Poznámky k předmětu Biologické a akustické signály Zbyněk Koldovský March 8, 2011 1
Základní fakta k předmětu: K udělení zápočtu za cvičení je nutná účast (max. 2 neomluvené absence) a odevzdání úloh, jsou-li zadané. Zkouška z předmětu je ústní. Obsah předmětu je orientován na výhradně technickou stránku problematiky zpracovávání biosignálů a akustických signálů. Medicínská problematika zde není předmětem. 2
1 Příklady biologických a akustických signálů 1.1 Rozdělení signálů podle druhu Podle rozměru jednorozměrné - sledování jedné veličiny, většinou v závislosti na čase dvourozměrné - obraz vícekanálové - EEG, EKG,... vícerozměrné - obrazový záznam v čase Podle původu elektrické mechanické magnetické chemické a další Podle příčiny vzniku spontánní - EEG, EKG vzniklé odezvou na dané buzení Podle pravidelnosti opakující se - EKG nepravidelné - EEG 1.2 Příklady biologických signálů Akční potenciál buňky Akční potenciál je elektrický signál, který doprovází mechanickou kontrakci buňky stimulovanou elektrickým proudem. Základní komponenta bioelektrických signálů. Klidový potenciál depolarizace repolarizace. Akční potenciál se šíří po axonu směrem k synapsím (nervové buňky) nebo po svalovém vláknu. Např. nervové buňky generují max. asi 1000 impulsů za sekundu, srdeční mohou generovat další impuls až po 150-300ms Akční potenciál dané buňky je vždy stejný, stejná napětí ( vše, nebo nic ). (obr. 1) Elektroneurogram (ENG) Elektroneurogram je grafické vyjádření stimulu a následného souhrnného akčního potenciálu v nervu. Amplituda do 10 mv, frekvence do 1 khz Může být použit k měření rychlosti šíření stimulu nebo akčního potenciálu v nervu pomocí např. jehlových elektrod. 3
Typické rychlosti šíření 45-70 m/s v nervových vláknech 0.2-0.4 m/s v srdečním svalu 0.03-0.05 m/s ve zpožďovacích vláknech mezi srdeční předsíní a komorou Některá nervová onemocnění mohou být provázena změnou rychlosti šíření. Elektromyogram (EMG) Záznam elektrické aktivity, která vychází ze svalových vláken. Složení svalu: Sval pohybové jednotky každá jednotka se skládá z: nervová buňka motoneuron, její nervový výběžek a svalová vlákna inervovaná tímto výběžkem. Pohybové jednotky velkých svalů pro hrubší pohyby obsahují stovky vláken, zatímco svaly pro přesné pohyby méně. Pohybová jednotka stimulovaná nervovým signálem se stahuje a generuje elektrický signál, který je souhrnem akčních potenciálů buněk (SMUAP - single-motor-unit action potential). SMUAP bývá dvou až třífázový, 3-15ms, 100-300µV. EMG je součet či řetězec SMUAPů. Tvar EMG (SMUAP) závisí na typu elektrod, jejich pozici a projekci elektrického pole na elektrody. Může být ovlivněn různými nemocemi. (obr. 2) Elektrokardiogram (EKG) Elektrický projev srdeční aktivity získaný povrchovými elektrodami. Amplituda do 1 mv, frekvence do 150 až 500 Hz Srdce dvě předsíně a dvě komory. Odpočinková a plnící fáze diastola, kontrakce systola. Srdeční tep (normálně 70 bpm, max. až 200 bpm) je kontrolován SA (sinoatriálním) uzlem. Sekvence událostí: 1. Signál z SA uzlu. 2. Pomalé šíření elektrické aktivity srdečním svalem způsobující pomalý stah předsíně (P vlna). 3. PQ segment, zpoždění řízené AV uzlem. Pauza pomáhá k dokončení toku krve z předsíní do komor. 4. Hisův svazek a Purkyňova vlákna šíří vysokou rychlostí stimul do komor. 5. Rychlá depolarizace (kontrakce) komor, QRS komplex, dvou nebo třífázový, amplituda 1 mv, trvání kolem 80ms. 6. Relativně dlouhý akční potenciál svalových buněk srdečních komor (300-350 ms) způsobuje isoelektrický ST segment délky 100-120 ms po QRS. 7. Repolarizace (uvolnění) komor způsobuje pomalou T vlnu, 120-160 ms. (obr. 3) Změny vůči normálnímu srdečnímu rytmu se nazývají arytmie, existuje jich velká řada. Měření EKG: 4
Standardní 12ti svodové EKG má 4 končetinové a 6 hrudních svodů. Referenční elektroda: pravá noha. Bipolární svody na levé a pravé ruce a levé noze se postupně značí I, II a III. Wilsonova centrální svorka: kombinace svodů na levé a pravé ruce a levé noze a je použita jako referenční pro hrudní svody. Zesílené unipolární svody avr a avl (L a R ruka), avf (L noha) jsou získány odpovídající elektrodou vztažené k Wilsonově centrální svorce Tzv. Einthovenův trojúhelník. Hrudní svody: V 1,..., V 6. (obr. 4 a 5) Fetální EKG: EKG plodu v těle matky, amplituda do 100µV, frekvence do 150 Hz Pulzní saturace (SpO2) Pulsní oxymetrie je neinvazivní, opticko-elektronická metoda, měřící v pulsující části arteriální krve procentuální saturaci arteriální krve kyslíkem. SpO2 udává procentuální poměr mezi množstvím hemoglobinu právě navázaného s O 2 a hemoglobinu schopného vázat O 2. Častý způsob měření: prosvěcování prstu pacienta. Intenzita průchozího světla se mění s hustotou arteriální krve. Elektroencefalogram (EEG) Snímá elektrickou aktivitu mozku standardně 10-20 elektrodami na hlavě. Velmi slabý signál, řádově desítky µv. Velmi složitá data akční potenciály milionů neuronů. Součet rozličné aktivity mnoha malých zón kortikální vrstvy pod elektrodou. Data zpracovány 75 Hz low-pass filter. Nejznámější periodické aktivity v EEG (rytmy): Delta: 0.5 f < 4Hz a Theta: 4 f < 8Hz identifikátory různých spánkových stadií. V bdělém stavu u dospělých jsou patologickým příznakem. Alfa: 8 f < 13Hz u dospělých v occipitální oblasti hlavy při zavřených očích. Beta: f > 13Hz běžná aktivita v napjatém či nějak uzkostlivém stavu. Chybí-li abnormalita. ERP - Event-Related Potencial, Evokované potenciály Technika při které se používá přesně definovaná stimulace pro excitaci příslušného mozkového (nervového) analyzátoru a následně se měří EEG nebo ENG reakce. Stimulace: zrakové, sluchové, elektrické, somatosenzorické. ERP mohou mít krátkou nebo dlouhou latenci (zpoždění reakce). První mohou záviset na vlastnostech stimulace, druhé zase více na podmínkách, za kterých jsou pořizovány. PCG - akustický srdeční pulz, též fonokardiogram Nejznámější biosignál - poslouchán fonendoskopem (stetoskopem). Akustický čili mechanický signál. 5
