Doc. Ing. Miroslav Jílek, CSc. Ing. Zdeněk Randa TERMOMECHANIKA Sbírka příkladů ČVUT - fakulta strojní ú s t ř e d n í k n ih o v n a Praha 2, Kar o<o nám. 13 prir. č. *0.. r t 2004 Vydavatelství Č V U T ČVUT Praha Fa k u lta strojní NENIČ ME *3101 018 887 *
Termomechanika - sbírka příkladů Předmluva Záměrem této učební pom ůcky pro studenty strojního inženýrství je získat aktivní schopnost aplikovat teoretické poznatky ze základů term odynam iky, sdílení tepla a proudění stlačitelných tekutin. Skriptum obsahuje 369 příkladů, z nichž 187 je vyřešených a 182 neřešených s uvedeným i ky s cílem hlouběji zaujm out čtenáře pro studovanou teorii. Obsah Autoři Předmluva...3 Obsah...3 A Stav a změna stavu ideálního ply n u......4 B Stav a změna stavu reálného plynu - p áry...18 C Druhý zákon termodynamiky - entropie a její zm ěn a... 38 D Proudění ideálního p ly n u... 56 E Proudění reálného plynu - p á ry...68 F Oběhy s ideálním plynem... 72 G Oběhy s reálným plynem - p á ro u... 81 H Fázové zm ěny...87 I Směšování látek...91 J Vlhký v zd u ch...96 K Vedení tepla - kondukce... 107 L Přestup tepla - konvekce... 114 M Prostup tepla...120 N Výměníky te p la...128 0 Záření - radiace...135 P Chemické procesy...140 Použitá literatura... 148 Přílohy: tabulky a diagram y... 149 1 Tabulky kriteriálních rovnic pro nucenou konvekci... 149 2 Tabulky kriteriálních rovnic pro bublinkový var...149 3 Tabulky kriteriálních rovnic pro volnou konvekci... 150 4 Termofyzikální vlastnosti vody...... 151 5 Termofyzikální vlastnosti suchého vzduchu... 151 6 Tabulky syté vody a syté vodní páry... 152 7 Tabulky přehřáté vodní páry...156 8 Tabulky čpavku - sytá kapalina a sytá pára... 158 9 Tabulky čpavku - přehřátá pára... 158 10 Tabulky chladiva R12 - sytá kapalina a sytá pára... 160 11 Tabulky chladiva R12 - přehřátá pára...161 12 Tabulky chladiva R 134a- sytá kapalina a sytá pára...162 13 Tabulky chladiva R 134a- přehřátá pára...162 14 Ilustrační T-s a h-s diagram vody...164 15 Mollierúv h-x diagram vlhkého vzduchu...165 16 p-h diagram čpavku NH3...166 17 Nelsonův-Obertův diagram pro určení kompresibilitního faktoru Z 167...167 18 Tabulky parciálního tlaku syté vodní páry pro teploty -50 C až 200 C...168
Stav a změna stavu ideálního plynu A Stav a změna stavu ideálního plynu Stav (term odynam ické) soustavy je charakterizován stavovým i veličinam i. V ztah mezi termickými stavovými veličinami je dán stavovými rovnicemi. Např. term ická stavová rovnice ideálního plynu soustavy tvořené ideálním plynem je D R p -v = = r - T, kde r = ----- je měrná plynová konstanta (J kg 1K '1), R = 8314,41 J km ol'1k '1 P m univerzální plynová konstanta, p absolutní tlak (Pa), v m ěrný objem (m 3 k g '1), p hustota (kg/m ), T term odynam ická teplota (K, TK- t c + 273,15) a M m je m olám í hmotnost daného plynu (kg km ol'1). Jiná kategorie stavových veličin zahrnuje tzv. stavové funkce nebo kalorické veličiny. C harakterizují energetické interakce mezi soustavou a okolím. N ejsou přím o měřitelné a stanovují se pomocí kalorických stavových rovnic. Např. měrná vnitřní energie ideálního plynu je dána vztahem u = uo + cv (T - To) v (J k g '1), měrná entalpie h = ho + cp (T - To) v (J k g '1), měrné tepelné kapacity cp, cv (J kg'1k '1) jsou konstantní a plynou z ekvipartičního teorém u a M ayer r rovy rovnice c v = i, cp = c v + r = (i + 2 ), kde i je počet stupňů volnosti molekuly plynu. V realističtějším modelu poloideálního plynu uvažujeme měrné tepelné kapacity závislé na teplotě. Jsou často tabelovány. Kalorické stavové rovnice jsou již složitější výrazy a stavové funkce bývají proto též tabelovány. V následujícím textu budem e někdy pro stručnost vynechávat adjektivum m ěrný, pokud nebude jinak narušena srozum itelnost, tak ja k bývá v praxi zvykem. V eličiny značené příslušnými písmeny malé abecedy jsou měrné veličiny, vztažené na jednotkovou hmotnost. 2 Teplo Q = J m c d T (J) 1 c je měrná tepelná kapacita (J k g '1K '1), jež závisí na podmínkách změny (cv - při stálém objem u, cp - při stálém tlaku, cn - při polytropické změně). Práce W (J) - obecně zahrnuje mnoho různých forem - objemová práce, užitečná práce např. na hřídeli rotačního stroje, elektrická práce apod. V mnohých případech aplikací se objevuje pouze objem ová práce. Vratná objem ová práce - jednorázové děje 2 W = Jp-dV (J) 1 Vratná tlaková práce (též technická práce) - většinou opakované, nebo kontinuální děje w,=-jv-dp = w-(pjv: -p,vl) (j) 4
Stav a změna stavu ideálního plynu 1. zákon term odynam iky (1ZT) pro uzavřenou soustavu: Q = AE + W kde AE = AEk + AEp + AU (J) AEk) AEP - jsou změny kinetické a potenciální energie soustavy jako celku - většinou jsou rovné nule AU - změna vnitřní energie (změna stavové veličiny, nezávisí na integrační cestě) Q - přenos energie do soustavy formou tepla (Q > 0, když soustava teplo přijímá) W - přenos energie různými formami práce (W > 0, když soustava práci koná) Q, W - nejsou stavové veličiny, závisí na integrační cestě, popisují změnu stavu První tvar 1ZT: Druhý tvar 1ZT: Q = AU + W Q = AH + W t (J) (J) AH - změna entalpie (změna stavové veličiny, nezávisí na integrační cestě) 1ZT pro oběhy: = w, = w,i = q, = Q p +Q (J) 1. zákon term odynam iky (1ZT) pro otevřenou soustavu při stacionárním režimu formulován pro toky je aplikován na kontrolní objem - (indexy 1, 2 označují vstup, výstup) \ r m h 2 + ^ f + gz2 - m h, + Ý + gz, = Q - I W (W) V 1 j V W je výsledný tok užitečné práce (výkon, příkon) vystupující nebo vstupující do kontrolního objemu přes hranici soustavy (často jen technická práce). Alternativní formulace pro měrné veličiny: c2 c,2 h 2 - h. + Ý - ý + g ( z2 - zi) = q - Z W (J kg'1) Ideální plyny - shrnutí důležitých vztahů Veličiny jako cv, cp, r, k, atd. jsou nezávislé na tlaku i teplotě a tedy neměnné pro daný ideální plyn při všech procesech - zm ěnách stavu. Stavová rovnice ideálního plynu: pro 1 kg: p v = r T pro m kg: pro 1 kmol: pro n k m o l: p V = m r T p-vm= R T p -V = n -R T d k g '1) (J) (J km ol'1) (J) v = V/m r R/M m (m3 k g '1) (J k g 'K '1) R = 8314,41 J km ol'1k '1 V m = V/n (m3 km ol'1) M m = m /n (kg km ol' ) Změna měrné vnitřní energie Změna m ěrné entalpie Změna m ěrné entropie Au = u 2 - u, = c v (T 2 - T 1) Ah = h 2 - h t = cp (T 2 - T,) As = c -ln - r - l n P T, p, (J kg') (J kg'1) ( J k g 'K - 1) Mayerova rovnice Poissonova konstanta cp - c v = r K = (J kg'1k'1) (1) Měrné tepelné kapacity c, = K 1 C = K C = K-r K ^ l 5
