M - Příprava na čtvrtletní písemnou práci Určeno pro třídu 1ODK. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na www.dosli.cz.
Algebraické výrazy Mezi zápisy s číselnými proměnnými patří: výrazy výrokové formy výroky s kvantifikátory Po dosazení přípustných proměnných hodnot do: výrazu... dostaneme číslo výrokové formy... dostaneme výrok do výroků s kvantifikátory... nemá smysl dosazovat číselné hodnoty Rovnost a úpravy výrazů Výrazem budeme rozumět každý zápis, který je správně formulován podle úmluv o zápise čísel, proměnných, výsledků operací. Ke každému výrazu obsahujícím proměnné přísluší zápis, jaký je obor jednotlivých proměnných - tzv. definiční obor výrazů. O dvou výrazech s týmiž proměnnými říkáme, že jsou si rovny v dané množině, platí-li: a) do obou výrazů lze na místo proměnných dosadit symboly všech prvků množiny M b) oba výrazy dávají pro stejné hodnoty proměnných stejné výsledky Přehled důležitých vzorců: (A + B) = A + AB + B (A - B) = A - AB + B (A - B).(A + B) = A - B (A + B) = A + A B + AB + B (A - B) = A - A B + AB - B A - B = (A - B).(A + AB + B ) A + B = (A + B).(A - AB + B ) Úpravy celistvých výrazů - procvičovací příklady 1. Výraz -(-x + 1) se po úpravě rovná čemu? 405. Upravte: [(a b ) ] 9. Doplňte: (? - ) = 16x -? +? 400 1 z 16
4. Vypočtěte bez použití kalkulátoru: 14 ( ) + 6,4 : ( 0,8) 1 4 : 1 (1,8,9) 410 5. Výraz K = 16a a 4 x rozložte na součin aspoň tří činitelů 408 6. Upravte: a. b ȧb.b a. 4b 4 96 7. Upravte daný výraz x y-{xyz-(yz-x z)-4x z+[x y-(4xyz-5x z)]}. Výsledek ověřte dosazením pro x=1, y=-1, z=0 40 8. Rozložte v součin výraz: 9s v - 4r v - 9u s + 4u r Správnost ověřte dosazením u=-1, v=, s=1, r=0 98 9. Rozložte na součin: a + ab + b c 409 10. Rozložte na součin: 4 x 89 11. Zjednodušte a ověřte dosazením za x = - 8x - [x 6.(x - 1) + ] - (x - 5x). 407 1. Vypočtěte: (4a b + 5a b ) = 81 1. Vypočtěte rozdíl výrazů x+ a x-1 91 14. Upravte: (x-5) - (x-).(5x+) 401 15. Výraz 4k - (k + 1) - 4k + 8 zjednodušte a správnost výpočtu ověřte dosazením za k = 85 z 16
16. Vypočtěte: 406 15,1 ( ) + 6, : ( 0,7) [(,5,7) : 4 65 + 15,1] 17. Vypočtěte součin výrazů x+ a x-1 9 18. Doplňte chybějící údaje tak, aby platila rovnost (... + y) = 4x +... +... 84 19. Rozložte na součin výrazy: a) x -4xy+y b) 5t-tm-10m+5 404 0. Vypočtěte a) rozdíl b) součin výrazů x+ a x-1 86 1. Výraz (k - ) - 4k(k - 1) + 8k - 6 zjednodušte a správnost výpočtu ověřte dosazením k = 97. Rozložte na součin výraz: 18xy - 1x y 8. Vypočítejte: ( - x) - (x - ) + (-x) 40 4. Rozložte na součin: x - xy + y - x + y 99 5. Upravte: (1,x - 0,y) 94 6. Upravte: (x - 0,y). (x + 0,y) 95 7. Rozložte na součin: 4x (y z ) + 5v (z y ) 8 8. Umocněte: (10 - a) 88 z 16
