DYNAMICKÁ ANALÝZA A OPTIMALIZACE

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "DYNAMICKÁ ANALÝZA A OPTIMALIZACE"

Transkript

1 Závěrečná výzkumná zpráva z řešení projektu FRVŠ 2282/2003/G1 DYNAMICKÁ ANALÝZA A OPTIMALIZACE PŘEVODOVÝCH ÚSTROJÍ Michal HAJŽMAN Miroslav BYRTUS Vladimír ZEMAN Katedra mechaniky, Univerzitní 22, 30614, Plzeň Leden 2004

2 OBSAH 1 Obsah 1 Úvod 2 2 Dynamická analýza ozubeného převodu Matematický model ozubeného převodu Modální analýza linearizovaného modelu Podmínky stálého záběru Aplikace Modální analýza Extrémy deformací ozubení a oblast ztráty silového záběru Numerické řešení nelineárního modelu Dynamická analýza převodových ústrojí Matematický model Modální analýza linearizovaného modelu Podmínky stálého záběru Ustálená dynamická odezva převodového ústrojí Aplikace Modální analýza Mapa ztráty silového záběru v ozubení Numerické řešení nelineárního modelu Optimalizace převodových ústrojí Optimalizace převodových ústrojí z hlediska potlačení ustálené odezvy Numerické experimenty na testovací převodovce Dílčí závěry Příloha - Rezonanční tabulka 28

3 1 ÚVOD 2 1 Úvod Tato závěrečná výzkumná zpráva shrnuje hlavní výsledky řešení rozvojového projektu Fondu rozvoje vysokých škol číslo 2282 řešeného v roce 2003 spadajícího do tematického okruhu a specifikace G1 a (Tvůrčí činnost studentů doktorských studijních programů technických oborů) s názvem Dynamická analýza a optimalizace převodových ústrojí. Na řešení se podíleli studenti doktorského studijního oboru Aplikovaná mechanika na Katedře mechaniky FAV ZČU v Plzni Ing. Michal Hajžman (řešitel) a Ing. Miroslav Byrtus (první spoluřešitel) a akademický pracovník, školitel obou doktorandů, Prof. Ing. Vladimír Zeman, DrSc. (druhý spoluřešitel). Hlavním cílem řešení projektu bylo rozšíření metody modální syntézy na rozsáhlé systémy s nelineárními vazbami, algoritmizace postupů a vyvinutí speciálních programů použitelných pro dynamickou analýzu a optimalizaci převodových ústrojí s uvažováním možné ztráty silového záběru v ozubení. Za tímto účelem byl nejprve vytvořen model páru vnitřně buzených spoluzabírajících ozubených kol, který sloužil k hlubšímu pochopení probíhajících dějů v ozubeném převodu a k vylepšení metodiky modelování nelineárního zubového záběru s možnou ztrátou kontaktu pracovních boků zubů. Byla vypracována metoda určování stálého silového záběru ozubených kol a dále byla řešena odezva nelineárního modelu páru ozubených kol metodou přímé integrace. Metodika modelování a způsob analýzy vibrací byly dále zobecněny pro rozsáhlé rotující systémy s nelinearitami ve vazbách uvažované včetně statorové části, které jsou modelovány pomocí metody modální syntézy s kondenzací. Takovými systémy jsou právě převodová ústrojí s možnou ztrátou silového záběru v ozubení uvažovaná včetně skříně. Výzkumná zpráva se dále zabývá optimalizací vybraných konstrukčních parametrů převodových ústrojí z hlediska potlačení ustálených vibrací vybuzených vnitřními zdroji buzení. Na základě popsané metodiky bylo vytvořeno vlastní programové vybavení v systému MATLAB, které umožňuje řešit úlohy týkající se modelu páru ozubených kol. Zpracováno bylo rovněž obecné programové vybavení pro modelování převodových ústrojí pomocí metody modální syntézy s kondenzací, modální analýzu převodových ústrojí, vyšetřování ustálené odezvy, určování oblastí stálého silového záběru, vyšetřování časové odezvy nelineárního modelu převodového ústrojí s možností ztráty silového záběru v ozubení a optimalizaci z hlediska potlačení ustálené odezvy. Programové vybavení je aplikováno na ozubený převod s konkrétními parametry a na jednoduchou modelovou převodovku. Výsledky vybraných analýz a výpočtů jsou vždy uvedeny na konci příslušných kapitol.

4 2 DYNAMICKÁ ANALÝZA OZUBENÉHO PŘEVODU 3 2 Dynamická analýza ozubeného převodu Ozubené převody jsou vedle vnějších zdrojů buzeny vnitřními zdroji generovanými v záběrech ozubených kol. Ozubená kola jsou v rychlootáčkových pohonových soustavách nejčastěji čelní se šikmými zuby a lze proto předpokládat jako dominantní zdroj buzení kinematické úchylky ozubení. Dynamické vlastnosti ozubených převodů jsou zpravidla výrazně ovlivněny výrobními úchylkami a výškovou modifikací ozubení [2]. Vyjdeme-li z předpokladu zanedbání vlivu kmitání ozubených kol na polohu záběrového bodu, můžeme kinematické úchylky ozubení při jmenovitém statickém zatížení považovat za periodické funkce času s periodou záběru. Ve výpočtovém modelu budeme kinematické úchylky simulovat vsouváním fiktivního klínu o šířce z (t) mezi ideální evolventní spoluzabírající boky zubů (obr. 1). Ve většině prací týkajících se vnitřní dynamiky ozubených převodů se předpokládá zachování kontaktu pracovních boků zubů (tzv. nepřerušený záběr typu a). Při relativně malém vnějším statickém zatížení může být kontakt přerušen a relativní pohyb boků zubů hnacího a hnaného kola na záběrové přímce zasahuje do oblasti boční vůle (záběr typu b) nebo může dojít po vymezení vůle u z i ke kontaktu nepracovních boků zubů (záběr typu c). F a z M 2 2. ω 2 + ϕ2 F c z a 2 k (t) z(t) F c z M 1 1 u z. ω + ϕ 1 1 a 1 k (t) F a z c z k (t) (e) F z u z F a z a z k (t) d z Obrázek 1: Schéma zubového záběru Hlavním cílem této kapitoly je uvést metodu pro modelování kmitání páru ozubených kol pevně nasazených na krátkých ohybově i torzně tuhých hřídelích uložených na poddajných valivých ložiskách (obr. 2). Matematický model v maticové formě respektuje prostorový pohyb obou ozubených kol, změnu tuhosti ozubení střídáním m a m + 1 párů zubů F c z

5 2 DYNAMICKÁ ANALÝZA OZUBENÉHO PŘEVODU 4 v záběru, gyroskopické účinky a všechny tři možné fáze kontaktu zubů. Hřídele ozubených kol jsou spojeny torzně poddajnými hřídeli s rotujícími kotouči pohonového ústrojí. Předpokládáme, že pohyb kotoučů (krajních řezů hřídelů) není ovlivněn rozkmitáním ozubeného převodu. Model umožňuje analyzovat vliv vnitřních kinematických, vnějších kinematických, parametrických a vnějších silových zdrojů buzení. Pokud kotouče, mezi něž je ozubený převod vřazen, rotují rovnoměrně, pak úhlové rychlosti ω 1 a ω 2 jsou konstantní a torzní předepnutí ozubeného převodu je definováno konstantními úhly ϕ 1 a ϕ 2. Zvláštní zřetel dále uvedené metodiky je kladen na budoucí její zobecnění na převodová ústrojí, kdy je nutné respektovat ohybovou i torzní poddajnost hřídelů, interakci hřídelů se skříní a více párů ozubených kol. 2.1 Matematický model ozubeného převodu Ozubený převod (dále systém) dekomponujeme na hřídel s hnacím ozubeným kolem (subsystém j = 1) a na hřídel s hnaným ozubeným kolem (subsystém j = 2). Vychýlení subsystémů z polohy, kdy ložiska i pracovní boky zubů jsou nedeformované a v dotyku, vyjádříme vektory zobecněných souřadnic q j = [ u j v j w j ϕ j ϑ j ψ j ] T, j = 1, 2. (2.1) Pohybové rovnice subsystémů lze za daných předpokladů zapsat v maticovém tvaru (horní znaménko platí pro j = 1 a dolní pro j = 2) M j q j (t) + (B j ± ω j G j ) q j (t) + K j q j (t) = F z δ j + f j (t), j = 1, 2, (2.2) kde M j, B j, K j jsou symetrické matice hmotnosti, tlumení a tuhosti řádu 6 a G j je antisymetrická matice gyroskopických účinků téhož řádu subsystému j rotujícího úhlovou rychlostí ω j. Vektory f j (t) vyjadřují vnější silové zatížení subsystémů. Pokud respektujeme jen torzní předepnutí ozubeného převodu, lze je vyjádřit ve tvaru f j (t) = [ k j ( ϕ j ϕ j ) + b j ( ϕ j ϕ j ) 0 0 ] T, j = 1, 2. (2.3) Členy obsahující ϕ j, ϕ j lze převést na levou stranu pohybové rovnice a doplnit tak matice tlumení a tuhosti subsystémů B j, K j na B j, K j. Po této úpravě přejdou vektory f j(t) v (2.2) do tvaru f j (t) = [ k j ϕ j + b j ϕ j 0 0 ] T, j = 1, 2. (2.4) Pokud úhly ϕ j jsou danými funkcemi času, systém je zvnějšku kinematicky buzen. Síla přenášená ozubením F z soustředěná do centrálního záběrového bodu je obecně nelineární funkcí deformace ozubení ve směru normály k bokům zubů d z = δ T 1 q 1(t) δ T 2 q 2(t) + z (t) (2.5) případně i rychlosti deformace ozubení d z, kde vektory δ 1 a δ 2 geometrických parametrů ozubených kol jsou dány výrazy uvedenými na str. 264 v [10]. Souřadnice těchto vektorů je však nutné psát v pořadí 1,2,6,3,5,4, které odpovídá pořadí zobecněných souřadnic v (2.1).

