FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
|
|
- Erik Kraus
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
2 Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý, Oto Přibyl 4
3 Obsah 1 Úvod Cíle modulu Požadované znalosti Doba potřebná ke studiu Klíčová slova Křivkový integrál ve skalárním poli 5.1 Základní vlastnosti Geometrické a fyzikální aplikace křivkového integrálu ve skalární poli 9 3 Křivkový integrál ve vektorovém poli Základní vlastnosti Greenova věta Nezávislost křivkového integrálu na integrační cestě Kontrolní otázky, autotest 7 5 Studijní prameny. 3 3
4 1 Úvod 1.1 Cíle modulu Prostudováním kapitoly Křivkový integrál ve skalárním poli byste měli získat následující vědomosti a dovednosti: Umět vysvětlit integrální součet pro křivkový integrál ve skalárním poli na základě úlohy na stanovení hmotnosti oblouku. Znát vlastnosti křivkového integrálu a vztahy pro výpočet křivkových integrálu po oblouku v rovině i v prostoru; Porozumět vztahům pro geometrické a technické aplikace křivkového integrálu ve skalárním poli na základě příslušných integrálních součtů. Jde zejména o výpočet délky křivky, obsahu válcové plochy, těžiště a momentu setrvačnosti hmotného oblouku; Následující odstavce vás předběžně seznámí s obsahem této kapitoly Křivkový integrál ve vektorovém poli a přestaví vám studijní cíle, kterých máte dosáhnout: Seznámit se s integrálními součty pro křivkový integrál ve vektorovém poli, které dostaneme při řešení úlohy o nalezení práce silového pole po orientovaném oblouku. Tyto úvahy vyústí v definici křivkového integrálu ve vektorovém poli. Je třeba znát jeho vlastnosti a vztahy pro výpočet v rovinném i prostorovém vektorovém poli. Seznámit se s Greenovou větou, která umožňuje převést křivkový integrál v rovinném vektorovém poli na dvojný integrál. Je zapotřebí znát detailně všechny předpoklady pro její použití a umět ji aplikovat při řešení praktických úloh. Jednoduchou úvahou se přesvědčíte o správnosti vztahu pro výpočet obsahu rovinné oblasti užitím křivkového integrálu. Závěrečný odstavec je věnován nezávislosti křivkového integrálu na integrační cestě. Dozvíte se o různých druzích vektorových polí, o jejich charakterizaci a vzájemných vztazích. Naučíte se zjišt ovat, zda je pole nevírové, určovat potenciál a jeho užitím vypočítat zadaný křivkový integrál. 1. Požadované znalosti Pro zvládnutí křivkových integrálů je nezbytné dobře zvládnout problematiku kapitoly Dvojný integrál modulu Dvojný a trojný integrál a umět rovnice a grafy základních křivek v prostoru R 3. 4
5 1.3 Doba potřebná ke studiu Přibližně lze odhadnout potřebnou dobu ke studiu křivkového integrálu na 5 hodin. Pro získání zkušeností a zručnosti ve výpočtu bude ještě zřejmě zapotřebí další čas závislý na dosavadní početní praxi studenta. 1.4 Klíčová slova Křivkový integrál ve skalárním poli, základní vlastnosti křivkového integrálu ve skalárním poli, délka křivky, obsah části válcové plochy, těžiště hmotného oblouku, křivkový integrál ve vektorovém poli, práce v silovém poli, základní vlastnosti křivkového integrálu ve vektorovém poli, Greenova věta, nezávislost křivkového integrálu na integrační cestě, potenciální vektorové pole, potenciál, jednoduše souvislá oblast, plošně jednoduše souvislá oblast. Křivkový integrál ve skalárním poli.1 Zavedení pojmu, základní vlastnosti křivkového integrálu ve skalárním poli Průvodce studiem Před studiem této kapitoly je nutné si zopakovat základní pojmy z teorie křivek viz Modul Určitý integrál, Dodatek A. Necht je dán oblouk R, který má parametrické rovnice x = ϕ(t), y = ψ(t), t a, b. V každém bodě M křivky známe hustotu ϱ(m). Chceme znát hmotnost celé křivky. Na oblouku A i A i+1 si zvolíme libovolný bod M i = [ξ i, η i ] a vypočteme ϱ(ξ i, η i ) = ϱ(m i ). Předpokládejme, že ta stejná hustota je v každém bodě oblouku  i A i+1. Označme s i délku oblouku  i A i+1. Hmotnost tohoto oblouku  i A i+1 bude tedy dána přibližně vztahem m i = ϱ(m i ) s i. Celkem dostáváme n n m n = m i = ϱ (M i ) s i. i=1 i=1 Toto číslo jistě neudává hmotnost křivky přesně, ale přibližně. Položme ν n = max { s 1, s,..., s n } a přejdeme-li ve výrazu m n k limitě, tj. bude-li existovat limita n lim ϱ (M i ) s i, ν n i=1 5
6 pak tuto limitu nazveme hmotnost drátu ve tvaru křivky a budeme značit m. V naší úvaze, ale můžeme místo hustoty ϱ uvažovat libovolnou spojitou funkci f na oblouku. Integrální součet bude mít tvar n n S n = f (M i ) s i = f (ξ i, η i ) s i. i=1 i=1 Definice.1. Jestliže existuje konečná limita integrálního součtu lim S n = lim n n n f (ξ i, η i ) s i, i=1 která nezávisí jak na způsobu dělení křivky, tak na výběru bodů M i = [ξ i, η i ] na obloucích  i A i+1, pak tuto limitu značíme ıf (M)s = ıf (x, y)s. a nazveme ji křivkovým integrálem funkce f přes křivku. Věta.1. Necht oblouk je dán parametrickými rovnicemi x = ϕ(t), y = ψ(t), t a, b a funkce f (x, y) je spojitá na oblouku. Pak platí f (M) ds = f (x, y) ds = b f (ϕ (t), ψ (t)) ϕ (t) + ψ (t) dt. a Poznámka.1. Je-li dána křivka předpisem y = g(x), x a, b a derivace g je spojitá na a, b, pak platí f (x, y) ds = b a f (x, g (x)) 1 + (g (x)) dx. Je-li dána křivka předpisem x = h(y), y c, d a derivace h je spojitá na c, d, pak platí f (x, y) ds = d c f (h (y), y) 1 + (h (y)) dy. Příklad.1. Vypočtěte I = 6 xy ds,
7 kde je křivka R dána rovnicí x + y = ax, a >. Řešení: x = a + a cos t, y = a sin t, t, π I = a3 8 = a4 16 = a4 16 π π ( 1 (1 + cos t) sin t a 4 sin t + a 4 cos t dt ( sin t + cos t sin t ) dt = a4 16 [t 1 ] π [ 1 π ) sin t + t] 3 sin3 π sin t dt + = πa4 16. π cos t sin t dt Věta.. Necht oblouk je dán parametrickými rovnicemi x = ϕ(t), y = ψ(t), z = χ(t) t a, b a funkce f (x, y, z) je spojitá na oblouku. Pak platí f (M) ds = = b a f (x, y, z) ds f (ϕ (t), ψ (t), χ (t)) ϕ (t) + ψ (t) + χ (t) dt. Příklad.. Vypočtěte I = z x + y + z ds, kde je křivka R 3 dána parametrickými rovnicemi x = a cos t, y = a sin t, z = bt, t, π, a >, b >. Řešení: ϕ (t) + ψ (t) + χ (t) = a sin t + a cos t + b = a + b I = b a + b π π t a sin t + a cos t + b t dt = b a + b = b [ 1 ] π a + b a + b a + b b t = ( a + 4π b b a ). t a + b t dt 7