Zvukové projevy tlaku v celém kardiovaskulárním systému. Nikoliv pouze pohyb srdeční chlopně jak se původně myslelo. Chová se tedy jako nafouknutý balónek. Měření mikrofony, tlakové senzory, čidla zrychlení apod. Diagnostika: šelesty. Hlavní části: S1 a S2. S1: kontrakce komor a) pohyb krve směrem ke komorám utěsněné AV chlopní b) náhlé napětí uzavřené AV chlopně zadržující krev c) otevření chlopní a vypumpování krve z komor, S2 po systolické pauze: uzavření půlměsícových chlopní a) srdeční b) plicní. Někdy může být slyšet i S3 odpovídající náhlému ukončení plnící fáze komory (hluboké frekvence). Frekvenční rozsah S1: 15-800 Hz, S2: 25-800 Hz, S3 a S4: 10-40 Hz (obr. 6) CP - karotický pulz Další Signál vzniká měřením tlaku v krkavici na krku v místě, kde prochází blízko povrchu těla. Signál je vhodným doplňkem PCG. Vzniká vypuzením krve z levé komory do aorty. Vrcholem vzniká vlna P, následná rovina křivky T způsobená odrazem pulzu z horní části těla, uzávěr srdeční chlopně - stupínek D a odraz pulzu z dolní části těla DW. (obr. 6) EOG Elektrookulogram, amplituda do 10 mv, frekvence do 100 Hz EGG elektrogastrogram. Depolarizace a repolarizace hladké svaloviny ze střední části žaludku. Ne každá aktivita však odpovídá kontrakcím žaludku. Diagnostický potenciál EGG není zcela potvrzen. VMG vibromyogram. Mechanický projev kontrakce svalů (vibrace) doprovázející EMG. VAG vibroarthrogram. Vibrace kolenního kloubu během pohybu. OAE otoakustická emise. Akustická energie vydávaná Cortiho orgánem (hlemýžď středního ucha): spontánní nebo odezva na akustickou stimulaci. 1.3 Cíle analýzy biologických signálů sběr informací diagnostika léčba, řízení vyhodnocování (např. účinnosti léčby) Způsoby získávání dat invazivní - neinvazivní (umístění čidel uvnitř nebo vně těla) aktivní - pasivní (stimulace nebo bez) Důležité vlastnosti měřící techniky izolace subjektu - odstranění nebezpečí úrazu elektřinou rozsah operací, parametrů, signálů 6
citlivost linearita hystereze - závislost stavu na stavech předchozích může způsobovat odchylku v měření frekvenční odezva - různá citlivost na frekvence stabilita - opakovatelnost pokusů poměr signál/šum signal-to-noise ratio (SNR) přesnost 1.4 Hudební signály Zdroje signálů: senzory mikrofony - dynamické, kondenzátorové, lampové snímače - magnetické, piezoelektrické generátory - syntezátor 7
2 Frekvenční analýza signálů a filtry - opakování 2.1 Diskrétní Fourierovy transformace DTFT signálu x[n], n Z X F (θ) = + n= Je-li x[n] konečný délky N, n = 0,..., N 1, pak x[n]e inθ, θ ( π, π] X F (θ) = N 1 n=0 x[n]e inθ, θ ( π, π]. DFT je definovaná pro konečný signál N hodnotami X F (θ) rovnoměrně rozmístěnými na intervalu θ [0, 2π), tedy v bodech θ k = k 2π N, k = 0,..., N 1, tedy Rychlý výpočet DFT: FFT X[k] = N 1 n=0 x[n]e ink 2π N, k = 0,..., N 1. Prodloužení signálu x[n] o M nul: DTFT X F (θ) zůstává stejná, ale DFT se mění tím, že vyhodnocuje DTFT v N + M bodech, tedy dojde k jemnějšímu dělení intervalu [0, 2π). DFT využíváme k neparametrickému odhadu spektra, nejčastěji metodou okének (Welchova metoda). 2.2 Parametrické odhady spektra Předpokládáme, že signál má vlastnosti učitého modelu a odhadujeme parametry modelu, které potom určují spektrum. Autoregresní model řádu p: signál x[n] splňuje x[n] = p a k x[n k] + u[n], k=1 kde u[n] je bílý šum s rozptylem (energií) σ 2. Signál x[n] tedy chápeme jako bílý šum filtrovaný allpole filtrem. Spektrální charakteristika filtru (určeného koeficienty a 1,..., a p ) je tedy stejná jako spektrum signálu. Spektrum signálu je tedy rovno S p AR (ω) = σ 2 p k=0 a ke iωk 2, kde a 0 = 1. Koeficienty a 1,..., a p lze odhadovat mnoha způsoby (nejčastěji autokorelační metodou s použitím Levinson-Durbinova algoritmu). Další modely: MA (moving averages), ARMA Výhodou parametrických odhadů je větší přesnost a schopnost odhadovat spektrum i z krátkého záznamu signálu (odhadujeme malý počet parametrů). Nevýhodou je závislost na předpokladu, že signál daný model splňuje. 8
2.3 Obecné vlastnosti LTI systémů a filtrů LTI systém (diskrétní) se vstupním signálem x[n] a výstupním signálem y[n]: y[n] = + k= h[k]x[n k], kde h[n] je impulzní odezva systému Přenosová funkce: Z-transformace H(z) = + k= h[k]z k, kde z C, konkrétněji z ROC, kde ROC (Region-of-convergence) je oblast konvergence řady DTFT transformace: H F (θ) = H(e iθ ) = + k= h[k]e ikθ, θ ( π, π] Vzorkovací teorém: θ = ωt s = 2π f f s Obecné vlastnosti: stabilní (ROC obsahuje jednotkovou kružnici - existuje DTFT) nestabilní kauzální (ROC obsahuje ) nekauzální h[n] konečná (FIR) nekonečná (IIR) Filtr: Stabilní LTI systém nazýváme filtr. 2.4 Specifikace filtru H F (θ) = H F (θ) e iψ(θ), kde H F (θ) je magnituda filtru (v decibelech 20 log 10 ( H F (θ) )) a ψ(θ) je fáze { arctan2(i[h F (θ)], R[H F (θ)]) H F (θ) 0 ψ(θ) = nedefinovaná H F (θ) = 0, kde arctan2(y, x) = α, α ( π, π], kde platí cos(α) = x a sin(α) = y. x2 +y 2 x2 +y 2 2.5 Kauzální filtry s reálnými koeficienty a racionální přenosovou funkcí Zkratka: RCSR filtr (real, causal, stable, rational) Vztah mezi vstupním signálem x[n] a výstupním signálem y[n] popsán diferenční rovnicí y[n] + a 1 y[n 1] + + a p y[n p] = b 0 x[n] + b 1 x[n 1] + + b q x[n q] V Matlabu příkaz filter Přenosová funkce je racionální v proměnné z 1 H(z) = b 0 + b 1 z 1 + + b q z q 1 + a 1 z 1 + + a p z p = b(z 1 ) a(z 1 ), kde a p 0 a b q 0. Jelikož je filtr kauzální (vyplývá z tvaru diferenční rovnice), ROC je určena největším pólem v absolutní hodnotě (začátek ROC) a nekonečnem. Proto chceme-li, aby byl zároveň i stabilní, musí ROC obsahovat jednotkový kruh a tedy největší pól musí mít menší velikost než jedna. Jinými slovy všechny póly musí ležet uvnitř jednotkového kruhu. Póly přenosové funkce H(z) jsou kořeny polynomu a(z 1 ), které zároveň nejsou kořenem b(z 1 ), anebo jsou-li kořenem b(z 1 ) potom nižšího řádu než v a(z 1 ). Analogicky definujeme nuly H(z) jako kořeny b(z 1 ). 9
Platí: DTFT transformaci RCSR filtru lze vyjádřit ve tvaru H F (θ) = A(θ)e iφ(θ), kde A(θ) je reálná (kladná i záporná) funkce, kterou nazýváme amplitudou a φ(θ) je fáze spojitá v proměnné θ 2.6 Specifikace filtrů podle magnitudy Ideální charakteristiky nelze dosáhnout pomocí RCSR filtru Př. Low-pass (LP) filtr: rozsah v propustném pásmu 1 ± δ, hranice propustného pásma θ P, hranice nepropustného pásma θ S, tolerance v nepropustném pásmu δ S Analogicky definujeme high-pass, band-pass, band-stop, multi-band 2.7 Specifikace filtrů podle fáze 2.7.1 Lineární fáze Př. h[n] = δ[n L], H(z) = z L, H F (θ) = e iθl = φ(θ) = Lθ Myšlenka: V pásmu, kde je φ(θ) lineární je vstupní signál pouze zpožděn o L vzorků, tedy nemění se jeho tvar Pro obecný filtr definujeme fázové zpoždění Filtr s lineární fází má konstantní fázové zpoždění 2.7.2 Zobecněná lineární fáze τ p (θ) = φ(θ) θ Zobecněná lineární fáze: φ(θ) = φ 0 θτ g, kde φ 0 je konstanta a τ g nazýváme skupinové zpoždění Pro obecné filtry definujeme skupinové zpoždění jako funkci θ (je-li φ(θ) diferencovatelná) τ g (θ) = dφ(θ) dθ Filtr se zobecněnou lineární fází má konstantní skupinové zpoždění Pro RCSR filtr s lineární (zobecněnou) fází platí Má konečnou impulsní odezvu (je FIR) Fázové nebo skupinové zpoždění je rovno polovině jeho řádu N Filtr je buď symetrický, tedy h[n] = h[n n] a platí φ 0 = 0 antisymetrický, tedy h[n] = h[n n] a platí φ 0 = π 2 10
