x 3 +9xy +5x +7y..Najděteaklasifikujtelokálníextrémyfunkce f(x,y,z)=x

Více

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH 1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH V minulém semestru jsme studovali vlastnosti unkcí jedné nezávislé proměnné. K popisu mnoha reálných situací obvkle s jednou proměnnou nevstačíme. FUNKCE DVOU

Více

a n (z z 0 ) n, z C, (1) n=0

a n (z z 0 ) n, z C, (1) n=0 Mocniné řady Nechť 0, a 0, a, a 2,... jsou konečná komplexní čísla. Pak řadu funkcí a n ( 0 ) n, C, () naýváme mocninou řadou. Číslo 0 koeficienty mocniné řady. Onačme dále: se naývá střed mocniné řady,

Více

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2017 Studijní program: Fyzika Studijní obory: FFUM

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2017 Studijní program: Fyzika Studijní obory: FFUM Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 207 Studijní program: Fyzika Studijní obory: FFUM Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Příklad (25 bodů) Nechť (a) Spočtěte lim n x n. (b)

Více

Petr Chvosta. vlevo, bude pravděpodobnost toho, že se tyč na počátku intervalu τ B nachází nad vpravo

Petr Chvosta. vlevo, bude pravděpodobnost toho, že se tyč na počátku intervalu τ B nachází nad vpravo MOLEKULÁRNÍ MOTORY Petr Chvosta. Automobil v krupobití aneb brzděním k pohybu Uvažme automobil stojící na mírném svahu a bombardovaný rovnoměrně ze všech stran obrovskými kroupami. Svah stoupá směrem doprava

Více

Netlumené kmitání tělesa zavěšeného na pružině

Netlumené kmitání tělesa zavěšeného na pružině Netlumené kmitání tělesa zavěšeného na pružině Kmitavý pohyb patří k relativně jednoduchým pohybům, které lze analyzovat s použitím jednoduchých fyzikálních zákonů a matematických vztahů. Zároveň je tento

Více

Reference 10. Předpokládejme stavový popis spojitého, respektive diskrétního systému

Reference 10. Předpokládejme stavový popis spojitého, respektive diskrétního systému Módy systému Teorie dynamických systémů Obsah Úvod 2 Příklady 2 3 Domácí úlohy 8 Reference Úvod Řešení stavových rovnic Předpokládejme stavový popis spojitého, respektive diskrétního systému ẋ(t)=ax(t)+bu(t)

Více

CHEMICKÁ ENERGETIKA. Celá termodynamika je logicky odvozena ze tří základních principů, které mají axiomatický charakter.

CHEMICKÁ ENERGETIKA. Celá termodynamika je logicky odvozena ze tří základních principů, které mají axiomatický charakter. CHEMICKÁ ENERGETIKA Energetickou stránkou soustav a změnami v těchto soustavách se zabývá fyzikální disciplína termodynamika. Z široké oblasti obecné termodynamiky se chemická termodynamika zajímá o chemické

Více

Parciální derivace a diferenciál

Parciální derivace a diferenciál Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Kontrolní otázky k 1. přednášce z TM

Kontrolní otázky k 1. přednášce z TM Kontrolní otázky k 1. přednášce z TM 1. Jak závisí hodnota izobarického součinitele objemové roztažnosti ideálního plynu na teplotě a jak na tlaku? Odvoďte. 2. Jak závisí hodnota izochorického součinitele

Více

MA2, M2. Kapitola 4. Vektorové funkce jedné reálné proměnné. c 2009, analyza.kma.zcu.cz

MA2, M2. Kapitola 4. Vektorové funkce jedné reálné proměnné. c 2009, analyza.kma.zcu.cz 79 Kapitola 4 Vektorové funkce jedné reálné proměnné 80 Definice 4.1(vektorová funkce jedné reálné proměnné) Nechť D R.Zobrazení x: D R n se nazývá vektorová funkce jedné reálné proměnné t s definičním

Více

2. Je dáno jevové pole (Ω;A) a na něm nezáporná normovaná funkce. Definujte distrubuční funkci náhodného vektoru.

2. Je dáno jevové pole (Ω;A) a na něm nezáporná normovaná funkce. Definujte distrubuční funkci náhodného vektoru. Varianta I 1. Definujte pravděpodobnostní funkci. 2. Je dáno jevové pole (Ω;A) a na něm nezáporná normovaná funkce. Definujte distrubuční funkci náhodného vektoru. 3. Definujte Fisher-Snedecorovo rozdělení.

