Dynamika hmotného bodu (test version, not revised) Petr Pošta pposta@karlin.mff.cuni.cz 23. října 2009
Obsah Newtonovy zákony První Newtonův zákon Druhý Newtonův zákon Třetí Newtonův zákon Zákon zachování hybnosti Druhy sil Dostředivá síla Pohyb na rovné ploše Pohyb na nakloněné rovině Neinerciální vztažné soustavy. Zdánlivé síly
Dynamika hmotného bodu
Vzájemné působení těles Síla vzájemné působení těles charakterizuje fyzikální veličina síla účinky sil mohou být pohybové nebo deformační Působení těles dotykem (přímým stykem) prostřednictvím pole (gravitační, elektrické, magnetické,...)
Vzájemné působení těles Princip skládání sil pro hmotný bod Působí-li na hmotný bod dvě síly F 1 a F 2, je jejich výsledný účinek stejný, jako by na něj působila síla, která je jejich vektorovým součtem: F = F 1 + F 2.
První Newtonův zákon
První Newtonův zákon Izolované těleso (izolovaný hmotný bod) Těleso (hmotný bod), na které(ý) nepůsobí žádné síly. takové neexistuje (např. gravitační síly působí na všechny hmotné objekty) model izolovaného tělesa = těleso, na které působí síly tak, že jejich výslednice je nulová (síly jsou v rovnováze)
První Newtonův zákon První Newtonův zákon zákon setrvačnosti má dvě části, které souvisí se dvěma otázkami. 1. otázka Může se těleso z klidu uvést do pohybu samo od sebe (tj. bez působení sil)? běžná zkušenost: ne zákon v této podobě poprvé formuloval Kepler
První Newtonův zákon 2. otázka Je pro uvedení tělesa do pohybu a udržení stálé rychlosti potřeba síla? běžná zkušenost: ano (auto musí pohánět motor, vozík je třeba tlačit) Archimedes: ano Galilei (pokusy s volným pádem, nakloněnou rovinou a kyvadly): NE, pokud nepůsobí odporové síly Závěr Izolované těleso zůstává v klidu nebo rovnoměrném přímočarém pohybu.
První Newtonův zákon První Newtonův zákon pouze dal dohromady a zobecnil již dříve známá pozorování a experimenty. 1. Newtonův zákon zákon setrvačnosti Každé těleso zůstává v klidu nebo rovnoměrném přímočarém pohybu, pokud není vnějšími silami nuceno tento stav změnit. Inerciální vztažné soustavy Zákon neplatí ve všech vztažných soustavách. Ty, v nichž platí, nazýváme inerciální. (Z lat. inertia = setrvačnost. Původ slova inertia je pravděpodobně v lat. slově iners = stálý, ĺıný. Setrvačnost vyjadřuje neochotu těles měnit svou rychlost a směr pohybu, pokud k tomu nejsou donuceny silou.)
První Newtonův zákon Příklady inerciálních vztažných soustav vztažná soustava spojená se stálicemi (pro většinu jevů) vztažná soustava spojená s povrchem země Obě vztažné soustavy přesně vzato inerciální nejsou. Vztažnou soustavu spojenou se zemí je možné považovat za inerciální pro řadu úloh, není to ale možné například při studiu počasí. Každé dvě inerciální vztažné soustavy jsou vůči sobě v klidu nebo se vůči sobě pohybují rovnoměrným přímočarým pohybem. Naopak, pohybují-li se dvě vztažné soustavy vůči sobě rovnoměrně přímočaře, pak jsou bud současně inerciální nebo nikoliv.
Druhý Newtonův zákon
Druhý Newtonův zákon Co už víme těleso, na které síly nepůsobí nebo jsou v rovnováze, zůstává v klidu nebo rovnoměrném přímočarém pohybu co tělesa, na které síly působí?
Druhý Newtonův zákon Druhý Newtonův zákon Pro hmotný bod a malé rychlosti jej lze vyslovit v následující podobě: Hmotný bod o hmotnosti m, na který působí výsledná síla F, se pohybuje se zrychlením a tak, že platí F = m a Síla značka: F jednotka: N Síla je vektorová fyzikální veličina, charakterizující vzájemné působení těles. Její jednotkou je jeden Newton, podle druhého Newtonova zákona má v základních jednotkách SI vyjádření [N] = kg. m. s 2
Druhý Newtonův zákon Druhý Newtonův zákon poznámky 0. Vztah F = m a platí jen pro rychlosti mnohem menší než je rychlost světla. Společně s prvním zákonem platí pouze v inerciálních soustavách. Poznamenejme ale už ted, že platnost prvního i druhého Newtonova zákona lze rozšířit i na neinerciální soustavy. V nich ale musíme k pravým silám (vyjadřujícím vzájemné působení těles) přidat tzv. zdánlivé síly. O nich více později.