9. Zjednodušte výraz: (h - 5s)(h + 5s) - (h + 5s) 87 0. Zjednodušte výraz x - [5x - (x - 4) + 1] - (x + 1) a správnost výpočtu ověřte dosazením za x = - 80 1. Rozložte na součin: (m - 1).5x 8.(m - 1) 90 Lomené výrazy Lomený algebraický výraz je takový výraz, který má ve jmenovateli proměnnou. U každého lomeného výrazu musíme stanovit jeho definiční obor, neboli určit tzv. podmínku řešitelnosti (tj. podmínku, při jejímž splnění má výraz smysl). Př.: ax + b cx + d Jedná se o lomený výraz, který je definován pro všechna reálná čísla, s výjimkou x = -d/c (v tom případě by totiž byl jmenovatel roven nule a nulou nemůžeme dělit). Zapisujeme tedy: x -d/c Lomené výrazy můžeme rozšiřovat nebo krátit. Rozšířit lomený výraz znamená vynásobit jeho čitatele i jmenovatele stejným výrazem různým od nuly. Krátit lomený výraz znamená dělit jeho čitatele i jmenovatele stejným výrazem různým od nuly. Lomené výrazy též můžeme pomocí rozšíření nebo krácení upravit tak, aby měly zadaného jmenovatele, příp. výjimečně používáme i takovou úpravu, aby měly zadaného čitatele. Lomený výraz je v základním tvaru, jestliže už ho dále nelze krátit. Lomený výraz je roven nule, jestliže je roven nule jeho čitatel. Lomené výrazy sčítáme tak, že je převedeme na společného jmenovatele a součet čitatelů takto vzniklých lomených výrazů lomíme společným jmenovatelem. Pozn.: Analogické je odčítání lomených výrazů Lomené výrazy násobíme tak, že součin čitatelů lomíme součinem jmenovatelů. Výsledek uvedeme do základního tvaru. Pozn.: Krátit můžeme i před vynásobením zadaných výrazů, a to tak, že krátíme kteréhokoliv čitatele proti kterémukoliv jmenovateli. Lomený výraz násobíme celistvým výrazem tak, že násobíme tímto celistvým výrazem čitatele výrazu lomeného. 4 z 16
Lomený výraz dělíme lomeným výrazem tak, že první lomený výraz násobíme převrácenou hodnotou lomeného výrazu druhého. Pozn.: Převrácenou hodnotu lomeného výrazu vytvoříme tak, že zaměníme jeho čitatele se jmenovatelem. Pozn.: Opačný výraz k lomenému výrazu vytvoříme tak, že před zlomkem změníme znaménko. Složený lomený výraz je takový výraz, kde základní lomený výraz má v čitateli nebo ve jmenovateli nebo i v čitateli i ve jmenovateli další lomený výraz. Složený lomený výraz řešíme tak, že součin vnějších členů lomíme součinem členů vnitřních. Pozn.: Vnitřní členy jsou ty, které jsou blíže k hlavní zlomkové čáře; vnější členy jsou od ní naopak dále. Pozn.: Složený lomený výraz můžeme řešit i tak, že hlavní zlomkovou čáru nahradíme dělením a celý příklad poté řešíme jako podíl dvou lomených výrazů. Úpravy lomených výrazů - procvičovací příklady 1. 416. 417. 419 5 z 16
4. 4 5. 41 6. 418-1,7 7. 4 6 z 16
8. 45 9. 40 10. 44 Mocniny a odmocniny Obor přirozených čísel: Def.: Mocninou a b nazýváme přirozené číslo, které je součinem b činitelů rovných číslu a. Zapisujeme: a b = a. a. a..... a b-krát Pro čísla a, b, r, s platí: a r. a s = a r+s (a.b) r = a r. b r (a:b) r = a r : b r (a r ) s = a rs a r : a s = a r-s Obor celých čísel: Pro čísla a, n platí: a -n = 1/a n Obor racionálních čísel: Sčítat a odčítat můžeme pouze stejné mocniny, tj. musí mít stejný základ i stejný exponent. Př.: x + x... sečíst lze x 4 - x... odečíst nelze 7 z 16
