MA1: Cvičné příklady funkce: D(f) a vlastnosti, limity

Transkript

1 MA: Cvičné příklady funkc: Df a vlastnosti, ity Stručná řšní Na zkoušc j samozřjmě nutné své kroky nějak odůvodnit. Rozsáhljší pomocné výpočty s tradičně dělají stranou, al bývá také moudré nějak naznačit i jdnoduché úvahy, zjména u výpočtu it. Standardní mtoda nní, al mnoho lidí používá mtodu stručných poznámk nad/pod rovnítkm. Například u tohoto výpočtu sin 3 cos 3 bud zkoušjící hnd vidět, co a proč jst dělali. Protož zd chcm často vysvětlit víc, zvolili jsm poněkud ntradiční, al flibilnější způsob. Části v závorkách njsou součástí oficiálního řšní, al dávám tam vysvětlující poznámky či pomocné výpočty.. Podmínky: ; 4 4; > >. Proto Df, 4.. Df IR \ {k} k k, k nboť sin. 3. Df, 3 3, nboť > > ; ln Df 3, nboť ; ln 7 7 3; 7 > j slabší nž Df, nboť arcsin, ;, už mám stačí,,. Poznámka: Kdyby tam byl arccos místo arcsinu, tak první podmínka odpadá, protož vždy arccosy. 6. Df,, 3 nboť < 3 ;, vždy < < 3 3 <, 3; 7. Df 3,, nboť, ln ,, ; 3 > j slabší nž Df, nboť vždy; > nrovnost hnus, al spojitá funkc, zkusím nulové body: O.K.,,,, proto vn! 4 ± 9. Df k k, k nboť f lnsin, sin >.. Df,, nboť f lncosh/, ; cosh > vždy.. Df,, nboť cos k, k ; k ln : ; ; >,.. Df k 4k, 4k nboť f cos / lncos/, ; cos > k < < k 4k < < 4k. 3. Lichá; Df,,, symtrická množina, f f. Použito:, 3, 5 lichá, sudá. 4. Nní symtrická; Df 5 3 k, 3 k nní symtrická množina třba 3 / Df al 3 Df. k

2 5. Sudá; Df,, symtrická množina, f arctg 3 arctg 3 sinh sinh arctg3 arctg3 f. Použito: 3, sinh, arctg lichá. sinh sinh 6. Nní symtrická; Df k k, k symtrická množina, f sin 3 cos [tg ] sin3 cos [ tg] sin3 cos tg. Použito: sin, tg lichá, cos, sudá. Aby byla sudá, muslo by Df: sin3 cos tg sin3 cos tg sin3 cos sin3 cos sin3 sin3 sin3, to nní pravda Df. Aby byla lichá, muslo by Df: sin3 cos tg sin3 cos tg tg tg tg, nní pravda Df. 7. Lichá; Df IR symtrická množina, f f. 8. Nní symtrická; Df,, symtrická množina, f sin 3 3 sin 3 3. Použito: 3, 3, sin lichá. sin 3 Aby byla sudá, muslo by Df: 3 sin3 3 sin 3 sin 3 sin 3 sin 3 sin 3 sin 3, to nní pravda. Jak to vím? Kdyby to byla pravda, byl by sin -priodická funkc, al on nní. Nbo jinak: Aby to byla pravda, muslo by to platit Df, zkusím 3, dosadím, sin sin a nplatí to. Aby byla lichá, muslo Df: sin 3 3 sin3 3 sin 3 sin 3, to nní pravda jako u sudosti, zkusím 3, dosadím, sin sin nplatí ln 3 ln 6 ln 6.. arcsin 3 arcsin 4.. arctg arctg tg[ 3 ] > > > 3 < tg [ ] 3. ln. arctg 5. /4 /4, /4 > > > <.