Druhý Newtonův zákon Druhý Newtonův zákon poznámky 1. Rovnost lze přepsat do tvaru F = m a = a = F m 2. zákon je vektorový velikost výsledného zrychlení je přímo úměrná síle a nepřímo úměrná hmotnosti tělesa působící síla a jí vyvolané zrychlení hmotného bodu mají stejný směr a stejnou orientaci
Druhý Newtonův zákon Druhý Newtonův zákon poznámky 3. Samotný druhý Newtonův zákon je neúplný neposkytuje žádný návod, jak sílu, kterou na sebe tělesa vzájemně působí, spočítat. Pouze vyjadřuje její pohybové účinky. Jak síly počítat je obsahem jiných fyzikálních zákonů: Newtonova gravitačního zákona, Coulombova zákona pro elektrické síly a dalších.
Druhý Newtonův zákon Druhý Newtonův zákon poznámky 4. Hmotnost tělesa ve druhém Newtonově zákoně někdy nazýváme setrvačnou hmotností, zatímco hmotnosti v zákoně gravitačním hmotností gravitační. Podle doposud prováděných experimentů jsou si tyto dvě veličiny rovny (měřeno s přesností řádově 10 12 v roce 2008). V Newtonově teorii pro tento fakt nenajdeme vysvětlení. V obecné teorii relativity je jejich rovnost jedním z předpokladů celé teorie.
Druhý Newtonův zákon Je rozdíl mezi stejně rychlými tělesy? Abychom roztlačili plný nákupní vozík, stojí to více námahy než když roztlačujeme vozík prázdný. Zastavit plný vozík dá také více námahy než vozík prázdný, pokud jedou stejně rychle. Hybnost značka: p jednotka: kg. m. s 1 Hybnost p hmotného bodu (tělesa) je definována jako součin jeho hmotnosti a rychlosti p = m v Hybnost je tedy vektorová fyzikální veličina. Vektor hybnosti má stejný směr a orientaci jako vektor rychlosti.
Druhý Newtonův zákon Druhý Newtonův zákon a změna hybnosti tělesa Jestliže hmotnost hmotného bodu (tělesa) při pohybu zůstává konstantní a mění se jen jeho rychlost, pak platí, že p = p 1 p 2 = m v 1 m v 2 = m( v 1 v 2 ) = m v Odtud odvodíme, že síla působící na těleso se projeví změnou jeho hybnosti. F = m a = m v t = m v t = p t Někdy proto říkáme, že hybnost charakterizuje pohybový stav tělesa.
Druhý Newtonův zákon Obecný druhý Newtonův zákon Poznamenejme, že poslední rovnost F = p t platí, narozdíl od vztahu F = m a i při pohybech s proměnnou hmotností a také ve speciální teorii relativity.
Druhý Newtonův zákon Impuls síly Impuls síly je vektorová fyzikální veličina definovaná vztahem F t kde F je síla působící na hmotný bod a t čas jejího působení. Z předchozího víme, že je rovna změně hybnosti p. F t = p Impuls síly vyjadřuje časový účinek síly. Smysl předchozí rovnosti je, že pokud chceme změnit hybnost tělesa, pak musíme bud působit velkou silou po kratší dobu, anebo malou silou po dobu delší.
Třetí Newtonův zákon
Třetí Newtonův zákon Třetí Newtonův zákon (akce a reakce) Působí-li jedno těleso na druhé silou, pak druhé těleso působí na těleso první silou stejně velikou, stejného směru a opačné orientace. F 12 = F 21
Třetí Newtonův zákon Třetí Newtonův zákon poznámky Silám někdy říkáme síly akce a reakce. Obě síly působí na různá tělesa, jejich účinky se tedy vzájemně neruší. Pohybové účinky reakce jsou pozorovatelné, pouze pokud jsou hmotnosti obou objektů srovnatelně veliké. To vysvětluje, proč jsou někdy účinky reakce neměřitelné. Například Země působí gravitační silou na jablko, které v důsledku padá ze stromu, pohyb Země v důsledku reakce ale není pozorovatelný.
