South Bohemia Mathematical Letters Volume 21, (2013), No. 1, 8 13. VĚTY O SHODNOSTI TROJÚHELNÍKŮ V PROGRAMU GEOGEBRA NA ZŠ MARTIN GÜNZEL Abstrakt. Tento článek se zabývá využitím počítače při výuce vět o shodnosti na základní škole, konkrétně samostatnou prací žáků v programu GeoGebra při rýsování trojúhelníků podle vět o shodnosti podle připravených pracovních listů. Stručně shrnuje průběh výuky, způsob práce učitele, průběh samostatné práce žáků a jejich motivaci. Také se věnuje krátkému rozboru častých chyb, jenž se žáci dopouštěli, a nakonec shrnuje výhody práce s programem GeoGebra při této výuce. Úvod Pěstovat geometrii znamená rozvíjet představivost. (Kuřina 2012, s.129). V tomto článku autor popisuje své zkušenosti jako učitel s pěstováním geometrie pomocí programu GeoGebra při výuce matematiky v 7. ročníku na ZŠ v Českých Budějovicích. Článek se týká jedné třídy, která s programem GeoGebra pracuje od 6. ročníku, základní orientace v prostředí tohoto programu tak žákům nedělala problém. Práce v programu GeoGebra by měla být v tomto ohledu vhodným nástrojem pro rozvoj dětské představivosti. GeoGebra patří pod skupinu programů dynamické geometrie. Jde vlastně o geometrický náčrtník k vykreslování geometrických útvarů, který umožňuje manipulaci s těmito objekty a provádí i některé výpočty (Binterová, Tlustý 2013, s. 23). Program GeoGebra spojující v sobě geometrii a algebru se začal vyvíjet již od roku 2001 a je používán v mnoha školách v Evropě. Jeho předostí je jeho volné šíření, velmi snadné intuitivní ovládání a také jeho překlad do mnoha jazyků včetně češtiny (Binterová, Tlustý 2013, s. 27). Výuka, ve které žáci využívali program GeoGebra, se týkala konstrukce trojúhelníka podle vět o shodnosti trojúhelníků. Vyučující nejprve danou látku vysvětlil, přičemž během výkladu využíval taktéž programu GeoGebra, po té danou látku s dětmi procvičoval a následně dostaly děti pracovní listy, podle kterých měly vybrané trojúhelníky narýsovat v programu GeoGebra. Pracovní list obsahoval kromě zadání i návod, jak mají děti postupovat při konstrukci daného trojúhelníka. Návod obsahoval jeden možný stručný postup řešení s obrázky funkcí, jichž mohou žáci v programu využít. Návod sloužil žákům pouze jako pomůcka, podle které se nemuseli nutně řídit a je inspirován popisem úlohy konstrukce trojúhelníka podle věty sss v knize (Vaníček 2009, s. 82). V článku autor popisuje způsob práce učitele s programem GeoGebra při výkladu a způsob práce dětí s programem. Shrnuje vliv takového způsobu práce na motivaci žáků, popisuje časté chyby v žákovských konstrukcích a způsob jejich napravování. V příloze pak uvádí autor vlastní vytvořené pracovní listy vytvořené k této výuce. Key words and phrases. GeoGebra, shodnost, výuka matematiky. 8
GEOGEBRA NA ZŠ 9 1. Výuka pomocí programu GeoGebra Pro samotnou výuku vět o shodnosti trojúhelníků je podle ŠVP na škole, kde autor učí, věnováno 7 hodin. První tři hodiny jsou strukturovány tak, že nejprve učitel vysvětlí obsah věty, provede její verifikaci v programu GeoGebra a poté děti konstruují zadaný trojúhelník podle probrané věty. Během těchto tří hodin jsou probrány všechny věty a žáci mají v sešitě od každé věty alespoň dvě konstrukce trojúhelníka. Následující dvě hodiny probíhá procvičování a trénování konstrukce včetně vybraných slovních úloh. Poslední dvě hodiny probíhají v počítačové učebně, kde děti konstruují trojúhelník v programu GeoGebra podle zadání z pracovních listů. Jde tedy o učení podporované počítačem, které klade důraz na učení žáka a rozvoj jeho kompetencí. (Binterová, Tlustý 2013, s. 15). Výsledky jejich práce ukládají do učitelovy složky v místní síti, ze které je učitel později otevře a ohodnotí. 1.1. Zavedení vět o shodnosti trojúhelníků s programem GeoGebra Během prvních dvou vyučovacích hodin využívá autor program GeoGebra při výkladu k demonstracím různých způsobů konstrukce trojúhelníka a následné verifikaci vět o shodnosti. Díky dynamickému prostředí programu GeoGebra tak lze žákům demonstrovat mnohem více separovaných modelů než pouze pomocí tabule, křídy, popř. tužky a papíru. Počítač je zde velkou pomůckou pro učitele ke kvalitnímu demonstrování a přiblížení mnoha různých geometrických konstrukcí souvisejících s větami o shodnosti. Tuto shodnost lze díky programu také snadno ověřovat. Konstrukce v programu GeoGebra tak přispívají k názornosti, protože jsou dynamické, můžeme je měnit při zachování vztahů mezi sledovanými objekty (Binterová, Tlustý 2013, s. 68). 1.2. Samostatná práce žáků Po pěti vyučovacích hodinách, během nichž žáci rýsovali pouze do sešitu se nyní pouští do konstrukce v programu GeoGebra. Každý žák dostal pracovní list, který se skládá ze čtyř částí - podle čtyř vět o shodnosti trojúhelníků (sss, sus, usu, Ssu). V každé části pracovního listu je úkol na konstrukci trojúhelníka podle dané věty o shodnosti. Žáci vždy nejprve tužkou načrtnou trojúhelník a provedou rozbor do pracovního listu, poté začnou rýsovat v programu GeoGebra. Nakonec ještě trojúhelník narýsují do pracovního listu. V první části věnované větě sss se žáci seznámí s funkcí, kterou doposud nepotřebovali. Jedná se o funkci Úsečka dané velikosti. Formou řešení dvou jednoduchých úkolů si mohou používání této funkce snadno osvojit a využít jí k následné konstrukci trojúhelníka podle věty sss. Správný postup řešení obou úvodních úkolů i konstrukce trojúhelníka mají děti uveden v pracovním listě včetně obrázku. Správný postup konstruování je uveden jak ve formě slovního popisu, tak ve formě matematického zápisu, se kterým se žáci v tomto ročníku teprve seznamují. Ve druhé části věnované větě sus se žáci setkávají s další novou funkcí Úhel dané velikosti. Na dvou jednoduchých úkolech se mohou žáci seznámit s jejím použitím a ihned mohou tuto funkci využít při řešení konstrukce trojúhelníku podle věty sus. Ve zbývajících dvou částech zaměřené na větu usu a Ssu už jen žáci zúročují své poznatky a dovednosti s používáním obou objevených funkcí tohoto programu.
10 MARTIN GÜNZEL Obrázek 1. Pracovní list ke konstrukci trojúhelníka podle věty sss Obrázek 2. Pracovní list ke konstrukci trojúhelníka podle věty Ssu 2. Motivace a výsledky Využití moderní technologie je jednou z možností jak žáky více motivovat a pomáhat taktéž kvalitnější přípravě učitelů. Podle současných výzkumů používá 90 % evropských učitelů k přípravě na výuku moderní technologie (Binterová, Tlustý 2013,
GEOGEBRA NA ZŠ 11 s. 37). Práce v programu GeoGebra byla koncipována tak, aby žáky co nejvíce motivovala k seznámení s rýsováním trochu jiným způsobem. Během práce na počítači chtěl každý žák danou úlohu vyřešit a zároveň mohl postupovat svým vlastním tempem. Nebyl kladen důraz na rychlost řešení daných úkolů, nýbrž pouze na jeho správnost. 2.1. Motivace žáků při práci v programu GeoGebra Přes nemálo chyb, kterých se při práci děti dopouštěly a na které musel učitel reagovat, nijak neochabovalo pracovní nadšení ve třídě, a to i u takových žáků, kteří během normálních vyučovacích hodin odmítají pracovat. Mnoho žáků, kteří si práci v programu GeoGebra velmi rychle osvojili, vylepšovalo své vyřešené konstrukce změnou barvy, zvýrazňováním výsledných objektů či skrýváním objektů pomocných. Přestože jsou v pracovních listech uvedené postupy krok po kroku, někteří žáci rýsovali pouze podle zadání a zmenšeného obrázku s řešením. Na druhou stranu se někteří žáci dopouštěli při rýsování chyb většinou na základě špatné definice geometrických objektů nebo jejich vzájemné polohy. 2.2. Časté chyby v konstrukcích Jedna z velkých předností softwaru dynamické geometrie je nutnost přemýšlet o tom, jak správně definovat polohu daného objektu vůči jiným objektům, jak přesně popsat jejich vzájemný vztah. Konstrukce na základě chybné úvahy lze často velmi rychle rozpoznat změnou polohy nezávislých objektů. Jedna z chyb, kterých se děti dopouštěly, vznikla při rýsování třetího bodu trojúhelníka podle věty sss. Děti se naučily, že při konstrukci trojúhelníka podle této věty je nutno rýsovat kružnice, jejichž průsečíkem je třetí bod, který jinak nenajdou. Někteří z žáků však místo toho, aby narýsovali kružnici s pěvně daným poloměrem, využili funkce Kružnice daná středem a bodem. Čímž jim vznikla kružnice, jejíž poloměr můžeme měnit pouhým přetažením bodu, který jí náleží. Protože na papíře toto možné není, žáky nenapadlo s bodem kružnice hýbat, a tak kromě toho, že neměli správný poloměr kružnice podle zadání, neměli ani správně nadefinovanou pomocnou kružnici. Tento způsob rýsování v programu GeoGebra je pro děti nový a nutí je více přemýšlet o tom, jak vlastně správně popsat a definovat vzájemné vztahy mezi objekty, jejich vzájemnou polohu a závislost na určitých parametrech. Další chyba, která se u dětí objevovala, spočívala v nesprávné konstrukci průsečíku kružnic u konstrukce trojúhelníka podle věty sss. Místo funkce Průsečík dvou objektů narýsoval žák pouze obyčejný nový bod tak, že se snažil jej vytvořit v místě, kde se kružnice protínají. Zvolil postup, kterým rýsujeme do sešitu, avšak v dynamické geometrii tento postup selhává. Nově vzniklý bod lze samozřejmě přemíst ovat kamkoliv, protože není nijak pevně definována jeho poloha. Opět jde tedy o správnou představu o poloze daného bodu, o to, že program nutí děti nejprve přemýšlet, jak vlastně daný bod vznikl, jak je definována jeho poloha vzhledem k ostatním objektům. Chyba je tak založena vlastně na nedostatečném vybudování polohy daného bodu pomocí geometrických axiomů, s jejímž správným formulováním se děti teprve seznamují. Abstraktní geometrický svět totiž není založen na smyslovém vnímání, na jehož základu jsou děti zvyklé poznávat okolní svět, nýbrž na geometrických vlastnostech zakotvených v axiomech. Protože však výuka geometrie na základní škole se opírá především o geometrické vlastnosti na reprezentacích konstruovaných v reálném prostoru, může tím docházet právě
12 MARTIN GÜNZEL k těmto chybným představám a nedostatečným pochopením vzájemných vztahů mezi geometrickými objekty (Kuřina 2012, s. 63). Poslední častou chybou bylo nesprávné označování bodů. Jde sice v podstatě o formální chybu, která nemá se správným chápáním geometrie co do činění, přece jen však je nutné na ni poukázat. Při rýsování na papíře je správné označování bodů nutností, kterou děti akceptují a nedělá jim velký problém správně pojmenovávat body při jejich konstrukci. Neblahý dopad má však skutečnost, že pokud rýsujete v programu GeoGebra, pak každý vzniklý bod je automaticky označován samotným programem, čímž pak musíme vzniklé body extra přejmenovávat 1. Chyba žáků mohla být zapříčiněna tím, že přejmenování vzniklých bodů jednoduše zapomněli nebo si nevzpomněli na způsob, jak se dají přejmenovat. 2.3. Úloha učitele Samotné vyřešení daného úkolu není zcela cílem této výuky. K tomu, aby dítě blíže pochopilo abstraktní svět geometrie, je třeba o výsledných řešeních dále diskutovat, at už jsou řešení správná či nikoliv. Úlohou učitele je vytvářet vhodný prostor a podněcovat děti k hlubšímu zamýšlení, pokládat jim otázky týkající se jejich řešení, čímž může dítě nakonec dospět ke správnému nebo lepšímu řešení. Tento proces, jak je vystižen i na upraveném obrázku z knihy (Babtist 2012, s. 25) je založen na interakci mezi učitelem a žákem, neustálým dialogem nad výsledným řešením. 3. Závěr Kromě samotného procvičování konstrukcí bylo smyslem práce žáků v programu GeoGebra při rýsování trojúhelníků podle vět o shodnosti dovézt žáky k hlubšímu pochopení těchto postupů konstrukcí, motivovat žáky ke správným definicím vzájemných poloh a vytvořit jim prostor pro přemýšlení a možnosti k objevování jejich vlastních chyb a tedy nesprávných představ, které se během klasické výuky bez počítače těžko odhalují. 1 Automatické označování vzniklých bodů lze v programu GeoGebra vypnout. Nové body pak nebudou označovány nijak, čímž se stejně nevyhneme dodatečnému popisování.
GEOGEBRA NA ZŠ 13 [1] [2] Reference BINTEROVÁ, Helena a Pavel TLUSTÝ. Učení matematiky s počítačem. 1. vyd. České Budějovice: Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích, 131 s. ISBN 978-80-7394-410-0. VANÍČEK, Jiří. Počítačové kognitivní technologie ve výuce geometrie. Praha: Univerzita Karlova v Praze, Pedagogická fakulta, 2009. ISBN 978-807-2903-948. [3] BAPTIST a Dagmar Raab. (EDS). Implementing inquiry in mathematics education. Bayreuth: [Univ. Bayreuth, Lehrstuhl für Mathematik und ihre Didaktik], 2012. ISBN 978-300-0407-529. [4] KUŘINA, František. Elementární matematika a kultura. Vyd. 1. Hradec Králové: Gaudeamus, 230 s. ISBN 978-807-4352-188. Katedra matematiky, Pedagogická fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích E-mail address: Martin.Gunzel@gmail.com