2.7.3 Filtry s minimální fází Je-li β nulou RCSR filtru, pak lze filtr upravit tak, že nulu β zaměníme za β 1 aniž bychom změnili magnitudu filtru Platí: Filtr, který má všechny nuly uvnitř jednotkového kruhu, má menší skupinové zpoždění než filtry, které mají stejnou magnitudu ale některé nuly vně jednotkového kruhu Takový filtr má tedy minimální skupinové zpoždění, avšak nazývá se filtr s minimální fází Vytvoření filtru s minimální fází 1. Navrhneme filtr 2. Nalezneme jeho nuly 3. Zaměníme jeho nuly tak, aby byly všechny uvnitř jednotkového kruhu a adekvátně nastavíme zesílení Má-li FIR filtr (zobecněnou) lineární fázi, pak platí H(z 1 ) = ±z N H(z) = je-li β nulou tohoto filtru, pak nutně také β 1 je jeho nulou = má-li mít tento filtr zároveň minimální fázi, pak nutně leží všechny jeho nuly na jednotkovém kruhu 2.7.4 All-pass filtry All-pass filtr splňuje H F (θ) = 1, tedy signál po průchodu tímto filtrem má změněnou pouze fázi Příklad all-pass filtru prvního řádu: H(z) = a z 1, a < 1 1 az 1 Podmínka a < 1 je nutná, aby měl filtr pól a uvnitř jednotkového kruhu (kauzální a stabilní). Má-li být zároveň all-pass, pak k danému pólu musí mít nulu a 1, která je tím pádem vně jednotkového kruhu. All-pass filtr má tedy maximální fázi (všechny nuly vně jednotkového kruhu) RSCR all-pass filtr se nutně skládá z několika all-pass filtrů prvního řádu H(z) = p k=1 α k z 1 1 α k z 1 11
3 Metody navrhování FIR filtrů s lineární fází Typy FIR filtrů s lineární (zobecněnou) fází (jiné možnosti FIR filtrů nejsou): Typ I. τ g = M, φ 0 = 0, řád N sudý, h[n] symetrická, hodí se na LP, HP, BP, BS a multiband Typ II. τ g = M + 0.5, φ 0 = 0, řád N lichý, h[n] symetrická, hodí se na LP, BP Typ III. τ g = M, φ 0 = π 2, řád N sudý, h[n] antisymetrická, hodí se na aproximování diferenciátorů a Hilbertových transformátorů Typ IV. τ g = M + 0.5, φ 0 = π 2, řád N lichý, h[n] antisymetrická, hodí se na aproximování diferenciátorů a Hilbertových transformátorů Filtry s minimální fází: nuly pouze na jednotkovém kruhu: tzv. NOTCH a COMB filtry 3.1 Filtr s ideální charakteristikou Amplitudová charakteristika A(θ) = { ±1 θ je v propustném pásmu 0 jinak Fázi si můžeme zvolit chceme (zobecněnou) lineární, tedy obecně µ = 0 typ I. nebo II. µ = 1 typ III. nebo IV. e iφ(θ) = e i(µ π 2 1 2 Nθ) Poznámka: Lineární fázi ideálního filtru v podstatě volíme buďto nulovou (e i0 = 1) nebo π 2 (ei π 2 = i). V prvním případě jsou A(θ) a h[n] symetrické a v druhém antisymetrické (ovšem h[n] kolem n = 0). Přídáním e i N 2 θ, tj. vynásobením H F (θ), provedeme de facto posun středu symetrie h[n] o N 2 vzorků doprava (aby zkrácený filtr byl kauzální) 3.2 Návrhy filtrů metodou zkracování ideální impulzní odezvy 1. Zvolíme A(θ) 2. Zvolíme typ filtru (I., II.,... ) 3. Zvolíme řád filtru. Pak H F (θ) = A(θ)e i(µ π 2 N 2 θ) 4. Spočteme ideální impulsní odezvu inverzní DTFT h i [n] = 1 2π π π A(θ)e i(µ π 2 N 2 θ) e iθ dθ 5. Zkrátíme odezvu h[n] = { h i [n] 0 n N 0 jinak Poznámka: Většinou je A(θ) po částech konstantní, takže integrál v inverzní DTFT je jednoduchý (integrace funkce e x ) 12
Příklad: LP, HP nebo BP filtr, Zvolíme typ I., takže N je sudé, A(θ) = H F (θ) = { ±1 θ 1 θ θ 2 0 jinak { ±e i N 2 θ θ 1 θ θ 2 0 jinak Ideální impulzní odezva tedy je ( h i [n] = 1 θ1 ) θ2 e θi(n N 2 ) dθ + e θi(n N 2 ) dθ 2π θ 2 θ 1 1 ( = 2πi(n N 2 ) e θ1i(n N 2 ) e θ2i(n N 2 ) + e θ2i(n N 2 ) e θ1i(n N )) 2 Př: LP filtr = θ 1 = 0 1 ( = 2i 2πi(n N 2 ) sin(θ2 (n N/2)) 2i sin(θ 1 (n N/2)) ) 1 ( = sin(θ2 (n N/2)) sin(θ 1 (n N/2)) ) π(n N/2) h[n] = { sin(θ2(n N/2)) π(n N/2) 0 n N, n N 2 θ 2 π n = N 2 Roste-li řád filtru N +, pak víme, že se frekvenční charakteristika zkráceného filtru blíží ideálu. Jelikož však ideální frekvenční charakteristika není spojitá, nastává v bodech její nespojitosti tzv. Gibbsův jev. Jak je vidět v následujícím grafu, kde θ 1 = 0 a θ 2 = π/4, rozkmit amplitudy filtru zůstává v bodě nespojitosti stále velký i když řád filtru zvětšujeme. 1.4 1.2 1 N=10 N=100 N=1000 A(θ) 0.8 0.6 Gibbsuv jev 0.4 0.2 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 θ 3.3 Návrhy filtrů metodou okének 1. Navrhneme toleranční rozsahy θ p a θ s pro každý přechod z propustného do nepropustného pásma a ideální odezvu definujeme tak, že hranou přechodu je střed (θ p + θ s )/2 2. Navrhneme impulsní odezvu h[n] metodou zkracování 13
3. Upravíme impulsní odezvu h[n] = { h i [n]w[n] 0 n N 0 jinak Vlastnosti okénkovací funkce w[n]: symetrická a kladná = zachovává (zobecněnou) lineární fázi filtru násobení w[n] v časové oblasti (okénkování) znamená konvoluci ve frekvenční oblasti: H F (θ) 1 2π {W F H F }(θ) = 1 2π + W F (λ)h F (θ λ)dλ = low-pass filtrace frekvenční charakteristiky H F (θ) vyhlazení charakteristiky způsobené Gibbsovým jevem (viz předešlý a následující obrázek po použití Hanningova okénka) 1.4 1.2 1 N=10 N=100 N=1000 A(θ) 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 θ Odhad řádu filtru pro splnění jeho detailních vlastností dle požadavků (rozsahy tolerance v propustných a nepropustných pásmech) vyžaduje detailní analýzu vlastností dané okénkovací funkce (viz. např. v Matlabu společné použití příkazů fir1, okénka kaiser a odhadu řádu kaiserord) 14
4 Návrhy IIR filtrů Postup návrhu IIR filtrů: Návrh analogového LP filtru Transformace na LP, HP, BP, BS analogový filtr Transformace na digitální filtr Analogové filtry: Dobře prozkoumaná oblast Zajímá nás především magnituda filtru, fázová charakteristika je u IIR filtrů až druhořadá (fáze RCSR IIR filtrů je nelineární) Většina návrhů (až na Čebyševův II. typu) má tvar H F (ω) 2 1 = ( ), ω 1 + Λ ω 0 kde Λ( ) > 0 je malá v propustném pásmu a velká v nepropustném pásmu Pozn. Určíme-li H F (ω) 2, je tím již určen součin Laplaceových transformací filtru H L (s)h L ( s), ale není ještě jednoznačně určena H L (s) (Laplaceova transformace analogového filtru). Póly součinu H L (s)h L ( s) jsou póly H L (s) a jejich obrazy přes imaginární osu. Má-li být H L (s) stabilní, všechny jeho póly musí být na levé polorovině (záporná reálná část). Tímto je potom H L (s) určena jednoznačně. 4.1 Butterworthův filtr kde N je řád. H F (ω) 2 1 = ( ) 2N, ω 1 + ω 0 ω ω 0 je monotonní funkce, takže i H F (ω) 2 je monotonní (nemá žádné kmity) - šikovná vlastnost Butterworthova filtru Jelikož s = iω, ω = s/i, dosazením dostáváme Póly filtru jsou H L (s)h L 1 1 ( s) = ( ) 2N = ( ) 2N s 1 + iω 0 1 ( 1) N s ω 0 s k = ω 0 e i (N+1+2k)π 2N, 0 k 2N 1, tedy symetricky kolem imaginání osy. Prvních N pólů je na levé polorovině. Má-li být filtr stabilní, pak Filtr nemá žádné nuly H L (s) = N 1 k=1 s k s s k Návrh Butterworthova analogového LP filtru podle specifických požadavků: Máme uživatelem zvolený konec propustného pásma ω p, začátek nepropustného pásma ω s, ω s > ω p, toleranci v propustném pásmu δ p a v nepropustném pásmu δ s. Naším úkolem je zvolit nejnižší možný řád filtru N a frekvenci ω 0, ω p ω 0 ω s, tak, aby tyto požadavky byly splněny. 15