Stav a změna stavu ideálního plynu Vratné děje je m ožno považovat za obecnější polytropické děje \n-l / \n-l Polytropické vztahy p vn = konst v P w n-1 Měrné polytropické teplo: q= Jc,dT = c (TJ-T 1) (J kg1) Polytropická m ěrná tepelná kapacita: c n = c v n -K n -1 (J k g '1K '1) Polytropická m ěrná objem ová práce: Polytropická tlaková (technická) práce w = q - Au = jp dv i 2 t = q - A h = n- w = J - v dp (J k g 1) (J kg1) Vyjdeme z obecné polytropické změny a budeme postupně m ěnit hodnoty n: n = 0 p = konst. izobarická zm ěna dp = 0, wt = 0, q = Ah, w = Ah - Au n = 1 T = konst. izotermická změna dt = 0, Au = Ah = 0, q = w = w t n = k s = konst. izoentropická změna ds = 0, q = 0, w = -Au, w t = -Ah n = ±oo v = konst. izochorická zm ěna dv = 0, w = 0, q = Au, w t = Au - Ah S Látkové množství vzduchu 1 kmol má objem 25 m 3 při tlaku 100 kpa. Považujeme-li vzduch za ideální plyn, stanovte jeho (a) teplotu a (b) hustotu. (a) Ze stavové rovnice ideálního plynu (b) Hustota souvisí s měrným objemem T. p ^. l 0 0 0 0 Q. 2 5 _ m 7 K n -R 1-8314,41 100000 p - l - p v r-t 287-300,7 1,16 kg m -3 A 2 Nádoba o objemu 40 litrů je naplněna kyslíkem. Stav kyslíku je dán teplotou 15 C a tlakem (a) 15,8 MPa, (b) 15,8 kpa. Ohřevem je tlak zvýšen na (a) 17,5 M Pa, (b) 17,5 kpa. Rozhodněte na základě hodnoty kompresibilitního faktoru určeného z N elsonova-o bertova d iagramu pro obě zadání, z d a je vhodné pro kyslík v těchto podmínkách použít model ideálního plynu, když je kritický tlak kyslíku 5,05 M Pa a kritická teplota -118,5 C. Stanovte teplotu po ohřevu. 6
Stav a změna stavu ideálního plynu Vypočteme tzv. redukované tlaky a teploty pro oba případy a z N elsonova-o bertova diagramu hodnoty kom presibilních faktorů: (a )p r = J L =! M = 3,l T = - j = 15 + 273-15 = 1,9 -> Z = 0,945 r Pkr 5,05 r -118,5 + 273,15 (b) pr = - ^ - = - - - = 0,0031 T = = 15 + 273 15-1 9 z = 0,999 r Pkr 5,05 r -118,5 + 273,15 V případě (a) - vysoké tlaky - je Z příliš odlišné od 1 a proto m odel ideálního plynu je nevhodný, proto vyhodnotím e pouze případ (b). Objem kyslíku v pevné nádobě je konstantní. Ze stavové rovnice ideálního plynu r\ 1 H T =T, - = (15 + 273,15) = 319,15 K t2 = T2-273,15 = 46 C 2 1 p, v 15,8 -------- A 3 Nádoba je naplněna 85 g acetylenu (C2H 2) o tlaku 260 kpa a teplotě 21 C. Plyn je ohříván na 235 C. Za předpokladu modelu ideálního plynu stanovte (a) konečný tlak, (b) objem nádoby a (c) teplo potřebné k ohřevu. Použijte experim entálně zjištěnou hodnotu Poissonovy konstanty k = 1,255. Změna probíhá při stálém objem u - izochorická změna: Měrná plynová konstanta acetylénu a jeho m ěrná tepelná kapacita při stálém objem u r = = - S3 14,41 = 319,8 J kg 1'K '1, c = = 319,8 = 1 2 5 4 J k g 'K '1 M m 2-12 + 2-1 v k 1 1,255-1 / \ ry r j T-j, 23 5 H~273, 15 1 (a) Ze stavové rovnice plyne pn = p, = 2 6 0 ------------------- = 449,15 kpa 2 T, 21 + 273,15 ----- ---------- (b) Objem určíme ze stavové rovnice a známých stavových veličin na počátku děje v, m ^ = 0.0 8 5.3 1 9,8.(21 + 273, 15) ^ p, 260000 (c) Teplo dodané při konstantním objemu je dané přírůstkem vnitřní energie protože W = 0. Q = AU = m c v (t2 - tj) = 0,085 1254 - (235-21) = 22810 J A 4 4 kg vzduchu se nachází ve válci pod pístem při tlaku 700 kpa a teplotě 37 C. Poté je vzduchu přivedeno 110 kj tepla a 120 kj objemové práce. Určete (a) konečnou teplotu, (b) konečný objem a (c) počáteční a konečnou hustotu vzduchu. Vzduch uzavřený volně pohyblivým pístem ve válci představuje uzavřenou soustavu, kde se tlak nebude m ěnit, tj. ve válci probíhá izobarický děj. (a) Z prvního tvaru 1. zákona term odynam iky vypočtem e konečnou teplotu AU = m cv(t2- T t) = Q - W ^ O - W 110000 - (-120000) t 2 = t, + ^ - = 37 + ------------- -------------- = 117.1 C m -cv / 287 1,4-1 (b) Konečný objem je V2 = V, + AV
Stav a změna stavu ideálního plynu Ze stavové rovnice ideálního plynu určím e počáteční objem V,= m -r-t, 4-2 8 7 -(3 7 + 273,15) _ 700000 0,508 m W -1 2 0 3 Změna objemu plyne z objemové práce při izobarické změně AV = = = -0,171 m V2 = V, + A V = 0,508 + (-0,171) = 0.337 m 3 700000 (c) Ze stavové rovnice počáteční hustota p, = r-t, 287-(37 + 273,15) Podobně hustota v konečném stavu p 2 = - 7.864 kg m -3 700000-3 = 6.250 kg m r-t 2 287 (117,1 + 273,15) A 5 Ve válci pod pístem je na počátku 5 kg vzduchu při teplotě 20 C a tlaku 100 kpa. Vzduch ohřejeme na 80 C přivedením 300 kj tepla. Stanovte (a) práci vykonanou vzduchem, (b) změnu objem u vzduchu a (c) počáteční objem vzduchu. Soustava je uzavřená - vzduch ve válci, který se může pohybovat (izobarická změna). Vzduch uvažujeme jako ideální plyn s měrnou plynovou konstantou r = 287 J k g ^ K '1 a k = 1,4. r 287 (a) Změna vnitřní energie AU = m c vat = m ------ At = 5 ---------- (8 0-2 0 )= 2 1 5,2 5 kj k 1 1,4-1 Objemová práce z 1ZT W = Q - AU = 300-215,25 = 84.75 kj... W 84750 AO c 3 (b) Změna objemu při konstantním tlaku AV = = ---------- = 0.8475 n ť p 100000 (c) Počáteční objem ze stavové rovnice v,= m -r-t, 5-2 8 7 -(2 0 + 273,15) ^ 3 ----------- L = ---------- ----------------- - =4,21 m p, 100000 A 6 Válec s pístem je situován vertikálně. Nejprve píst spočívá na zarážkách ve válci a pod pístem je 0,5 m 3 vzduchu při tlaku 200 kpa a teplotě 30 C. Vzduchu ve válci se začne přivádět teplo a tlak pod pístem začne stoupat. Při tlaku 300 kpa se vyrovná tlaková síla s tíhou pístu a píst začne stoupat dokud vzduch nedosáhne dvojnásobného objemu. Stanovte (a) konečnou teplotu, (b) objem ovou práci, (c) tlakovou práci a (d) přivedené teplo. Vzduch ve válci tvoří uzavřenou soustavu. První část ohřevu 1-2 probíhá za stálého objemu. Tlak roste až do hodnoty 300 kpa (stav 2), kdy se vyrovná tlaková síla s tíhou pístu. Druhá část děje 2-3 je izobarická změna, kdy píst se volně zvedá, dokud se objem vzduchu ve válci nezdvojnásobí - stav 3. Teplota Ti = 30 + 273,15 = 303,15 K. (a) Ze stavové rovnice ideálního plynu T, = T, = 3 0 3,1 5.3 0 0 ' 2 ' >5 = 9Q9 K = 636 C P.V, 200-0,5 (b) Objemová práce: j * W13 = Jp dv = (V3 - V,) p2= (1-0,5) 300 = 150kJ tp h 2 3 W m 1 V 8