3 6. ln 7. ln arcsin ln ln ln. arcsin / 3 / Dominantní mocnina nahoř i dol j stjná, takž místo vytýkání šlo rovnou zkrátit 3 v zlomku. Lz také použít ospitala / / ln tg 4 ln tg ln tg 4 4 tg /, proto dominanta v jmnovatli j. 3 3 / / / /. 34. sin ln sin. Toto volá po ospitalovi, al tn lz aplikovat jn na zlomky. Limitu zlomku dostanm, když vytáhnm sinus coby vnější funkci z ity nboli když s podívám jn na zlomk v jho argumntu. ln, proto sin ln sin sin > 9 7, 4 7 < Protož mám stjné dominantní mocniny, j možné j i zkrátit, vyjd to nastjno:

4 trik na Fungoval by i ospital: [ ] [ ] [ ] [ 39. ln sin ] arctg ln sin arctg ln sin. 4. sin. Toto volá po ospitalovi, al tn lz aplikovat jn na zlomky. Limitu zlomku dostanm, když vytáhnm ponnciálu coby vnější funkci z ity nboli když s podívám jn na jjí argumnt. sin cos, proto sin. ln 4. ln/ / sin sin sin sin ; > ln >. 4. [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]. 43. ln ln ln ln /. ln ln 44. cos. Njjdnodušší j zkusit tn malý nurčitý zlomk spočítat zvlášť. cos sin ln, proto cos Zkusím jdnostranné ity: Podobně Protož ity zlva a zprava nsouhlasí, nistuj. 3 arctg 46. / [ arctg] [ ] 4

5 Poznámka: Zd nní ospital ta njlpší volba. arctg 47. / ln ln Tď ln arctg proto / ln / ln ln ln ln / 4 / / Tď ln arctg 3 5. ln 3 [ 4.. ln ln., ln 3/ 4 4 ln.. ln, proto 3. [ arctg ] 3 [, momnt [arctg] ] 3 ln [ln ] ] 3 [] 3 8. Masochisti si zkusí aplikovat ospitala na tu původní itu. 5. sin sin sin lnsin sin lnsin ln. Co přsunm do jmnovatl? lnsin už j dost komplikovaný a při přsunu dolů by s jště zhoršil na [lnsin]. Na druhou stranu když s to nchá nahoř, tak tn logaritmus ospitalm zmizí. Lpší j tdy dát dolů tn sinus. sin Tď lnsin [lnsin] [sin ] Proto sin sin sin lnsin. 5. sin sin cos [ ] [ ] cos sin cos sin cos sin [sin ] [ ] cos [ ] []. sin. arcsin [arcsin ] [ ] 53. [ ] [ ] 4 4 zkus algbru

6 Poznámka: Po prvním ospitalovi jsm dostali, bylo tdy možné znovu použít ospitala. Zkust to, j to hrůzné. Ukazuj to, ž nž s pokusím o nějakou mtodu, vyplatí s zjdnodušit co njvíc zkoumaný výraz. 54. sin sin ln sin ln ln. Jdnu část j třba přsunout do jmnovatl, zkusím tn sinus. Proč? Protož pak nahoř zůstan jn logaritmus, tudíž ho drivac zabij. Sin s sic drivací zkomplikuj, al snad to půjd udolat. ln [ ln] Tď sin [sin ] sin cos sin sin cos cos cos sin. Tu problémovou itu po prvním ospitalovi lz také udělat takto: sin sin sin. cos cos sin Tď hlavně dosadit zpět do ponnciály: sin ln. a 55. a. Hodnota a závisí na znaménku a, navíc j nurčitý výraz. a Případy: a < : /. a a :. a a > :, a, ; a a a a, a ;, a >. Tď s zas počítal zvlášť případ a, protož j nurčitý výraz. a, a < ; Tdy, a ; Tohl by jst si měli umět tipnout., a >. arctga/ 56. sin arctga/. Hodnota a/ závisí na znaménku a, pro a vyjd nučitý výraz. arctga/ Případy: a < : arctg sin /. arctga/ arctg a :. sin sin sin arctga/ a > : arctg sin /. arctga/ Tdy sin, a < ;, a ;, a >. a 57. a a a. Hodnota a závisí na hodnotě a, pro a vyjd nurčitý výraz. a Případy: a < : a. a a :. a a a > : a a a. a a, a < ; Tdy, a ; a, a >. 6