Definujeme: d = k = ω p ω s (1 δ p ) 2 1 δ 2 s 1 Význam definované hodnoty d lze lépe vysvětlit následovně. Definujeme-li tolerance v decibelech pak platí A p = 10 log 10 (1 δ p ) 2 A s = 10 log 10 δ 2 s, d = Z významu zadaných parametrů musí platit nerovnosti 10 0.1Ap 1 10 0.1As 1. 1 2 ( ) 2N (1 δ p ) ωp 1 + ω 0 1 + 1 ( ω s ω 0 ) 2N δ 2 s Úpravami dostáváme ( ωp ) 2N (1 δ p ) 2 1 Sloučením těchto nerovností dostáváme ( ) 2N ωs Tedy musí platit ω p ω 0 ( ωs ω 0 ) 2N δ 2 s 1 δ 2 s 1 (1 δ p ) 2 1 ( ) 2N 1 = 1 k d 2 N ln(1/d) ln(1/k). N musí být celé a proto zvolíme nejmenší takové splňující tuto podmínku. Zbývá zvolit frekvenci ω 0. Pro tuto volbu N lze ukázat, že musí platit ω p [ (1 δp ) 2 1 ] 1/(2N) ω0 ω s [ δ 2 s Postup návrhu Butterworthova analogového LP filtru 1. Spočteme d a k podle zadaných parametrů 2. N = ln(1/d) ln(1/k) (tyto závorky značí zaokrouhlování nahoru) 3. Zvolíme ω 0 tak, aby splňovala výše uvedenou nerovnost. 4. Spočteme póly 5. Filtr je určen Laplaceovou transformací s k = ω 0 e i (N+1+2k)π 2N, 0 k N 1 H L (s) = N 1 k=1 s k s s k. 1 ] 1/(2N) 16
4.2 Další analogové filtry Čebyševův I. typu: H F (ω) 2 = 1 1 + ɛ 2 T 2 N ( ω ω 0 ), kde T N (x) je Čebyševův polynom N-tého řádu. Čebyševův II. typu: Eliptický: H F (ω) 2 = ɛ2 T 2 N ( ω ω 0 ) 1 + ɛ 2 T 2 N ( ω ω 0 ) H F (ω) 2 = 1 1 + ɛ 2 R 2 N ( ω ω 0 ), kde R N (x) je Čebyševova racionální funkce N-tého stupně. Vlastnosti: Butterworth Čebyšev I. Čebyšev II. Eliptický propustné p. monotonní RZ monotonní RZ nepropustné p. monotonní monotonní RZ RZ nuly žádné žádné řád N ln(1/d) ln(1/k) N arccosh(1/d) arccosh(1/k) N arccosh(1/d) arccosh(1/k) N K(k2 )K(1 d 2 ) K(1 k 2 )K(d 2 ) RZ = rovnoměrně zvlněný K(m) = π/2 0 (1 m sin 2 (x)) 1/2 dx, v Matlabu funkce ellipke 4.3 Transformace LP filtru na LP, HP, BP a BS Mějme racionální funkci f( ) sloužící k přechodu od proměnné s k s Ve frekvencích s = iω, s = i ω, tzn. ω = if(i ω) s = f( s) Laplaceova a Fourierova transformace transformovaného filtru H L ( s) = H L (s) s=f( s) H F ( ω) = H F (ω) ω= if(i ω) Podstata myšlenky: je-li nová proměnná ω v propustném pásmu ztransformovaného filtru, pak transformace f( ) musí fungovat tak, aby ω byla v propustném pásmu původního filtru a naopak. f( ) musí zachovávat stabilitu a být co nejnižšího řádu, aby nezvyšovala řád ztransformovaného filtru. Používané transformace: LP LP: s = s ω c, ω = ω ω c (roztahuje či ztahuje frekv. osu podle ω c ) LP HP: s = ωc s, ω = ωc ω LP BP: s = s2 +ω l ω h s(ω h ω l ), ω = ω2 ω l ω h ω(ω h ω l ), kde ω h > ω l 17
LP BS: s = s(ω h ω l ) s 2 +ω l ω h, ω = ω(ω h ω l ) ω l ω h ω 2 Příklad postupu návrhu HP filtru z LP filtru: Volba ω c > 0, např. ω c = 1 Specifikace HP filtru ω p, ω s, δ p, δ s převedeme na δ p = δ p, δ s = δ s, ω p = ωc ω p, ω s = ωc ω s Navrhneme LP filtr podle ω p, ω s, δ p, δ s Z H L (s) vytvoříme H L ( s) 4.4 Digitalizace analogového filtru Uvedeme zde pro úplnost a pochopení podstaty tři metody digitalizace, z nichž první dvě se prakticky nepoužívají. 4.4.1 Metoda vzorkování impulzní odezvy 1. Vypočteme inverzní Laplaceovu transformaci navržené přenosové funkce H L (s), čímž získáme impulzní odezvu analogového filtru h(t) 2. Vzorkujeme h(t), h[n] = T s h(nt s ) 3. Spočteme Z-transformaci h[n], čímž odvodíme koeficienty a k a b k digitálního filtru pro jeho realizaci Vlastnosti: Zachovává racionalitu přenosové funkce, tedy realizovatelnost filtru. Má-li jmenovatel H L (s) vyšší řád než čitatel, pak metoda zachovává řád i stabilitu. Nezachovává obecně požadované vlastnosti filtru. Aproximace je závislá na T s Analogické vlastnosti související se vzorkovacím teorémem aliasing 4.4.2 Metoda zpětné diference Myšlenka: H L (s) = s má v Laplaceově transformaci význam derivace. nahradíme diferencí, tedy provedeme substituci Pro převod do Z-transformace ji Vlastnosti: Zachovává řád filtru i stabilitu. s 1 z 1 T s Aby metoda přenášela požadované vlastnosti analogového filtru, kterých jsme dosáhli jeho návrhem, na filtr digitalizovaný, potřebujeme, aby se transformací mapovala imaginární osa s-roviny (H L (s) na imaginární ose je rovna Fourierově transformaci) na jednotkový kruh z-roviny. Sledujme tedy co dělá metoda zpětné diference: Komplexní číslo s lze psát jako s = σ + iω. Pro σ = 0 dává transformace z = 1 1 iωt s z 1 2 = 1 + iωt s 2(1 iωt s ) z 1 2 = 1 2 Imaginární osa se tedy mapuje na kruh o středu 1 2 a poloměru 1 2. Metoda tedy obecně nezachovává požadované vlastnosti filtru. Př.: Po transformaci HP analogového filtru vznikne filtr, který má všechny póly v levé polorovině Z-roviny. Digitalizovaný filtr tedy nebude HP. 18
4.4.3 Bilineární transformace Definovaná substitucí Vlastnosti: s 2 T s z 1 z + 1 Metoda zachovává stabilitu a počet pólů. Transformace mapuje levou polorovinu s-roviny na jednotkový kruh z-roviny, přičemž imaginární osu mapuje na z = 1 zachovává vlastnosti a hodí se na všechny typy filtrů. Lze odvodit, že pro s = σ + iω, σ = 0 z = 1 + i 1 2 ωt s 1 i 1 2 ωt = e iθ, s kde θ = 2 arctan(0.5ωt s ), což je transformace, která mapuje ω (, + ) θ ( π, π) (viz vlastnosti funkce arctan) Ze znalosti tohoto vztahu mezi θ a ω se nabízí možnost navrhovat nejprve hraniční frekvence podle navrhovaného digitálního filtru. Tedy např. podle specifikace θ p vypočítat ω p = 2 ( ) θp tan T s 2 Shrnutí postupu návrhu digitálního IIR filtru pomocí bilineární transformace: 1. Hraniční frekvence pásem požadovaného digitálního filtru přepočteme podle vztahu ω = 2 T s tan ( θ 2). 2. Navrhneme analogový filtr podle přepočtených specifikací, resp. jeho přenosovou funkci H L (s). 3. Transformujeme H L (s) pomocí bilineární transformace. 4.4.4 Fázová charakteristika IIR filtrů RCSR IIR filtr má nelineární fázi. Skupinové zpoždění může mít nejvíce dramatický průběh právě v propustném pásmu každá propuštěná frekvence má jiné zpoždění. To způsobuje zkreslení tvaru zpracovaného signálu, což může být nežádoucí např. při zpracování biologických signálů (EKG - změna tvaru QRS komplexu) Zkreslení zpracovaného signálu je nejmenší má-li filtr co nejvíce konstantní zpoždění v propustném pásmu (v Matlabu příkaz grpdelay). 19