8 Příklad.3. Vypočtěte I = xy ds, kde křivka R 3 je průsečík ploch x + y + z a =, x + y ay =, x >, y >, z >, a >. Řešení: x = a sin t, y = a sin t, z = a cos t, t, π/, Odtud I = a 3 = a3 π/ 1 ϕ(t) = a cos t, ψ(t) = a sin t, χ(t) = a sin t. cos t sin 3 t 1 + sin t dt = (u 1) u du = a3 1 + sin t = u t = π/ sin t cos t dt = du u = 1 = ( 1 + ) a 3. [ 5 u5/ 3 u3/ ] 1 15 Věta.3. (Základní vlastnosti křivkového integrálu ve skalárním poli) (a) Linearita. Necht R n (n =, 3) je oblouk a funkce f a g jsou spojité na oblouku. Pak platí (c 1 f + c g)(m) ds = c 1 kde c 1 a c jsou libovolné reálné konstanty. f(m) ds + c g(m) ds, (b) Aditivita. Necht R n (n =, 3) je křivka, která je sjednocením dvou oblouků 1, a funkce f je spojitá na křivce. Pak platí f(m) ds = f(m) ds + 1 f(m) ds. Cvičení.1. Vypočítejte křivkové integrály po dané křivce : 1. 1 x y ds, kde je usečka AB, A = [, ], B = [4, ]; [ ] 5 ln. x ds, kde je oblouk AB křivky dané rovnicí y = ln x pro A = [, ln ], B = [1, ]; ( 5 5 ) ] 3. (x y) ds, kde je kružnice x + y ax =, a > ; [ 1 3 [ 1 πa] 8
9 4. (x + y + z ) ds, kde je oblouk šroubovice x = a cos t, y = a sin t, z = at, [ ] t, π, a > ; 3 πa3 (4π + 3) 5. z ds, kde je křivka x = t cos t, y = t sin t, z = t, t, [. 3 (4 )]. Geometrické a fyzikální aplikace křivkového integrálu ve skalární poli (a) Délka křivky L = ds. Příklad.4. Vypočtěte délku křivky určené průsečnicí ploch o rovnicích y = arcsin x, z = 1 ln x + x od bodu A = [,, ] do bodu B = [1, π/3, ln 3/]. Řešení: Při užití přirozené parametrizace dostaneme Odtud L = = 1 ds = ( 1 1 x = t, y = arcsin t, z = 1 ln t + t, ẋ = 1, ẏ =, ż = 4 t t t (t 4) dt = ) 1 (t ) + 1 (t + ) t 6 t 4 dt [ dt = t + 1 ln t + t ] 1 = ln 3[m]. (b) Obsah části válcové plochy Φ s řídící křivkou R, : a, b R v rovině z = a tvořícími přímkami rovnoběžnými s osou z a vymezenými plochami z = g(x, y), z = f(x, y), g(x, y) f(x, y) pro každé [x, y]. P = [f(x, y) g(x, y)] ds. 9
10 Příklad.5. Vypočtěte obsah části válcové plochy Φ s řídící křivkou R danou rovnicí y = ln x, x [1, e] v rovině z = a tvořícími přímkami rovnoběžnými s osou z a vymezenými plochami: z =, z = x. Řešení: P = = [f(x, y) g(x, y)] ds = x ds = e 1 t 1 + t dt = e 1 t t dt 1 + t = u t = 1 e t dt = u du u = 1 + e 1+e = u du = 1 3 ( (1 + e) 3/ 3/) [m ]. (c) Hmotnost drátu ve tvaru křivky. m = ϱ(x, y, z) ds s lineární hustotou ϱ (x, y, z) [kg m 1 ]. Příklad.6. Vypočtěte hmotnost homogenního drátu ve tvaru křivky R 3 s parametrickými rovnicemi x = t cos t, y = t sin t, z = t, t, π a konstantní lineární hustotou ϱ (x, y, z) = ϱ [kg m 1 ]. Řešení: m = = ϱ(x, y, z) ds = ϱ ds = ϱ t = u t = π dt = du u = π/ π + t dt π/ = ϱ = ϱ [ u 1 + u + ln ( u + )] π/ 1 + u ( ( π π = ϱ 1 + π + ln + )) 1 + π 1 + u du [kg]. (d) Statický moment hmotného drátu ve tvaru křivky R vzhledem k přímce p. S p = d([x, y], p) ϱ(x, y) ds, 1
11 kde d([x, y], p) je orientovaná vzdálenost bodu [x, y] od přímky p. Speciální případ vzhledem k souřadnicovým osám x a y. S x = y ϱ(x, y) ds, S y = x ϱ(x, y) ds. (e) Statické momenty hmotného drátu ve tvaru křivky R 3 vzhledem k rovině τ. S τ = d([x, y, z], τ) ϱ(x, y, z) ds. kde d([x, y, z], τ) je orientovaná vzdálenost bodu [x, y, z] od roviny τ. Speciální případ vzhledem k souřadnicovým rovinám xy, xz a yz. S xy = z ϱ(x, y, z) ds, S xz = y ϱ(x, y, z) ds, S yz = (f) Těžiště hmotného drátu ve tvaru křivky R a R 3. T = [ Sy m, S ] [ x Syz, T = m m, S xz m, S ] xy. m x ϱ(x, y, z) ds. Příklad.7. Vypočtěte těžiště homogenního drátu ve tvaru křivky R 3 s parametrickými rovnicemi x = t sin t, y = 1 cos t, z = 4 cos(t/), t, π a konstantní lineární hustotou ϱ (x, y, z) = ϱ [kg m 1 ]. Řešení: m = S yz = S xz = = ϱ = ϱ = ϱ ϱ(x, y, z) ds = ϱ π sin t dt = 4 ϱ xϱ(x, y, z) ds = ϱ π ds = ϱ [ cos t 1 cos t dt ] π x ds = π ϱ [ t cos t + 3 sin t sin 3 t ] π yϱ(x, y, z) ds = ϱ [ 3 cos t cos 3 t ] π 11 = 4 ϱ [kg], y ds = π ϱ (t sin t) sin t dt = 16 ϱ [kg m], 3 (1 cos t) sin t dt = 16 ϱ [kg m], 3
12 S xy = = 4 π ϱ zϱ(x, y, z) ds = ϱ T = z ds = 8 π ϱ sin t cos t dt sin t dt = 4 ϱ [cos t] π = 8 ϱ [kg m], [ Syz m, S xz m, S ] [ xy 4 = m 3, 4 ] 3,. (g) Moment setrvačnosti hmotného drátu ve tvaru křivky R, R 3 vzhledem k přímce p R, resp. p R 3. I p = d ([x, y], p) ϱ(x, y) ds, I p = d ([x, y, z], p) ϱ(x, y, z) ds, kde d([x, y], p) je vzdálenost bodu [x, y] od přímky p R, resp. d([x, y, z], p) je vzdálenost bodu [x, y, z] od přímky p R 3. Speciální případ vzhledem k souřadnicovým osám x a y. I x = y ϱ(x, y) ds, I y = x ϱ(x, y) ds. Speciální případ vzhledem k souřadnicovým osám x, y a z. ( I x = y + z ) ( ϱ(x, y, z) ds, I y = x + z ) ϱ(x, y, z) ds, I z = ( x + y ) ϱ(x, y, z) ds. Cvičení.. Užitím křivkového integrálu ve skalárním poli vypočtěte: 1. Délku křivky : r = a cos t i+a sin t j +vt k pro t, π, a, v > ; [ π a + v ]. Obsah části válcové plochy Φ : 4x + 9y = 36 pro y s řídící křivkou v rovině z = a tvořícími přímkami rovnoběžnými s osou z a vymezenými plochami ] z =, z = xy; 3. Hmotnost konická šroubovice = {[x, y, z] R 3 ; x = t cos t, y = t sin t, z = t, t, π }, ( ] je-li hustota křivky σ(x, y, z) z; π + 1 ) 4. Souřadnice těžiště T = [x T, y T ] homogeního oblouku cykloidy [ 3 : r(t) = a(t sin t) i + a(1 cos t) j, t, π, kde a > je konstanta, je-li hustota křivky σ( r(t)) k. [ 76 5 [ ] T = [πa, 4a/3] 1
13 3 Křivkový integrál ve vektorovém poli 3.1 Zavedení pojmu, základní vlastnosti křivkového integrálu ve skalárním poli Ve fyzice a v technických aplikacích se často setkáváme s různými druhy rovinných nebo prostorových vektorových polí silové pole, pole rychlostí částic proudící nestlačitelné kapaliny, pole magnetické a elektrické intenzity. Z matematického hlediska jde vlastně o zobrazení, které bodům přiřazuje vektory. Vektorové pole je zobrazení f : ΩR n, kde Ω R n je otevřená množina. V technické praxi je nejčastější použití pro n =, 3. V tomto případě budeme jednoduše psát f(x, y) = (P (x, y), Q(x, y)), f(x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)), kde P, Q, R jsou složky (komponenty) vektorové funkce f. Říkáme, že vektorové pole f je spojité vektorové pole, nebo stručněji je třídy C na Ω, když všechny složky jsou spojité na Ω. Říkáme, že vektorové pole f je třídy C 1 na Ω, když všechny složky tohoto pole mají spojité všechny první parciální derivace na množině Ω. Uvažujeme-li orientovaný oblouk : a, b R (resp.r 3 ), pak můžeme v každém bodě M = Γ(t), t (a, b) oblouku určit jednotkový tečný vektor vztahem t(m) = Γ(t) Γ(t). Mějme nyní spojité vektorové silové pole f na oblouku a hledejme práci, která se vykoná v zadaném vektorovém poli, pohybuje-li se hmotný bod po oblouku ve směru jeho orientace. Rozdělíme-li oblouk na dostatečně malé oblouky i, i = 1,..., n můžeme vektor síly f na oblouku i aproximovat konstantním vektorem f(m i ). Z fyziky je známo, že absolutní hodnota práce W i je pak rovna součinu velikosti tečné složky f t síly f(m i ) a délky dráhy s i, což je délka oblouku i. Protože f(mi ) t(m i ) = ft (M i ) pak práce W je přibližně rovna W = n i=1 f(m i ) t(m i ) s i, což je možno interpretovat jako integrální součet pro křivkový integrál f t ds. V aplikacích se často tento integrál označuje f d r. 13