Stav a změna stavu ideálního plynu (c) Tlaková práce: Wtl3 = WtI2 + Wt23 = - J v dp = V, (p, - p 3) = 0,5 (200-300) = -50 kj 1 (d) Teplo získáme z 1. zákona termodynamiky a vztahu pro vnitřní energii Q]3 = AU + Wl3 Potřebnou hmotnost vypočítáme ze stavové rovnice a cv výhodně vyjádříme pomocí r a k. 4U = m. o, ( T! - T l) = ^. ^. ( t 3- «, ) = ^. IJ I T.( 6 3 6-3 0 ).5 0 0 M On = 500+ 150 = 650 kj A 7 Izotermická expanze 10 kg vzduchu probíhá mezi tlaky 1,5 M Pa a 100 kpa při teplotě 25 C. Stanovte (a) počáteční a konečný objem vzduchu, (b) objem ovou práci a (c) přivedené teplo. Počáteční a konečný objem plynou ze stavové rovnice ideálního plynu p-v = m-r-t (=konst.) T = 25 + 273,15 = 298,15 K ' (a) 1 p, 1,5 10 ---------- m ^ T. 1 0.2 8 7.298,15 m, p 2 10s (b) Objemová práce W = m r T ln = 10-287 298,15 ln 1122. = 2,317 MJ p 2 100 (c) Z prvního zákona termodynamiky vyplývá, že při izotermické změně ideálního plynu je sdílené teplo rovné objemové a zároveň i tlakové práci, protože AT = 0 a AH = AU = 0. Q = W, = W = 2.317 MJ A 8 Vzduch v nádobě má na počátku objem 15 m 3 při teplotě 27 C a tlaku 102 kpa. Je stlačen adiabaticky na tlak 840 kpa. Stanovte (a) konečnou teplotu, (b) konečný objem, (c) objem o vou práci a (d) tlakovou práci. Za předpokladu, že komprese je vratný adiabatický děj, tedy izoentropický. Konečný stav ideálního plynu souvisí s počátečním stavem Poissonovými vztahy. Pom ěr měrných tepelných kapacit je cp/cv = k = 1,4, neboť základní složky vzduchu, dusík N 2 a kyslík 0 2, jsou dvouatomové plyny. (a) Konečná teplota (b) Konečný objem K-l 1 4_1 í \ ~ í T2 = Tt 2,. 840 1 1.4 = (27 + 273,15)- ----- = 548.23 K = 275,08 C vp \J 102 ( \ V, P l 1 I p 2, K = 15- (N O O OO 3.327 m 3 (c) Objemovou práci výhodně určíme z 1. zákona term odynam iky W = - m (u2- ui), s využitím stavové rovnice pro výpočet hm otnosti W = - m - c..- ( T,- T,) = ^ - - Í t, - U = 1Q2QQQ15 I-----(2 7-2 7 5.0 8 ) = -3.161 MJ v V 2 17 rt, K -l V ' 2' 27 + 273,15 1,4-1 V J ---------- (d) Tlaková práce W, = k W = 1,4 (-3,161) = -4.425 MJ 9
Stav a změna stavu ideálního plynu A 9 Kompresor kontinuálně stlačuje vzduch ze 100 kpa na 500 kpa. N a vstupu je objemový tok vzduchu 50 litrů za sekundu a teplota 17 C. K om prese je izoentropická. Stanovte (a) objemový tok na výstupu, (b) teplotu stlačeného vzduchu na výstupu a (c) příkon kompresoru. Srovnejte s řešením následujícího příkladu. Výstupní objem ový tok vzduchu a jeho teplota plynou z Poissonových vztahů pro ideální plyn, ' i (a) V2 = V, ( \ n V ÍW )C \\ P1 K= 0,05- I p2j o o o o 1.4 j = 0.0158 m 3 s 1 T, = 17 + 273.15 = 290.15 K K-l 1,4-1 / \ Vi 500 ' 1,4 (b) T, = T, = 2 9 0.1 5 - = 459.55 K = 186.4 C 2 i 100 ----- ------- v P.y (c) Potřebný výkon se stanoví z druhého tvaru 1. zákona term odynamiky, kde Q = 0 P = W. = -A H = - ^ L - c p -(t: - t 1) = ~ 1QP.00 3 0 5-10Q 4.5.(i8 6.4-1 7 ) = -10217 W r-t, 287-290,15 Záporné znaménko u výkonu znamená, že práce je dodávána soustavě (vzduchu). Potřebný výkon (zde příkon), který je úm ěrný velikosti plochy vlevo od křivky změny v p-v diagramu, je větší, než kdyby zm ěna byla izoterm ická (viz následující přiklad). A 10 Kompresor kontinuálně stlačuje vzduch z tlaku 100 kpa na 500 kpa. N a vstupu je objemový tok 50 L s 1 a teplota 17 C. Komprese je izotermická. Stanovte (a) objemový tok na výstupu, (b) teplotu stlačeného vzduchu na výstupu a (c) příkon kom presoru. Srovnejte s řešením předcházejícího příkladu. (a) Objemový tok na výstupu z kompresoru při izotermickém ději plyne ze stavové rovnice ideálního plynu V, =V = 0,05-1 2 2 = 0 0! m 3 s-i p2 500 (b) Potřebný výkon 100 P = Wt = p,v 1-ln = 100000-0,05-ln = -8047 W p 2 500 Záporné znaménko značí, že práce se soustavě dodává. Potřebný příkon (úměrný velikosti plochy vlevo od křivky změny v p-v diagramu) je menší než v izoentropickém případě. Proto objemový tok vychází také menší. A 11 Vzduch o tlaku 150 kpa a teplotě 27 C je stlačován z objemu 260 m 3 na 80 m 3. Stlačování probíhá polytropicky, kde polytropický exponent je 1,2. Stanovte (a) objem ovou práci, (b) tlakovou práci, (c) měrnou tepelnou kapacitu při polytropické změně cn a (d) teplo sdílené mezi soustavou a okolím. r Soustava je uzavřená, je tvořena vzduchem jeh o ž stav je známý. 10
Stav a změna stavu ideálního plynu (a) Polytropická objem ová práce W = Q - A U = m ( c, - c v).(t 2 - T 1) = m. - i - - ( T l - T 2) = m - l S - - ( l - T 2/T 1) n - 1 n I W = m n - 1 W= -51.84 MJ 1- ' v, ' 1 v \ 2 J n-1 P.V, rt, rt, n - 1 fv.l _1_ 1- VY2 v > n-1 0,15 - IQ6-260 1, 2-1 n1,2-i 260 80 (b) Polytropická tlaková práce Wt = n W = 1,2 (-51,84) = -62.21 MJ (c) Polytropická m ěrná tepelná kapacita n - K r n -K 287 1,2-1,4 117tTI t c_ = c. -------- = ---------------- = -----------------------= -717,5 J kg K n v n - 1 k 1 n - 1 1,4-1 1,2-1 (d) Teplo odvedené do okolí,, p, V, r n - K Q = m cn (T2 - T,) = i-j-------------- -T, r T, k -1 n - 1 1 - f ' V vv2y \n - l n - K K 1 w 0 = - 1,2 ~ 1 4. (_ 5 1.84^ = -25.92 MJ 1,4-1 V --------- Konečná teplota T, = T, = (27 + 273,15)-[ 260 = 379,9 K vv2y Záporná hodnota měrné polytropické tepelné kapacity udává, že ačkoliv teplota stlačovaného vzduchu roste, teplo je ze soustavy odváděno. Je to proto, že soustavě je dodáváno více práce, než je množství odváděného tepla. Uvedené řešení ukazuje užitečné hledání hlubších souvislostí mezi veličinami. Pro rychlý výsledek vypočteme m přím o ze stavové rovnice. A 12 Ke stlačení 20 m 3 dusíku ze stavu o tlaku 100 kpa a teplotě 37 C na tlak 400 kpa je třeba dodat 3500 kj práce. Během polytropického procesuje odvedeno do okolí 2000 kj tepla. Určete (a) konečnou teplotu dusíku a (b) polytropický exponent. Uvedené m nožství dusíku chápem e jako uzavřenou soustavu. (a) Konečná teplota plyne z 1ZT: AU = m c v(t2- T i ) = Q - W R 8314,41 Měrná plynová konstanta dusíku r = = 296,9 J k g '1K '1 M 2-14 Měrná tepelná kapacita dusíku T2 = T,+ Q - W m -c v P.V, 1 0 0 0 0 0-2 0 m = ili L- rt, 2 9 6,9-(37+ 273,15) Q - W t2- tj + m -c m r 296,9 c, = = 742,3 J k g 1K '1 k 1 1,4-1 -2 0 0 0 0 0 0 -(-3 5 0 0 0 0 0 ) = 37 + ----------------- i-------------- - = 130.0 C 21,72-742,3 ------------ 21,72 kg