7 ln a 58. lna. Výsldk závisí na znaménku čitatl. ln a Případy: a < : pak a,, tdy lna < a ln a ln a :.. ln a a > : pak a >, tdy lna > a. a, a < ; Tdy, a ; a, a >. ln 59. a. a Aby šl použít ospital, muslo by platit a. To určitě platí pro a >, pak ln a a a. Protož j obcně nurčitý výraz, mohlo by i zd vyjít nkončno, takž s podívám, zda pro a také ln ln vyjd nurčitý podíl: a ln. Nvyšl. Takž jdiný ospitalí případ j a > vyřšný výš. sina 6. sina. Jdiný výraz, ktrý má v jmnovatli nulu a můž vést na konvgnci, j když j také nula v čitatli. To s stan, když j a clé číslo. Pak sina a cosa a cosa a a. 6. c. Jdiný výraz, ktrý má v čitatli nkončno a můž vést na konvgnci, j když c j také nkončno v jmnovatli. To s stan, když j c >. Pak c c c. 6. a ln a ln a. Jdiná možnost, jak dostat konvrgnci z součinu, kd j jdna část nkončná, j zařídit, aby druhá byla nulová. To s stan, když j a. Pak ln a ln. ln b 63. lnb. Pro b < zadaná ita vůbc nmá smysl. Omzím s tdy na b. Jdiný výraz, ktrý má v jmnovatli nulu a můž vést na konvrgnci, j když j také nula v čitatli. To s stan, když j b. Pak ln b ln. Takž ita nkonvrguj pro žádnou hodnotu b. 64. Df,. f Trik: y y f, >. 65. Df 3,. f ln f ln 9 6 y. y. 7 y 6....

8 66. Df,,. f arctg 4 arctg ; f 4 arctg ; f 4 arctg f arctg 4. Vidím, ž oboustranná f nistuj. arctg. 67. Df,, nboť sin vždy. f omz ; f [ sin] cos sin cos [ 3 ] 3 6. sin Drivac nbyla moc pěkná, pro odmocniny větsinou lép funguj jjí odstranění, zkusím to u příští ity. f, trik pro sin sin 3 sin sin 3 sin sin sin 3 [sin] cos [ 3 ] 3. Kupodivu to bylo horší nž ospital. Porovnáním mám oboustrannou f. f omz. 68. Df,, protož tam >. f ln / ln ; f ln ln ; f ln ln ; f ln / ln. 69. Df IR. f f. 7. Df, 3, ; protož arctg ; [ arctg] [ ], 3, a,,. f arccos arccos 3 ; f arccos ; 3 f arccos ; f arccos arccos f lnarctg Df, protož tam arctg >. lnarctg f ; ln/ 8

9 lnarctg f ln. 7. Df,, protož ln. [ln ] f [ln ] ; f ln/ /, ln > ; f ln/ /, ln >. Oboustranná f nistuj. / f. 73. f ln[arccos] Df, protož, arccos,, arccos >. ln[arccos] f ln ; f ln[arccos] ln ln, ln >. 74. Df,, protož tam >. [ ] ln ln f [ ], ln > ; f ; f f [ ] [ ] ln ln. ln ; 75. f ln[cosh ] Df,, arctg protož arctg, cosh/ > vždy. f lncosh/ arctg lncosh / ln njprv musím najít itu v ponnciál. [ Mám ln cosh ] ln[cosh ] sinh/ cosh/ tgh tgh, proto f. L Hospital s dá zjdnodušit trikm, ukážm to u další ity. f lncosh/ arctg lncosh ln njprv musím najít itu v ponnciál. Mám ln [ cosh ] ln[cosh ] y ln[coshy] y y y sinhy coshy tghy, proto f ; y y f lncosh/ arctg lncosh ln njprv musím najít itu v ponnciál. Mám 9

10 ln [ cosh ] ln[cosh ] y y y proto f. Vidím, ž oboustranná f nistuj. f lncosh / arctg lncosh / ln njprv musím najít itu v ponnciál. [ Mám ln cosh ] ln[cosh ] proto f. arctg / {,, a ; 76. Podmínky: >, a. Proto Df, a a,, a >. f pro všchna a. f ln Pokud a > : a a {, a ;, a >. tgh tgh, ln[coshy], y f lna a. Zd j nutno si uvědomit, ž lna > pro a >, lna < pro a, a pro a j to případ, ktrý s dělá ospitalm:, a, ; Proto f, a ; Podobně a, a >. f f a ln., a, ;, a ;, a >. 77. Df,,. f /. Závěr: V nkončnu j vodorovná asymptota y. f /. V zatím nní potvrzna svislá asymptota. f /. Závěr: V j svislá asymptota. f /. Závěr: V mínus nkončnu j vodorovná asymptota y. 78. Df,,. f ; nní vodorovná, můž být šikmá, zkusím f A, možná j šikmá s A, B f A. Závěr: V nkončnu j asymptota y. f. Závěr: V j svislá asymptota. Jn cvičně: f ; potvrzuj to nzávisl tu svislou. f ; nní vodorovná, můž být šikmá, zkusím f A, možná j šikmá s A, B f A. Závěr: V mínus nkončnu j asymptota y.