14 Definice 3.1. Necht f je spojité vektorové pole na orientovaném oblouku. Křivkovým integrálem ve vektorovém poli f (křivkovým integrálem druhého druhu) přes křivku nazýváme integrál tvaru f d s = f t ds. Jeli Γ : a, b, parametrizace orientovaného oblouku (tj. parametrizace oblouku souhlasí s jeho orientací), pak platí = b a f t ds = b a f (Γ(t)) b Γ(t) Γ(t) Γ(t) dt = a f (Γ(t)) Γ(t) dt [ P (ϕ(t), ψ(t), χ(t)) ϕ(t) + Q (ϕ(t), ψ(t), χ(t)) ψ(t) + R (ϕ(t), ψ(t), χ(t)) χ(t) ] dt. Mnohdy se používá označení f t ds = P (x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz, které se po dosazení z parametrických rovnic oblouku převede na výše uvedený tvar. Poznámka 3.1. Je-li dána křivka předpisem y = g(x), x a, b a g je spojitá na a, b, pak platí P (x, y) dx = b a P (t, g (t)) dt. Je-li dána křivka předpisem x = h(y), y c, d a h je spojitá na c, d, pak platí Q (x, y) dy = d c Q (h (t), t) dt. Příklad 3.1. Vypočtěte I = y dx + x(1 + y ) dy, kde je část elipsy 4x + y = 16, ležící v prvním kvadrantu a orientovaná od bodu A = [, ] do bodu B = [, 4]. 14
15 Řešení: Parametrické rovnice jsou: Odtud I = π/ = 8 π/ x = cos t, y = 4 sin t, t, π. ( 3 sin 3 t + 8 cos t( sin t) ) dt ( 4 sin 3 t + cos t + 16 sin cos t ) dt = 8 [ 4 3 cos3 t + 4 cos t sin t 1 sin 4t + 5 ] π/ t = 1π Příklad 3.. Vypočtěte I = y x + z dx (x + z) dy + y z dz, kde je úsečka s počátečním bodem A = [3,, 1] a s koncovým bodem B = [1, 1, ]. Řešení: Parametrické rovnice úsečky jsou: Odtud x = 3 t, y = t, z = 1 + t, t, 1. I = = 1 ( t 4 t t ) dt 1 + t [ ln(t + 4) arctg t ] 1 + 4t + 3 ln t + 1 = 4 arctg 1 + ln 1. Příklad 3.3. Vypočtěte práci silového pole při pohybu hmotného bodu po průnikové křivce = {[x, y, z] R 3 : x + y = 1, z = 1 + y } od bodu A = [ 3, 1, 5] přes 4 bod B = [,, 3 ] do bodu C = [, 1, ]. Silové pole působí v každém bodě silou, která směřuje kolmo k rovině xz a velikost této síly je rovna převrácené hodnotě vzdálenosti bodu od roviny xy. Řešení: Sílu F = (f 1, f, f 3 ) můžeme vyjádřit ve tvaru F = F F = 1 z (, y y, ). 15
16 Křivku lze parametrizovat např. takto: Γ(t) = (cos t, sin t, 1 + sin t), t π 6, π. Pak dostáváme W = 1 = 1 F d s = π π 6 cos t 1 + sin t dt = u du = [arctg u]1 1 sin t = u t = π 6 π cos t dt = du u = 1 1 = π 4 + arctg 1. Věta 3.1. (Základní vlastnosti křivkového integrálu ve vektorovém poli) (a) Linearita. Necht R n (n =, 3) je orientovaný oblouk a f a g jsou spojitá vektorová pole na oblouku. Pak platí (c 1 f + c g) d s = c 1 f d s + c g d s, kde c 1 a c jsou libovolné reálné konstanty. (b) Aditivita. Necht R n (n =, 3) je křivka, která je sjednocením dvou orientovaných oblouků 1, a f je spojitá vektorové pole na křivce. Pak platí f d s = f d s + f d s. 1 Cvičení 3.1. Vypočítejte křivkové integrály po dané křivce (uvažujeme pravotočivý souřadnicový systém): 1. y dx + x dy, kde je orientovaná čtvrtkružnice r(t) = a cos t i + a sin t j, [ ] t π/ a kde bod A = [a, ] je daný jako počáteční bod, a > konstanta; x dx + y dy + z dz, kde je orientovaná úsečka AB, s počátečním bodem A = [1, 1, 1] a koncovým bodem B = [4, 4, 4]; 3 ] x + y + z x y + z [ 3 (x + y ) dx + (x y ) dy, kde je orientovaná křivka y = 1 1 x pro [ ] x, počáteční bod A = [, ]; 4 3 yz dx + xz dy + xy dz, kde je oblouk AB šroubovice r(t) = a cos t i + a sin t j + bt/π k (orientovaný) od bodu A = [a,, ] do B = [a,, b], a, b > konstanty. [ ] 16
17 Cvičení 3.. V každém bodě silového pole v R (resp. R 3 ) působí síla F ( r). Vypočítejte práci A tohoto pole při pohybu hmotného bodu po orientované křivce : 1. F = xy i + (x + y) j, je oblouk AB křivky dané rovnicí y = arctg x od bodu ( A = [1,?] do bodu B = [,?]; 16 8π π ) ln ]. F ( r) = y i + z j + yz k, : r(t) = (cos t, sin t, ct) orientované souhlasně s daným ( parametrickým vyjádřením pro t, π, c >. c 4c 1 ) ] 3. Greenova věta Oblast Ω R se nazývá jednoduše souvislá v R, jestliže s každou kružnicí, která je obsažena v Ω je také vnitřek kružnice obsažen v Ω. Mezikruží není jednoduše souvislá množina v R. [ 1 3 [ π Věta 3.. (Greenova věta) Necht Ω R je otevřená, ohraničená množina, jejíž hranicí je jediná kladně orientovaná jednoduchá uzavřená křivka. Dále necht f = (P, Q) je spojité vektorové pole na Ω a P/, Q/ x jsou spojité funkce na Ω. Pak platí Ω ( Q x (x, y) P (x, y) ) dxdy = = f(x, y) d s Důkaz. Důkaz provedeme pouze pro oblast prvního druhu P (x, y) dx + Q(x, y) dy. {[x, y] R : a < x < b, g(x) < y < G(x)}, kde funkce g a G jsou spojité na a, b (viz obrázek). 17
18 Ω P (x, y) dxdy = = b a b a G(x) g(x) P (x, y) dy dx = b [ ] P (x, G(x)) P (x, g(x)) dx. Poslední integrály můžeme vyjádřit podle Poznámky 3.1 následovně b a b a P (x, G(x)) dx = P (x, g(x)) dx = Vzhledem k předešlému můžeme psát P (x, y) dxdy = P (x, y) dx Ω DC = = = AB AB AB P (x, y) dx P (x, y) dx P (x, y) dx CD BC DC AB P (x, y) dx a P (x, y) dx, P (x, y) dx. P (x, y) dx P (x, y) dx CD [ ] G(x) P (x, y) dx g(x) P (x, y) dx nebot integrály po úsečkách BC a DA jsou nulové. Můžeme-li náš integrační obor rozložit na konečné sjednocení oblastí prvního druhu, platí předešlá rovnice na každé takové oblasti a ze základních vlastností dvojných a křivkových integrálů plyne žádaná rovnice na celé oblasti. Analogicky se dokáže platnost rovnice Q x (x, y) dxdy = Q(x, y) dy, Ω DA P (x, y) dx kde Ω je oblast druhého druhu. Nakonec můžeme-li náš integrační obor rozložit na konečné sjednocení oblastí prvního druhu a současně na sjednocení konečného počtu oblastí druhého druhu, sečteme předešlé rovnice a dostaneme žádaný vzorec. Příklad 3.4. Užitím Greenovy věty vypočtěte ( I = x y x ) dx ( xy + y ) dy, 18