Stav a změna stavu ideálního plynu (b) Polytropický exponent vypočtem e z polytropického Poissonova vztahu n-1 ln P í ln 400 2 _ n = Pi 100 = 1.233, 400, 130,0 + 273,15 ln - ln ln ------ - ln P. 100 37 + 273,15 A 13 i Dvě nádoby jsou propojeny potrubím s ventilem. Nádoba A obsahuje 0,2 m vzduchu o tlaku 400 kpa a teplotě 150 C, nádoba B obsahuje 0,5 m 3 vzduchu při 200 kpa a 250 C. Po otevření ventilu dojde ke smíšení obou obsahů a dosáhne se rychle rovnovážného stavu v obou nádobách. Stanovte (a) teplotu a tlak krátce po otevření ventilu, (b) tlak po poklesu teploty na teplotu okolí 25 C a (c) tepla sdílené s okolím při chladnutí. Vzduch v obou nádobách tvoří uzavřenou soustavu o konstantním objemu. Pomocí 1. zákona termodynamiky naleznem e veličiny rovnovážného stavu krátce po otevření ventilu. Protože soustava nevykonala žádnou objemovou práci (W = 0) a ani nedošlo k výměně tepla s okolím (Q = 0), bude zm ěna vnitřní energie AU = 0. (a) U - ( U A+ U B) = 0 nebo -------- m cv ' T ----- = m~ Ac TvTA+ --------- m BcvTB --- - T, T _ = m ATA+ m ntn m Teploty: TA- 150 + 273,15 = 423,15 K Tok- 2 5 + 273,15 = 298,15 K TB = 2 5 0 + 273,15 = 523,15 K Ze stavové rovnice pro ideální plyn m A = 400000 0,2 287-423,15 = 0,659 kg m = m A+ nib = 0,659 + 0,666 = 1,325 kg Teplota krátce po otevření ventilu Ze stavové rovnice vypočtem e tlak PiV, m, = rtj (b) Konečný tlak vzduchu v nádobě po vyrovnání teplot T 298 15 D = d ^ = 2 5 7.2 ------ = 162.0 kpa kon T 473,4 -------- (c) Odvedené teplo 200000-0,5 a c.c.c 1 m R = -----------------= 0,666 kg B 287-523,15 T 0,659-423,15 + 0,666-523,15 = 4? 3 4 K 1,325 m -r-t 1,325-287-473,4 P = - = 257.2 kpa V 0,2 + 0,5 Q ok = m cv (Tok - T ) = 1,325 717,5 (298,15-473,4) = -166.7 kj A 14 Izolovaná nádoba je rozdělena přepážkou na dvě sekce. V jedné sekci je 1 kg vzduchu, na počátku s tlakem 500 kpa a teplotou 350 K. V druhé sekci jsou 3 kg CO2 s počátečním tlakem 200 kpa a teplotou 450 K. V sekci se vzduchem je topná spirála s elektrickým odporem % = 10 Q připojená na x = 30 sekund k napětí V = 220 V. Přepážka propouští teplo a m á zanedbatelnou tepelnou kapacitou. Není pevně uchycená, tj. může se přemísťovat v nádobě a tak měnit poměr objemů obou sekcí. Vzduch i CO 2 považujte za ideální plyny. Stanovte (a) konečnou teplotu, (b) konečný tlak po přivedení tepla topnou spirálou. 12
Stav a změna stavu ideálního plynu )ba plyny v pevné nádobě včetně přepážky a topné spirály tvoří uzavřenou soustavu. Protože ládobaje dobře izolována, Q = 0, jedinou energetickou interakcí s okolím je elektrická práce V2 2202 -------t = -----------30 = -145200 J (znaménko - znamená, že se el. energie dodává) % 10 a) lz T:U 2- U i = Q - W ei nebo (m 2cv2+ m,cvl) T - ( m 2c v2t2 + m 1c vlt,) = -W el X>2 je tříatomový plyn, proto k = 1,33 _ L = Sl 14-41.. =189 J k g 'K 1 12 + 2-16 r 189 Cy vzduch Cv2 717,5 J kg K Z tohoto výrazu lze vyjádřit konečnou teplotu: T = m2cv2t2 + n^c^t, - We, = 1 717,5 350 + 3 567,4-450 + 145200 _ SQ 3 K C v = m 2cv2 + m,c vl 1-717,5 + 3-567,4 k 1 1,33-1 567,4 J kg 1K 1 (b) Objem nádoby zůstává konstantní V = v oi + V02 = V, + V2. Počáteční objemy Voi, V02 získáme ze stavové rovnice ideálního plynu Vn, = HlLS- = 1'287 350 _ o 2Q1 m3 m ^ = 3-1 8 9-4 5 0 = 3 Pi 5-10 02 p, 2-1 0 V = 0,201 + 1,275 = 1,476 m 3 Konečná rovnováha se vyznačuje stejnými tlaky v obou sekcích. Použitím stavové rovnice ideálního plynu dostanem e: m.^t, _ m 2r2T2 _ m 2r2T2 1-287-350 3-189-450 P = V, " V, = V -V, 1,476-V, V2 = V - Vi = 1,476-0,417 = 1,059 m Ze stavové rovnice m.r.t. 1-287-350 p = u :1 = --------------- V. 0,417 = 240.9 kpa Poznámka: Soustavu lze volit také tak, že do ní nezahrneme topnou spirálu. Spirála je pak součástí okolí (viz obrázek). V tomto případě energetická interakce mezi soustavou a okolím nemá charakter práce, ale je to teplo dodávané z okolí do soustavy. Vzhledem k zavedené znaménkové konvenci pro práci a teplo je výsledek v obou případech stejný. A 15 Proud vzduchu o stavu 10 C a 80 kpa vstupuje do vodorovného izolovaného rozšiřujícího se kuželového potrubí rychlostí 200 m s '1. V stupní Otevřenou soustavou v ustáleném režim u je vzduch v rozšiřujícím se potrubí. V zduch považujeme za ideální plyn: 1 n 80000, (a) Hustota plyne ze stavové rovnice p = = = 0,984 k g m v r-t 287 (10 + 273,15) Hmotnostní tok m = p A c = 0,984-0,4-200 = 78,7 kg s '1 13
Stav a změna stavu ideálního plynu (b) Z 1ZT vypočteme výstupní teplotu. Pokud ke změně stavu z 1 na 2 dojde rychle, můžeme zanedbat sdílení tepla s okolím. V kontrolním objem u se nekoná užitečná práce. Zm ěna potenciální energie v kontrolním objem u je nulová nebo prakticky zanedbatelná. Proto 2 2 2 2 c c c c h2 - hi + y - y = 0 respektive cp(t2 - Ti ) + y - Ý = 0 T * Konečná teplota 1 2002 22N T2 = T 1+ -1-----!------ * - t, = t, + --------1------- = 10 + = 29.9 C c. l 2 2 2 1 c. 2 2 1004,5 'p V A 16 Dusík expanduje v turbíně z tlaku 900 kpa a teploty 562 K na tlak 100 kpa. Určete měrnou práci (a) při izoentropické expanzi, (b) při polytropické expanzi s exponentem n = 1,3, (c) při izotermické expanzi a (d) při polytropické (n = 1,3) dvoustupňové expanzi s přihříváním. Dusík v turbíně je uvažovaná otevřená soustava. Práce konaná při ustáleném chodu m á povahu tlakové práce. Plyn je dvouatom ový, takže k = 1,4. Měrná plynová konstanta dusíku r = = = 297 J kg^k '1 28 (a) Izoentropická expanze Teplota plyne z izoentropického vztahu K-1 1,4-1 / \ P2 T, 1 K = 562-1,4 = 300 K l P. j ^ 9 0 0 ; 0 0 1,4-297 Měrná tlaková práce w tl2s = -A h 12s = -^ -!-(T 1- T :.) = -(5 6 2-3 0 0 )= 272.3 kj kg k 1 1,4 1 (b) Polytropická expanze při n = 1,3 Teplota z polytropického vztahu n-l T2n=T, T, rp2^ n 1,3-1 1,3 1 = 562- = 338,5 K l P ij ^900 J 0 0 Měrná tlaková práce W(I2n = ^ - ( T 1- T 2n) = y ^ ^ - - ( 5 6 2-3 3 8, 5 ) = 287.6 kj kg 1 (c) Izotermická expanze při teplotě Ti = T2T = 562 K f Měrná tlaková práce w tl2t = w 12T = q12t = r T, ln ^ Pí v P 2 y = 297 562 ln = 366.7 kj kg' 100 -------- 6" (d) Polytropická dvoustupňová expanze s přihříváním. Po částečné expanzi, kdy teplota klesla, je dusík při optimálním mezitlaku ohřátý na počáteční teplotu před expanzí. Optimální hodnota mezitlaku popt vyplývá z požadavku, aby součet technických prací v obou stupních byl maxim ální 14
Stav a změna stavu ideálního plynu n r T, w tl2 n - 1 r n-1 1 - f p ^opt ^ n n-r-t, + ---------------- 1- l P. J n-1 f \ P2,Pop., n tedy = O 8p opt opt = Vp 7 p 2 Dosazením popt do vztahu pro m ěrnou tlakovou práci dostanem e w tl2, n - 1 1 - / \ P 2 2n = 2-1,3-297-562 1,3-1 1 100 \ 900 j 1,3-1 2-1,3 323.9 kj kg Zisk (úspora) práce vzniklý rozdělením expanze do dvou stupňů lze graficky znázornit v p-v diagramu (šedá plocha). n-1 1,3-1 r \ / \ 2-n Konečná teplota T2 = T, P2_ 100 2-1,3 = T, 23, = 562- z 2n 1 = 436.1 K VP p J,P.