6 2 DYNAMICKÁ ANALÝZA OZUBENÉHO PŘEVODU 5 z 2 y i υ i k (ω 2 t ϕ 2) 2 β S 2 γ ω 2 t + ϕ 2 ψ i S i w i vi u i ϕ i x i S 1 k 1 z i β ω 1 t +ϕ 1 ω 1 t + ϕ 1 z 1 Obrázek 2: Elastická síla v ozubení Kinematická úchylka ozubení z (t) za daných zjednodušujících předpokladů může být aproximována Fourierovou řadou z (t) = K ( C z,k cos k ω z t + S z,k sin k ω zt ), (2.6) k=1 kde C z,k resp. S z,k jsou amplitudy k-té harmonické složky úchylky ozubení měřené na záběrové přímce v zubovém záběru z a ω z je příslušná zubová frekvence ω z = z 1 ω 1 = z 2 ω 2. Elastickou složku síly v ozubení v daném časovém okamžiku F z (e) (d z, t) můžeme přibližně popsat lineární lomenou funkcí (obr. 1), kde u z představuje boční vůli ozubení na záběrové přímce a směrnice šikmých přímek vyjadřují tuhosti ozubení kz a (t) ve fázi záběru a resp. kz(t) c ve fázi záběru c. Zanedbali jsme vliv rozkmitání ozubeného převodu na polohu záběrového bodu a závislost tuhosti ozubení na změně zatížení. Elastickou sílu v ozubení lze pak vyjádřit analyticky ve tvaru F (e) z (d z, t) = k a z (t)d z k a z (t)d zh( d z ) + k c z (t)(d z + u z )H( d z u z ), (2.7) kde H je Heavisideova funkce. Poznamenejme, že pro d z < u z (fáze záběru c) se mění struktura vektorů δ 1 a δ 2 geometrických parametrů ozubených kol ve smyslu změny znamének souřadnic 1,3,4,6 obou vektorů [10]. Celkovou sílu přenášenou ozubením, za předpokladu viskózního tlumení ozubení charakterizovaného koeficientem b z, vyjádříme ve tvaru kde jsme zavedli nelineární složku síly F z = k a z (t)d z + b z d z + f z (d z, t), (2.8) f z (d z, t) = k a z(t)d z H( d z ) + k c z(t)(d z + u z )H( d z u z ). (2.9)

7 2 DYNAMICKÁ ANALÝZA OZUBENÉHO PŘEVODU 6 Zaveďme dále globální vektor q(t) zobecněných souřadnic systému a globální vektor c z geometrických parametrů ozubených kol v záběru [ ] [ ] q1 (t) δ1 q(t) =, c q 2 (t) z =. (2.10) Celkovou sílu přenášenou ozubením lze pak přepsat do tvaru F z = k a z (t)[ ct z q(t) + z] + b z [ c T z q(t) + z ] + f z (d z, t). (2.11) Matematický model systému (2.2) lze zapsat jako M q(t)+(b+b z +ωg) q(t)+(k+k z (t))q(t) = [kz(t) a z (t)+b z z (t)+f z (d z, t)]c z +f E (t), (2.12) kde [ ] [ X1 0 X = pro X = M, B, K G1 0, G = 0 X 2 Jeho speciálními tvary jsou: δ 2 0 r 1 r 2 G 2 K z (t) = k a z (t)c zc T z, B z = b z c z c T z. ], f E (t) = [ f 1 (t) f 2(t) a) model lineární časově invariantní pro k z (t) k z0 a min d z > 0 (trvale ve fázi záběru t a při konstantní tuhosti ozubení), b) model lineární časově variantní (parametrický) pro min d z > 0 (trvale ve fázi záběru t a), c) model nelineární se ztrátou kontaktu zubů a překmitáváním do oblasti boční vůle pro u z < min d z < 0 (střídavě ve fázích záběru a, b), t d) model nelineární se ztrátou kontaktu zubů a vymezováním vůle pro min d z < u z t (kombinace fází záběru a, b, c). V modelu (2.12) se vyskytují zdroje buzení: a) vnější kinematické popsané vektorem f E (t), b) parametrické vyjádřené v čase periodicky proměnnou tuhostí ozubení K ( k z (t) = k z0 + k C z,k cos kω z t + kz,k S sin kω zt ) k=1 c) vnitřní kinematické úchylkou ozubení z aproximované Fourierovou řadou (2.6). Matematický model (2.12) umožňuje analyzovat vliv jednotlivých i kombinovaných zdrojů buzení na dynamické vlastnosti ozubeného převodu. Základními charakteristikami jsou časový průběh deformace ozubení d z (t), fázová trajektorie deformace ozubení, orbity středů ozubených kol v rovině yz a zejména závislost maximální deformace ozubení na zubové frekvenci ω z (obdoba amplitudové charakteristiky nelineárního modelu). ],

8 2 DYNAMICKÁ ANALÝZA OZUBENÉHO PŘEVODU Modální analýza linearizovaného modelu Provedením modální analýzy konzervativního linearizovaného časově invariantního modelu systému M q(t) + (K + K z ) = 0, (2.13) přičemž pro matici popisující linearizovanou zubovou vazbu platí K z = k z0 c z c T z, získáme modální matici V a spektrální diagonální matici Λ, jejíž prvky jsou kvadráty vlastních frekvencí. V případě, kdy má tlumení významný vliv na chování systému, je modální analýza prováděna na nekonzervativním linearizovaném časově invariantním modelu M q(t) + (B + B z + ωg) q(t) + (K + K z )q(t) = 0, (2.14) ve stavovém prostoru. Zavedeme-li stavový vektor [ ] q(t) u(t) =, q(t) můžeme model (2.14) přepsat do stavového prostoru ve tvaru N u(t) + P u(t) = 0. (2.15) Matice N a P mají tvar [ 0 M N = M B + B z + ωg ], P = [ M 0 0 K + K z (t) ]. Na základě znalosti vlastních frekvencí, vlastních tvarů a buzení systému popsané polyharmonickou řadou, můžeme určit teoretické rezonanční stavy, kdy některá z harmonických složek buzení rezonuje s příslušnou vlastních frekvencí. 2.3 Podmínky stálého záběru Pro praxi je velmi důležité určit podmínky pro stálý záběr pracovních boků zubů (záběr typu a). Zanedbáme-li parametrický zdroj buzení a za předpokladu konstantních úhlů předepnutí ozubeného převodu ϕ 1, ϕ 2, vektor f E (t) je v čase konstantní f E (t) = f 0 = [ k 1 ϕ k 2 ϕ ] T. Matematický model (2.12) přejde v režimu stálého záběru do tvaru M q(t) + (B + B z + ωg) q(t) + (K + K z )q(t) = [k z z (t) + b z z (t)]c z + f 0, (2.16) kde k z je střední tuhost ozubení. Řešení lze hledat ve tvaru součtu statické a kmitavé složky q(t) = q 0 + q dyn (t), kde vektor q 0 = (K + K z ) 1 f 0 (2.17)

9 2 DYNAMICKÁ ANALÝZA OZUBENÉHO PŘEVODU 8 popisuje statickou rovnovážnou polohu kinematicky ideálního systému. Z pohybové rovnice (2.16) pro kmitavou složku pohybu dostaneme M q dyn (t) + (B + B z + ωg) q dyn (t) + (K + K z )q dyn (t) = [k z z (t) + b z z (t)]c z. (2.18) Pohybovou rovnici přepíšeme zavedením vektoru komplexních výchylek q(t) a komplexních kinematických úchylek z (t) do tvaru M q(t) + (B + B z + ωg) q(t) + (K + K z ) q(t) = [k z z (t) + b z z (t)]c z, (2.19) přičemž q dyn = Re{ q(t)} a z (t) = Re{ z (t)}. Zřejmě podle (2.6) z (t) = K z,k e ikωzt, (2.20) k=1 kde z,k = C z,k i S z,k. Partikulární řešení rovnice (2.24) hledejme ve tvaru q(t) = K q z,k e ikωzt, (2.21) k=1 kde pro komplexní amplitudy výchylek platí q z,k = [ Mk 2 ω 2 z + (B + B z + ωg)ik ω z + K + K z ] 1 c z (k z + ikω z b z ) z,k. (2.22) Reálný vektor kmitavých složek výchylek je q dyn (t) = Re{ q(t)} = K (Re{ q z,k } cos kω z t Im{ q z,k } sin kω z t). (2.23) k=1 Podmínka stálého záběru v ustáleném stavu je podle (2.5) a (2.10) vyjádřena výrazem min d z(t) = min t <0,10T z> t <0,10T { ct z [q 0 + q dyn (t)] + z (t)} > 0 (2.24) z> v závislosti na otáčkách n = 30ω π hnacího hřídele. 2.4 Aplikace Metoda je testována na soustavě složené z páru ozubených kol uložených na valivých ložiskách (obrázek 2). Ozubený převod je kinematicky buzen úchylkou ozubení ve tvaru Fourierovy řady. Po vytvoření matematického a následně výpočtového modelu v programovém systému MATLAB byly získány následující výstupy.