19 kde je křivka o rovnici x + y = y, orientovaná ve směru pohybu hodinových ručiček. Řešení: Křivka je záporně orientovaná hranice jednoduše souvislé oblasti Ω = {[x, y] R : x + y y}. Vektorové pole f = (P, Q) je třídy C 1 v R a tedy dle Greenovy věty platí Odtud dostáváme P (x, y) dx + Q(x, y) dy = I = Ω Ω ( Q x P ) dxdy. ( y x ) dxdy = (x + y ) dxdy. Na poslední dvojný integrál použijeme transformace do polárních souřadnic Ω x = r cos t ϕ (r, t), y = r sin t ψ (r, t). s jakobiánem J(r, t) = r. Vzor množiny Ω je množina Ω = {[r, t] R : < t < π, < r < sin t}. I = = π sin t r 3 dt dr = 4 π [ t sin t + 1 t sin 4t ] π sin 4 t dt = = 3 π. π [1 cos t + 1 ] (1 + cos 4t) dt Aplikace Greenovy věty. Obsah rovinné oblasti splující předpoklady Greenovy věty. µ(ω) = 1 x dy y dx. Důkaz. Položíme-li v Greenově větě dostaneme požadovaný výsledek. Příklad 3.5. Vypočtěte obsah elipsy. Řešení: Zvolíme-li parametrizaci P (x, y) = 1 y, Q(x, y) = 1 x, x = a cos t, y = b sin t, t, π, 19
20 dostaneme µ = 1 x dy y dx = 1 ẋ = a sin t, ẏ = b cos t, π ( ab cos t + ab sin t ) dt = 1 π ab dt = πab [m ]. Příklad 3.6. Užitím Greenovy věty vypočtěte obsah množiny Ω R, kde Ω je ohraničená obloukem hyperboly o parametrických rovnicích x = a cosh t, y = b sinh t, t (, ), a, b >, osou x a spojnicí počátku souřadné soustavy s bodem A = [x, y ] hyperboly, kde x >, y >. Řešení: Platí P = 1 Ω x dy y dx, kde Ω je kladně orientovaná hranice oblasti Ω, tvořená křivkami 1,, 3. Odtud x dy y dx = x dy y dx + x dy y dx + x dy y dx. 1 Ω Parametrické rovnice postupně jsou: 1 : y =, x = t, t, a : x = a cosh t, y = b sinh t, t, t 3 : x = t, y = kt, t x,, kde k = y /x. Je vidět, že 1 x dy y dx = 3 x dy y dx =. 3
21 Dále 1 x dy y dx = ab Pro parametr t bodu A platí a celkem t cosh t + sinh t = e t = x a + y b ( cosh t sinh t ) dt = ab P = ab ( ln x a + y ) b [m ]. t dt = ab t. ( x t = ln a + y ) b Cvičení 3.3. Ověřte, že jsou splněny podmínky pro užití Greenovy věty, a užijte ji k výpočtu následujících integrálů: 1. (x + y) dx (x + y) dy, kde je kladně orientovaný obvod trojúhelníka OAB s vrcholy O = [, ], A = [1, ], B = [, 1]; [ 4/3]. (x + y) dx (x y) dy, kde je elipsa x + y = 1 orientovaná kladně.[ πab] a b Cvičení 3.4. Aplikací Greenovy věty vypočtěte obsah rovinného obrazce { } A = [x, y] R : x y x. [1/6] 3.3 Nezávislost křivkového integrálu na integrační cestě V tomto odstavci budeme oblastí v R n (n =, 3) rozumět otevřenou podmnožinu v R n (n =, 3), ve které můžeme každé dva různé body ležící v této množině spojit jednoduchou křivkou, ležící v této množině. Řekneme, že spojité vektorové pole f v oblasti Ω R n (n =, 3) nezávisí na integrační cestě, jestliže pro libovolné orientované křivky 1, ležící v Ω se stejným počátečním bodem A a koncovým bodem B, platí f d s = 1 f d s. Pak také píšeme B A f d s. 1
22 Necht f = (P, Q) ( f = (P, Q, R)) je spojité vektorové pole na oblasti Ω R (Ω R 3 ). Řekneme, že vektorové pole je potenciální na Ω, jestliže existuje funkce V C 1 (Ω) tak, že V = f pro každé [x, y] Ω ([x, y, z] Ω). Každou takovou funkci V nazýváme potenciálem vektorového pole f na Ω. Věta 3.3. Necht vektorové pole f = (P, Q) je třídy C 1 na jednoduše souvislé oblasti Ω R. Pak toto pole je potenciální tehdy a jen tehdy, když pro každé [x, y] Ω. Q x (x, y) = P (x, y) Rotaci vektorového pole f(x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) definujeme pomocí formálního determinantu rot f(x, i j k y, z) = x z P (x, y, z) Q(x, y, z) R(x, y, z) ( R = Q ) ( P i + z z R ) ( Q j + x x P ) k. Oblast Ω R 3 se nazývá jednoduše souvislá v R 3, jestliže s každou kulovou plochou, která je obsažena v Ω je také vnitřek kulové plochy obsažen v Ω. Koule, trojrozměrný interval jsou jednoduše souvislé množiny, ale mezisféra není jednoduše souvislá množina v R 3. Oblast Ω R 3 se nazývá plošně jednoduše souvislá v R 3, jestliže ke každé jednoduché uzavřené křivce, která je obsažena v Ω existuje hladká plocha, která sama sebe neprotíná taková, že S Ω a jejíž okraj je tato křivka. Množina R 3 \ {[x, y, z] R 3 : x = y = } je jednoduše souvislá, ale není plošně jednoduše souvislá. Věta 3.4. Necht vektorové pole f = (P, Q, R) je třídy C 1 na plošně jednoduše souvislé oblasti Ω R 3. Pak toto pole je potenciální tehdy a jen tehdy, když pro každé [x, y, z] Ω. rot f(x, y, z) = (,, ) Věta 3.5. Necht f = (P, Q) je třídy C 1 v jednoduše souvislé oblasti Ω R. Křivkový integrál f(x, y) d s = P (x, y) dx + Q(x, y) dy,
23 kde Ω nezávisí na integrační cestě AB v oblasti Ω tehdy a jen tehdy, když vektorové pole f je na Ω potenciální. Je-li V jeho potenciál na Ω, pak platí B Příklad 3.7. Dokažte, že integrál A B ( A P (x, y) dx + Q (x, y) dy = V (B) V (A). y (x y) 1 x ) dx + ( 1 y x ) (x y) dy z bodu A = [1, ] do bodu B = [, 6] nezávisí na integrační cestě a určete jeho hodnotu. Řešení: Vektorové pole f = (P, Q) je v oblasti Ω = {[x, y] R : y > x > } třídy C 1. Pro funkce P, Q platí P (x, y) = Q x (x, y) = xy (x y) 3 pro každé [x, y] Ω. Vektorové pole f je tedy v jednoduše souvislé oblasti Ω potenciální a zadaný integrál tedy nezávisí na integrační cestě. Pro potenciál V platí V x (x, y) = P (x, y), V (x, y) = Q (x, y) pro každé [x, y] Ω. Integrací první rovnice podle proměnné x máme ( y V (x, y) = (x y) 1 ) dx + g(y) = y ln x + g(y). x y x Z rovnice plyne a po úpravě V Integrací předešlé rovnice dostáváme = Q (x, y) g (y) + y xy (x y) = 1 y x (x y) g (y) = y. g(y) = y + ln y + c, c R. Celkem Hodnota integrálu je V (x, y) = xy y x + ln y + c, c R. x V (B) V (A) = + ln 3. 3
24 Věta 3.6. Necht f = (P, Q, R) je třídy C 1 v plošně jednoduše souvislé oblasti Ω R 3. Křivkový integrál f(x, y, z) d s = P (x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz, kde Ω nezávisí na integrační cestě AB na oblasti Ω tehdy a jen tehdy, když vektorové pole f je potenciální na Ω. Je-li V jeho potenciál na Ω, pak platí B A P (x, y, z) dx + Q (x, y, z) dy + R (x, y, z) dz = V (B) V (A). Příklad 3.8. Dokažte, že integrál B A yz dx + xz dy + xy dz z bodu A = [1,, 3] do bodu B = [3,, 1] nezávisí na integrační cestě a určete jeho hodnotu. Řešení: Vektorove pole f(x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) = (yz, xz, xy) je třídy C 1 na plošně jednoduše souvislé oblasti Ω = R 3. Pro funkce P, Q, R platí R R x Q x (x, y, z) Q z (x, y, z) P z (x, y, z) P (x, y, z) = x x =, (x, y, z) = y y =, (x, y, z) = z z = pro každé [x, y, z] Ω. Vektorové pole f je tedy na Ω potenciální a existuje potenciál V tak, že V x (x, y, z) = yz, V (x, y, z) = xz, V z (x, y, z) = xy pro každé [x, y, z] Ω. Integrací první rovnice podle proměnné x máme V (x, y, z) = yz dx + g(y, z) = xyz + g(y, z), V = Z předešlého a využitím druhé rovnice máme g(y, z) (xyz + g(y, z)) = xz +. xz + g(y, z) 4 = xz