> 900 A 17 Teplota vzduchu v nevytopené m ístnosti j e 1 6 C a atm osférický tlak 1 01,4 kpa. Ohřevem teplota stoupne na 22 C. Stanovte (a) počáteční hustotu vzduchu, (b) počáteční měrný objem, (c) změnu hustoty a (d) změnu měrného objemu vlivem ohřevu. Uvažujte r = 287 J k g '1K '1. Výsledek: (a) 1,222 kg m '3 (b) 0,818 m3 kg-1 (c) 0,025 kg m '3 (d) 0,017 m3 k g '1 A 18 Nádoba je naplněna 0,1 kg vodíku o tlaku 350 kpa a teplotě 20 C. Stanovte (a) objem vodíku, (b) tlak plynu poté, kdy nádoba byla vystavena slunečnímu záření a teplota vodíku stoupla na 65 C. Výsledek: (a) 0,3483 m 3 (b) 403,7 kpa A 19 Jaké množství plynu bylo vypuštěno z nádoby, jestliže před vypouštěním bylo v nádobě 10 kg plynu při tlaku 8,5 M Pa a teplotě 20 C, po vypouštění měl plyn v nádobě tlak 6 M Pa a 15 C. Výsledek: 2,82 kg A 20 Ve válci o průměru 0,6 m je 0,4 m 3 vzduchu o tlaku 0,2 M Pa a teplotě 35 C. N a jakou teplotu je třeba ohřát vzduch, aby se píst posunul o 0,3 m a tlak se zvýšil na 0,5 MPa? Výsledek: 660,6 C A 21 Pístový kompresor nasává 5 m 3/m in vzduchu o teplotě 17 C a barometrickém tlaku 97 kpa a stlačuje jej do zásobníku o objemu 9 m3. Za jak dlouho kom presor zvýší tlak v zásobníku na 0,6 MPa při konstantní teplotě? Počáteční tlak a teplota vzduchu v zásobníku je stejná jako u okolního vzduchu. Výsledek: llmin8s A 22 Bombička obsahuje oxid uhličitý při tlaku 200 kpa a teplotě 24 C. Objem CO2 je 3 cm3. Po její aplikaci v sifonové lahvi plyn expanduje na tlak 105 kpa. Stanovte (a) teplotu expandovaného plynu uvnitř bombičky a (b) počáteční hmotnost plynu v bombičce. Výsledek: (a) 247 K (b) 0,01 g 15
Stav a zmhns s t e v u t á e & n f o o p t y u u A 23 Vzduch je stlačován v ustáleném režimu ze stavu o tlaku 100 kpa a teplotě 27 C na tlak 1200 kpa. U rčete m ěrnou kom presní práci a konečnou teplotu při (a) izoentropickém stlačování, (b) polytropickém stlačování s exponentem n = 1,2 (c) izotermickém stlačování a (d) dvoustupňové polytropické kom presi s m ezichlazením (n = 1,2). Výsledek: (a) wt= -311,6 kj k g '1, T2 = 610,5 K (b )w t= -265,1 kj k g 1, T2 = 454,1 K (c) wt= -214,0 kj k g 1, T2= 300 K (d) w t = -237,7 kj k g '1, T2 = 369,2 K A 24 Vzduch o hmotnosti 3 kg je pracovní látkou v oběhu tvořeném třemi ději: izochorickým 1-2 při objemu 2 m 3, izobarickým 2-3 při tlaku 100 kpa a izotermickým 3-1. Ve stavu 3 je objem 10 m 3. Vypočtěte (a) celkovou práci oběhu a (b) tepla sdělovaná mezi vzduchem a okolím v jednotlivých dějích. Výsledek: (a) -809 kj (b) 1-2: -2000 kj, 2-3: 2800 kj, 3-1: -1609 kj A 25 Pod pístem ve válci je 0,1 m 3 kyslíku, při tlaku 100 kpa a teplotě 20 C. Válec je nad pístem opatřen zarážkami. Píst m á hmotnost 5 kg a průměr 30 cm. Do válce je přiváděno teplo a píst nejprve začne ve válci stoupat svisle vzhůru, přičem ž se tlak kyslíku ve válci nemění. V poloze, k dy n arazí n a z arážky, j e o bjem v zduchu p od p ístem 0,25 m 3. Dalším přívodem tepla se dosáhne zvýšení tlaku na 150 kpa. Stanovte (a) konečnou teplotu, (b) konečnou hustotu, (c) objem ovou práci, (d) tlakovou práci a (e) m nožství přivedeného tepla. Výsledek: (a) 1099,3 K (b) 0,5252 kg n ť3 (c) 15 kj (d) -12,5 kj (e) 83,854 kj A 26 Helium se nachází v uzavřené nádobě o objemu 5 litrů. Jeho tlak je 135 kpa a teplota 24 C. Dojde ke zvýšení tlaku na 210 kpa. Stanovte po zvýšení tlaku (a) teplotu, (b) hustotu, (c) změnu entalpie, (d) teplo sdílené s okolím, (e) objemovou a (f) tlakovou práci. Výsledek: (a) 189 C (b) 0,219 kg n ť3 (c) 935 kj (d) 560 J (e) 0 J (f) -375 J A 27 Oxid uhličitý ve válci s pohyblivým pístem má počáteční teplotu 12 C a tlak 101 kpa. Okolní tlak je také 101 kpa. Plyn se ohřeje na teplotu 80 C a jeho konečný objem je 0,01 m 3. Stanovte (a) počáteční hustotu, (b) konečnou hustotu, (c) počáteční objem, (d) objem ovou práci, (e) tlakovou práci a (f) sdílené teplo. Výsledek: (a) 1,875 kg n ť3 (b) 1,514 kg m '3 (c) 0,00807 m 3 (d) 195 J (e) 0 J (f) 783 J A 28 0,25 kg dusíku expanduje izoentropicky v izolované nádobě ze stavu o teplotě 55 C a tlaku 650 kpa na stav s teplotou -26 C. Vypočtěte (a) tlak na konci expanze, (b) počáteční hustotu, (c) konečnou hustotu, (d) objem ovou práci a (e) tlakovou práci. Výsledek: (a) 241 kpa (b) 6,67 kg n ť3 (c) 3,28 kg m '3 (d) 15 kj (e) 21 kj A 29 0,25 kg dusíku expanduje polytropicky z počátečního stavu o teplotě 55 C a tlaku 650 kpa do stavu s teplotou -26 C. Polytropický exponent je 1,28. V ypočtěte (a) tlak na konci expanze, (b) počáteční hustotu, (c) konečnou hustotu, (d) objem ovou práci, (e) tlakovou práci a (f) sdílené teplo. Výsledek: (a) 178 kpa (b) 6,67 kg n ť3 (c)'2,424 kg n ť3 (d) 21,5 kj (e) 27,5 kj (f) 6,5 kj 16
Stav a změna stavu ideálního plynu A 30 Množství vzduchu 2 kmol je polytropicky stlačováno ze stavu o teplotě 18 C a tlaku 102 kpa, dokud hustota vzduchu nedosáhne hodnoty 2,214 k g m '3. Dodaná objemová práce vzduchu je 3165 kj a dodaná tlaková práce 4146 kj. V ypočtěte (a) počáteční objem, (b) počáteční hustotu, (c) polytropický exponent, (d) konečnou teplotu, (e) konečný tlak a (f) sdílené teplo. Výsledek: (a) 47,46 m 3 (b) 1,22 k g m 3 (c) 1,31 (d) 77 C (e) 222,5 kpa (f) -7 1 2 kj A31 Teplo 2,5 MJ se dodalo 5 kg vodíku při izotermické změně ze stavu o tlaku 300 kpa a teplotě 25 C. Stanovte (a) měrnou práci (objemovou a tlakovou) konanou plynem, (b) tlak na konci změny, (c) hustotu na počátku změny a (d) hustotu na konci změny. Výsledek: (a) w = w t = 500 kj k g '1 (b) 200,4 kpa (c) 0,242 kg m 3 (d) 0,162 kg m '3 A 32 Teplo 32,85 kj je uvolněné kyslíkem při polytropické změně ze stavu o teplotě 20 C a tlaku 120 kpa na stav s teplotou 41,4 C. Objem kyslíku na počátku ohřevu je 1 m 3. Stanovte (a) polytropickou m ěrnou tepelnou kapacitu, (b) polytropický exponent, (c) konečný tlak, (d) konečnou hustotu, (e) objem ovou práci a (f) tlakovou práci. Výsledek: (a) -974 J kg^k '1 (b) 1,16 (c) 200 kpa (d) 2,447 kg m '3 ( e ) -54,75 kj (f) -63,51 kj A 33 Vzduch v uzavřené nádobě o objemu 500 litrů je ohříván. Počáteční stav je dán teplotou 22 C a hustotou 1,45 k g m '3. Tlaková práce doprovázející zm ěnu je -5,256 kj. Stanovte (a) počáteční tlak, (b) konečný tlak, (c) konečnou teplotu a (d) teplo sdílené s okolím. Výsledek: (a) 122,85 kpa (b) 133,3 kpa (c) 47,3 C (d) 13,14 kj A 34 3 g dusíku jsou uzavřeny ve válci s volně pohyblivým pístem. Teplota plynu je 75 C a tlak 100kPa (je roven atmosférickému tlaku v okolí). P lyn koná objem ovou práci 6 0 J. Určete (a) počáteční objem, (b) počáteční hustotu, (c) konečný objem, (d) konečnou hustotu, (e) konečnou teplotu a (f) teplo sdílené s okolím. Výsledek: (a) 0,0031 m 3 (b) 0,967 kg m '3 (c) 0,0037 m 3 (d) 0,811 kg n ť3 (e) 142,3 C (f) 210 J A 35 2 kg vzduchu o teplotě 20 C a hustotě 1,2 kg m 3 mění svůj stav polytropicky a koná přitom objemovou práci 24 kj a tlakovou práci 31 kj. Stanovte (a) polytropický exponent, (b) konečnou teplotu, (c) teplo sdílené s okolím, (d) počáteční tlak, (e) konečný tlak a (f) konečnou hustotu. Výsledek: (a) 1,292 (b) 7,8 C (c) 6,48 kj (d) 101 kpa (e) 83,63 kpa (f) 1,037 kg m '3 A 36 Tři plyny považujte za ideální: vodík (H2), dusík (N2) a oxid uhličitý (C 0 2). Rozhodněte, který z těchto plynů je z hlediska citlivosti m ěření teploty jak o teplom ěm á látka (a) nej výhodnější, a který (b) je nejméně vhodný pro použití v plynovém teploměru. Za teploměmou veličinu uvažujte objem při izobarické změně (např. běžný teploměr). Citlivost je tím větší, čím je větší zm ěna teploty s objemem (5T/3V). Výsledek: (a) oxid uhličitý (b) vodík» 17