Více

Masarykova univerzita. Základy konvexní analýzy a optimalizace v R n.

Masarykova univerzita. Základy konvexní analýzy a optimalizace v R n. Masarykova univerzita Ondřej Došlý Základy konvexní analýzy a optimalizace v R n. První vydání Brno 2004 Došlý Ondřej Název knihy c prof. RNDr. Ondřej Došlý, DrSc., 2005 Největší životní umění je neoptimalizovat

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

Kapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20

Kapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20 Kapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20 Okolí bodu 2/20 Značení: a R, ε > 0 O ε (a) = (a ε, a + ε) ε-ové okolí bodu a O + ε (a) = a, a + ε) pravé okolí, O ε (a) = (a ε, a levé okolí P ε (a) = O ε (a)

Více

A0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly

A0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly Matice Matice typu (m, n) je uspořádaná m-tice prvků z řádky matice.. Jednotlivé složky této m-tice nazýváme Matice se zapisují Speciální typy matic Nulová matice všechny prvky matice jsou nulové Jednotková

Více

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný

Více

Přijímací zkouška - matematika

Přijímací zkouška - matematika Přijímací zkouška - matematika Jméno a příjmení pište do okénka Číslo přihlášky Číslo zadání 1 Grafy 1 Pro který z následujících problémů není znám žádný algoritmus s polynomiální časovou složitostí? Problém,

Více

Parciální derivace a diferenciál

Parciální derivace a diferenciál Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Pravděpodobnost a statistika I KMA/K413

Pravděpodobnost a statistika I KMA/K413 Pravděpodobnost a statistika I KMA/K413 Konzultace 3 Přírodovědecká fakulta Katedra matematiky jiri.cihlar@ujep.cz Kovariance, momenty Definice kovariance: Kovariance náhodných veličin Dále můžeme dokázat:,

Více

Fyzikální korespondenční seminář MFF UK

Fyzikální korespondenční seminář MFF UK Úloha V.E... gumipuk 8 bodů; průměr 4,40; řešilo 25 studentů Závaží o hmotnosti m na gumičce délk l 0 je zavěšeno v pevném bodě o souřadnicích = = 0 a = 0. Z os, která je horizontálně, závaží pouštíme.

Více

4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu

4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu 4. Řešení základních tpů diferenciálních rovnic.řádu 4..4 Určete řešení z() Cauchov úloh pro rovnici + = 0 vhovující počáteční podmínce z =. Po separaci proměnných v rovnici dostaneme rovnici = d a po

Více

Biologické a akustické signály

Biologické a akustické signály TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Přednáška 4 Zbyněk Koldovský Projekt ESF CZ.1.07/2.2.00/28.0050 a inovace výuky technických předmětů. a inovace výuky

Více

Drsná matematika IV 7. přednáška Jak na statistiku?

Drsná matematika IV 7. přednáška Jak na statistiku? Drsná matematika IV 7. přednáška Jak na statistiku? Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 2. 4. 2012 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Co je statistika? 3 Popisná statistika Míry polohy statistických

Více

Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:

Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57 Úvod do infinitezimálního počtu Petr Hasil Prvákoviny 2015 c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny 2015 1 / 57 Obsah 1 Úvod Funkce Reálná čísla a posloupnosti Limita a spojitost

Více

ZÁKLADNÍ POJMY SVĚTELNÉ TECHNIKY

ZÁKLADNÍ POJMY SVĚTELNÉ TECHNIKY ZÁKLADNÍ POJMY SVĚTELNÉ TECHNKY 1. Rovinný úhel α (rad) arcα a/r a'/l (pro malé, zorné, úhly) α a α a' a arcα / π α/36 (malým se rozumí r/a >3 až 5) r l. Prostorový úhel Ω S/r (sr) steradián, Ω 4π 1 spat

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

6. Střídavý proud. 6. 1. Sinusových průběh

6. Střídavý proud. 6. 1. Sinusových průběh 6. Střídavý proud - je takový proud, který mění v čase svoji velikost a smysl. Nejsnáze řešitelný střídavý proud matematicky i graficky je sinusový střídavý proud, který vyplývá z konstrukce sinusovky.