25 a tedy g(y, z) =. Integrací této rovnice podle proměnné y máme g(y, z) = dy + h(z) = h(z), Využitím třetí rovnice dostáváme Z předešlého máme V (x, y, z) = xyz + h(z). V z = z (xyz + h(z)) = xy + h (z) = xy. h (z) = = h(z) = c, c R a závěrem Hodnota integrálu je V (x, y, z) = xyz + c, c R. V (B) V (A) = 6 + c 6 c =. Příklad 3.9. Dokažte, že integrál B A x dx + y dy z 3 dz z bodu A = [1, 1, 1] do bodu B = [1, 1, 1] nezávisí na integrační cestě a určete jeho hodnotu. Řešení: Vektorové pole f(x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) = (x, y, z 3 ) je třídy C 1 na plošně jednoduše souvislé oblasti Ω = R 3. Pro funkce P, Q, R platí R R x Q x (x, y, z) Q z (x, y, z) P z (x, y, z) P (x, y, z) = =, (x, y, z) = =, (x, y, z) = = pro každé [x, y, z] Ω. Vektorové pole f je tedy na Ω potenciální a existuje potenciál V tak, že V x = x, V = V y, z = z3 5
26 pro každé [x, y, z] Ω. Integrací první rovnice podle proměnné x dostáváme V (x, y, z) = x dx + g(y, z) = 1 x + g(y, z), V = ( 1 x + g(y, z)) = Z předešlého a využitím druhé rovnice máme g(y, z). g(y, z) = y. Integrací předešlé rovnice podle y máme g(y, z) = y dy + h(z) = 1 3 y3 + h(z), V (x, y, z) = 1 x y3 + h(z). V z = ( 1 z x y3 + h(z)) = h (z). Z předešlého a využitím třetí rovnice dostaneme a potenciál má tvar h (z) = z 3 = h(z) = 1 4 z4 + c, c R V (x, y, z) = 1 x y3 1 4 z4 + c, c R. Hodnota integrálu je V (B) V (A) =. Cvičení 3.5. Ověřte, že daný integrál nezávisí na integrační cestě v Ω R (resp. Ω R 3 ) a vypočtěte jeho hodnotu od bodu A do bodu B: x dx + y dy [ ] 1. x + y, A = [, 6], B = [1, ]; 1 ln 4 [ ]. x dx + y dy + (x + y 1) dz, A = [, 3, 4], B = [1, 1, 1]; 13 Cvičení 3.6. Ověřte, že práce v silovém poli F nezávisí na integrační cestě v R (resp. v R 3 ), určete potenciál F ( r) tohoto silového pole a vypočtěte práci A od bodu M do bodu N. 1. F (x, y) = (x cos y + 1) i x sin y j, M = [, π ], N = [ π, π]; [V (x, y) = 1 x cos y + x + c; W = 1 8 π(π + 4) ]. F ( r) = (x + yz) i + (y + xz) [ j + (z + xy) k, M = [1,, 3], N = [, 3, 4]. V (x, y, z) = 1 ( 3 x 3 + y 3 + z 3) ] + xyz + c; W =
27 4 Kontrolní otázky, autotest Otázky pro vás: Napište integrální součet, který vyjadřuje aproximaci hmotnosti oblou-ku. Kdy nazveme limitu integrálních součtů křivkovým integrálem ve skalá-rním poli? Uved te vztahy pro výpočet křivkového integrálu v rovinném a prostorovém skalárním poli. Jaké znáte základní vlastnosti křivkového integrálu ve skalárním poli? Vysvětlete vztahy pro výpočet základních geometrických a technických aplikací křivkového integrálu ve skalárním poli. Jaký tvar má integrální součet pro výpočet práce v silovém poli? Zapište vztahy pro výpočet křivkového integrálu ve vektorovém poli v rovině a v prostoru. Uved te základní vlastnosti křivkového integrálu ve vektorovém poli. Zformulujte Greenovu větu. Užitím Greenovy věty odvod te vztah pro výpočet plošného obsahu rovinné oblasti. Kdy řekneme, že křivkový integrál nezávisí na integrační cestě? Jak definujeme potenciál vektorového pole? Co je jednoduše souvislá oblast v R? Co stačí k tomu, aby rovinné vektorové pole na jednoduše souvislé oblasti bylo potenciální? Jak se změní tyto podmínky v případě prostorového vektorového pole? Popište postup při výpočtu potenciálu v případě rovinného a prostorového vektorového pole. Jak se vypočítá křivkový integrál nezávislý na integrační cestě, známe-li potenciál? 7
28 Autotest Vzorové zadání kontrolního testu. Matematika,. semestr Zpracoval: Test č. 4 Jméno: Adresa: A. Vypočtěte křivkové integrály 1. druhu po dané křivce : 1) (x + y) ds, kde je obvod trojúhelníka s vrcholy A = [1, 1], B = [, 1] ) 3) a C = [1, ]; z ( ds, kde je oblouk šroubovice x = a cos t, y = a sin t, z = at, (x + y ) t, π, a > ; xy ds, kde je elipsa x a + y = 1 pro x, y, a, b >. b B. Vypočtěte křivkové integrály druhu po dané křivce : 4) x dx + y dy + (x + y 1) dz, kde je orientovaná úsečka A = [1, 1, 1], 5) 6) B = [, 3, 4]; (y x ) dx + (x + y ) dy, kde je orientovaná křivka x + y 1 = 1 pro y s koncovým bodem B = [, ]; xy dx + y dy, kde je oblouk AB křivky y = arctg x od bodu A = [1,?] do bodu B = [,?]. C. Ověřte, že daný integrál nezávisí na integrační cestě a vypočtěte jeho hodnou od bodu A do bodu B: 1 y y 7) dx + dy, A = [, ], B = [1, 1]; (1 + x) 1 + x 8) xz dx + y 3 dy + x z dz, A = [ 1, 1, ], B = [ 4,, 1]. D. Ověřte, že jsou splněny podmínky pro užití Greenovy věty a užijte ji k výpočtu integrálů:
29 9) 1) (x + y) dx (x + y) dy, kde je kladně orientovaný obvod trojúhelníka ABC, A = [, ], B = [1, ] a C = [, 1]; (xy + x + y) dx + (xy + x y) dy, kde je kladně orientovaná kružnice x + y = ax, a > konstanta. E. Vypočtěte délku křivky, je-li: 11) : r(t) = a cos t i + vt j + a sin t k, t π/4, a, v > konstanty. F. Vypočtěte obsah rovinného obrazce A, je-li 1) A = { [x, y] R : 3x + 4y 1, x y 3x }. G. Vypočtěte hmotnost křivky, je-li hustota křivky σ( r): 13) : y = x 3 pro x 4/9, σ(x, y) x. H. V každém bodě silového pole v R 3 působí síla F ( r). Vypočítejte práci tohoto pole při pohybu hmotného bodu po orientované křivce : 14) : r(t) = (cos t, sin t, ct) orientované souhlasně s daným parametrickým vyjádřním pro t, π ; F ( r) y i + z j + yz k. př opravil(a) max. bodů zís. bodů 9
30 5 Studijní prameny. [1] Brabec, J., Hrůza, B.: Matematická analýza II., SNTL, Praha [] Drábek, P., Míka, S.: Matematická analýza II., FAV, Plzeň 1997,. vydání. [3] Fichtěngolc G.M.: Kurs diferencialnovo i integralnovo isčislenija III., Nauka, Moskva 1966, 4. vydání. [4] Rektorys, K. a kol.: Přehled užité matematiky I., Prometheus, Praha 1995, 6. přepracované vydání. [5] [6] Škrášek, J., Tichý, Z.: Základy aplikované matematiky II., SNTL, Praha Ženíšek, A.: Křivkový a plošný integrál, PC-DIR, Brno
Funkce zadané implicitně
Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf
VíceMATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015)
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015 doplněné o další úlohy 13. 4. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi ( e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz.