Stav a změna stavu reálného plynu - páry B Stav a změna stavu reálného plynu - páry Grafickou variantou stavových rovnic reálných plynů jso u term odynam ické diagram y. V eličiny jako cv, cp, r, k, atd. jsou závislé na tlaku i teplotě. Stavová rovnice ideálního plynu zde nelze použít! Jediné, co lze použít je 1. a 2. zákon term odynam iky. Protože chování reálných plynů a par je podstatně složitější, zvláště pak ve stavech blízkých stavům nasycení, kde dochází k fázovým změnám, analytické výrazy jsou velmi složité, a proto je upřednostňováno použití diagramů a tabulek. Např. p-t, p-v, T-s, h-s diagramy, které jsou velmi užitečnou a názornou pomůckou. Vede rychle k výsledku, avšak na úkor přesnosti řešení. Je vhodné si každou změnu znázornit v některém diagram u, abychom získali lepší představu o ději. Používání tabulek měrných stavových funkcí pro jednotlivé látky je zpravidla spojeno s interpolací mezi tabelovaným i hodnotam i. Práce s tabulkami a diagram y patří k základním dovednostem inženýra v oblasti aplikované termodynamiky. Zpravidla jsou k dispozici dva typy tabulek: pro oblast směsi syté kapaliny SK a syté páry SP (tzv. mokré páry MP) a pro oblast přehřáté páry PP nebo nenasycené kapaliny K. (a) Tabulky syté kapaliny a syté páry SK-SP (též tabulky mokré páry) pro oblast směsi syté páry a syté kapaliny jsou uspořádány zpravidla jednak podle teploty a jednak podle tlaku. Pro každou dvojici p-t nebo T-p jsou tabelovány hodnoty m ěrných veličin objemu, entalpie a entropie na dolní mezní křivce (horní index veličiny - jedna čárka) a na horní mezní křivce (horní index - dvě čárky). U entalpie též rozdíl obou entalpií (což je měrné skupenské teplo vypařování). Hodnoty vnitřní energie lze již snadno dopočítat z definice entalpie (u = h - p-v), avšak někdy jso u také navíc tabelovány. Stavy v oblasti m okré páry jso u dány hodnotou suchosti x, jež vyjadřuje vždy hmotnostní poměr syté páry SP ve směsi m okré páry MP x = m m s p _ SP m MP m SK+ m sp Ve snaze ulehčit uživateli výpočet stavových veličin v oblasti mokré páry pomocí vztahů v= v' + x (v " -v ') u=u' + x ( u '- u ') h = h' + x (hff - h') = h' + x 123 s =s' + x (s ''-s ') bývají tabelovány i rozdíly m ěrných veličin, např. Ah = I23 = h" - h', As = s7/ - sf. Uspořádání tabulek syté kapaliny a syté páry (SK-SP) bývá následující: Tabulka řazená dle teplot t p v v u I23 h s s 18
Stav a změna stavu reálného plynu - páry Tabulka řazená dle tlaků ; p t v v u u" hy 123 hy; s' s" (b) Tabulky přehřáté páry PP nebo nenasycené kapaliny K Jsou mnohem rozsáhlejší, neboť pro jednotlivé tlaky jso u tabelovány hodnoty m ěrných veličin v závislosti na teplotě, jak lze vidět na následujícím schématu Pí pi+1 Pi+2 t v u h s v u h s v u h s Hodnoty stavových funkcí v oblasti nenasycené kapaliny K jso u do značné m íry závislé pouze na teplotě, jejich závislost na tlaku je - až do tlaků asi 10 M Pa - nepatrná a lze ji zanedbávat (změna tlaku o dva řády způsobí změnu stavových funkcí pouze maximálně asi o 1%). Proto lze výhodně aproxim ovat stavy nenasycené kapaliny stavy syté kapaliny při dané teplotě kapaliny, tedy vk = v ^ j,, uk = u'pn t, hk = h ^, t, sk = s'přl t. Entalpie je poměrné nejvíce citlivá na změny tlaku, proto při značných tlacích v nenasycené kapalině je vhodná její lepší aproximace vztahem h = h'pfl t + v; (p - psat), kde psat je tlak nasycené (saturované) kapaliny nebo páry při uvažované teplotě t. Pro určení stavu a zm ěn ve vodní páře je uživatelsky příjem nější použít term odynamický software (např. Pára - VUT FSI Brno nebo výborný ruský W atersteampro, který je možné jako doplněk integrovat přím o do MS Excelu). Důležité upozornění: Dříve než začneme používat výše uvedené výpočtové pomůcky, je třeba ověřit, k jakým výchozím hodnotám vo, Uo, ho, So jso u vztaženy. I když je snaha o unifikaci vztažných stavů, různé pom ůcky nem usí odpovídat vždy tom uto požadavku. V ý počty prováděné se stavovým i veličinam i různých vztažných stavů vedou k fatálním chybám. Při interpolacích v tabulkách se pro jednoduchost většinou používá lineární interpolace. Abychom stanovili hodnotu stavové veličiny y, jež má odpovídat hodnotě stavové veličiny x, která leží mezi dvěm a tabelovanými hodnotami xi, x2, je třeba použít analytické rovnice přímky dané souřadnicemi dvou tabelovaných bodů [xi, yi], [x2, y2] v rovině x, y: y2-yi y - Yi + x2-x, (x-x,) (INT) Praktické provádění lineární interpolace lze výhodně usnadnit např. využitím statistické funkce lineární regrese na kapesním kalkulátoru. Lineární interpolace je vlastně zvláštní případ lineární regrese, kde množina zpracovávaných údajů je om ezena pouze na dvě dvojice hodnot xay. Je proto žádoucí bezpečné zvládnutí používání této funkce na kalkulátoru. Pracujeme-li s počítačem, lze si relativně pracnou interpolační proceduru rovněž usnadnit. Např. při použití MS Excelu lze jednou sestavit schéma interpolačního výpočtu, řádně jej ověřit, a při dalších četných aplikacích interpolační úlohy stejného typu vkládat do naprogram ovaného schématu použe nové hodnoty a okamžitě získávat nové interpolované výsledky. 19