Násobit můžeme mocniny se stejným základem. Př.: a 4. a 5 = a 9... obecně a r. a s = a r+s Násobit můžeme také mocniny se stejným exponentem a různým základem. Př.: 5. 7 5 = 14 5... obecně a n. b n = (ab) n Pozn.: Analogická pravidla jako pro násobení platí i pro dělení. Často při výpočtech používáme zápis čísla ve tvaru c.10 n, kde číslo c je větší nebo rovno jedné a menší než 10. Pak platí následující pravidla: 1. Násobení čísel ve tvaru c.10 n (a.10 m ).(b.10 n )=(ab).10 m+n Př.:,4.10 5.,1.10 4 = (,4.,1).10 5+4 = 7,14.10 9 = 7,1.10 9 (po zaokrouhlení),6.10 8. 7,.10 5 = (,6.7,).10 8+5 = 18,98.10 1 = 1,898.10 14 = 1,9.10 14 (zaokr.). Dělení čísel ve tvaru c.10 n (a.10 m ):(b.10 n )=(a/b).10 m-n Př.:,4.10 5 :,1.10 4 = (,4:,1).10 5-4 = 1,6.10 1 (po zaokrouhlení),6.10 8 : 7,.10 5 = (,6:7,).10 8-5 = 0,6.10 =,6.10 (po zaokrouhlení). Umocňování čísel ve tvaru c.10 n (c.10 n ) m = c m.10 mn Př.: (5,6.10 15 ) 4 = 5,6 4.10 15.4 = 98,4496.10 60 = 9,8.10 6 (po zaokrouhlení) 4. Sčítání nebo odečítání čísel ve tvaru c.10 n V tomto případě postupujeme tak, že z jednotlivých členů výrazu vytkneme nejnižší použitou mocninu čísla 10. Vzniklou závorku sloučíme a výsledek upravíme. Př.:,5.10 8 + 5,6.10 5 + 9,4.10 7 = 10 5.(,5.10 + 5,6.10 0 + 9,4.10 ) = = 10 5.( 500 + 5,6 + 940) = 10 5. 445,6 =,4.10 8 (po zaokrouhlení) Pozn.: Jak převést snadno číslo ve tvaru c.10 n na číslo klasické: a) kladné číslo v exponentu: př.:,.10 8... znamená posunout desetinnou čárku o 8 míst vpravo b) záporné číslo v exponentu: př.:,.10-8... znamená posunout desetinnou čárku o 8 míst vlevo Obor reálných čísel: Odmocnina z nezáporného reálného čísla je definována opět jako nezáporné číslo. Druhou odmocninou nezáporného reálného čísla a nazýváme to nezáporné reálné x, pro které platí x = a Symbolicky zapisujeme a. Index odmocniny u druhé odmocniny vynecháváme. Pro odmocniny platí obdobná pravidla jako pro mocniny. Sudé odmocniny lze počítat pouze z nezáporných čísel. Pokud se nám tedy ve výpočtu vyskytují sudé mocniny, musíme opět provádět podmínky řešitelnosti. Sčítání a odčítání odmocnin: x + x = 4 x u odmocnin nehraje roli koeficient před proměnnou - ten může být odlišný, protože ho lze vždy dostat před odmocninu Příklad 1: ( ). x + x =. x +. x = + x Pozn.: Nelze ale sčítat nebo odčítat např. druhou odmocninu s odmocninou třetí! Obdobná pravidla platí i pro násobení, resp. dělení, odmocnin. Odmocniny můžeme násobit (resp. dělit) tehdy, pokud mají stejný základ. Pak musíme ale nejprve všechny činitele převést na stejnou odmocninu. Příklad : 8 z 16
4 1 4 1 1 4 a = a. a = a. a a. = a 1 7 Pokud mají činitelé stejnou odmocninu, pak můžeme násobit odmocniny, které mají odlišný základ. Příklad : 8. 5 = 40 (1) Každou odmocninu můžeme převést na mocninu podle následujícího pravidla: b a b a x = x Zjednodušování odmocnin Příklad 4: Řešení: Příklad 5: Řešení: Při zjednodušování součinu (resp. podílu) odmocnin se snažíme nejprve vše převést na stejnou odmocninu. Výsledek pak často musíme převést do základního tvaru, případně i částečně odmocnit. Převedení odmocniny do základního tvaru - provádí se tehdy, jestliže exponent pod odmocninou a index u odmocnítka jsou čísla soudělná (tj. mají kromě jedničky společného dělitele). Postupujeme obdobně jako při krácení zlomků. Příklad 6: = 16 10 Příklad 7: 40 0 = 8 5 Částečné odmocnění - provádí se tehdy, jestliže exponent pod odmocninou je větší než index odmocnítka. Částečně odmocníme tak, že číslo pod odmocninou nejprve převedeme na součin, kde první činitel bude mít v exponentu nejbližší nižší násobek indexu odmocnítka k exponentu původní mocniny. Pak použijeme vzorec (1) a prvního činitele převedeme do základního tvaru. Příklad 8: 8 0 8 4 6 8 4 8 6 =. =. = Příklad 9:. 4 9 z 16