VícePŘÍKLADY K MATEMATICE 3
PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Křivkové integrály.. Křivkový integrál prvního druhu. Příklad.. Vypočítejme křivkový integrál A =, ), B = 4, ). Řešení: Úsečka AB je hladká křivka. Funkce ψt) = 4t,
VíceMATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech 2009 2012 doplněné o další úlohy 3. část KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY, GREENOVA VĚTA, POTENIÁLNÍ POLE, PLOŠNÉ INTEGRÁLY, GAUSSOVA OSTROGRADSKÉHO VĚTA 7. 4. 2013
VíceMATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu
MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z PŘEDNÁŠEK JAN MALÝ Obsah 1. Parciální diferenciální rovnice obecně 1. Kvaazilineární rovnice prvního řádu 1 3. Lineární rovnice druhého řádu
VíceJazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa
2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VícePŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU
PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU 6.1 Křivkový integrál 1. druhu Definice 1. Množina R n se nazývá prostá regulární křivka v R n právě tehdy, když existuje vzájemně jednoznačné zobrazení
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
Více1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v
. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z xy 8 = v bodě A =, ]. b) e grafu funkce f najděte tečnou rovinu, která je rovnoběžná s rovinou ϱ. f(x, y) = x + y x, ϱ : x
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
Více+ 2y y = nf ; x 0. závisí pouze na vzdálenosti bodu (x, y) od počátku, vyhovuje rovnici. y F x x F y = 0. x y. x x + y F. y = F
Příkad 1 ( y ) Dokažte, že funkce F (x, y) = x n f x 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vyhovuje vztahu x F x + 2y F y = nf ; x 0 Ukažte, že každá funkce F (x, y), která má spojité parciální
VíceFAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL 7 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL 7 NEURČITÝ INTEGRÁL STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,
VíceÚvodní informace. 17. února 2018
Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní
VíceVEKTOROVÁ POLE Otázky
VEKTOROVÁ POLE VEKTOROVÁ POLE Je-li A podmnožina roviny a f je zobrazení A do R 2, které je dáno souřadnicemi f 1, f 2, tj., f(x, y) = (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) pro (x, y) A, lze chápat dvojici (f 1 (x,
VíceŘešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1,
Určete Křivkový integrál příklad 4 x ds, kde {x, y ; y ln x, x 3}. Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky. Asi nejjednodušší parametrizace je Tedy daný integrál je x ds x t, y ln t,
Více[obrázek γ nepotřebujeme, interval t, zřejmý, integrací polynomu a per partes vyjde: (e2 + e) + 2 ln 2. (e ln t = t) ] + y2
4.1 Křivkový integrál ve vektrovém poli přímým výpočtem 4.1 Spočítejte práci síly F = y i + z j + x k při pohybu hmotného bodu po orientované křivce, která je dána jako oblouk ABC na průnikové křivce ploch
Vícehttp://user.mendelu.cz/marik, kde je dostupný ve formě vhodné pro tisk i ve formě vhodné pro prohlížení na obrazovce a z adresy http://is.mendelu.
Inženýrská matematika Robert Mařík Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg.
Vícey ds, z T = 1 z ds, kde S = S
Plošné integrály příklad 5 Určete souřadnice těžiště části roviny xy z =, která leží v prvním oktantu x >, y >, z >. Řešení: ouřadnice těžiště x T, y T a z T homogenní plochy lze určit pomocí plošných
VíceEuklidovský prostor Stručnější verze
[1] Euklidovský prostor Stručnější verze definice Eulidovského prostoru kartézský souřadnicový systém vektorový součin v E 3 vlastnosti přímek a rovin v E 3 a) eprostor-v2, 16, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c)
VíceRegresní a korelační analýza
Přednáška STATISTIKA II - EKONOMETRIE Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Regresní analýza Cíl regresní analýzy: stanovení formy (trendu, tvaru, průběhu)
VíceVeronika Chrastinová, Oto Přibyl
Integrální počet II. Příklady s nápovědou. Veronika Chrastinová, Oto Přibyl 16. září 2003 Ústav matematiky a deskriptivní geometrie FAST VUT Brno Obsah 1 Dvojný integrál 3 2 Trojný integrál 7 3 Křivkový
Více7. Integrál přes n-rozměrný interval
7. Integrál přes n-rozměrný interval Studijní text 7. Integrál přes n-rozměrný interval Definice 7.1. Buď A = a 1, b 1 a n, b n R n n-rozměrný uzavřený interval a f : R n R funkce ohraničená na A Df. Definujme
VíceProjekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Kružnice, kruh, tečny, obsahy, goniometrické funkce, integrace
VícePosloupnosti. n2 3n. lim. n4 + 2n. lim. n 1. n + n n. n! (n + 1)! n! lim. n ( 1)n! [1] lim. ln 2 n. lim. n n n sin n2 [0] lim. 2 n.
SBÍRKA PŘÍKLAŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY III J. ANĚČEK, M. ZAHRANÍKOVÁ Symbolem jsou označeny obtížnější příklady. Posloupnosti Určete limitu posloupnosti n n + lim n n + 5n + lim n n n n4 + n lim n lim n
VíceElektronický učební text pro podporu výuky klasické mechaniky pro posluchače učitelství I. Mechanika hmotného bodu
Elektronický učební text pro podporu výuky klasické mechaniky pro posluchače učitelství I Mechanika hmotného bodu Autor: Kateřina Kárová Text vznikl v rámci bakalářské práce roku 2006. Návod na práci s
VíceVEKTOROVÁ POLE VEKTOROVÁ POLE
Je-li A podmnožina roviny a f je zobrazení A do R 2, které je dáno souřadnicemi f 1, f 2, tj., f(x, y) = (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) pro (x, y) A, lze chápat dvojici (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) jako vektor s
Více9. Úvod do teorie PDR
9. Úvod do teorie PDR A. Základní poznatky o soustavách ODR1 Diferenciální rovnici nazveme parciální, jestliže neznámá funkce závisí na dvou či více proměnných (příslušná rovnice tedy obsahuje parciální
VíceVysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2
Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Diferenciální počet funkcí více proměnných 1. Funkce více proměnných (a)
VíceTransformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.
Ukázka 1 Necht má funkce z = f(x, y) spojité parciální derivace. Napište rovnici tečné roviny ke grafu této funkce v bodě A = [ x 0, y 0, z 0 ]. Transformujte diferenciální výraz x f x + y f y do polárních
VíceGeometrie pro FST 2. Plzeň, 28. srpna 2013, verze 6.0
Geometrie pro FST 2 Pomocný učební text František Ježek, Světlana Tomiczková Plzeň, 28. srpna 2013, verze 6.0 Předmluva Tento pomocný text vznikl pro potřeby předmětu Geometrie pro FST 2, který vyučujeme
VícePlošný integrál Studijní text, 16. května Plošný integrál
Plošný integrál tudijní text, 16. května 2011 Plošný integrál Jednoduchý integrál jsme rozšířili zavedením křivkového integrálu. Rozlišovali jsme dva druhy integrálu, přičemž křivkový integrál 2. druhu
VíceDiferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
VícePotenciál vektorového pole
Kapitola 12 Potenciál vektorového pole 1 Definice a výpočet Důležitým typem vektorového pole je pole F, pro které existuje spojitě diferencovatelná funkce f tak, že F je pole gradientů funkce f, tedy F
Více6. T e s t o v á n í h y p o t é z
6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně
VíceOtázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady
Otázky k ústní zkoušce, přehled témat 2003-2004 A Číselné řady Vysvětlete pojmy částečný součet řady, součet řady, řadonverguje, řada je konvergentní Formulujte nutnou podmínku konvergence řady a odvoďte
Více1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1.
2. Některá důležitá rozdělení Diskrétní rozdělení. Alternativní rozdělení Ap) Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy náhodná veličina X nabývá pouze dvou hodnot a a pro její pravděpodobnostní funkci platí:
VíceTeorie. Hinty. kunck6am
kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže
VíceMatematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0
Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud
VíceKapitola 8: Dvojný integrál 1/26
Kapitola 8: vojný integrál 1/26 vojný integrál - osnova kapitoly 2/26 dvojný integrál přes obdélník definice výpočet (Fubiniova věta pro obdélník) dvojný integrál přes standardní množinu definice výpočet
VíceSpojitost funkcí více proměnných
Reálné funkce více proměnných Reálnou funkcí n reálných proměnných rozumíme zobrazení, které každé uspořádané n ticireálnýchčíselznějaképodmnožinykartézskéhosoučinur R=R n přiřazuje nějaké reálné číslo.
VíceŘešené úlohy ze statistické fyziky a termodynamiky
Řešené úlohy ze statistické fyziky a termodynamiky Statistická fyzika. Uvažujme dvouhladinový systém, např. atom s celkovým momentem hybnosti h v magnetickém ) ) poli. Bázové stavy označme = a =, první
VíceTeorie. Hinty. kunck6am
kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže
VíceKřivkový integrál vektorového pole
Kapitola 7 Křivkový integrál vektorového pole 1 Základní pojmy Křivkový integrál vektorového pole je modifikací křivkového integrálu skalární funkce, která vznikla z potřeb aplikací ve fyzice, chemii a
Více(3) vnitřek čtyřúhelníka tvořeného body [0, 0], [2, 4], [4, 0] a [3, 3]. (2) těleso ohraničené rovinami x = 1, y = 0 z = x a z = y
3. Násobné integrály 3.. Oblasti v R. Načrtněte množinu R a najděte meze integrálů f(x, y)dxdy, kde je dána: () = {(x, y) : x, y 3} () vnitřek trojúhelníka tvořeného body [, ], [, ] a [, ]. (3) vnitřek
Více1. Cvičení: Opakování derivace a integrály
. Cvičení: Opakování derivace a integrál Derivace Příklad: Určete derivace následujících funkcí. f() e 5 ( 5 cos + sin ) f () 5e 5 ( 5 cos + sin ) + e 5 (5 sin + cos ) e 5 cos + 65e 5 sin. f() + ( + )
Více5.3. Implicitní funkce a její derivace
Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)
VíceMatematická analýza III.
3. Implicitní funkce Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 V této kapitole se seznámíme s dalším možným zadáním funkce jejím implicitním vyjádřením. Doplní tak nám již známé explicitní a parametrické
VíceDvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,
Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je
VíceVYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P04 MECHANICKÉ KMITÁNÍ
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ Prof. Ing. Bohumil Koktavý,CSc. FYZIKA PRŮVODCE GB01-P04 MECHANICKÉ KMITÁNÍ STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA 2 OBSAH 1 Úvod...5
VíceKristýna Kuncová. Matematika B3
(5) Funkce více proměnných II Kristýna Kuncová Matematika B3 Kristýna Kuncová (5) Funkce více proměnných II 1 / 20 Parciální derivace - příklad Otázka Tabulka vpravo znázorňuje hodnoty funkce f (x, y).
Víceverze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu
Úvod Diferenciální počet více proměnných verze.3 Následující text popisuje základy diferenciálního počtu více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na Univerzitě Hradec Králové
VíceSBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY 3 Jiří Bouchala. Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.
SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY 3 Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala 2000 3 Předmluva Tato sbírka doplňuje přednášky z Matematické
VíceROTAČNÍ KVADRIKY. Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou
ROTAČNÍ KVADRIKY Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou Rotační kvadriky jsou rotační plochy, které vzniknou rotací kuželosečky kolem některé její osy.
VíceMária Sadloňová. Fajn MATIKA. 150 řešených příkladů (vzorek)
Mária adloňová Fajn MATIKA (nejen) na přijímačky 50 řešených příkladů (vorek) 0 Mgr. Mária adloňová FajnMATIKA (nejen) na přijímačky 50 řešených příkladů (reklamní vorek) Mgr. Mária adloňová, 0 Vydavatel
VíceI. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou
Typy příkladů pro I. část písemky ke zkoušce z MA II I. Diferenciální rovnice. 1. Určete obecné řešení rovnice y = y sin x.. Určete řešení rovnice y = y x splňující počáteční podmínku y(1) = 0. 3. Rovnici
VíceMatematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze
Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............
VíceEXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH
EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R
Více1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010)
1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010) Pravděpodobnost pojmy 1. Diskrétní pravděpodobnostní prostor(definice, vlastnosti, příklad). Diskrétní pravděpodobnostní prostor je trojice(ω, A, P), kde
VíceVybrané kapitoly z matematiky
Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava 2018-2019 Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 1 / 18 Vektorová analýza a teorie pole Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 2 / 18 Vektorová funkce jedné
VíceDodatek 2: Funkce dvou proměnných 1/9
Dodatek 2: Funkce dvou proměnných 1/9 2/9 Funkce dvou proměnných Definice: Reálnou funkcí dvou reálných proměnných, definovanou na množině M R 2, rozumíme předpis f, který každé uspořádané dvojici reálných
VíceLineární algebra a analytická geometrie sbírka úloh a ř ešených př íkladů
Lineární algebra a analytická geometrie sbírka úloh a ř ešených př íkladů Linear algebra and analytic geometry problems and solved examples Klára Javornická Bakalářská práce 2010 UTB ve Zlíně, Fakulta
VíceKřivkové integrály prvního druhu Vypočítejte dané křivkové integrály prvního druhu v R 2.
Křivové integrál prvního druhu Vpočítejte dané řivové integrál prvního druhu v R. Přílad. ds x, de je úseča AB, A[, ], B[4, ]. Řešení: Pro řivový integrál prvního druhu platí: fx, ) ds β α fϕt), ψt)) ϕ
VíceProjekty do předmětu MF
Univerzita Palackého v Olomouci Přírodovědecká fakulta Katedra optiky ZÁVĚREČNÁ PRÁCE Projekty do předmětu MF Vypracoval: Miroslav Mlynář E-mail: mlynarm@centrum.cz Studijní program: B1701 Fyzika Studijní
VíceZavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.