Příklad (z t.o. na 2LF (2008/09) V člunu stojí muž, který se přitahuje ke břehu pomocí lana silou o velikosti F, přičemž I. lano je přivázáno druhým koncem ke koĺıku na břehu II. lano drží na břehu jiný muž a působí na ně také silou o velikosti F, ale opačného směru než muž v lod ce. Vysvětlete, jak se bude lišit průběh pokusu v případě I. a II. a) působením člověka na břehu se pohyb lod ky urychĺı, nebot jeho síla zvýší celkovou sílu přitahování b) pohyb lod ky se lišit nebude, nebot kůl působí na lano silou o velikosti F v opačném směru než člověk na lod ce c) přitahování lod ky ke břehu bude v případě II. pro člověka na lod ce méně namáhavé d) pohyb lod ky v II. případě bude rychlejší, nebot síla člověka v lod ce a na břehu se sčítají
Zákon zachování hybnosti
Zákon zachování hybnosti Připomenutí Víme, že změna hybnosti hmotného bodu (tělesa) je úměrná působící síle. p = F t Pokud na hmotný bod žádná síla nepůsobí, pak jeho hybnost zůstává konstantní. Toto bylo obsahem prvního i druhého Newtonova zákona. Úvahu lze ale zobecnit na systém více hmotných bodů (těles).
Zákon zachování hybnosti Vnitřní a vnější síly V libovolné soustavě těles na sebe jednotlivá tělesa působí navzájem silami akce a reakce. Síly působící mezi jednotlivými dvojicemi těles uvnitř soustavy označujeme jako vnitřní. Ostatní síly, mající svůj původ v působení tělesa mimo uvažovanou soustavu, označujeme jako vnější. Izolovaná soustava těles Izolovaná soustava těles je tvořena tělesy, na které nepůsobí žádné vnější síly. Soustavu těles můžeme považovat za izolovanou, pokud všechny vnější síly (např. gravitační působení Země) jsou kompenzovány jinými silami tak, že jejich účinek se vzájemně vyruší.
Zákon zachování hybnosti Celková hybnost soustavy těles Celkovou hybnost p soustavy těles, jejichž hybnosti jsou p 1, p 2,..., p n definujeme jako vektorový součet jednotlivých hybností: p = p 1 + p 2 +... + p n Zákon zachování hybnosti V izolované soustavě těles se celková hybnost soustavy zachovává.
Zákon zachování hybnosti Odvození zákona zachování hybnosti Uvažme pro jednoduchost dvě tělesa tvořící izolovanou soustavu. To znamená, že na první těleso působí pouze těleso druhé silou F 21 a podle zákona akce a reakce druhé těleso působí na první silou F 12 = F 21. Bud te p 1, p 2 hybnosti prvního a druhého tělesa. Po uplynutí času t se tyto hybnosti změní na hodnoty p 1 = p 1 + F 21 t p 2 = p 2 + F 12 t
Zákon zachování hybnosti Odvození zákona zachování hybnosti p 1 = p 1 + F 21 t p 2 = p 2 + F 12 t Sečtením levých a pravých stran máme p 1 + p 2 = p 1 + p 2 + F 21 t + F 12 t A protože F 12 = F 21, dostáváme p 1 + p 2 = p 1 + p 2 + F 21 t F 21 t p 1 + p 2 = p 1 + p 2 Po uplynutí (libovolného) času t tedy celková hybnost p 1 + p 2 zůstala stejná jako na začátku p 1 + p 2.
Zákon zachování hybnosti Dokonale nepružný ráz těles Uvažme tělesa o hmotnostech m 1, m 2 a rychlostech v 1, v 2. Tělesa se srazí a dál se pohybují společně stejnou rychlostí v. Určete ji!
Druhy sil
Druhy sil Gravitační síla Hmotné body o hmotnostech m 1, m 2 ve vzájemné vzdálenosti r na sebe působí silou F g = κ m 1m 2 r 2 kde κ je gravitační konstanta κ 6.674. 10 11 N. m 2. kg 2. Tato síla má směr spojnice hmotných bodů a je vždy přitažlivá. Stejný vztah platí přesně i pro homogenní kulová tělesa, jestliže r je vzdálenost jejich středů.