Více

Základy matematické analýzy

Základy matematické analýzy Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních

Více

Fyzikální praktikum 1

Fyzikální praktikum 1 Fyzikální praktikum 1 FJFI ČVUT v Praze Úloha: #9 Základní experimenty akustiky Jméno: Ondřej Finke Datum měření: 3.11.014 Kruh: FE Skupina: 4 Klasifikace: 1. Pracovní úkoly (a) V domácí přípravě spočítejte,

Více

FYZIKA 4. ROČNÍK. Kvantová fyzika. Fotoelektrický jev (FJ)

FYZIKA 4. ROČNÍK. Kvantová fyzika. Fotoelektrický jev (FJ) Stěny černého tělesa mohou vysílat záření jen po energetických kvantech (M.Planck-1900). Velikost kvanta energie je E = h f f - frekvence záření, h - konstanta Fotoelektrický jev (FJ) - dopadající záření

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 8. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 14 Derivace funkce U lineárních funkcí ve tvaru

Více

DERIVACE FUNKCE KOMPLEXNÍ PROMĚNNÉ

DERIVACE FUNKCE KOMPLEXNÍ PROMĚNNÉ DERIVACE FUNKCE KOMPLEXNÍ PROMĚNNÉ vlastnosti holomorfní DERIVACE U reálných funkcí více reálných proměnných nebylo možné definovat derivaci analogicky definici reálné jedné reálné proměnné (nešlo dělit...)

Více

Geodetické polohové a výškové vytyčovací práce

Geodetické polohové a výškové vytyčovací práce Geodézie přednáška 3 Geodetické polohové a výškové vytyčovací práce Ústav geoinformačních technologií Lesnická a dřevařská fakulta ugt.mendelu.cz tel.: 545134015 Geodetické vytyčovací práce řeší úlohu

Více

Řešení: a) Označme f hustotu a F distribuční funkci náhodné veličiny X. Obdobně označme g hustotu a G distribuční funkci náhodné veličiny Y.

Řešení: a) Označme f hustotu a F distribuční funkci náhodné veličiny X. Obdobně označme g hustotu a G distribuční funkci náhodné veličiny Y. VII. Transformace náhodné veličiny. Náhodná veličina X má exponenciální rozdělení Ex(; ) a náhodná veličina Y = X. a) Určete hustotu a distribuční funkci náhodné veličiny Y. b) Vypočtěte E(Y ) a D(Y ).

Více

Řešené úlohy ze statistické fyziky a termodynamiky

Řešené úlohy ze statistické fyziky a termodynamiky Řešené úlohy ze statistické fyziky a termodynamiky Statistická fyzika. Uvažujme dvouhladinový systém, např. atom s celkovým momentem hybnosti h v magnetickém ) ) poli. Bázové stavy označme = a =, první

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom

Více

Tlumené kmitání tělesa zavěšeného na pružině

Tlumené kmitání tělesa zavěšeného na pružině Tlumené kmitání tělesa zavěšeného na pružině Kmitavé pohyby jsou důležité pro celou fyziku a její aplikace, protože umožňují relativně jednoduše modelovat řadu fyzikálních dějů a jevů. V praxi ale na pohybující

Více

Matematika 1. 1 Derivace. 2 Vlastnosti a použití. 3. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 16

Matematika 1. 1 Derivace. 2 Vlastnosti a použití. 3. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 16 Matematika 1 3. přednáška 1 Derivace 2 Vlastnosti a použití 3. přednáška 6.10.2009) Matematika 1 1 / 16 1. zápočtový test již během 2 týdnů. Je nutné se něj registrovat přes webové rozhraní na https://amos.fsv.cvut.cz.

Více