KŘIVKY Křivka = dráha pohybujícího se bodu = = množina nekonečného počtu bodů, které závisí na parametru (čase). Proto můžeme křivku také nazvat jednoparametrickou množinou bodů. Zavedeme-li souřadnicový
VíceVEKTOROVÁ POLE VEKTOROVÁ POLE
VEKTOROVÁ POLE Podíváme se podrobněji na vektorové funkce. Jde často o zkoumání fyzikálních veličin jako tlak vzduchu, proudění tekutin a podobně. VEKTOROVÁ POLE Na zobrazení z roviny do roviny nebo z
Více7. Aplikace derivace 7E. Křivky. 7E. Křivky
7E. Křivky Derivace nacházejí uplatnění také při studiu křivek. Obrazně řečeno křivka v rovině je množina bodů, která vznikne pohybem pera po papíře. Předpokládáme přitom, že hrot pera je stále v kontaktu
VíceINTEGRÁLY S PARAMETREM
INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity
VíceMFT - Matamatika a fyzika pro techniky
MFT - Matamatika a fyzika pro techniky Pro každou přednášku by zde měl být seznam klíčových témat, odkaz na literaturu, zápočtový příklad k řešení a další příklady k procvičování převážně ze sbírky příkladů
Více12. Křivkové integrály
12 Křivkové integrály Definice 121 Jednoduchou po částech hladkou křivkou v prostoru R n rozumíme množinu bodů [x 1,, x n ], které jsou dány parametrickými rovnicemi x 1 = ϕ 1 t), x 2 = ϕ 2 t), x n = ϕ
VíceNěkolik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie
Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie Jiří Kolafa Vektory. Vektorový prostor Vektor je často zaveden jako n-tice čísel, (v,..., v n ), v i R (pro reálný vektorový prostor);
VíceEdita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY
Přípravný kurs z matematik Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik 1 Obsah 1 Přehled použité smbolik 3 Základní pojm matematické logik a teorie množin 4.1 Element matematické logik.........................
VíceNalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné
. Definiční obor a hladiny funkce více proměnných Nalezněte a graficky znázorněte definiční obor D funkce f = f(x, y), kde a) f(x, y) = x y, b) f(x, y) = log(xy + ), c) f(x, y) = xy, d) f(x, y) = log(x
VíceŠROUBOVÝ A PROSTOROVÝ POHYB ROTAČNĚ SYMETRICKÉHO TĚLESA
ŠROUBOVÝ A PROSTOROVÝ POHYB ROTAČNĚ SYMETRICKÉHO TĚLESA Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc Pojem šroubového pohybu Šroubový pohyb je definován jako pohyb, jejž lze ve vhodném referenčním bodě rozložit
Více12 Trojný integrál - Transformace integrálů
Trojný integrál transformace integrálů) - řešené příklady 8 Trojný integrál - Transformace integrálů. Příklad Spočtěte x + y dxdydz, kde : z, x + y. Řešení Integrační obor určený vztahy z, x + y je válec.
VíceDiferenciální počet funkcí více proměnných
Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet
VíceCvičení z AM-DI. Petr Hasil, Ph.D. Verze: 1. března 2017
z AM-DI Petr Hasil, Ph.D. hasil@mendelu.cz Verze: 1. března 017 Poznámka. Příklady označené na cvičení dělat nebudeme, protože jsou moc dlouhé, popř. složité (jako takové, nebo pro psaní na tabuli). V
Více13. cvičení z Matematické analýzy 2
. cvičení z atematické analýz 2 5. - 9. května 27. konzervativní pole, potenciál Dokažte, že následující pole jsou konzervativní a najděte jejich potenciál. i F x,, z x 2 +, 2 + x, ze z, ii F x,, z x 2
VíceMatematická analýza III.
1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )
VíceKapitola 7: Integrál. 1/17
Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený
VíceZimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 24/25 2. prosince 24 Předmluva iii
VíceObsah. 1. Komplexní čísla
KOMPLEXNÍ ANALÝZA - ZÁPISKY Z PŘEDNÁŠEK JAN MALÝ Obsah 1. Komplexní čísla 1 2. Holomorfní funkce 3 3. Elementární funkce komplexní proměnné 4 4. Křivkový integrál 7 5. Index bodu vzhledem ke křivce 9 6.
VíceÚvod. Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali
NEURČITÝ INTEGRÁL Úvod Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali Umět pracovat s integrálním počtem Je důležité pro
Vícef( x) x x 4.3. Asymptoty funkce Definice lim f( x) =, lim f( x) =, Jestliže nastane alespoň jeden z případů
3 Výklad Definice 3 Jestliže nastane alespoň jeden z případů lim =, lim =, + + lim =, lim =, kde ( D ), pak říkáme, že přímka = je asymptotou funkce f() v bodě f Jestliže lim ( k q) =, resp lim ( k q)
VícePŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2
PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY ZDENĚK ŠIBRAVA.. Dvojné integrály.. Vícenásobné intergrály Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x 3 + y da, kde =, 3,. Řešení: Funkce f(x, y) = x je na obdélníku
VíceCVIČENÍ č. 3 STATIKA TEKUTIN
Rovnováha, Síly na rovinné stěny CVIČENÍ č. 3 STATIKA TEKUTIN Příklad č. 1: Nákladní automobil s cisternou ve tvaru kvádru o rozměrech H x L x B se pohybuje přímočarým pohybem po nakloněné rovině se zrychlením
VíceKapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14
Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Neurčitý integrál 2/14 Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní
Více14. cvičení z Matematické analýzy 2
4. cvičení z atematické analýzy 2 8. - 2. ledna 28 4. (Greenova věta) Použijte Greenovu větu k nalezení práce síly F (x, y) (2xy 3, 4x 2 y 2 ) vykonané na částici podél křivky Γ, která je hranicí oblasti
Více2. Určte hromadné body, limitu superior a limitu inferior posloupností: 2, b n = n. n n n.
Písemka matematika 3 s řešením 1. Vypočtěte lim n( 1 + n 2 n), n lim n (( 1 + 1 n e ) n ) n. 1/2, 1/ e 2. Určte hromadné body, limitu superior a limitu inferior posloupností: a n = sin nπ ( 2, b n = n
Více1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.
VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:
VíceDiferenciální geometrie
Diferenciální geometrie Pomocný učební text díl I. František Ježek Plzeň, červen 2005 Obsah 1 Křivky 4 1.1 Vyjádření křivky......................... 4 1.2 Transformace parametru..................... 5
Víceterminologie předchozí kapitoly: (ϕ, Ω) - plocha, S - geometrický obraz plochy
2. Plošný integrál. Poznámka. Obecně: integrování přes k-rozměrné útvary (k-plochy) v R n. Omezíme se na případ k = 2, n = 3. Definice. Množina S R 3 se nazve plocha, pokud S = ϕ(), kde R 2 je otevřená
Více1/15. Kapitola 2: Reálné funkce více proměnných
1/15 Kapitola 2: Reálné funkce více proměnných Vlastnosti bodových množin 2/15 Definice: ε-ové okolí... O ε (X) = {Y R n ρ(x, Y ) < ε} prstencové ε-ové okolí... P ε (X) = {Y R n 0 < ρ(x, Y ) < ε} Definice:
VíceDiferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci)
2. Diferenciál funkce, tečná rovina. Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci) df(a, h) = x (a)h + (a)h 2, h = (h, h
VíceP ˇ REDNÁŠKA 3 FUNKCE
PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE 3.1 Pojem zobrazení a funkce 2 3 Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic (x, y) A B,
VíceDerivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
VíceÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr
Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/ BA07 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 0 () Integrace užitím základních vzorců.
VíceProtože se neobejdeme bez základních poznatků vektorové algebry, připomeneme si nejdůležitější pojmy., pak - skalární součin vektorů u,
4 VEKTOROVÁ ANALÝZA 41 Vektorová funkce Protože se neobejdeme bez základních poznatků vektorové algebry, připomeneme si nejdůležitější pojmy Jsou-li dány tři nenulové vektory, uu ( 1, u, u), vv ( 1, v,
Více8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8
8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8 Shrnutí lekce Úvodní 7. kapitola přinesla informace o druzích řešení diferenciálních rovnic prvního řádu a stručné teoretické poznatky o podmínkách existence a jednoznačnosti
VíceTechnická mechanika - Statika
Technická mechanika - Statika Elektronická učebnice Ing. Jaromír Petr Tento materiál byl vytvořen v rámci projektu CZ.1.07/1.1.07/03.0027 Tvorba elektronických učebnic O B S A H 1 Statika tuhých těles...
Více