6 40 0 18 18 = =. =. =. 6 Pokud potřebujeme zjednodušit součet nebo rozdíl odmocnin, snažíme se převést výpočet pomocí částečného odmocnění na odmocniny se stejným základem i stejným indexem. Příklad 10: 6 + 1 + + 4 4 = 6 + + + 8 6 = 9 6 + 4 Usměrňování odmocnin - provádí se tehdy, pokud se odmocnina vyskytuje ve jmenovateli. Je-li ve jmenovateli jednočlen, provádíme jednoduché rozšíření zlomku členem, který se vyskytuje ve jmenovateli. Je-li ve jmenovateli dvojčlen, provádíme usměrnění tak, že rozšíříme zlomek tak, abychom ve jmenovateli mohli použít vzorec pro rozdíl čtverců. Vzniklý výraz pak zpravidla ještě dále zjednodušíme. Příklad 11: ( + ). + + = =. 6 Příklad 1: + = ( + )(. + ) ( )(. + ) = + 6 + = 5 + 6 Výpočty s čísly ve tvaru c.10n - procvičovací příklady 1.,4.10 5. 6,5.10 45. 1,56.10 51 516 50 (4,5.10-5 ) 6 8,.10-7. (7,8.10 4 ) 1 5,1.10 58 4. 7,4.10 15 +,8.10 14 + 5,6.10 15 -,9.10 14 1,.10 16 5. 6,4.10 15 : (,1.10 18 ),0.10-51 56 50 10 z 16
6. 6,8.10 5. 4,8.10 14,.10 0 7.,6.10-6. 1,8.10 65 4,7.10 9 8. 7,1.10-4.,9.10 56 9. (4,5.10 15 ) -,1.10 14 4,9.10-10.,4.10 5 + 1,5.10-1,5.10 + 4,5.10 4,9.10 5 11. 1,8.10-6 : (,6.10-45 ) 5,1.10 18 1.,4.10 1 +,5.10 16 + 4,5.10 1,5.10 16 1. 6,7.10-9 : (1,6.10 15 ) 4,.10-4 14. 517 518 519 59 55 5 54 5 58 (,6.10 8 ) -5 8,4.10-4 15.,9.10 14 : (,8.10 1 ) 7,6.10 1 16.,8.10-4 + 4,6.10-5 + 5,4.10-6 + 5,8.10-5 - 1,5.10-4,4.10-4 51 57 11 z 16
Zjednodušování odmocnin - procvičovací příklady 1. Zjednodušte a určete podmínky, při kterých má výraz smysl: 57 9 11 1 7 8 10 7a b c. 8a b. ab 6 6a b 11 c 10. abc. a, a 0, b 0, c 0. Vyjádřete jako jedinou odmocninu:..5 5.4 0,15 54000 59. Zjednodušte a určete podmínky, při kterých má výraz smysl: 5 ab : c 5 a b. c d 9 cd 5 a b, a > 0, b > 0, c > 0, d > 0 4. Zjednodušte a určete podmínky, při kterých má výraz smysl: a. b. a. ab 5. Proveďte: ab. 6a, a 0, b 0 ( + 6) :( ) + 6 541 56 54 6. Proveďte: ( 6 + 4 6 7 15 ): + 4 7 5 54 1 z 16
7. Vyjádři jedinou odmocninou a urči podmínky řešitelnosti: 545 x. y x y 9 x y 4 4, y 0 8. Zjednodušte: 1 7 9 4/ 9. Vyjádři jedinou odmocninou: 540 544 5 6 5 10. Zjednodušte: 1 6 6 + 6 7 4 1 58 Usměrňování odmocnin - procvičovací příklady 1. 577. 578 1 z 16
. 58 4. 585 5. 589 6. 581 7. 591 8. 579 14 z 16
9. 580 10. 584 11. 576 1. 587 10 1. 586 14. 58 15 z 16
15. 588 16. 590 17. 59 16 z 16
Obsah Algebraické výrazy 1 Úpravy celistvých výrazů - procvičovací příklady 1 Lomené výrazy 4 Úpravy lomených výrazů - procvičovací příklady 5 Mocniny a odmocniny 7 Výpočty s čísly ve tvaru c.10n - procvičovací příklady 10 Zjednodušování odmocnin - procvičovací příklady 1 Usměrňování odmocnin - procvičovací příklady 1 17.1.005 1:40:45 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz)