4.3.3 Podobnost trojúhelníků I

Transkript

1 .. Podobnost trojúhelníků I Předpoklady: 000 Př. 1: Trojúhelník je podobný trojúhelníku KLM s koeficientem podobnosti k =,5. Urči délky stran trojúhelníku, jestliže pro trojúhelník KLM platí: k = 6 cm, l = 1 cm, m = 16 cm. Podobný s koeficientem,5: a =,5 k =,5 6 = 15 cm, b =,5 l =,5 1 = 5 cm, c =,5 m =,5 16 = 0 cm. Trojúhelník má délky stran a = 15 cm, b = 5 cm, c = 0 cm. Př. : Dopočti zbývající strany, jestliže platí EFG, FG = 9 cm, EG = 18 cm. = 1 cm, = 6 cm, Ze známých stran si odpovídají strany a FG určíme koeficient podobnosti: FG 9 k = = =. 6 Dopočteme zbývající strany: EF = k = 1 cm = 1 cm EG = k = EG 18 = cm = 1 cm k Platí: Trojúhelník : = 1 cm, = 6 cm, = 1 cm. Trojúhelník EFG: EF = 1 cm FG = 9 cm, EG = 18 cm. Pedagogická poznámka: Žáci řeší příklad různě (někteří dokonce využívají poměry v rámci trojúhelníků), vše z čeho je vidět schopnost orientace je v pořádku. Př. : Narýsuj libovolný trojúhelník. Dorýsuj do obrázku co nejúspornějším způsobem trojúhelník EFG, který je s trojúhelníkem podobný s koeficientem k =. Prodloužíme dvě libovolné strany trojúhelníku, jednu z nich zvětšíme v poměru : a uděláme rovnoběžku z třetí stranou. 1

2 G =E Pedagogická poznámka: Objevuje se ledacos, ale řešení z učebnice jen velmi vzácně. Kdy ho ukáži na tabule všem se líbí a oceňují, že je opravdu nejjednodušší. F Př. : V minulých ročnících jsme používali věty o shodnosti trojúhelníků, pomocí kterých jsme dokazovali shodnosti trojúhelníků. Ke většině vět o shodnosti existuje věta o podobnosti, která umožňuje dokazovat u trojúhelníků podobnost. Sepiš věty o shodnosti trojúhelníků a k nim odpovídající věty o podobnosti trojúhelníků. sss sus usu Věta o shodnosti se shodují ve všech třech stranách. se shodují ve dvou stranách a úhlu, který strany svírají. se shodují v jedné straně a přilehlých úhlech. sss sus uu Věta o podobnosti jestliže se shodují poměry velikostí všech tří navzájem si odpovídajících stran. jestliže se shodují v poměrech dvou odpovídajících si stran a úhlu, který strany svírají. jestliže se shodují ve dvou úhlech (shoda ve třetím je zřejmá, kvůli

3 Ssu se shodují ve dvou stranách a úhlu proti větší z nich. součtu 180 ). Není věta o podobnosti. Př. 5: U každé dvojice trojúhelníku rozhodni pomocí odpovídající věty o jejich podobnosti.,5,5,6 7,5 a) 10 b), 58 5 c) a),5 7,5 10 Známe všechny strany kontrolujeme poměry odpovídajících si stran, zda platí věta sss o podobnosti: 10 5 = =,5, 7, = = = =,5, = = =,6, trojúhelníky nejsou podobné. b),5,6, Zakreslené úhly jsou shodné kontrolujeme poměry stran:, 6 = = = 1,,,5 5 5

4 ,6 6 6 = = = 1, 0 5 trojúhelníky jsou si podobné podle věty sus. c) U jednoho z trojúhelníků musíme dopočítat třetí úhel (zda se shoduje se zbývajícím úhlem v druhém trojúhelníku) = = = 8 9 ( ) Trojúhelníky se shodují ve dvou úhlech trojúhelníky jsou si podobné. Pedagogická poznámka: V bodě c) mají někteří problémy s minutami. Připomínám maximálně, že stupeň má 60 minut. Př. 6: Užitím podobnosti dokaž vlastnosti střední příčky v trojúhelníku. Střední příčka je rovnoběžná se stranou, na které neleží její krajní bod, a má poloviční délku než tato strana. S S Narýsováním příčky SS získáme trojúhelník SS, který je podobný s trojúhelníkem s koeficientem podobnosti 0,5 podle věty sus: S = 0,5, úhel α je pro oba trojúhelníky společný, S = 0,5. Z podobnosti obou trojúhelníků vyplývá: S S = 0,5 (zbývající strany podobných trojúhelníků), SS (platí, S = γ ).

5 Př. 7: od S je průsečíkem úhlopříček v lichoběžníku D se základnami a D. Urči délky úhlopříček a D, jestliže v lichoběžníku znáš následující délky: = 8, cm, D = 10,5 cm, S = 7 cm a DS = cm. Nakreslíme obrázek. D 10,5 S 7 8, V obrázku jsou dva podobné trojúhelníky, z jejich podobnosti můžeme dopočítat zbývající části úhlopříček. D 10,5 S 7 8, Určíme koeficient podobnosti: 8, k = = = 0,8. D 10,5 Dopočteme strany trojúhelníku S: S = k DS = 0,8 cm = 5, cm, S = k S = 0,8 7 cm = 5,6 cm. Určíme délky úhlopříček: = S + S = 5,6 + 7 cm = 1,6 cm, D = S + SD = 5, + cm = 11,7 cm. Shrnutí: Podobnost trojúhelníků určujeme podle vět analogických větám o shodnosti trojúhelníků. 5