5 Základní kritéria pro porovnávání signálů Zde budeme uvažovat pouze reálné signály. Zobecnění na signály komplexní je jednoduché. Uvažujme dva signály x a y, jejich naměřené vzorky x[n] a y[n], n = 1,..., N. Smyslem kapitoly je vysvětlit si souvislosti a významy hodnot jako jsou Ĉ xx = σ 2 x = 1 N Ĉ xy = 1 N N x[n] 2 n=1 N x[n]y[n]. n=1 První veličina má význam energie signálu x, druhá je tzv. odhadem korelace signálů x a y. Způsob značení těchto hodnot je standardní ve statistice a jeho logika postupně vyplyne. Např. znak se stříškou ve statistice značí odhad. 5.1 Signály jako vektory Každý signál si lze představit jako vektor, jehož prvky jsou vzorky signálu. Vektory značíme malým tučným písmenem, vektor je standardně sloupcový. Signály x a y můžeme reprezentovat jako x[1] y[1] x[2] y[2] x =. x[n] y =. y[n] Standardní skalární součin vektorů, značíme x, y, je dle definice roven zároveň pomocí maticového násobení platí Norma vektoru (velikost) je definovaná x, y = N x[n]y[n], n=1 x, y = x T y = y T x. x 2 = x, x =. N x[n] 2 = x T x. n=1 Vidíme, že hodnoty Ĉxx a Ĉxy se liší pouze násobením konstantou 1/N Ĉ xx = 1 N x 2 Ĉ xy = 1 x, y, N tedy význam Ĉxx a Ĉxy můžeme vysvětlovat podle významu a vlastností skalárního součinu vektorů. Platí x a y jsou lineárně nezávislé x = αy tedy x = αy tedy jeden signál je roven α-násobku druhého Schwarzova nerovnost říká, že x, y x y, kde rovnost nastává tehdy a jenom tehdy jsou-li x a y lineárně závislé x a y jsou kolmé x, y = 0. 20
Naším závěrem tedy může být, že C xy je v absolutní hodnotě o to větší, čím více jsou x a y lineárně závislé. Př. Nechť x a y jsou náhodně a nezávisle vygenerované vektroy podle nějakého spojitého pravděpodobnostního rozložení (např. Gaussova) s nulovou střední hodnotou. Pak x a y jsou lineárně závislé s nulovou pravděpodobností (pravděpodobnost, že oba vektory leží na jedné přímce) Čím delší vektory generujeme (čím větší N), tím je tato pravděpodobnost menší, protože dimenze prostoru se zvětšuje. 5.2 Náhodné signály jako náhodné veličiny Nechť X a Y jsou náhodné veličiny s pravď. hustotami rozložení f X a f Y a sdruženou hustotou f XY. (Hodnota f X (x) je úměrná koncentraci pravděpodobnosti, že X je rovné x. Podobně f XY (x, y) odpovídá pravděpodobnosti, že X je rovné x a zároveň Y je rovné y.) Základní charakteristiky náhodných veličin jsou střední hodnota X: E[X] = R xf X(x)dx rozptyl X: E[(X E[X]) 2 ] = R (x E[X])2 f X (x)dx = σx 2 = C XX korelace X a Y : E[XY ] = R R xyf XY (x, y)dxdy kovariance X a Y : E[(X E[X])(Y E[Y ])] = R R (x E[X])(y E[Y ])f XY (x, y)dxdy = C XY Vidíme, že kovariance odpovídá korelaci X a Y s odečtenými středními hodnotami. Budeme od nyní proto pro jednoduchost předpokládat, že E[X] = E[Y ] = 0. Platí: Jsou-li X a Y nezávislé, pak je jejich korelace (kovariance) nulová, tj. E[XY ] = 0. Tento fakt lze snadno odvodit na základě definice nezávislosti X a Y tj., že f XY (x, y) = f X (x)f Y (y). Připomeňme, že nezávislost jakožto pojem z teorie pravděpodobnosti odpovídá naší představě o tom, že nějaké veličiny či jevy (signály) mezi sebou nesouvisí. Lineární nezávislost je v tomto ohledu příliš konkrétní a nedostačující. Fakt, že jsou signály (jako vektory) lineárně nezávislé (jeden není násobkem druhého) ještě nemůže vypovídat o tom, že spolu nijak nesouvisí. V praxi ovšem skutečné hodnoty E[X], C xy, atd. neznáme, protože neznáme hustoty f X, f Y a f XY. K dispozici máme pouze naměřené vzorky signálů X a Y, které chápeme jako realizace X a Y (tedy to je náš model signálů). Hodnoty odhadujeme na základě zákona velkých čísel. X N = 1 N N x[n] n=1 Ĉ xx = σ 2 x = 1 N Ĉ xy = 1 N N x[n] 2 n=1 N x[n]y[n], n=1 (odhad E[X]) což jsou stejné hodnoty, které uvažujeme od začátku kapitoly. Důležitým závěrem je, že hodnota Ĉxy, která je odhadem C xy, je tím větší, čím více jsou X a Y závislé. Zde vidíme jednoduchou souvislost s předchozí podkapitolou. Hodnota Ĉxy je přímo úměrná hodnotě skalárního součinu x a y. Z lineární algebry známe, že skalární součin vektorů funguje jako kritérium lineární (ne)závislosti vektorů. Je-li skoro roven nule, pak jsou vektory skoro kolmé a tedy dokonale lineárně nezávislé a naopak. Odtud můžeme vidět jaká je souvislost mezi pojmy lineární nezávislost vektorů a nezávislost náhodných veličin. 21
Připoměňme, že pokud vychází Ĉ xy blízká nule, a tedy indikuje, že C xy = 0, pak z toho neplyne, že X a Y jsou nezávislé. Říkáme pouze, že jsou nekorelované. Skalární součin x a y je tedy pouze kritérium (ne)korelovanosti. V praxi, chceme-li zjistit jsou-li X a Y nezávislé, pak nám často stačí posouzení hodnoty Ĉ xy. V analýze nezávislých komponent, která bude látkou v jedné z dalších kapitol, je však podmínka Ĉxy 0 pouze nutnou podmínkou nezávislosti. Pravidla tedy zní avšak 5.3 Stacionární náhodné procesy X a Y jsou korelované X a Y jsou závislé X a Y jsou nezávislé X a Y jsou nekorelované X a Y jsou nekorelované X a Y jsou nezávislé Zde budeme uvažovat tento obecnější model náhodného signálu, který již není charakterizován jedinou náhodnou veličinou, ale posloupností náhodných veličin. Charakterizuje ho další důležitá veličina autokovarianční funkce, která je přímo souvisí s jeho spektrem. Autokovarianční funkce procesu (signálu) x, nebo zkráceně autokovariance, je definovaná jako C xx [τ] = E[(x[n] E[x[n]])(x[n + τ] E[x[n + τ]])]. Opět budeme pro jednoduchost předpokládat, že střední hodnota x je nula, tedy E[x[n]] = E[x[n + τ]] = 0. Potom C xx [τ] = E[x[n]x[n + τ]]. Odhady těchto hodnot provádíme prakticky obdobně jako v předchozím. Teoretickým předpokladem je, že proces je tzv. ergodický. Odhad autokovariance je Ĉ xx [τ] = 1 N N x[n]x[n + τ], kde hodnoty x[n], kdy n přesahuje hodnoty 1 až N, nahrazujeme nulama. Pro dva procesy x a y definujeme tzv. vzájemnou kovarianci (cross-kovarianci) a její odhad jako n=1 C xy [τ] = E[x[n]y[n + τ]] Ĉ xy [τ] = 1 N x[n]y[n + τ]. N n=1 Obdobné souvislosti mezi pojmy skalární součin a kovariance jako v předchozích podkapitolách lze odvodit pomocí definice vektoru 0. k 0 x[k] = x[1]. x[2]. x[n k] Pak platí Ĉ xx [τ] = 1 N x[0]t x[τ] Ĉ xy [τ] = 1 N x[0]t y[τ]. 22