10 2 DYNAMICKÁ ANALÝZA OZUBENÉHO PŘEVODU Modální analýza Výsledky modální analýzy jsou uvedeny v tabulce 1, v níž f ν představuje ν-tou vlastní frekvenci, d z je deformace ozubení odpovídající příslušnému vlastnímu tvaru kmitu, α a β jsou reálná a imaginární část vlastního čísla nekonzervativního modelu pro koeficient proporcionálního tlumení ložisek β L = a koeficient viskózního tlumení zubové vazby b z = ν f ν [Hz] d z [m] α ν [Hz] β ν [Hz] Tab. 1: Výsledky modální analýzy konzervativního a nekonzervativního modelu pro n = 500 1/min Extrémy deformací ozubení a oblast ztráty silového záběru Pro ilustraci jsou na obr. 3 znázorněny extrémy deformací ozubení ozubeného převodu při dvou různých statických předepnutích v závislosti na otáčkách hnacího hřídele 1. Při velkém statickém předepnutí ( ϕ 1 = ϕ 2 = 0.01 rad) je oblast stálého záběru až do otáček n = Při malém předepnutí ( ϕ min 1 = ϕ 2 = rad) je stálý záběr narušen již při malých otáčkách n = To je zobrazeno na mapě ztráty silového záběru na min obr. 4 v rovině n, ϕ ( ϕ = ϕ 1 = ϕ 2 ), kde tmavá oblast odpovídá stálému záběru, světlá oblast kmitání se ztrátou silového záběru Numerické řešení nelineárního modelu Chování ozubeného převodu při nesplnění podmínky (2.24), kdy může docházet ke střídání typu záběru a, b, c, je nutné vyšetřovat na modelu (2.12) metodou přímé integrace při počátečních kinematických podmínkách q(0) = q 0, q(0) = 0.

11 2 DYNAMICKÁ ANALÝZA OZUBENÉHO PŘEVODU x ϕ = 0.01 rad ϕ = rad PSfrag replacements deformace ozubení otáčky 1/min Obrázek 3: Extrémy deformace zubového záběru 10 x e 06 3e 06 2e 06 1e 06 2e 06 1e 06 ϕ = ϕ1 = ϕ e 06 2e 06 1e 06 2e 06 1e 06 2e 06 1e 06 2e 06 1e 06 2e 06 1e 06 1e 06 PSfrag replacements otáčky 1/min Obrázek 4: Mapa ztráty silového záběru Numerickými experimenty byla prověřena odezva systému při konstantních provozních otáčkách hnacího kola n = 2000 ot/min v rozsahu předepnutí ozubeného převodu ϕ 10, 100. Vůle v ozubení byla volena u z = 40 µm na základě geometrických parametrů ozubení. Na obr. 5 jsou ve fázové rovině zobrazeny ustálené fázové trajektorie

12 2 DYNAMICKÁ ANALÝZA OZUBENÉHO PŘEVODU rag replacements rychlost deformace ozubení PSfrag replacements deformace ozubení x 10 5 (a) ϕ = rychlost deformace ozubení deformace ozubení x 10 5 (b) ϕ = rychlost deformace ozubení rag replacements PSfrag replacements deformace ozubení x 10 5 (c) ϕ = rychlost deformace ozubení deformace ozubení x 10 6 (d) ϕ = Obrázek 5: Ustálené fázové trajektorie deformace ozubení deformace ozubení pro vybrané statické předpětí. Z grafů fázových trajektorií je patrné, že při malé změně předepnutí z hodnoty ϕ = rad na hodnotu ϕ = rad dojde ke kvalitativní změně průběhu deformace ozubení. Pro ϕ 1; 8, dochází k překmitávání přes vůli a k nárazu nepracovních boků zubů (kombinace záběru typu a, b, c), kdežto pro ϕ 8, 3; dochází pouze k překmitávání do vůle (kombinace záběru typu a, b). Další kvalitativní charakteristikou odezvy systému je analýza periody odezvy vůči periodě buzení, resp. vůči periodám buzení v případě víceharmonického buzení. Metodou Poincarého zobrazení [11] byly provedeny řezy v časových hladinách s krokem t = T 1, kde T 1 je perioda první harmonické složky buzení. Tyto řezy jsou na obr. 5 zobrazeny body, které navzájem splývají, což znamená, že perioda odezvy je shodná s periodou buzení. To platí i při kvalitativní změně pohybu popsané výše.

13 3 DYNAMICKÁ ANALÝZA PŘEVODOVÝCH ÚSTROJÍ 12 Veškeré časové průběhy byly získány Runge-Kuttovou metodu přímé integrace čtvrtého řádu implementovanou v programovém systému MATLAB Dynamická analýza převodových ústrojí V této kapitole bude předchozí metodika zobecněna pro převodová ústrojí uvažovaná včetně statorové části s možnou ztrátou silového záběru v ozubení. Matematický model bude vytvořen pomocí metody modální syntézy s kondenzací (viz například [14]), která dovoluje modelovat velmi rozsáhlé mechanické systémy dekomponovatelné na subsystémy. Jednou z výhod této metody je, že každý subsystém lze modelovat pomocí jiného programového prostředku dokonce na oddělených pracovištích. Výsledný kondenzovaný model může být poté analyzován s využitím osobního počítače se standardními parametry. 3.1 Matematický model Převodové ústrojí je dekomponováno na statorovou část a vnitřní rotující vestavbu, která se dále skládá z jednotlivých rotujících hřídelů vázaných ke skříni valivými ložiskovými vazbami a propojených mezi sebou zubovými vazbami. Celý systém je složen z N subsystémů. Uvolněné hřídele rotující úhlovými rychlostmi ω j jsou označeny jako subsystémy j = 1, 2,..., N 1 a skříň je označena jako subsystém j = N, pro nějž platí ω N = 0. Hřídele se diskretizují na konečné dvouuzlové hřídelové prvky a ozubená kola jsou reprezentována jejich hmotností a momenty setrvačnosti (viz [10]). Tvarově složitou skříň je zpravidla nutné modelovat pomocí metody konečných prvků s využitím objemových a skořepinových konečných elementů v některém komerčním MKP systému (ANSYS, MARC, COSMOS/M, SYSTUS,... ). Po diskretizaci můžeme matematický model systému dekomponovaného na N subsystémů zapsat (viz [10]) ve tvaru M j q j (t) + (B j + ω j G j ) q j (t) + K j q j (t) = f E j (t) + f C j, j = 1, 2,..., N, (3.1) kde M j, B j, G j a K j jsou čtvercové matice hmotnosti, tlumení, gyroskopických účinků a tuhosti subsystémů, které jsou stejného řádu n j jako dimenze vektoru zobecněných souřadnic subsystému q j (t). Vektor f E j (t) popisuje vnější silové či kinematické buzení. Interakci mezi subsystémy v globálním konfiguračním prostoru daným vektorem zobecněných souřadnic q(t) = [ q j (t) ] vyjadřuje globální vektor vazbových sil f C = [ ] f C j ve tvaru f C (t) = B B q(t) K B q(t) + Z c z F z (t, q, q), (3.2) kde B B a K B jsou matice tlumení a tuhosti linearizovaných valivých ložiskových vazeb (blíže viz [15]). Vektory c z jsou vektory sestavené na základě geometrických parametrů ozubených kol (viz [10]). Sílu přenášenou ozubením z lze zapsat ve tvaru z=1 F z (t, q, q) = k z (t)d z + b z d z + f z (d z, t), (3.3)