Stav a změna stavu reálného plynu - páry Izočáry v digram ech reálných plynů B 1 Stav vodní páry je určen teplotou 110 C a tlakem 100 kpa. Stanovte měrný objem páry. Nejprve je třeba určit oblast zadaného stavu. V tabulce SK-SP řazené podle teplot najdeme k teplotě t = 110 C saturační tlak (tlak na mezi sytosti) psat= 143,4 kpa. Tento tlak je vyšší než zadaný tlak 100 kpa. Podle obecného trendu rozložení izoterem v p-v diagramu, průsečík izotermy 110 C a izobary 100 kpa je v oblasti přehřáté páry (PP). Lineární interpolací mezi tabelovanými teplotami 100 C a 150 C pak najdeme měrný objem v. 100 1,6960 150 1,9367 v = v, + v-i-. (t - O = 1.6960 + 1,19367 1,696 (110-100^ = 1.744 m 3k e 1 1 t 2 - t, V ' 1 5 0-1 0 0 ------------ B 2 Stav 5 kg vody je určen teplotou 120 C a měrným objemem 0,4 m 3k g '\ Stanovte (a) tlak a hodnoty (b) vnitřní energie, (c) entalpie a (d) entropie vody. V tabulce SK-SP řazené dle teplot najdem e pro teplotu 120 C: (a) tlak na mezi sytosti p = 198,665 kpa v7 = 0,001060 m 3 kg' 1 v" = 0,891304 m 3 kg' 1 u; = 503,6 kj kg' 1 h; = 503,8 kj kg' 1 h" = 2705,9 kj kg' 1 s/ = 1,5278 kj kg*1 _ Zadaný objem 0,4 m 3 kg' 1 leží mezi měrné objemy na mezi sytosti, proto se jedná o stav mokré páry. Nejprve stanovíme suchost mokré páry: x _ v v _ 4 v v 0,8 9 1 3 0 4-0,0 0 1 0 6 Požadované hodnoty m ěrných a celkových veličin: (b) u = u; + x (u;/- u') = 503,6 + 0,448 (2528,9-503,6) = 1410,9 kj k g 1 U = m u = 5 1410,9 = 7054.5 kj (c) h = h; + x (h7- h;) = 503,8 + 0,448 (2705,9-503,8) = 1490,3 kj kg' 1 H = m h = 5 1490.3 = 7451.5 kj, (d) s = s; + x (s7/- s;) = 1,5278 + 0,448 (7,1291-1,5278) = 4,0372 kj kg^k ' 1 S = m s = 5 4,0372 = 20.186 kj K ' 1 20
Stav a změna stavu reálného plynu - páry B 3 5 kg vody m á teplotu 100 C při tlaku 300 kpa. Stanovte její (a) objem, (b) vnitřní energii, (c) entalpii a (d) entropii vody.. y' P Nejprve se určí oblast daného stavu v p-v diagramu. Např. jý tabulce mokré páry řazené dle teplot najdeme k udané teplotě 100 C saturační tlak 101,42 kpa, jenž je menší než zadaný tlak 300 kpa. Izoterma P 100 C protíná izobaru 300 kpa v oblasti kapaliny. Hledané měrné ^sat veličiny aproximujeme hodnotami na dolní mezní křivce při zadané teplotě 100 C. (a) v 2 vpfi ]00 c = 0,001044 m 3 kg"1 V = m v = 5 0.001044 = 0.00522 m 3 (b) u su pfiirc= 418,94 k J k g 1 (c) h s h pfil00oc= 419,04 kj k g 1 U = m u = 5 418.94 = 2094.7 kj H = m h = 5 419.04 = 2095.2 kj / " V - případně použijem e lepší aproximaci: h = 1 W C+ v - ( p - p satpfll00 c ) = 419,04 + 0,0010 (300-101,42) = 419,25 kj k g 1 H = m h = 5 419,25 = 2096.2 kj (rozdíl je asi 0,05 %) (d) s = s...inn.r = 1.3069 kj k s ' 1K ' 1 S = m s = 5 1.3069 = 6.5345 kj K ' 1 v / ^ ^pr,ioo C ----------------------------- B 4 200 g vody ve stavu syté kapaliny se vypaří při stálém tlaku 100 kpa. Stanovte (a) změnu objemu vody a (b) potřebnou tepelnou energii dodanou vodě. (a) Odečteme hodnoty m ěrných objemů na dolní a horní mezní křivce v7 a v;/ v tabulce mokré páry řazené podle tlaku. AV = m ( / - v 7) = 0,2 (1,6940-0,0010) = 0.3386 m 3 (b) Měrná energie potřebná k izobarickému vypaření syté kapaliny je vlastně měrné skupenské teplo vypařování (q = I23). Energie na vypaření je pak rovna přírůstku celkové entalpie: AH = m (h/;- h7) = m 123 = 0,2 2258,0 = 451.6 kj B 5 Ve válci uzavřeném pístem jsou 2 litry syté páry při tlaku 220 kpa. Stanovte (a) teplotu páry a (b) hmotnost páry. (a) Protože pára je nasycená, její teplota je přímo saturační teplota odpovídající tlaku 220 kpa, t = tsat ph 220 kpa- Je třeba interpolovat mezi tabelovanými hodnotami při tlacích pi = 200 kpa a p2 = 225 kpa v tabulce m okré páry dle tlaků. ^ sat 2 ^satl P2 - P 1 (p - p,) = 120,23 + 12 4,00-12Q> 23 (220-200) = 123.25 C v 2 2 5-2 0 0 V ----- -------- 21
Stav a změna stavu reálného plynu - páry (b) Analogickou interpolací lze stanovit měrný objem v ; - v ;. A_ noo. 0,7 9 3 3-0,8 8 5 7 v" = v: + L-(P-Pi) = 0,8857 + - ------------ --------- (2 2 0-2 0 0 )= 0,8118 m 3k g 1 ' P2 - P 1 2 2 5-2 0 0 V 0 002 Hmotnost páry m = = ------- = 0,00246 ks v" 0,8118 ----------- * B 6 Stanovte pomocí parních tabulek (a) měrný objem a (b) měrnou entalpii vodní páry, je-li známa její teplota 265 C a tlak 300 kpa. Nejprve je třeba určit, ve které oblasti daný stav páry leží. Tlaku 300 kpa odpovídá saturační teplota tsat= 133,55 C. V p-v diagramu je zřejmé, že izoterma teploty 265 C leží nad izotermou saturační teploty a protne se s izobarou o tlaku 300 kpa v oblasti přehřáté páry. Je proto třeba použít tabulku přehřáté páry pro tlak 300 kpa. Protože v naší tabulce měrný objem a měrná entalpie nejsou tabelovány pro t = 265 C, je nutná interpolace mezi nejbližšími tabelovanými hodnotami při ti = 250 C a t2= 300 C. Interpolační vztah (INT) použijeme nejprve pro dvojici t, v a pak pro dvojici t, h: (a) v = v, + v? ~ V (t - t,) = 0.7964 + Q _8753~ 7964.(2 6 5-2 5 0 ) = 0.8201 m 3 k g '1 t 2 tj 3 0 0-2 5 0 v -------------- (b) h = h, + h2~ hl ft - 1. ) = 2967.6 + 3Q69>3 ~ 2967>6.( 265 _ 2 5 0 ) = 2998.1 kj k g '1 t2-t, V 3 0 0-2 5 0 V ' ----------------^ B 7 V nádobě o objemu 2 m 3 jsou uzavřeny 4 kg vodní páry při tlaku 500 kpa. Určete (a) teplotu, (b) měrnou vnitřní energii a (c) m ěrnou entropii páry. (a) Měrný objem vypočítáme z daného objemu a hmotnosti v = V/m = 2/4 = 0,5 m 3 k g '1. Stav páry je určen dvěm a stavovým i veličinam i, tlakem p = 500 kpa a m ěrným objemem T I > O 1 # v = 0,5 m kg'. V tabulce mokré páry řazené podle tlaků lze zjistit, že v = 0,5 m kg' je větší než v//= 0,3749 m 3 k g '1. P á ra je proto přehřátá a je třeba pracovat s tabulkou PP pro 500 kpa. Hodnota v = 0,5 m 3 k g '1 leží mezi tabelovanými hodnotami vi = 0,4744 m 3 k g '1 při teplotě ti = 250 C a V2 = 0,5226 m 3k g '1 při teplotě t2= 300 C. Je nutno použít vztah pro lineární interpolaci (INT), kde za x dosazujeme v a za y dosazujeme t. t = t. + Í l Z Í l. ( v - v,) = 250 + -----3QQ~ 25Q------(0.5-0.4744) = 276.6 C 1 v2-v, V 0,5 2 2 6-0,4 7 4 4 V ' ----- ------- (b) Vnitřní energie a entropie se určí interpolací pom ocí příslušných sousedních tabelovaných hodnot a obdobného vztahu. u,-u, / s., 2 8 0 2,9-2 7 2 3,5, T, -1 u = u, + ----- --(v v,) = 2723.5 + ------------------------Í0.5-0.4 7 4 4 )= 2765,7 kj kg 1 v2-v, V 0,5 2 2 6-0,4 7 4 4 V ; ^ c _c 7 4 S 9 9-7 9709,, řc) s = s, + ( v - v.) = 7.2709 + - - - - - ( 0.5-0.4744) = 7.3713 kj k g '1K 1 v2 v, V 0,5 2 2 6-0,4 7 4 4 V ; ---------------- 6-------- Poznámka: Pokud nejsou k dispozici tabulky s tabelovanými hodnotami vnitřní energie, je třeba nejprve analogickým postupem stanovit entalpii, 22