5.4 Metoda synchronizovaného průměrování Uvažujme případ, kdy máme k dispozici několik měření stejného signálu x. Každé měření obsahuje jiné zarušení a měření nejsou časově synchronizovaná. Signál získaný ktým měřením lze popsat jako y k [n] = x[n d k ] + ξ k [n], kde d k je neznámé zpoždění x vlivem nesynchronizovaného měření a ξ k je zarušení. Úkolem je získat co nejlepší odhad x ze všech měření y k. Jednoduchou úvahou dojdeme k předpokladům, že x a y k jsou závislé, protože nesou společnou informaci. Naopak x a ξ k jsou nezávislé, protože procesy způsobující rušení většinou nijak nesouvisí s procesy, které generují sledovaný signál (např. EKG a šum aparatury). Jako kritérium závislosti x a y k použijeme odhad jejich vzájemné kovariance Ĉxy[τ], jejíž hodnota by měla být největší když τ = d k. Dosazením dostaneme Ĉ xy [τ] = 1 N N x[n]y[n + τ] = 1 N n=1 N x[n](x[n d k + τ] + ξ k [n + τ]) = n=1 = 1 N x[n]x[n d k + τ] + 1 N x[n]ξ k [n + τ], N N n=1 n=1 } {{ } } {{ } Ĉ xx[τ d k ] Ĉ xξk [τ] 0 tedy vidíme, že hodnota je rovna součtu odhadů autokovarianční funkce x, jejíž hodnota je maximální když τ = d k, a vzájemné kovariance x a ξ k, která je rovna nule, protože x a ξ k jsou nezávislé. Metodu synchronizovaného průměrování provádíme v následujících krocích: 1. Zvolíme referenční měření, kterým de facto nahrazujeme nám neznámý signál x, např. zvolíme y 1. 2. Pomocí vzájemné kovariance postupně odhadneme vzájemná zpoždění signálů y 1 a y k, k = 2,.... 3. Pomocí odhadnutých zpoždění signály posuneme (synchronizujeme) a zprůměrujeme, čímž získáme odhad x. Zdůvodnění posledního kroku je následující. Předpokládejme, že y 1 a y 2 jsou již synchronizované, takže Jejich průměrem vznikne signál y 1 [n] = x[n] + ξ 1 [n] y 2 [n] = x[n] + ξ 2 [n]. y[n] = 1 2 (y 1[n] + y 2 [n]) = x[n] + 1 2 ξ 1[n] + 1 2 ξ 2[n]. Energie signálu y je rovna (stále předpokládáme nulovou střední hodnotu všech signálů) E[y[n] 2 ] = E[x[n] 2 ] + 1 4 E[ξ 1[n] 2 ] + 1 4 E[ξ 2[n] 2 ] + E[x[n]ξ 1 [n]] + E[x[n]ξ 2 [n]] + E[ξ 1 [n]ξ 2 [n]], } {{ } vzájemné kovariance nezávislých procesů=0 přičemž první člen odpovídá energii signálu x a další dva energiím rušení. Označme σx 2 = E[x[n] 2 ] a předpokládejme, že energie všech rušení je stejná tj., že E[ξ 1 [n] 2 ] = E[ξ 2 [n] 2 ] = σξ 2. Poměr signál/šum (Signalto-Noise Ratio - SNR) signálu y je roven SNR y = 2 σ2 x σξ 2. Stejný výpočet SNR y1, tj. signálu y 1, dává poloviční hodnotu SNR y. Obecně pokud bychom zprůměrovali M signálů y 1,..., y M, pak SNR výsledného signálu bude Mσx/σ 2 ξ 2. Vyjádřeno v decibelech ( ) 10 log 10 M σ2 x σ 2 ξ σx 2 = 10 log 10 M + 10 log 10 σξ 2, 23
takže průměrováním M synchronizovaných signálů zlepšíme SNR o 10 log 10 M decibelů. Příkladným použitím metody synchronizovaného průměrování je při zpracování EKG. Z krátkého záznamu extrahujeme několik QRS komplexů, provedeme jejich synchronizaci a zprůměrujeme. Získáme tak méně zašuměný nebo přesnější průběh QRS. Podobně se používá metoda při zpracovávání ERP. 24
6 Filtry minimalizující kvadratická kritéria Předchozí kapitoly se zabývaly návrhem filtrů, přičemž cílem bylo navrhnout filtr co nejlépe s ohledem na ideální frekvenční a fázovou charakteristiku. V této kapitole budeme filtr navrhovat podle jeho výstupu, je-li vstupem konkrétní signál. Navíc se posuneme za hranice LTI systémů, tedy filtrů, které se v čase nemění a budeme se zabývat návrhem tzv. adaptivních filtrů. Vstupní signál, který chceme zpracovat, budeme označovat x[n], n = 1,..., N. Výstup, čili signál zpracovaný, bude y[n]. Dále budeme d[n] označovat signál, který chceme zpracováním získat, a tedy y[n] by mu měl být co nejvíce podobný, ideálně roven. Rozdíl mezi y[n] a d[n] má význam chyby, které se v daný okamžik dopouštíme a budeme jí definovat signál e[n] = d[n] y[n]. Filtr, který budeme hledat, bude FIR délky L a jeho koeficienty (impulzní odezvu) budeme označovat w[k], k = 0..., L 1. Vztah mezi zpracovávaným signálem x a výstupním signálem y je tedy popsán Zavedeme-li vektory L 1 y[n] = w[0]x[n] + w[1]x[n 1] + + w[l 1]x[n L] = w[k]x[n k]. x n = x[n] x[n 1]. x[n L] můžeme vztah x a y popsat pomocí maticového součinu y[n] = w T x n. w = w[0] w[1]. w[l] Všechny filtry, které zde budeme uvažovat, jsou navrženy tak, aby minimalizovaly konkrétním způsobem kvadrát chybového signálu e[n]. Zavedeme kritérium, které je funkcí w (tedy funkcí L proměnných w[k], k = 0..., L 1, tj. koeficientů hledaného filtru) a je rovno kvadrátu chyby v časový okamžik n J n (w) = e[n] 2. Gradient J n (w), tj. vektor parciálních derivací podle jednotlivých složek w, lze zapsat vektorově Zavedeme označení J n (w) = 2x n d(n) + 2x n x T n w. R n = x n x T n p n = x n d[n],, k=0 pak gradient můžeme zapsat jako J n (w) = 2p n + 2R n w. 6.1 Least Mean Square (LMS) filtr Tímto filtrem (neadaptivním) minimalizujeme průměrný kvadrát chyby na daném časovém úseku n = n 1,..., n 2. Minimalizujeme tedy průměrnou hodnotu kritéria J n (w) na tomto intervalu, tedy minimalizujeme J n1,n 2 (w) = 1 n 2 n 1 + 1 n 2 n=n 1 J n (w) = 1 n 2 n 1 + 1 n 2 n=n 1 e[n] 2. Pro jednoduchost budeme uvažovat celý úsek dostupných dat. Tedy n 1 = 1 a n 2 = N a kritérium můžeme značit bez dolního indexu J(w) = 1 N e[n] 2. N 25 n=1
Derivace je lineární operace, takže gradient J(w) je roven průměru gradientů J n (w) a platí kde J(w) = 2p + 2Rw, R = 1 N p = 1 N N x n x T n n=1 N x n d[n]. n=1 Minimum kritéria J(w) vzhledem k w najdeme, když položíme gradient rovný nule, tj. J(w) = 0. Dostaneme řešení w = R 1 p. Aby měla předchozí rovnice smysl, musí inverze matice R existovat. Ta například nemusí existovat, pokud uvažujeme příliš krátký interval, kde filtr počítáme. Inverze např. neexistuje pokud filtr počítáme na intervalu délky jedna, protože pak R = R n a má hodnost 1. LMS filtr můžeme učinit adaptivním např. tak, že ho budeme počítat na každém bloku dat zvlášť. Z výše uvedených důvodů však musí být každý blok dostatečně dlouhý. Navíc se budeme muset vypořádat s nespojitými přechody mezi bloky, protože filtr se může měnit mezi bloky překotně. 