14 3 DYNAMICKÁ ANALÝZA PŘEVODOVÝCH ÚSTROJÍ 13 kde k z (t) je časově proměnná tuhost ozubení, b z je koeficient vizkózního tlumení ozubení. Nelineární síla f z (d z, t) vyjadřuje vliv přerušení silové záběru. Deformaci ozubení d z vyjádříme výrazem d z = c T z q(t) + z(t), (3.4) který obsahuje kinematickou úchylku ozubení z (t). Nyní zavedeme transformace q j (t) = m V j x j (t) pro j = 1, 2,..., N a m j < n j, přičemž m V j R n j,m j jsou modální submatice složené z vybraných vlastních vektorů rozpojených netlumených subsystémů. Model (3.1) lze přepsat s využitím této transformace do kondenzovaného tvaru ẍ(t) + (D + ω 0 G + V T B B V + V T B G V )ẋ(t)+(λ + V T K B V + V T K G (t)v )x(t) = = V T [f E (t) + f G (t) + Z c z f z (d z, t)]. (3.5) Model je sestaven v novém konfiguračním prostoru dimenze m = m j, m n, který je určen vektorem x(t) = [x j (t)]. Matice z=1 D = diag( m V j T B j m V j ), G = diag( ω j ω 0 m V j T G j m V j ), V = diag( m V j ) (3.6) jsou blokově diagonální a Λ = diag( m Λ j ) je diagonální matice složená ze spektrálních submatic m Λ j R m j,m j rozpojených netlumených subsystémů. Matice m V j, m Λ j splňují podmínky ortonormality m V j M j m V j = I j, m V j K j m V j = m Λ j, j = 1, 2,..., N. (3.7) Referenční úhlová rychlost ω 0 je zpravidla úhlová rychlost vstupního hřídele. Vzájemná interakce mezi hřídeli prostřednictvím zubových vazeb je vyjádřena maticemi tuhosti a tlumení zubových vazeb K G (t) = Z k z (t)c z c T z, B G = z=1 Z b z c z c T z, (3.8) z=1 vektorem vnitřního buzení v zubových vazbách f G (t) = Z [k z (t) z (t) + b z z (t)]c z (3.9) z=1 a nelineárním vektorem Z z=1 c zf z (d z, t) reprezentujícím vliv přerušení silového záběru v ozubení. Sestavený kondenzovaný model je silně nelineární a obsahuje několik zdrojů buzení. Zdroje buzení a speciální tvary matematického modelu lze shrnout analogicky jako v předchozí kapitole pro nelineární model zubového záběru.

15 3 DYNAMICKÁ ANALÝZA PŘEVODOVÝCH ÚSTROJÍ Modální analýza linearizovaného modelu Linearizovaný časově invariantní konzervativní model, který lze použít pro modální analýzu, má tvar ẍ(t) + (Λ + V T K B V + V T K G V )x(t) = 0, (3.10) kde časově proměnné tuhosti ozubení byly v maticích tuhosti zubových vazeb nahrazeny konstantními středními tuhostmi ozubení. V případě uvažování tlumení a gyroskopických účinků je nutné linearizovaný časově invariantní nekonzervativní model ẍ(t) + (D + ω 0 G + V T B B V + V T B G V )ẋ(t) + (Λ + V T K B V + V T K G V )x(t) = 0 (3.11) přepsat do stavového prostoru dimenze 2n podobně jako v předchozí kapitole. Více o modální analýze například v [10]. 3.3 Podmínky stálého záběru V této části budeme pracovat s linearizovaným kondenzovaným modelem převodového ústrojí ẍ(t) + (D + ω 0 G + V T B B V + V T B G V )ẋ(t) + (Λ + V T K B V + V T K G V )x(t) = V T [f E + f G (t)]. (3.12) Vektor f E, který reprezentuje torzní předepnutí převodového ústrojí, je sestaven podobně jako v (2.4). Řešení této pohybové rovnice lze rozepsat na součet statické a dynamické složky x(t) = x 0 + x dyn (t). (3.13) Statické řešení je dáno vztahem x 0 = ( Λ + V T (K B + K G ) V ) 1V T f E (3.14) Dynamickou složku x dyn (t) vypočítáme jako reálnou část komplexních výchylek ve tvaru x(t) = Z K z=1 k=1 x z,k e ikωzt. (3.15) Podobně jako u páru ozubených kol po vyjádření neznámých komplexních amplitud x z,k, z partikulárního řešení kondenzovaného modelu (3.12) dostaneme x dyn (t) = Re{ x(t) } = Z K (Re{ x z,k } cos kω z t Im{ x z,k } sin kω z t). (3.16) z=1 k=1

16 3 DYNAMICKÁ ANALÝZA PŘEVODOVÝCH ÚSTROJÍ 15 Transformacemi q 0 = V x 0 a q dyn = V x dyn a z podmínky { min d z(t) = min t 0,T v t 0,T v c T z [ q0 + q dyn (t) ] } + z (t) > 0. (3.17) určíme oblasti stálého silové záběru v ozubení z v závislosti na provozních parametrech. Čas T v, který určuje délku ustálené dynamické odezvy systému pro nalezení extrému, je závislý na budicí frekvenci. Naší snahou je navrhnout tento časový okamžik co nejkratší, aby se minimalizoval výpočetní čas, ale současně aby odezva obsahovala všechny fáze ustáleného kmitání, které je vybuzeno polyharmonicky. Testovací výpočty ukazují, že postačující je hodnota T v = 10 T max, kde T max je perioda harmonické složky buzení s nejmenší frekvencí. 3.4 Ustálená dynamická odezva převodového ústrojí Důležitým zdrojem vnitřního buzení jsou chyby v zubovém záběru způsobené například výrobními či montážními nepřesnostmi. Vektor vnitřního buzení v Z zubových záběrech je vyjádřen ve tvaru (3.9). Pro účely odvození ustálené dynamické odezvy na toto buzení vyjdeme z linearizovaného kondenzovaného modelu (3.12) pro f E = 0 ẍ(t) + (D + ω 0 G + V T B B V + V T B G V )ẋ(t) + (Λ + V T K B V + V T K G V )x(t) = V T f G (t) (3.18) a z kinematické úchylky ve tvaru (2.20) složené z harmonických složek s frekvencí rovnou k násobku zubové frekvence ω z o komplexních amplitudách z,k. Analogicky ve tvaru (3.15) vyjádříme hledané partikulární řešení popisující ustálené vibrace. Neznámé komplexní amplitudy výchylek x z,k vypočítáme po dosazení vztahů (3.15), (2.20) a (3.9) do rovnice (3.18), viz například [10], [14]. Komplexní amplitudy zobecněných výchylek q z,k = [ q z,k i ] ustálené odezvy v původním konfiguračním prostoru dostaneme po modální transformaci q z,k = V x z,k. (3.19) Současně je vhodné zavést také horní efektivní odhad amplitudy i-té zobecněné výchylky ˆq i (n) = Z K q z,k i 2 (3.20) z=1 k=1 jako funkci referenčních otáček n. Zubová frekvence ω z je se vstupními otáčkami n spjata vztahem ω z = p z ω 0 = p z πn 30, (3.21) kde p z je převodový poměr mezi zubovou frekvencí a úhlovou frekvencí vstupního hřídele.

17 3 DYNAMICKÁ ANALÝZA PŘEVODOVÝCH ÚSTROJÍ 16 Deformace převodového ústrojí při ustálených vibracích je možné kvantifikovat také zavedením amplitud skalární potenciální (deformační) energie převodovky při buzení k- tou harmonickou složkou úchylky v zubovém záběru z E z,k (n) = 1 2 xh z,k ( Λ + V T (K B + K G ) V ) x z,k, (3.22) a je-li to potřeba, lze zavést rovněž deformační energii vybraného subsystému j E (j) z,k (n) = 1 2 x(j) H m z,k Λ j x (j) z,k. (3.23) Analogicky se vztahem (3.20) pro zobecněné výchylky lze vypočítat horní efektivní odhady pro deformační energie Ê(n) = Z K E z,k 2. (3.24) z=1 k=1 V [10] a [14] jsou zavedeny další veličiny vhodné k popisu ustálené odezvy převodového ústrojí, jako třeba amplitudy deformace ozubení a ložisek, síly přenášené ozubením či reakce v ložiskách. Poslední důležitou veličinou, která by měla být zavedena v tomto odstavci, jsou tzv. rezonanční otáčky n z,k,ν. Jedná se o otáčky vstupního hřídele, při nichž k-tá harmonická složka kinematické úchylky v zubovém záběru z rezonuje s ν-tou vlastní frekvencí systému. To lze zapsat vztahem Ω ν = kω z a po dosazení z (3.21) 3.5 Aplikace n z,k,ν = 30 Ω ν πk p z. (3.25) Pro testovací úlohy byla využita dvouhřídelová modelová převodovka s jedním zubovým záběrem a čtyřmi valivými ložiskovými vazbami, jejíž model byl převzat z publikace [6]. Obrázek 6: Schematické znázornění testovací převodovky.