11 79. Df,,. f ; nní vodorovná, můž být šikmá, zkusím f A, možná j šikmá s A, B f A. Závěr: V nkončnu j asymptota y. f. Závěr: V j svislá asymptota. Jn cvičně: f ; potvrzuj to nzávisl tu svislou. f. Závěr: V mínus nkončnu j vodorovná asymptota y. 8. Df, protož >, j > >. ln f ; nní vodorovná, můž být šikmá, zkusím f ln A, možná j šikmá s A, B f A ln ln ln Závěr: V nkončnu nní žádná asymptota. ln f. Závěr: V j svislá asymptota. ln ln. 8. Df,, ; protož. f ; nní vodorovná, můž být šikmá, zkusím f A, možná j šikmá s A, B f A. Závěr: V nkončnu j asymptota y. f ; v zatím nní potvrzna svislá asymptota. f. Závěr: V nní žádná asymptota. f. Závěr: V mínus nkončnu j vodorovná asymptota y. 8. Df,, ; protož > >. ln f. Závěr: V nkončnu j vodorovná asymptota y. ln ln f. Závěr: V nní žádná asymptota. ln f. Závěr: V j svislá asymptota. ln f. Závěr: V mínus nkončnu j vodorovná asymptota y. 83. Df,, ; protož tam ln.

12 f ; nní vodorovná, můž být šikmá, zkusím f A ln, možná j šikmá s A, B f A f. Závěr: V nkončnu nní žádná asymptota. Poznámka: Když vyjd f a A, tak už nmůž být asymptota s A by byla vodorovná, al ta j vyloučna tím nkončnm, nní nutno počítat B. f. Závěr: V j svislá asymptota. Jn cvičně: f ; potvrzuj to nzávisl tu svislou. f ln. Závěr: V nní žádná asymptota. 84. Df,,. f. Závěr: V nkončnu j vodorovná asymptota y. f. V zatím nní potvrzna svislá asymptota. f. Závěr: V nní žádná asymptota. ln f. Závěr: V j svislá asymptota. 85. f lnsinh Df, ; protož sinh > >. lnsinh cosh f sinh cotgh. Závěr: V nkončnu j vodorovná asymptota y. lnsinh f 86. Df,,. f omz ln. Závěr: V nní žádná asymptota. sin sin omz. Tady algbra it ani standardní postup npomůž, jn zkušnost. sin kolísá mzi a, takž cstou / do nkončna s f rovná občas přsně a občas přsně /. Tyto možnosti s opakují střídavě bz přstání, takž f cstou doprava bz přstání osciluj a vlikost oscilac s zvětšuj. Závěr: f nistuj. Proto nní v nkončnu žádná asymptota. f sin V zatím nní potvrzna svislá asymptota. f sin Závěr: V nní žádná asymptota. f sin 87. sin3 cos. cos. omz. Stjný problém jako v nkončnu, stjný závěr. j spoj. na svém df. oboru, tn obsahuj,, kd f sin3, proto j f spoj. na,. j spoj. na IR a f na,, proto j f spoj. na,, v krajních bodch j jdnostr. spoj. / j spoj. na svém df. oboru, tn obsahuj,, kd f /, proto j f spoj. na,. Spojitost v a : f f >, < ; sin3 f f 3 cos3 < 3.