6.2 Wienerův filtr LMS filtr bývá někdy nesprávně (nebo připusťme alespoň, že nepřesně) zaměňován s Wienerovým filtrem. Zde si vysvětlíme jak přesně je Wienerův filtr definován a jak s LMS filtrem souvisí. Předpokladem pro definici Wienerova filtru je, že signály x a d jsou slabě stacionární procesy, pro jednoduchost, s nulovou střední hodnotou. Z toho plyne, že i výstupní signál y a chybový signál e jsou slabě stacionární. V kritériu, které minimalizujeme, nahrazujeme aktuální hodnotu kvadrátu chyby e[n] její teoretickou střední hodnotou, takže kritérium definujeme jako J(w) = E[e[n] 2 ]. Jelikož je e slabě stacionární, je toto kritérium nezávislé na čase n. Z toho již můžeme chápat, že Wienerův filtr je filtr teoretický, zatímco LMS filtr je spočtený z aktuálně naměřených dat. Odvození Wienerova filtru je analogické odvození LMS filtru. Sumy počítající průměrné hodnoty nahradíme operátorem střední hodnoty E[ ] a vyjde w = R 1 p, kde R = E [ x n x T ] n p = E [ x n d[n] ]. Opět zde R a p nezávisí na čase, protože x a d jsou slabě stacionární. Hlubším náhledem můžeme vidět, že prvky R obsahují hodnoty autokovariance x, C xx [τ], a d obsahuje hodnoty vzájemné kovariance x a d, C xd [τ]. Kdybychom nyní postupovali opačně a odvozovali Wienerův filtr ze vzorků naměřených signálů, nahradili bychom střední hodnoty jejich odhady, a tedy operátor střední hodnoty aritmetickými průměry. Tím bychom dostali opět LMS filtr. Správný závěr tedy je, že LMS filtr je odhadem Wienerova filtru za předpokladu, že x a d jsou slabě stacionární. Zvětšujeme-li délku dostupných dat, pak LMS filtr konverguje k Wienerovu filtru. Pokud jsou x a d nestacionární (řeč, EEG), pak nemůžeme o Wienerovu filtru hovořit a LMS filtr obecně nekonverguje. Často lze ale předpokládat, že data jsou stacionární alepsoň na krátkých intervalech (řeč na intervalech max. délky 20-40ms). Tam tedy Wienerův filtr teoreticky existuje a LMS filtr je jeho odhadem. Čím je však interval kratší, tím je pochopitelně odhad teoreticky méně přesný. To se projevuje právě tím, že se LMS filtr vlivem odchylky překotně mění. 26
6.3 Adaptivní LMS filtr V předchozím jsme již zmínili možnost počítat LMS filtr po blocích a tím ho adaptovat na aktuální data. Problémem jsou však překotné změny, které se zvětšují čím více je interval krátký. Navíc nelze interval zkrátit na minimální délku kvůli invertibilitě matice R. Adaptivní LMS filtr je proto navržen jinak. Jeho cílem je upravit w tak, aby byla minimalizovaná aktuální hodnota chyby v čase n daná kritériem J n (w). Jelikož se tedy hodnota w mění v čase, zavedeme dolní index označující čas, tedy w n. Minimalizaci J n (w) nelze vyřešit položením gradientu rovný nule, protože, jak již bylo řečeno, taková soustava nemá řešení, protože R n nemá inverzi. Adaptivní LMS algoritmus proto provádí úpravu metodou největšího spádu w n+1 = w n µ J n (w), kde µ je délka kroku. Dosazením dostaneme krok w n+1 = w n µx n e[n], Metoda největšího spádu je iterační metoda pro hledání minima funkce. Provedením jedné její iterace tedy teoreticky zmenšíme chybu J n (w). V následujícím čase je již hodnota chyby J n+1 (w) jiná. Provedením jedné iterace tuto chybu opět zmenšíme atd. Filtr se takto neustále adaptuje s ohledem na aktuální chybu. Důležitá je otázka konvergence. Zde musí být opět předpokládané, že signály x a d jsou stacionární. Pak existuje Wienerův filtr a za určitých podmínek platí, že adaptivní LMS filtr k němu konverguje. Věčnou otázkou zůstává volba délky kroku µ. Je zřejmé, že pokud je µ příliš malé, pak je konvergence pomalá a filtr se může adaptovat nedostatečně rychle. Je-li naopak µ příliš velké, může to způsobit divergenci a filtr nefunguje správně. Otázka optimální volby µ je složitá a závisí na konkrétních předpokladech. Často bývá její fixní hodnota nebo funkční závislost určována experimentálně na základě zkušeností. Obecně je podmínkou konvergence metody největšího spádu 0 < µ < 2 λ max, kde λ max je největší vlastní číslo matice R n. Toto je ovšem podmínka pro pevnou R n, která nezávisí na čase, tedy i pro pevné kritérium J n (w), které minimalizujeme. Tyto veličiny se při použití adaptivního filtru v každém kroce mění. 6.4 Normalizovaný adaptivní LMS filtr Podle definice lze chybový signál e[n] psát ve tvaru e[n] = d[n] w T n x[n]. Ten odpovídá chybě, které se dopouštíme v aktuální okamžik n. Uvažujme jiný chybový signál ɛ[n] = d[n] w T n+1x[n], který odpovídá chybě ve stejný časový okamžik n, avšak způsobené již adaptovaným filtrem, který aplikujeme až v následujícím okamžiku n + 1. Normalizovaný adaptivní LMS filtr je definovaný jako takový, který provádí minimální změnu filtru definovanou jako (tedy minimalizujeme δw n+1 2 ) za podmínky, že δw n+1 = w n+1 w n, ɛ[n] = 0. Vyřešením této úlohy vychází adaptace normalizovaného filtru jako x n w n+1 = w n µ x n 2 e[n]. Jak vidíme, od původního adaptivního LMS filtru se jeho normalizovaná verze v podstatě liší pouze v adaptivní volbě délky kroku, tedy µ je nahrazeno µ/ x n 2. 27
6.5 Adaptivní RLS filtr Zkratka RLS znamená Recursive Least Square. Tento filtr v každém časovém okamžiku minimalizuje kritérium J RLS n (w n ) = kde 0 < λ 1 a chybový signál je definovaný jako n λ n k e n [k] 2, k=1 e n [k] = d[k] w T n x k. Toto kritérium se liší od předchozích v následujících třech bodech. 1. Horní mez sumy ve vzorci není pevná, je rovna aktuálnímu času n. Kritérium tedy sčítá všechny chyby od začátku až po aktuální okamžik. 2. Chybový signál je zde nutné definovat s dolním indexem n. e n [k] odpovídá hypotetické chybě způsobené filtrem w n v čase k. V kritériu tedy sčítáme hypotetické chyby způsobené aktuálním filtrem w n. Vztah s chybovým signálem uvažovaným v předešlých kapitolách je e[n] = e n [n]. 3. Každá chyba je vážena hodnotou, která je rovna mocnině čísla λ. Čím větší je mocnina λ, tím menší je váha chyby. Aktuální chyba e[n] má největší váhu, a tedy nejvíce ovlivňuje hodnotu kritéria. Váhy předchozích chyb se exponencielně zmenšují, takže předchozí chyby ovlivňují kritérium méně. Čím menší je λ, tím menší mají na kritérium vliv chyby minulé. V extrémním případě λ = 0 je kritérium rovno pouze kvadrátu aktuální chyby e n [n]. Na druhé straně pokud λ = 1, každá chyba má váhu 1. λ tedy ovlivňuje paměť kritéria. Pokud je λ = 0, pak Jn RLS (w n ) = J n (w n ), tedy je stejné jako kritérium minimalizované adaptivním LMS filtrem. Pokud je λ = 1, pak je adaptivní RLS filtr v každém okamžiku roven LMS filtru (neadaptivnímu) spočteném na intervalu od počátku do aktuálního okamžiku. Minimalizaci Jn RLS (w n ) lze provést stejným způsobem jako v odvození LMS filtru, tj. položením gradientu (w n ) rovno nule. Výsledkem je tzv. normálová rovnice J RLS n Φ n w n = z n, kde Φ n = z n = n λ n i x k x T k k=1 n λ n i x k d[k]. k=1 Vidíme, že matice Φ n a vektor z n jsou obdobou R n a p n. Řešení normálové rovnice přímým způsobem v každý časový okamžik obnáší výpočet matice Φ n a její inverze a výpočet vektoru z n. To je výpočetně velmi náročné. Díky tvaru kritéria Jn RLS (w n ) však lze dosáhnout výrazných úspor, které spočívají v tom, že při výpočtech využíváme hodnoty, které již byly vypočteny v předchozích krocích. Konkrétně lze vyjít z rekursivních vztahů, které je snadné odvodit, Φ n = λφ n 1 + x n x T n z n = λz n 1 + x n d[n]. Odtud také název filtru Recursive. Odvození je následující. K výpočtu inverze Φ n použijme známé inverzní lemma, ze kterého plyne, že inverze matice A, takové kterou lze napsat ve tvaru A = B 1 + CD 1 C T, je rovna A 1 = B BC(D + C T BC) 1 C T B. 28