18 3 DYNAMICKÁ ANALÝZA PŘEVODOVÝCH ÚSTROJÍ 17 Schematicky je testovací převodovka znázorněna na obr. 6. Subsystém skřín (j = 3) byl modelován v systému ANSYS, hřídelové subsystémy (j = 1, 2) a následně celý model převodového ústrojí byly modelovány vlastním programovým vybavením v systému MATLAB Modální analýza Byly prováděny různé modální analýzy různých modelů celého systému i subsystémů. Většina výsledků těchto analýz sloužila hlavně pro verifikaci programového vybavení a hlubší pochopení chování modelového převodového ústrojí. Tabulka obsahující vlastních frekvence f ν v Hertzích konzervativního modelu převodovky, teoretické rezonanční otáčky (3.25) a deformační energie (3.22) je uvedena v příloze Mapa ztráty silového záběru v ozubení Mapa ztráty silového záběru v ozubení modelové převodovky v závislosti na počátečním statickém torzním předpětí ϕ a otáčkách vstupního hřídele je na obrázku 7. PSfrag replacements ϕ = ϕ1 = ϕ e 06 1e e 05 4e 06 1e 06 7e 06 1e e 05 4e Otáčky [1/min] Obrázek 7: Mapa ztráty silového záběru pro modelovou převodovku. 1e 06 7e 06 1e 05 4e 06 7e 06 1e 06 4e 06 1e 06 1e 06 4e Numerické řešení nelineárního modelu Na modelu (3.5) byla vyšetřena odezva systému metodou přímé numerické integrace při konstantních provozních otáčkách hnacího hřídele n = 1500 ot/min pro různé hodnoty statického předepnutí ϕ a pro zvolenou vůli v ozubení u z = 40 µm. Na obrázku 8 jsou ve fázové rovině zobrazeny ustálené fázové trajektorie deformace ozubení pro vybraná statická předepnutí. Bylo zjištěno, že v případě respektování tuhosti hřídelů, na nichž jsou ozubená kola nasazena, vymizí ostrá kvalitativní změna chování systému, která se projevila ve výsledcích získaných pro model páru ozubených kol. Časové průběhy byly získány Runge-Kuttovou metodu přímé integrace čtvrtého řádu implementovanou v programovém systému MATLAB 6.5.

19 3 DYNAMICKÁ ANALÝZA PŘEVODOVÝCH ÚSTROJÍ 18 Sfrag replacements rychlost deformace ozubení PSfrag replacements deformace ozubení [µm] (a) ϕ = 0.01 rad x 10 5 rychlost deformace ozubení deformace ozubení [µm] (b) ϕ = rad x 10 5 PSfrag replacements rychlost deformace ozubení deformace ozubení [µm] (c) ϕ = rad x 10 6 Obrázek 8: Ustálené fázové trajektorie deformace ozubení

20 4 OPTIMALIZACE PŘEVODOVÝCH ÚSTROJÍ 19 4 Optimalizace převodových ústrojí Optimalizace, při níž klademe na výsledné vlastnosti mechanického systému určité požadavky, je jedním z hlavních smyslů matematického modelování. Snažíme se najít algoritmy dovolující různými způsoby hledat modifikované parametry systému tak, aby měl systém z námi preferovaného pohledu optimální vlastnosti. Jestliže máme vytvořen postačující parametrizovaný matematický model mechanického systému a jsou provedeny potřebné analýzy, dalším logickým krokem je optimalizace. Potom je nutné zamyslet se nad různými specifickými problémy vyvstávajícími při návrhu optimalizační úlohy. Jedním z těchto problémů je volba cílové (kriteriální) funkce a na to navazující výběr optimalizační metody a parametrů výpočtu. V této kapitole jsou zavedeny různé typy cílových funkcí pro konkrétní úlohu minimalizace ustálených vibrací převodových ústrojí. Převodové ústrojí je uvážováno jako komplexní mechanický systém složený z vnitřní rotující vestavby provázané se statorovou částí (skříní) pomocí pružně-viskózních ložiskových vazeb. Výsledný kondenzovaný model dovoluje analyzovat kmitání rotorové i statorové části převodovky. Jsou zde porovnány výsledky optimalizačních úloh při použití různých typů cílových funkcí a různých optimalizačních metod. 4.1 Optimalizace převodových ústrojí z hlediska potlačení ustálené odezvy Cílem konstruktérů je navrhnout převodové ústrojí tak, aby mělo pro daný rozsah provozních otáček dobré dynamické vlastnosti. Hlavní snahou je zejména potlačit ustálené vibrace, které způsobují nadměrné chvění a s tím spojený hluk a snižující se životnost stroje. Jedná se tedy o úlohu minimalizace ustálené dynamické odezvy převodového ústrojí. Jestliže máme vytvořen postačující matematický model (3.12) a odvozenu ustálenou odezvu (3.15), dalším důležitým krokem je volba cílové funkce optimalizační úlohy. Tato volba mimo jiné závisí na použitém výpočtovém prostředí a na implementovaných metodách matematické optimalizace. Nejpřirozenější volbou je výběr cílové funkce složené přímo z amplitud ustálených zobecněných výchylek či jejich horních efektivních odhadů (3.20). Uvědomíme-li si, kolik zobecněných souřadnic mají rozsáhlé modely, a že je naším cílem postihnout větší interval otáček, je jasné, že počet výchylek, které by bylo nutné zahrnout do této kriteriální funkce, by byl příliš velký. Proto je výhodnější najít takovou veličinu, která vyjadřuje úroveň kmitání systému pro jedny referenční otáčky, a která je pokud možno skalární. Toto kritérium splňuje například deformační (potenciální) energie (3.22), jenž popisuje jednou skalární hodnotou úroveň deformací mechanického systému pro jedno konkrétní buzení a vybrané otáčky. Protože pracujeme s lineárním systémem, můžeme pro buzení různými harmonickými složkami kinematického buzení a stále stejné otáčky použít rovněž horní efektivní odhady (3.24). V následujících úvahách budeme předpokládat, že chceme minimalizovat ustálené vibrace celé převodovky. Proto budeme pracovat s deformační energií převodového ústrojí vyjádřenou vztahem (3.22) a jejími horními efektivními odhady. Jestliže by

21 4 OPTIMALIZACE PŘEVODOVÝCH ÚSTROJÍ 20 bylo naším cílem minimalizovat ustálené vibrace vybraného subsystému nebo skupiny subsystémů, použili bychom pouze jiné vyjádření deformační energie podle (3.23) a všechny ostatní úvahy by dále zůstaly v platnosti. Původní optimalizační (návrhové, konstrukční) parametry p s, s = 1, 2,..., S, na nichž závisí hodnota cílová funkce, převedeme na relativní optimalizační parametry vůči původním hodnotám p s0 těchto parametrů na startu p s = p s p s0, s = 1, 2,..., S, a sdružíme je do vektoru p = [ p s ]. Takto zavedené relativní parametry přinášejí celou řadu výhod, od lepší přehlednosti při vyhodnocování výsledků optimalizace, přes lepší numerický výpočet citlivostí, až po lepší numerickou stabilitu. Jestliže označíme množinu omezujících podmínek O, pomocí níž zavádíme pro návrhové parametry triviální nerovnicová omezení s dolními závorami p s d a s horními závorami p s h, můžeme obecně definovat optimalizační úlohu se zatím blíže neurčenou cílovou funkcí min p O ψ( p), O = { p s, s = 1, 2,..., S p d s p s p h s }. (4.1) Uveďme si nyní šest různých typů cílových funkcí pro úlohu minimalizace ustálených vibrací převodových ústrojí v provozním režimu (A) Skalární cílová funkce pro jedny provozní otáčky n 0 n n 0 n, n 0 + n. (4.2) ψ( p) = Ê(n 0, p). Jedná se o nejjednoduší kriteriální funkci, jejíž výpočet klade nejmenší nároky na čas. Vybrané provozní otáčky n 0 jsou zpravidla otáčky uprostřed předpokládaného úzkého provozního intervalu ( n n 0 ) u stacionárních převodových ústrojí nebo otáčky, při kterých nabývá horní efektivní odhad deformační energie maxima. Při použití této cílové funkce se snažíme minimalizovat ustálenou odezvu pouze při vybraných otáčkách a doufáme, že se sníží také odezva v okolí vybraných otáček. Někdy je tato strategie správná a v některých případech se naopak objeví nový rezonanční vrchol v sousední oblasti. (B) Skalární cílová funkce pro více provozních otáček ψ( p) = i g i Ê(n i, p). Tato cílová funkce má tvar váženého součtu horních efektivních odhadů deformačních energií převodovky pro více vybraných provozních otáček z intervalu (4.2). Váhy g i volíme podle toho, zda chceme preferovat určité otáčky či určitý podinterval z vybraných otáček. Výběr otáček n i provádíme podle vlastního uvážení opět podle toho,