13 f f f n., tdy f nní spojitá v. Jdnostranné ity konvrgují a nrovnají s, tdy j tam skoková nspojitost. f f, proto j f spojitá v zprava. Poznámka: Altrnativní výpočt druhé ity j substitucí a známou tabulkovou itou. sin3 y 3 3 y y 3 siny 3 3. y y Spojitost v a : f f > f f / <, >. ; f f f f, proto j f spojitá v. Závěr: f j spojitá na,,, v nul j skoková nspojitost, j tam spojitá zprava. 88. arctg j spoj. na svém df. oboru, tn obsahuj,, kd f arctg, proto j f spoj. na,. j spoj. na IR a f na,, proto j f spoj. na,, v j spoj. zlva. ln j spoj. na svém df. oboru, tn obsahuj,, kd f ln, proto j f spoj. na,. Spojitost v a : f f f f < >, < arctg ; arctg arctg. f f f f, proto f nní spojitá v. f konvrguj a nní rovna f, tdy j tam odstranitlná nspojitost. Spojitost v a : f f > ln ln ; j jdnostranná ita, ktrá nkonvrguj, proto f nní spojitá v a j tam podstatná nspojitost. f f <, > f. V bodě j tdy f spojitá zlva. Závěr: f j spojitá na,,,, v nul j odstranitlná nspojitost, v jdničc podstatná, f j tam spojitá zlva. 89. Problém j vidntně spojitost v nul. Ta platí, jstliž f f f. Zd mám lnsin cos f sin cos ln ; sin f a; f a a. Tyto tři hodnoty s budou rovnat při volbě a. 9. Problém j vidntně spojitost v nul. Ta platí, jstliž f f f. Zd mám f b b b; a f 4; f a. Tyto tři hodnoty s budou rovnat při volbě a 8 a b Df,. Důkaz prostoty: Nchť,,. f f ln ln. Při úpravách s využilo toho, ž logaritmus i ponnciála jsou prosté, takž rovnost funkčních hodnot implikuj rovnost argumntů. Poznámka: Prostota také vyplyn z monotoni této funkc, což s dokáž asi njjdnodušji pomocí drivac. f < na Df, proto j f klsající a tdy i prostá. Invrzní funkc: y ln y y ln y ln y, proto f y ln y. J to opravdu invrzní funkc k f? Pro Df: f f f ln ln ln ln ln. Pro y Df : ff y ln ln y ln ln y ln y ln y y. Důkaz hotov. 3

14 Hf Df,. y < y y j y < y y > y lnz j ln y > ln y f y > f y. f j tdy klsající a tudíž monotonní, právě provdná úvaha j zárovň důkaz. Altrnativa: Df,, [f y] y < pro y Df y, funkc j klsající na Df,. Dokonc mám větu, ž funkc invrzní k funkci monotonní má stjnou monotonii a na začátku jsm ukázali, ž f j klsající. 9. Obcná dfinic f A: Pro libovolně dané okolí U UA jsm schopni najít prstncové okolí a P P a takové, ž pro všchna P mám f U. Přpis pro vlastní bod a vlastní itu: Pro libovolné ε > istuj δ > takové, ž když j libovolné číslo splňující < a < δ, tak f A < ε. Toto j třba dokázat. Přsně: J nám dáno libovolné ε >. Potřbujm najít δ > tak, abychom z nrovnosti < δ a dostali také 3 5 < ε. Tď: 3 5 < ε 3 3 < ε 3 < ε. Toto mám splnit pomocí nrovnic < δ, což s podaří, pokud zvolím δ 3ε. Pak platí viz přdchozí úpravy kýžná implikac < δ 3 < ε, důkaz hotov. 93. J nám dáno libovolné ε >. Potřbujm najít δ > tak, abychom z nrovnosti < δ a dostali také 5 3 < ε. Tď: < ε < ε < ε < ε. Toto mám splnit pomocí nrovnic < δ, al zlobí tam tn zlomk. Zd s musí použít finta. Vím, ž j přibližně, pak j tn zlomk přibližně 3, takž mám v zásadě nrovnost 3 < ε. Odtud by mohlo stačit zvolit δ 3ε, jnž k té nrovnosti jsm ndošli korktně, jn odhadováním. Potřbujm přsnou matmatiku. Jdna možnost j prohlásit, ž ať už to δ zvolím jakkoliv, vždy si můžm pohlídat, aby bylo mnší nž. Pak z < mám 3 nboli a. Proto, tudíž pro splňující < mám 5 3. Proto můžm zvolit δ minε,. Pak platí viz přdchozí úpravy kýžná implikac < δ 5 3 < ε, důkaz hotov. 94. Přpis dfinic pro nvlastní itu v nvlastním bodě: Pro libovolné K IR istuj L takové, ž když j libovolné číslo splňující > L, tak f > K. J nám dáno libovolné K. Potřbujm najít L tak, abychom z nrovnosti > L dostali také 3 > K. Tď: 3 > K 3 > K > 3 K. Toto mám splnit pomocí nrovnic > L, což s podaří, pokud zvolím L 3 K. přdchozí úpravy kýžná implikac > L 3 > K, důkaz hotov. Pak platí viz 95. Musím ukázat, ž podmínka z dfinic nní splněna, nboli ž platí jjí ngac: J nějaké ε > takové, ž ať si zvolím jakékoliv δ >, tak s vždycky najd P δ, po ktré nfunguj f 4 < ε. Jak takové ε najdm? Chcm, aby pro nějaká blízká k platilo f 4 ε. Co vím? Když j blízko, tak j f skoro 5, čili s od té 4 liší skoro o jdničku, blíž s ndostanm, řkněm ž j určitě dál nž půl. Intuitivně s to zdá jasné, trochu těžší asi pro začátčníka j to udělat algbraicky. Zkusím tdy vzít ε a ukážm, ž pro něj dfinic ity nfunguj. Když někdo zkusí nějaké δ >, tak my vzmm libovolné tak, aby splňovalo < δ a zárovň <. O kolik s pak f liší od 4? Nmělo by s příliš lišit od pětky, takž to použijm jako rfrnční hodnotu. Z trojúhlníhoké nrovnosti y y dostanm volbou α, y β α další užitčnou nrovnost β α β α, ktrou tď použijm: f 4 f f Nmůž tdy platit f 4 < ε. 4