Právě v tomto tvaru je matice Φ n zapsaná výše uvedeným rekursivním vztahem. Do inverzního lemma tedy můžeme dosadit následovně čímž dostaneme Φ 1 n A = Φ n B 1 = λφ n 1 C = x n D = 1, = λ 1 Φ 1 n 1 λ 2 Φ 1 n 1 x nx T n Φ 1 1 + λ 1 x T n Φ 1 n 1 n 1 x n což je vzorec pro rekursivní výpočet inverze Φ n. Nyní nadefinujeme několik pomocných proměnných a provedeme substituce. Definujeme P n = Φ 1 n λ 1 P n 1 x n k n = 1 + λ 1 x T. n P n 1 x n Snadno lze ověřit, že k n = P n x n a rekurzivní vztah P n = λ 1 P n 1 λ 1 k n x T n P n 1. Dosadíme nyní do řešení normálové rovnice, použijeme rekurzivní vztah pro z n a P n a odvodíme tak vzorec pro rekurzivní výpočet filtru. w n = Φ 1 n z n = P n z n = λp n z n 1 + P n x } {{ n d[n] } k n = λ(λ 1 P n 1 λ 1 k n x T n P n 1 )z n 1 + k n d[n] = P n 1 z n 1 k n x T n P n 1z n 1 +k n d[n] } {{ } } {{ } w n 1 w n 1 ( ) = w n 1 + k n d[n] x T n w n 1 ( ) = w n 1 + k n d[n] w T n 1 x n. } {{ } apriorní chyba ξ[n] Výraz v závorce nazýváme apriorní chybou, protože je rovna hypotetické chybě filtru w n 1 v čase n, tj. ξ[n] = e n 1 [n]. K provedení adaptace filtru tedy není pokaždé zapotřebí počítat inverzi matice Φ n. Problémem může ovšem být její existence. V kapitole o LMS filtru bylo zmíněno, že matice R může být singulární, je-li spočtena z příliš krátkého úseku dat. Toto pravidlo platí analogicky pro matici Φ n. Ta je počítána z krátkého úseku je-li λ blízká nule, proto musíme λ volit dostatečně velkou. Φ n je také počítána z velmi krátkého úseku při spuštění algoritmu. Výhodou rekursivního výpočtu ale je, že může být inicializovaný libovolnou regulární maticí, čímž je problém v mnoha případech vyřešen. Výpočet adaptivního RLS filtru shrneme v následujících krocích. Zavedeme v nich ještě pomocný vektor h n, díky němuž ušetříme další operace. Filtr nejčastěji inicializujeme w 0 = 1 0. 0 P 0 = δi, kde I je jednotková matice a δ je volitelná konstanta. Každou následující adaptaci filtru počítáme v krocích h n = P n 1 x n h n k n = λ + x T n h n ξ[n] = d[n] w T n 1x n w n = w n 1 + k n ξ[n] P n = λ 1 P n 1 λ 1 k n x T n P n 1., 29
7 Úvod do slepé separace signálů a analýzy nezávislých komponent Úlohou slepé separace (Blind Source Separation - BSS) je získat původní signály ze signálů naměřených, které jsou jejich směsí. Ani původní signály a systém, kterým byly zpracovány než byly naměřeny, nejsou známy. Předpokládají se pouze co možná nejobecnější vlastnosti signálů a parametrický model systému. Modely systému rozlišujeme na lineární, kde platí princip superpozice a které rozlišujeme na okamžitý a konvolutorní, a nelineární. Za dostatečně obecné vlastnosti původních signálů považujeme například vzájemnou nezávislost, řídkost, nezápornost. Tyto vlastnosti, díky jejich obecnosti, můžeme uplatnit v nejrůznějších oblastech zpracování signálů. Nezávislost lze předpokládat u signálů, které spolu nesouvisí, např. srdeční aktivita (EKG), svalová činnost (EMG), činnost mozku (EEG) a rušení (šum aparatury, 60Hz ze sítě). Lze-li šíření signálů v prostředí považovat za nekonečně rychlé (např. je-li vzorkovací frekvence v porovnaní s rychlostí šíření signálu velmi malá) a na senzorech se superponují, pak lze systém považovat za lineární okamžitý (EKG, EEG, EMG). Pokud je nutné považovat rychlost šíření za konečnou, signály navíc interferují s vlastními odrazy v prostředí, pak je systém lineární konvolutorní (akustické signály, signály v telekomunikační oblasti). S nelineárním systémem se setkáváme v BSS zřídka. Příkladem je situace, kdy signály mají větší dynamický rozsah než A/D převodníky a dochází při jejich měření k přetečení, limitaci nebo jiné nelineární operaci. Řídkostí se rozumí vlastnost, že signál má mnoho koeficientů (vzorků) v nějaké doméně nulové nebo skoro nulové. Lidská řeč je například řídká v časově-frekvenční oblasti (spektrogram), fotografie přirozeného prostředí pak ve waveletové oblasti. Této vlastnosti se využívá při komprimaci, protože malé koeficienty signálu lze zanedbat. V BSS lze této vlastnosti využít ke vzájemnému oddělení signálů s předpokladem, že se v dané oblasti signály nepřekrývají (protože jsou řídké). Nezápornost lze předpokládat u signálů, které odpovídají nějaké nezáporné fyzikální veličině, např. amplitudové spektrum signálu. 7.1 Lineární okamžitý model Nejprve zavedeme standardní značení. Počet pozorovaných (měřené) signálů bude m a budeme je značit x 1 [n],..., x m [n]. Matici X definujeme tak, že každý její řádek obsahuje vzorky odpovídajícího pozorovaného signálu. Její rozměry jsou tedy m N, kde N je celkový počet vzorků. Každý její sloupec odpovídá vzorkům od všech signálů v jeden stejný časový okamžik. Obdobně definujeme původní signály (neznámé) s 1 [n],..., s d [n], jejich počet d a matici S o rozměrech d N. Lineární okamžitý model předpokládá nekonečně rychlé šíření signálů a jejich superpozici. Každý vzorek pozorovaných signálů tak můžeme zapsat jako lineární kombinaci signálů původních bez zpoždění, tedy např. x k [n] = a k1 s 1 [n] + a k2 s 2 [n] + + a kd s d [n]. Vidíme, že ntý vzorek pozorovaného signálu x k [n] je závislý pouze na vzorcích původních signálů z odpovídajícího časového okamžiku. Dále ho ovlivňují koeficienty a k1,..., a kd, z nichž každý určuje intenzitu, se kterou se původní signál přičítá k ostatním. Tyto koeficienty se v čase nemění. Definujeme proto tzv. mixovací matici A, jejíž ijtý prvek je roven A ij = a ij a její rozměry jsou m d. Celý model je popsán soustavou m lineárních rovnic, kterou můžeme vyjádřit pomocí matic jako X = AS. Charakteristické pro úlohu BSS je, že celou pravou stranu této soustavy neznáme. Rozlišujeme následující tři případy podle počtu signálů na soustavy 30