22 4 OPTIMALIZACE PŘEVODOVÝCH ÚSTROJÍ 21 v které části provozní oblasti (4.2) chceme nejvíce minimalizovat ustálenou odezvu. Běžně se volí tyto otáčky ekvidistantně rozložené po celém intervalu s krokem δn, což lze zapsat vztahem n i = n 0 n + i δn, kde i = 0, 1,..., 2 n δn. Nevýhody i výhody výběru této kriteriální funkce jsou zřejmé. Její vícekriteriálnost a případný velký počet zahrnutých horních efektivních odhadů ztěžují optimalizační výpočet a prodlužují potřebný čas. Můžeme si být naopak jisti, že při malém kroku δn se nám ve sledovaném intervalu neobjeví vlivem změny parametrů při optimalizaci jiný rezonanční vrchol, který nebude zahrnut do procesu minimalizace. To je samozřejmě při správném navržení vybraných otáček n i velká výhoda. (C) Vektorová cílová funkce pro více provozních otáček [ ] ψ( p) = g i Ê(n i, p). Jestliže máme k dispozici prostředky pro řešení optimalizačních úloh s vektorovou cílovou funkcí, můžeme použít formulaci cílové funkce ve tvaru vektoru složeného, stejně jako v předchozím případě, z vážených hodnot horních efektivních odhadů deformačních energií pro více vybraných otáček. Pro volbu otáček platí vše, co bylo napsáno v předchozím případě (B). Výhody a nevýhody jsou téměř stejné, ale u cílové funkce (C) lze lépe kontrolovat minimalizaci energií pro jednotlivé provozní otáčky, protože jsou všechny hodnoty seřazeny do vektoru, jehož prvky se minimalizují, a nejsou sečteny pouze do jedné skalární hodnoty. (D) Skalární cílová funkce pro jedny rezonanční otáčky n z,k,ν ψ( p) = E z,k (n z,k,ν, p). Tato i následující cílové funkce už nejsou složeny z horních efektivních odhadů, ale přímo z deformačních energií (3.22). Výběr energií E z,k (n z,k,ν, p) je založen na předpokladu, že existují teoretické rezonanční otáčky n z,k,ν, viz (3.25), při nichž k-tá harmonická složka kinematické úchylky v zubovém záběru z rezonuje s ν-tou vlastní frekvencí. Před startem optimalizační úlohy je nutné vypočítat hodnoty energií E z,k (n z,k,ν, p 0 ) pro všechny n z,k,ν spadající do intervalu provozních otáček (4.2) a vybrat takové z, k a ν, pro něž nabývají deformační energie největších hodnot. Do cílové funkce (D) je poté zahrnuta pouze energie s maximální hodnotou na počátku, odpovídající největšímu rezonačnímu vrcholu. V každém výpočtu cílové funkce se nejprve musí provádět modální analýza systému a pro určené k, z a ν vypočítat otáčky n z,k,ν. Výhodou této kriteriální funkce je opět rychlost jejího výpočtu, protože se počítá pouze jedna deformační energie, ale to je naopak její slabinou, jelikož po změně parametrů se může změnit poloha rezonačního vrcholu a může začít rezonavat jiná vlastní frekvence Ω ν.

23 4 OPTIMALIZACE PŘEVODOVÝCH ÚSTROJÍ 22 (E) Skalární cílová funkce pro více rezonančních otáček ψ( p) = z,k,ν g z,k,ν E z,k (n z,k,ν, p). Pro zlepšení efektivnosti optimalizace v intervalu rezonančních otáček je výhodné volit cílovou funkci jako vážený součet deformačních energií pro více rezonančních otáček. Tyto otáčky lze volit například tak, že vybereme všechny n z,k,ν, které spadají do provozního intervalu. Tím nám sice vzroste výpočetní čas, ale na druhou stranu minimalizujeme energie pro všechny rezonanční stavy z provozního intervalu. (F) Vektorová cílová funkce pro více rezonančních otáček ψ( p) = [ g z,k,ν E z,k (n z,k,ν, p) ]. Stejně jako u cílových funkcí (B) a (C), lze také vážené energie u cílové funkce (E) sdružit do vektoru a sestavit tak vektorovou cílovou funkci (F). Výhody této volby oproti volbě (E) jsou analogické jako v případech (B) a (C). Všechny výše uvedené cílové funkce jsou nelineární, proto musíme mít na paměti, že je nutné použít pro výpočet metody nelineární matematické optimalizace. Námi použité metody jsou popsány v následujícím odstavci. Není také nezbytně nutné volit vazební podmínky pro parametry pouze ve tvaru triviálních omezení, ale je možné, jestliže to dovoluje optimalizační metoda, vybrat jakákoliv jiná omezení požadovaná z konstrukčního hlediska. Jednou z metod pro vylepšení optimalizačního výpočtu, která zde nebyla zmíněna, je tzv. několikaetapové řešení. Optimalizační úloha se řeší v několika krocích, přičemž na startu nového kroku se vždy znovu vyhodnotí maxima deformačních energií a formuluje se nová optimalizační funkce. Chceme-li vybrat z množiny všech návrhových parametrů jenom ty parametry, na jejichž změnu je cílová funkce nejvíce citlivá, je vhodné použít citlivostní analýzu. Analytickým metodám určení citlivosti vlastních čísel rozsáhlých rotujících systémů se věnuje publikace [12], toho lze částečně využít při výběru parametrů pro cílové funkce (D), (E) a (F). Analyticky lze rovněž odvodit vztahy pro citlivost deformační energie na změnu návrhových parametrů. Touto problematikou by se měla zabývat některá z dalších publikací. 4.2 Numerické experimenty na testovací převodovce Pro numerické testování byla využita modelová převodovka. Výsledný kondenzovaný model, který byl použit pro numerické testování, měl 220 stupňů volnosti (m 1 = 60, m 2 = 60, m 3 = 100). Kinematická úchylka v zubové záběru byla aproximována třemi harmonickými složkami o amplitudách 1,1 = m, 1,2 = 1,1 2, 1,3 = 1,1 3.

24 4 OPTIMALIZACE PŘEVODOVÝCH ÚSTROJÍ 23 Provozní interval otáček vstupního hřídele byl zvolen v rozmezí n 2800, 3200, tedy podle (4.2) platí n 0 = 3000 ot./min a n = 200 ot./min. Pro optimalizační výpočty jsme použili Optimalizační toolbox MATLABu [8], který obsahuje velmi propracované nástroje pro nelineární optimalizaci. Úlohy se skalárními cílovými funkcemi byly řešeny pomocí procedury fmincon a úlohy s vektorovými cílovými funkcemi pomocí procedury fminimax. Obě optimalizační procedury dovolují zavedení všech typů vazbových podmínek včetně nelineárních, jsou založeny na metodách sekvenčního kvadratického programování, více viz [8], a hledají pouze lokální minima kriteriální funkce. Na počátku optimalizace lze volit konstanty řídící ukončování výpočtu a různé jiné řídící parametry. Procedura fminimax, která řeší úlohu minimaxu, dovoluje uživateli určit počet maxim z vektoru cílové funkce, jež se budou při výpočtu minimalizovat. Vstupní (index j = 1) a výstupní (j = 2) hřídel byly diskretizovány na 28 dvouuzlových hřídelových konečných prvků. Na obr. 6 jsou označeny číslem pouze uzly těchto konečných prvků a pro označení prvků platí, že e-tému konečnému prvku na prvním hřídeli přísluší uzly e a e + 1 a e-tému konečnému prvku na druhém hřídeli přísluší uzly e + 15 a e Jestliže označíme průměr e-tého konečného prvku na j-tém hřídeli jako D e (j), lze zavést návrhové parametry D I D V I tak, aby v nich byly zahrnuty požadavky na rovnost vybraných průměrů v optimalizačním procesu. V našem případě jsme zvolili D I = D (1) 1 = D (1) 2 = D (1) 13 = D (1) 14, D II = D (1) 3 =... = D (1) 6 = D (1) 9 =... = D (1) 12, D III = D (1) 7 = D (1) 8. První skupina D I zahrnuje užší krajní části hřídele, druhá skupina D II silnější střední část hřídele bez dvou prostředních prvků pod nábojem nalisovaného ozubeného kola a třetí skupina D III označuje právě zbývající dva konečné prvky pod ozubeným kolem. Analogicky jsou zavedeny tři skupiny D IV, D V a D V I u druhého hřídele. Dalšími optimalizačními parametry je tuhost ozubení k G a tuhosti ložisek k B1, k B2, k B3 a k B4. Tuhostí ložiska zde rozumíme hlavní tuhost ve směru statického zatížení. Vedlejší příčná tuhost a případná axiální tuhost jsou s hlavní tuhostí svázány přes proporcionální koeficienty. Všechny vyjmenované parametry byly zahrnuty do vektoru relativních optimalizačních parametrů p. Triviální omezení kladené na tyto parametry jsou shrnuty v tab. 2. Během optimalizace se neměnily poměrné útlumy definující materiálové tlumení jednotlivých subsystémů a rovněž stejné jako na startu zůstávaly koeficienty tlumení ozubení a ložiskových vazeb. V systému MATLAB byly implementovány všechny cílové funkce popsané v předchozím odstavci. Výsledné hodnoty optimalizačních parametrů z testovacích úloh jsou zapsány v tab. 3. V tabulce je dále uveden počet vyčíslení cílové funkce během jednotlivých výpočtů feval a výsledný čas výpočtu t v. Váhy g i a g z,k,ν byly ve všech případech rovny jedné. Tab. 2: Horní a dolní závory pro triviální omezení návrhových parametrů. D I DII DIII DIV DV DV I kg kb1 kb2 kb3 kb4 p d s 0, 9 0, 9 0, 9 0, 9 0, 9 0, 9 0, 5 0, 5 0, 5 0, 5 0, 5 p h s 1, 1 1, 1 1, 1 1, 1 1, 1 1,