Druhy sil Tíhová síla Tíhovou silou F G působí Země na tělesa v bĺızkosti svého povrchu. Je přibližně, ale ne přesně, rovna gravitační síle mezi Zemí a tělesem. Má-li toto těleso hmotnost m, pak platí F G = mg kde g je tzv. tíhové zrychlení. S tímto zrychlením se pohybují tělesa při volném pádu. Jeho hodnota závisí na zeměpisné šířce a nadmořské výšce. Obvykle počítáme s hodnotou g = 10 m. s 2 nebo o něco přesnější g = 9,81 m. s 2.
Druhy sil Smykové tření Síla smykového tření nebo také třecí síla F t vzniká na styčné ploše tělesa a podložky. Působí vždy proti směru pohybu tělesa. Je přímo úměrná tlakové síle F n, kterou těleso tlačí na podložku. Koeficient úměrnosti nazýváme koeficient (smykového) tření a značíme jej f. Platí tedy F t = f F n Koeficient tření závisí na drsnosti styčných ploch. Obecně také závisí na rychlosti s rostoucí rychlostí obvykle klesá. V případě, že podložka je vodorovná, je F n = F G a můžeme psát F t = f F G = fmg
Druhy sil Klidové tření V klidu tření brání uvedení tělesa do pohybu, působí tedy proti výsledné vnější síle. Klidové tření počítáme podle analogického vztahu F t = f 0 F n koeficient klidového tření f 0 bývá o něco větší než koeficient smykového tření f. V případě, že podložka je vodorovná, je F n = F G a můžeme psát F t = f 0 F G = f 0 mg
Druhy sil Valivý odpor Valivý odpor F v je, podobně jako tření, odporová síla, která brání pohybu vaĺıcího se tělesa. Je zapříčiněna mírnými deformacemi tělesa a podložky při odvalování. Platí, že F v = ξ F n R kde R je poloměr vaĺıcího se tělesa, F n tlaková síla na podložku a ξ konstanta úměrnosti, které říkáme součinitel nebo také rameno valivého odporu. Jeho jednotkou je metr. Valivý odpor bývá mnohem menší než síly smykového tření.
Druhy sil Víme, že pohyb po kružnici je vždy pohyb s nenulovým zrychlením. Podle druhého Newtonova zákona je každé zrychlení vyvoláno nějakou silou. Dostředivá síla Síle, která hmotnému bodu m pohybujícímu se po kružnici uděluje dostředivé zrychlení, říkáme dostředivá síla. Značíme ji F d a platí, že F d = m a d, F d = ma d = m v 2 r = mω 2 r Dostředivá síla je, stejně jako dostředivé zrychlení, orientována do středu kružnice.
Pohybová rovnice. Pohyb na vodorovné ploše a nakloněné rovině
Pohyb na vodorovné ploše bez tření Na vodorovné ploše leží kvádr o hmotnosti m, na který působí síla F rovnoběžná s podložkou. Jak se bude kvádr pohybovat, jestliže zanedbáváme síly tření mezi ním a podložkou? Nakreslete silový diagram všech sil působících na kvádr.
Pohyb na vodorovné ploše se třením Na vodorovné ploše leží kvádr o hmotnosti m, na který působí síla F rovnoběžná s podložkou. Jak se bude kvádr pohybovat, jestliže koeficient klidového tření mezi styčnými plochami kvádru a podložky je f 0 a koeficient smykového tření f? Nakreslete silový diagram všech sil působících na kvádr.
Pohyb na nakloněné rovině bez tření Na nakloněné rovině, odchýlené o úhel α < 90 od vodorovného směru, leží kvádr o hmotnosti m, na který působí tíhová síla. Jak se bude kvádr pohybovat, jestliže zanedbáváme síly tření mezi ním a podložkou? Nakreslete silový diagram všech sil působících na kvádr.
Pohyb na nakloněné rovině se třením Na nakloněné rovině, odchýlené o úhel α < 90 od vodorovného směru, leží kvádr o hmotnosti m, na který působí tíhová síla. Jak se bude kvádr pohybovat, jestliže koeficient klidového tření mezi styčnými plochami kvádru a podložky je f 0 a koeficient smykového tření f? Nakreslete silový diagram všech sil působících na kvádr.