Stav a změna stavu reálného plynu - páry h = h, + h -2 h -(v-v,) = 2960,7 + 3 0 6 4,2 2 9 6 0, 7 -(0,5-0,4 7 4 4 ) = 3015,7 kj k g 1 v 2 - v, V 0,5 2 2 6-0,4 7 4 4 a pak vypočteme vnitřní energii pomocí definičního vztahu mezi vnitřní energií a entalpií u = h - p v = 3015,7-500 0,5 = 2765.7 kj k g 1 B 8 Je dána měrná entalpie 3131 kj kg' 1 a měrná entropie 7,5263 kj kg' 1K ' 1 vodní páry. Jaká je její teplota a tlak? Stavové veličiny jsou v parních tabulkách zpravidla tabelovány podle teploty a tlaku. Tedy teplota t a tlak p jsou považovány za nezávislé veličiny a tabelované hodnoty v, u, h, s za závislé. Je-li stav páry zadán pomocí dvou tabelovaných veličin, v tomto případě h, s, stanovení ostatních stavových veličin pom ocí interpolace je složitější. Nejprve je třeba nalézt v tabulkách takové dvojice hodnot h, s (nejlépe ležících v tabulkách vedle sebe), aby zadané (zde h = 3131 kj kg'1, s = 7,5263 kj kg' 1K '1) ležely mezi nimi (předpoklad interpolace), ja k je ukázáno na následující výřezu: PA= 500 kpa pb= 600 kpa ha(kj k g '1) sa(kj kg' 1K '1) hb (kj k g '1) sb(kj kg-1 K '1) t, = 300 C 3064,2 7,4599 00 C 3061,6 7,3724 t2 = 350 C 3167,7 7,6329 t2= 350 C 3165,7 7,5464 Dvě příslušné sousední teploty v tabulkách jsou označeny číselným i indexy 1, 2 a dva příslušné sousední tlaky v tabulkách písmennými indexy A, B. M ůžeme vyjádřit dva pomocné údaje tha, thb jako funkci entalpie interpolováním mezi tabelovanými teplotami ti, t2 při tlacích pa, Pb a podobně tsa, tsb jako funkci entropie interpolováním m ezi tým iž tabelovaným i teplotami. tha=t,+ t2 ~ t[ (h-h,a) = 300+ 350- - -9?------(3 1 3 1-3 0 6 4,2 ) = 332,3 C i.a i u u v ia ; 3 1 6 7,7-3 0 6 4,2 v h 2A - h, A t 2 - t, thr=t.+ '2~ M -(h-h,r) = 300 +... 350- - - ------(3 1 3 1-3 0 6 1,6 )= 333,3 C hb 1 u u V 1b; 3 1 6 5,7-3 0 6 1,6 V ^2B t 2 - t, ~ ^1B t. = t. + l (s- s.a) = 300 + -----350 3- - ------(7,5263-7,4599) = 319,2 C * " " V ' 7,6 3 2 9-7,4 5 9 9 v ' S2A - S.A t 2 _ t > 1 t B= t. + ^ ~ l (s - s1b) = 300 + -----35Q~ 3QO------(7,5263-7,3724) = 344,2 C s2b- s ]B V 7,5 4 6 4-7,3 7 2 4 V t Získanými dvojicemi [pa, tha], [pb, thb] a [pa, tsa], [Pb, tsb] lze nyní proložit přímky. Souřadnice společného průsečíku jsou hledané hodnoty teploty a tlaku daného stavu. p Např. tlak získáme porovnáním dvou interpolačních vyjádření teploty (INT), na základě pomocných údajů tha, thb, tsa, tsb a tabelovaných tlaků pa, pb. Spojením dvou interpolačních vztahů pro teplotu dostáváme t = tha + thb ~ tha ' (P ~ Pa ) = t SA + tsb - J ' (P ~ P a ) (* ) P b P a P b P a 23
Stav a změna stavu reálného plynu - páry T.T.T. 7, ^ ^4 4 O-Tiq 9 332,2 + ---------- ( p - 5 0 0 ) = 319.2+ ( p - 5 0 0 ) -> p = 554.6kPa 6 0 0-5 0 0 v ' 6 0 0-5 0 0 V ----- -------- D osazením tlaku do (*), dostanem e teplotu: t t ^44 9-^1Q 9 t = t_. + ^ -Íd t), ) = 31.9.2 + ----- ------5 5 4.6-5 0 0 ) = 332.9 C Pb-P a 6 0 0-5 0 0 v ' ----- ------- Méně přesný výsledek získám e přímým odečtením z h-s diagramu vody: 540 kpa a 330 C. B 9 i Pro 3 m vodní páry o stavu uvažovaném v předcházející úloze stanovte (a) je jí hm otnost a (b) látkové množství v kilomolech. Stanovíme měrný objem páry. Teplota t = 332,9 C a tlak p = 554,6 kpa byly určeny v předchozí úloze. Pro obě tyto hodnoty nejsou další veličiny tabelovány. Potřebnou interpolaci je nutno provést ve dvou krocích. Nejprve vypočteme dvojí aplikací (INT) interpolované hodnoty va, vb pomocí tabelovaných hodnot ti, Í2, V)A, V2A a vib, V2B pro teplotu t = 332,9 C při tabelovaných tlacích Pa = 500 kpa, pe = 600 kpa. va = v,a+ = 0,5226 + 0 5 37 50 ó l 0502 2 t,'( 332-9 - 300) = -5 5 3 9 m3k8'' Vb = vi. + V~ f ~ ( t - 1,) = 0,4344 +,4 ~ 04ň3 4 4 (3 3 2,9-3 0 0 )= 0,4605 m3k g 1 Ve druhém kroku interpolací va a vb podle tlaku aplikací vztahu (INT) získáme měrný objem. v = va + ^ ^ ( p - p A) = 0,5538+,4^ ~ 5539 (554,6-5 0 0 ) = 0,5029 m ^ g ' Pg P a ouu ^UU (a) Hmotnost pak plvne ze vztahu V 3 m = = ---------- = 5,965 kg v 0,5029 (b) Látkové množství stanovíme pomocí m olámí hmotnosti vody M m= 18 kg km ol' 1 m 5,965, n = ----- = ---------= 0,3314 kmol M m 18 --------------- BIO 2 kg mokré páry chladiva R12 m á teplotu 4 C. Přitom 1 kg chladívaje ve stavu syté kapaliny a 1 kg ve stavu syté páry. Stanovte (a) měrný objem, (b) celkový objem mokré páry, (c) celkovou entalpii a (d) celkovou entropii. Použijem e tabulky pro chladivo R12. Ze zadání ply n e, že náš stav je v oblasti m okré páry chladiva. S výhodou použijem e tabulku řazenou podle teploty. Ze zadaného pom ěru mezi sytou kapalinou a sytou párou určíme suchost mokré páry m SP 1 x = ------- -----= ------= 0,5 m SK+ m Sp 1 + 1 (a) Měrný objem: v= v' + x ( V - v") = 0.0007227 + 0.5 -(0.04895-0.00072) = 0.02484 m 3/kg (b) Objem: V = m mp- mp* v = 2 0,02484 = 0.04967 m 3 24
Stav a změna stavu reálného plynu - páry (c) Měrná entalpie: h = h' + x (hb- h') = h' + x 123 = 39,76 + 0,5-149,47 = 114,495 kj k g 1 Entalpie: H = m mp- h = 2 114,495 = 229 kj (d) Měrná entropie: s= s' + x ( s '- s ') -0,1 5 5 3 + 0,5-(0,6946-0,1553) = 0,42495 kj k g 1K -1 Entropie: S = m mp s = 2 0,42495 = 0.8499 k J K -1 B il 3 kg mokré vodní páry je v nádobě o objem u 200 litrů při tlaku 1 M Pa. U rčete (a) suchost, (b) entalpii, (c) vnitřní energii a (d) entropii mokré páry. (a) Měrný objem v = = = 0,06667 m 3 kg' 1 m 3 O U * v. v-v' 0,06667-0,0 0 1 1 2 7 A Suchost směsi x = ---------= ----------------------------- = 0,339 v'-v' 0,19444-0,001127 (b) Entalpie: H = m h = m-[h7+ x (h" - h')] = 3-(762,81 + 0,339-2015,3) = 4338 kj (c) Vnitřní energie: U = m u = m-[u/ + x (u" - u )] = 3 (761,68 + 0,339-1822,1) = 4138 kj nebo též: U = H - p-v = 43 38-103-0,2 = 4138 kj (d) Entropie: S = m-s = m-[s/ + x (s^-s7)] = 3-(2,1387 + 0,339-4,4478) - 10,939 kj K~ B 12 55 kg vody v nádobě m á tlak 2 M Pa a teplotu 183 C. Určete (a) měrný objem, (b) měrnou entalpii a (c) měrnou entropii vody v tomto stavu. Nejprve určíme oblast daného stavu. Saturační teplotu odpovídající tlaku 2 M Pa najdeme v tabulce mokré páry řazené podle tlaku, tsat = 212,42 C. Je větší než daná teplota 183 C. Průsečík izotermy 183 C a izobary 2 M Pa je proto v oblasti kapaliny. Stavové veličiny aproximujeme údaji na dolní mezní křivce při dané teplotě 183 C. Pokud pro tuto teplotu nemáme tabelované stavové veličiny, interpolujem e pom ocí vztahu (IN T) m ezi tabelovaným i teplotami, např. 180 C a 185 C. (a) v S v'i83.c = v ;80 + # ^ - ( 1 8 3-1 8 0 ) = 0,001127 +»001 ^ - 0, 0 0 1127 (J g3 _ 1 g()) 185-180 ' 7 185-180 k g 1 V = m v = 55 0.001129 = 0,0621 h;85-h' 0 lonx 785,37-763,22 (b) h s h' = h' + 185 180 (1 8 3-1 8 0 ) = 763,22 + --------- (183-1 8 0 ) 183 c 180 1 8 5-1 8 0 v 1 8 5-1 8 0 h = 776,51 kj kg' 1 H = m h = 55 776.51 = 42708 kj s' - s ' 2 1879-2 1396 (c) s s s' c = s' + 185 180 (183-1 8 0 ) = 2,1396 + (183-180) 183C 180 1 8 5-1 8 0 1 8 5-1 8 0 s = 2,1686 kj kg^k ' 1 S = m s = 55 2,1686 = 119.27 kj K ' 1 B 13 Dvoufázová směs vody a vodní páry má tlak 8 M Pa a suchost 60 %. Směs zaujímá objem 0,08 m3. Stanovte (a) teplotu, (b) hmotnost syté vody m' a hmotnost syté páry m// ve směsi. - Stav je v oblasti m okré páry MP. (a) Teplota směsi je saturační teplota při daném tlaku 8 MPa, tedy t = t<at= 295,1 C 25