25 4 OPTIMALIZACE PŘEVODOVÝCH ÚSTROJÍ 24 Tab. 3: Hodnoty vybraných návrhových parametrů, časy výpočtů a počty výčíslení cílové funkce po optimalizaci s různými cílovými funkcemi. (A) (B) (C) (D) (E) (F) D I 0,9 1,041 0,9 0, ,949 D II 0,9 0,9 0,9 0,933 0,9 0,9 D III 1,1 0,9 1,016 1,1 1,1 1,1 D IV 0,9 1,074 0,914 0,901 0,9 0,933 D V 0,9 1,1 0,954 0,904 0,91 0,993 D V I 1 1,099 1,099 0,9 0,965 0,999 k G 0,568 0,504 0,524 0,5 0,5 0,571 k B1 1, ,322 0,92 1,563 1,387 k B2 1,649 0,786 0,879 0,5 1,994 1,018 k B3 2 1,837 1,649 0,972 1,36 1,364 k B4 0,75 0,584 0,959 0,798 1,929 1,562 feval t v [min] 3 88, ,8 25,5 Cílová funkce v případě (A) měla tvar horního efektivního odhadu deformační energie pro otáčky n = /min, což jsou otáčky, při nichž nastává pro startovací parametry maximální rezonanční stav. Do cílové funkce (B) byly zahrnuty horní efektivní odhady pro otáčky z provozního intervalu převodovky s krokem δn = 10 1/min a do vektorové cílové funkce (C) s krokem δn = 5 1/min. Navíc byla v případě (C) zvolena minimalizace sta maximálních hodnot z vektoru cílové funkce. Po analýze rezonačních stavů byla do kriteriální funkce (D) vybrána energie E z,k (n z,k,ν ) pro z = 1, k = 2 a ν = 98, což na startu odpovídá otáčkám n z,k,ν = /min. V cílových funkcích (E) a (F) byly zahrnuty energie pro všechny teoretické rezonanční otáčky n z,k,ν spadající do provozního intervalu. Těchto otáček bylo celkem 66 a v případě funkce (F) bylo minimalizováno všech 66 prvků z vektoru cílové funkce. Z tabulky je vidět, že pro každý typ cílové funkce nalezly optimalizační procedury jiné hodnoty výsledných návrhových parametrů. To je dáno samozřejmě rozdílností cílových funkcí a také tím, že procedury z Optimalizačního toolboxu hledají pouze lokální minima. Přesto lze u některých parametrů vysledovat určitý trend, například tuhost ozubení k G by měla být pro snížení ustálené odezvy celého převodového ústrojí menší. Výsledné časy výpočtů (na PC s procesorem Intel Pentium 4 1,8 GHz a pamětí 512 MB) splňují teoretická očekávání, snad jen v případě (F) bylo dosaženo ukončovací podmínky po výrazně kratším čase a méně iteracích. Pro důsledné porovnání všech cílových funkcí bylo zapotřebí vykreslit průběh amplitudových charakteristik deformační energie na širším intervalu otáček. Tři cílové funkce jsou takto porovnány v grafu na obr. 9. Z tohoto srovnání vychází nejlépe cílová funkce typu (E), naopak nejméně efektivní je optimalizace typu (D), kde se už těsně

26 4 OPTIMALIZACE PŘEVODOVÝCH ÚSTROJÍ 25 za provozním intervalem otáček objevuje menší rezonanční vrchol. Ze všech provedených testovacích výpočtů a srovnání lze učinit několik závěrů a doporučení. Jestliže nepožadujeme velkou efektivnost minimalizace, zajímá nás pouze úzký provozní režim otáček a požadujeme rychlý výpočet, jsou nejlepší cílové funkce (A) a (D). Chceme-li minimalizovat na širším intervalu otáček s velkou efektivností minimalizace, jsou lepší ostatní cílové funkce. Výhodnější je vždy použít spíše vektorovou cílovou funkci, jsouli k dispozici příslušné metody. Rovněž je výhodnější použít cílové funkce typu (E) a (F), v kterých jsou zahrnuty přímo rezonanční otáčky, a máme jistotu, že nám neunikne žádný rezonanční vrchol v důsledku špatně zvoleného kroku δn u cílových funkcí (B) a (C). 4.3 Dílčí závěry V přechozích odstavcích jsou popsány různé typy cílových funkcí, které jsou využitelné při minimalizaci ustálené dynamické odezvy převodových ústrojí na buzení kinematickými úchylkami v ozubení. Převodová ústrojí jsou zde uvažována včetně rotorové i statorové části. Cílové funkce jsou navrženy pomocí deformačních energií a jejich horních efektivních odhadů, ale uvedené závěry lze zobecnit také na kriteriální funkce stejných typů obsahující jiné dynamické veličiny, například amplitudy síly přenášené ozubením. Provedené numerické experimenty ukázaly, že chceme-li efektivně minimalizovat ustálenou odezvu na širším intervalu provozních otáček, je nutné použít cílovou funkci složenou z více deformačních energií při různých otáčkách. Výhodný se ukázal především přístup přes teoretické rezonanční otáčky, definované v (3.25). 7 x 10 3 PSfrag replacements Ê(n) [J] Deformační energie Před optimalizací Po optimalizaci (C) Po optimalizaci (D) Po optimalizaci (E) Otáčky n [1/min] Obrázek 9: Srovnání výsledků minimalizace deformační energie při ustálených vibracích testovací převodovky pro různé volby cílové funkce.

27 LITERATURA 26 Literatura [1] Byrtus, M.: Modelling of gearboxes with time dependent meshing stiffness. In Zeszyty naukowe Katedry Mechaniki Stosowanej, zeszyt nr 21, Proceedings of the conference Applied Mechanics 2003, Jaworzynka, Poland, 2003, pp , ISBN [2] Doležal Z.: Modelování dynamických jevů v záběru moderního čelního ozubení. Výzkumná zpráva VZLÚ - TURBOMOTOR s.r.o. V-018/95, Praha [3] Dresig, H.: Schwingungen mechanischer Antriebsysteme. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, [4] Hajžman, M.: Příspěvek k optimalizaci převodových ústrojí. In Sborník konference Výpočtová mechanika 2003, Západočeská univerzita v Plzni, Plzeň, 2003, pp , ISBN [5] Hajžman, M. Zeman, V. Byrtus, M.: Forced vibrations of gearboxes with time dependent meshing stiffnesses. In PAMM Proceedings in Applied Mathematics and Mechanics, vol. 3, Wiley-VCH Verlag, Weinheim, 2003, pp , ISSN [6] Kato, M. and kol.: Evaluation of sound power radiated by a gearbox. In Proccedings of the International Gearing Conference 1994, University of Newcastle upon Tyne, 1994, pp [7] Krämer, E.: Dynamics of Rotors and Foundations. Springer-Verlag, Berlin, [8] Optimization Toolbox User s Guide. Mathworks, Inc., electronic documentation. [9] Rivin, E.I.: Stiffness and Damping in Mechanical Design. Marcel Dekker, Inc., New York, Basel, [10] Slavík, J. Stejskal, V. Zeman, V.: Základy dynamiky strojů. Vydavatelství ČVUT, Praha, [11] Thompson J. M. T., Stewart H. B.: Nonlinear Dynamics and Chaos. John Wiley & Sons, [12] Zeman, V., Byrtus, M., Hajžman, M.: Eigenvalues sensitivity of the large rotating systems. Proceedings of the Sixth International Conference on Vibration Problems, Liberec, Czech Republic, 2003, full paper on cd-rom. [13] Zeman V., Hlaváč Z.: Dynamics of the car gearbox by the modal synthesis method. In: Proceedings of the Abstract 6 th International Conference of Gear Drives, Slovak University of Technology, Trnava 2002, str. 46 (plný text na CD-ROM). [14] Zeman, V. Hlaváč, Z.: Mathematical modelling of vibration of gear transmissions by modal synthesis method. Proceedings of the Ninth World Congress on the Theory of Machines and Mechanisms, Milano, Italy, 1995, pp

3.2 Rovnice postupné vlny v bodové řadě a v prostoru

3.2 Rovnice postupné vlny v bodové řadě a v prostoru 3 Vlny 3.1 Úvod Vlnění můžeme pozorovat například na vodní hladině, hodíme-li do vody kámen. Mechanické vlnění je děj, při kterém se kmitání šíří látkovým prostředím. To znamená, že například zvuk, který

Více

9. Úvod do teorie PDR

9. Úvod do teorie PDR 9. Úvod do teorie PDR A. Základní poznatky o soustavách ODR1 Diferenciální rovnici nazveme parciální, jestliže neznámá funkce závisí na dvou či více proměnných (příslušná rovnice tedy obsahuje parciální