Neinerciální vztažné soustavy Příklad rozjíždějící se vlak Cestující stojící v rozjíždějícím se vlaku pocit ují sílu, která je tlačí v opačném směru, než se vlak rozjíždí. Vysvětlení pozovatele stojícího v klidu na zemi Možná jsou v zásadě dvě. Obě považují soustavu pozorovatele spojenou s povrchem země za inerciální. Na vlak působí síla, která jej nutí se rozjíždět. Na cestujícího (přímo) nepůsobí, podle prvního Newtonova zákona by rád zůstal v klidu podlaha vlaku mu tak ujíždí pod nohama. Na vlak působí síla, která jej nutí se rozjíždět. Vlak působí silou na cestujícího, síla působí ve styčném bodě (na podlaze). Vůči těžišti cestujícího může mít značný moment (páku), která mu podtrhne nohy.
Neinerciální vztažné soustavy Příklad rozjíždějící se vlak Cestující stojící v rozjíždějícím se vlaku pocit ují sílu, která je tlačí v opačném směru, než se vlak rozjíždí. Vysvětlení z hlediska soustavy spojené s vlakem Soustava spojená s vlakem se vůči inerciální soustavě spojené se zemí pohybuje se zrychlením. Už víme, že nemůže být inerciální. Přesto si položme otázku: pokud předpokládáme platnost Newtonových zákonů, co můžeme vyvodit? Na vlak, zprostředkovaně na všechny objekty v něm, působí síla, která jej nutí se rozjíždět. Protože vlak a cestující v něm je z hlediska použité vztažné soustavy (pevně spojené s vlakem) v klidu, musí ji jiná síla vyrovnávat a právě tuto sílu cestující pocit uje. Otázka: co by to mohlo být za sílu, odkud se vzala a jaké má vlastnosti?
Neinerciální vztažné soustavy Příklad rozjíždějící se vlak Cestující stojící v rozjíždějícím se vlaku pocit ují sílu, která je tlačí v opačném směru, než se vlak rozjíždí. Jaké má tato síla vlastnosti? 1. musí působit na všechny objekty ve vztažné soustavě 2. nemůže jít o působení jiného tělesa 3. závisí na zrychlení a soustavy vůči zemi = v různě zvolených vztažných soustavách bude různá Tato pozorování tvoří základ, jak spravit Newtonovy zákony v neinerciálních soustavách.
Neinerciální vztažné soustavy Zdánlivé síly Aby v neinerciální vztažné soustavě, pohybující se se zrychlením a vůči zemi (přesněji vůči libovolné inerciální vztažné soustavě), platil druhý Newtonův zákon, musíme k silám působící mezi tělesy navíc přidat sílu, která 1. působí na všechny objekty ve vztažné soustavě 2. je určena vztahem F = m a, tedy má opačnou orientaci, než zrychlení soustavy vůči zemi (libovolné inerciální soustavě) K této síle neexistuje reakce (protože nejde o vzájemné působení těles). Z téhož důvodu se jí říká zdánlivá. Úvahy platí pro neinerciální vztažnou soustavu, která koná vůči inerciální posuvný pohyb (at už přímočarý viz zmíněný vlak nebo například po pohyb po kružnici. Pokud navíc koná rotační pohyb, situace se dále komplikuje.)
Neinerciální vztažné soustavy Zdánlivé síly Obecně může být charakter zdánlivých sil složitý. Rozeznáváme například setrvačnou sílu (setrvačnou) odstředivou sílu Coriolisovu sílu Eulerovu sílu Podrobněji se budeme bavit pouze o prvních dvou. Coriolisova síla působí na objekty v rotujících soustavách, které se pohybují. Eulerova síla působí na objekty ve vztažných soustavách, které rotují a úhlová rychlost rotace je navíc proměnlivá.
Neinerciální vztažné soustavy Soustava s konstantním zrychlením setrvačná síla Jestliže se neinerciální soustava pohybuje oproti inerciální s konstantním zrychlením a, na všechny objekty v této vztažné soustavě uvažujeme (aby platil druhý Newtonův zákon) působení zdánlivé síly F = m a V případě konstantního zrychlení a této síle říkáme setrvačná síla.
Neinerciální vztažné soustavy Otáčející se vztažná soustava odstředivá síla Jestliže se neinerciální soustava pohybuje rovnoměrným pohybem po kružnici oproti inerciální soustavě (uvažte například vztažnou soustavu spojenou s dítětem na kolotoči), pak zrychlení vůči inerciální soustavě je vlastně dostředivým zrychlením a d a pro zdánlivou sílu spravující druhý Newtonův zákon máme F = m a d Této síle říkáme síla odstředivá, někdy také setrvačná odstředivá síla.