15 96. Nchť f a g jsou libovolné liché funkc. Jak raguj funkc f g na dosazní? Nchť j libovolné číslo z Df { Dg; g }. f f g g f, g liché f g f g f g. Právě jsm dokázali, ž tnto podíl j sudý a tvrzní tdy platí. 97. Nchť f j libovolná lichá a g libovolná sudá funkc. Jak raguj funkc f g na dosazní? Nchť j libovolné číslo z M Df Dg. f g f g f lichá, g sudá f g. Aby byla funkc f g sudá, pak by tdy muslo pro všchna M platit f g f g nboli f f, což znamná f. To s stát můž, čili zkoumané tvrzní nplatí. Můž s stát, ž součt liché a sudé funkc j sudý jmnovitě když ta lichá j nulová funkc. Podobně ukážm, ž součt liché a sudé j lichý, pokud ta sudá j nulová. Důkaz zárovň ukazuj, ž pokud f ani g njsou idnticky nulové na M, pak už jjich součt symtrický být nmůž. Proč? Jstliž f nní idnticky nula na M, pak Df Dg takové, ž f, pak také viz výš f g f g a sudost f g j porušna. Jstliž g nní idnticky nula na M, pak Df Dg takové, ž g, pak také g g, tdy f g f g nboli f g [f g ] f g, což porušuj lichost f g. 98. Nchť I j intrval a f, g libovolné dvě funkc nrostoucí na I. Chcm dokázat, ž f g j nrostoucí, tdy musím dokázat, ž pro libovolná, y I splňující < y mám f g f gy. Takž nchť jsou < y libovolná čísla z I. Podl přdpokladu pak platí f fy a g gy. Když tyto dvě nrovnic sčtm, dostanm f g f gy, přsně jak jsm potřbovali. 99. Nchť I j intrval a f, g libovolné dvě funkc rostoucí na I. Chcm dokázat, ž f g j rostoucí, tdy musím dokázat, ž pro libovolná, y I splňující < y mám fg < fgy. Takž nchť jsou < y libovolná čísla z I. Podl přdpokladu pak platí f < fy a g < gy. Bohužl nrovnic njd násobit, pokud nvím něco o znaménkách. Kdyby byly f a g vždy kladné, pak bychom nrovnic násobit mohli, například pomocí tohoto dvojkroku, ktrý j lép vidět měním vždy jn jdnu věc, nrovnic lz násobit kladným číslm: fg < fyg < fygy. Kdybychom al v něktrém kroku násobili číslm záporným, pak j třba směr nrovnosti změnit a postup s zadrhn. To ukazuj dvě věci. Dokázali jsm toto tvrzní: Jstliž jsou f a g kladné rostoucí funkc na I, pak j fg rostoucí na I. Zárovň to vypadá, ž pro jiné funkc tam mohou být problémy. Trocha primntování ukáž, ž zkoumané tvrzní opravdu obcně nplatí. Tuto odpověď dokážm najitím konkrétního protipříkladu, například funkc f j rostoucí na I,, funkc g j také rostoucí na I, al fg j na I klsající. 5