Více

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný

Více

+ ω y = 0 pohybová rovnice tlumených kmitů. r dr dt. B m. k m. Tlumené kmity

+ ω y = 0 pohybová rovnice tlumených kmitů. r dr dt. B m. k m. Tlumené kmity Tlumené kmit V praxi téměř vžd brání pohbu nějaká brzdicí síla, jejíž původ je v třecích silách mezi reálnými těles. Matematický popis těchto sil bývá dosti komplikovaný. Velmi často se vsktuje tzv. viskózní

Více

MODIFIKOVANÝ KLIKOVÝ MECHANISMUS

MODIFIKOVANÝ KLIKOVÝ MECHANISMUS MODIFIKOVANÝ KLIKOVÝ MECHANISMUS Michal HAJŽMAN Tento materiál je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Vyšetřování pohybu vybraných mechanismů v systému ADAMS

Více

2 Spojité modely rozhodování

2 Spojité modely rozhodování 2 Spojité modely rozhodování Jak již víme z přednášky, diskrétní model rozhodování lze zapsat ve tvaru úlohy hodnocení variant: f(a i ) max, a i A = {a 1, a 2,... a p }, kde f je kriteriální funkce a A

Více

VYVAŽOVÁNÍ ROTOROVÝCH SOUSTAV - 1. část

VYVAŽOVÁNÍ ROTOROVÝCH SOUSTAV - 1. část 1 Úvod VYVAŽOVÁNÍ ROTOROVÝCH SOUSTAV - 1 část Prof Ing Miroslav Balda, DrSc Ústav termomechaniky AVČR, Veleslavínova 11, 301 14 Plzeň, tel: 019-7236584, fax: 019-7220787, mbalda@ufyzcucz Rotor při svém

Více

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE. Optimalizace trasy při revizích elektrospotřebičů

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE. Optimalizace trasy při revizích elektrospotřebičů VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY Hlavní specializace: Ekonometrie a operační výzkum Název diplomové práce Optimalizace trasy při revizích elektrospotřebičů Diplomant: Vedoucí

Více

Fyzikální praktikum 1

Fyzikální praktikum 1 Fyzikální praktikum 1 FJFI ČVUT v Praze Úloha: #9 Základní experimenty akustiky Jméno: Ondřej Finke Datum měření: 3.11.014 Kruh: FE Skupina: 4 Klasifikace: 1. Pracovní úkoly (a) V domácí přípravě spočítejte,

Více

Elektronický učební text pro podporu výuky klasické mechaniky pro posluchače učitelství I. Mechanika hmotného bodu

Elektronický učební text pro podporu výuky klasické mechaniky pro posluchače učitelství I. Mechanika hmotného bodu Elektronický učební text pro podporu výuky klasické mechaniky pro posluchače učitelství I Mechanika hmotného bodu Autor: Kateřina Kárová Text vznikl v rámci bakalářské práce roku 2006. Návod na práci s

Více

Regulace frekvence a napětí

Regulace frekvence a napětí Regulace frekvence a napětí Ivan Petružela 2006 LS X15PES - 5. Regulace frekvence a napětí 1 Osnova Opakování Blokové schéma otáčkové regulace turbíny Statická charakteristika (otáčky, výkon) turbíny Zajištění

Více

DIPLOMOVÁ PRÁCE OPTIMALIZACE MECHANICKÝCH

DIPLOMOVÁ PRÁCE OPTIMALIZACE MECHANICKÝCH DIPLOMOVÁ PRÁCE OPTIMALIZACE MECHANICKÝCH VLASTNOSTÍ MECHANISMU TETRASPHERE Vypracoval: Jaroslav Štorkán Vedoucí práce: prof. Ing. Michael Valášek, DrSc. CÍLE PRÁCE Sestavit programy pro kinematické, dynamické

Více

3. D/A a A/D převodníky

3. D/A a A/D převodníky 3. D/A a A/D převodníky 3.1 D/A převodníky Digitálně/analogové (D/A) převodníky slouží k převodu číslicově vyjádřené hodnoty (např. v úrovních TTL) ve dvojkové soustavě na hodnotu nějaké analogové veličiny.

Více

Reference 10. Předpokládejme stavový popis spojitého, respektive diskrétního systému

Reference 10. Předpokládejme stavový popis spojitého, respektive diskrétního systému Módy systému Teorie dynamických systémů Obsah Úvod 2 Příklady 2 3 Domácí úlohy 8 Reference Úvod Řešení stavových rovnic Předpokládejme stavový popis spojitého, respektive diskrétního systému ẋ(t)=ax(t)+bu(t)

Více

1 Úvod 2 Vznik vibrací u elektromotorů a poháněných strojů

1 Úvod 2 Vznik vibrací u elektromotorů a poháněných strojů 1 Úvod 2 Vznik vibrací u elektromotorů a poháněných strojů V kapitole jsou uvedeny základní principy vzniku chvění, jeho analýzy a interpretace. 2.1 Základní principy vzniku vibrací Vznik vibrací lze jednoduše

Více

Úvod do analytické mechaniky

Úvod do analytické mechaniky Úvod do analytické mechaniky Vektorová mechanika, která je někdy nazývána jako Newtonova, vychází bezprostředně z principů, které jsou vyjádřeny vztahy mezi vektorovými veličinami. V tomto případě např.

Více

Experimentální metody EVF II.: Mikrovlnná

Experimentální metody EVF II.: Mikrovlnná Experimentální metody EVF II.: Mikrovlnná měření parametrů plazmatu Vypracovali: Štěpán Roučka, Jan Klusoň Zadání: Měření admitance kolíku impedančního transformátoru v závislosti na hloubce zapuštění.

Více

V praxi pracujeme s daty nominálními (nabývají pouze dvou hodnot), kategoriálními (nabývají více

V praxi pracujeme s daty nominálními (nabývají pouze dvou hodnot), kategoriálními (nabývají více 9 Vícerozměrná data a jejich zpracování 9.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat, hledáme souvislosti mezi dvěmi, případně více náhodnými veličinami. V praxi pracujeme

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ VÝZKUMNÁ ZPRÁVA STABILITA VYBRANÝCH KONFIGURACÍ KOLEJOVÉHO SVRŠKU

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ VÝZKUMNÁ ZPRÁVA STABILITA VYBRANÝCH KONFIGURACÍ KOLEJOVÉHO SVRŠKU VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ INFRAM a.s., Česká republika VÝZKUMNÁ ZPRÁVA STABILITA VYBRANÝCH KONFIGURACÍ KOLEJOVÉHO SVRŠKU Řešitel Objednatel Ing. Petr Frantík, Ph.D. Ústav stavební

Více

Vedení tepla v MKP. Konstantní tepelné toky. Analogické úlohám statiky v mechanice kontinua

Vedení tepla v MKP. Konstantní tepelné toky. Analogické úlohám statiky v mechanice kontinua Vedení tepla v MKP Stacionární úlohy (viz dále) Konstantní tepelné toky Analogické úlohám statiky v mechanice kontinua Nestacionární úlohy (analogické dynamice stavebních konstrukcí) 1 Základní rovnice

Více

VIBRAČNÍ DIAGNOSTIKA ZÁKLADNÍCH ZÁVAD STROJŮ

VIBRAČNÍ DIAGNOSTIKA ZÁKLADNÍCH ZÁVAD STROJŮ TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta strojní Katedra vozidel a motorů VIBRAČNÍ DIAGNOSTIKA ZÁKLADNÍCH ZÁVAD STROJŮ Doc. Dr. Ing. Pavel NĚMEČEK Doc. Dr. Ing. Elias TOMEH LIBEREC 2010 1 OBSAH POŽITÁ OZNAČENÍ...

Více

ŠROUBOVÝ A PROSTOROVÝ POHYB ROTAČNĚ SYMETRICKÉHO TĚLESA

ŠROUBOVÝ A PROSTOROVÝ POHYB ROTAČNĚ SYMETRICKÉHO TĚLESA ŠROUBOVÝ A PROSTOROVÝ POHYB ROTAČNĚ SYMETRICKÉHO TĚLESA Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc Pojem šroubového pohybu Šroubový pohyb je definován jako pohyb, jejž lze ve vhodném referenčním bodě rozložit

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Numerické metody jednorozměrné minimalizace

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Numerické metody jednorozměrné minimalizace UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Numerické metody jednorozměrné minimalizace Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Horymír

Více

KMS cvičení 9. Ondřej Marek

KMS cvičení 9. Ondřej Marek KMS cvičení 9 Ondřej Marek SYSTÉM S n DOF ŘEŠENÍ V MODÁLNÍCH SOUŘADNICÍCH Pohybové rovnice lineárního systému: U je modální matice, vlastní vektory u 1, u 2,..., u n jsou sloupce v matici U x - vektor

Více

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS EEKTŘINA A MAGNETIZMUS XII Střídavé obvody Obsah STŘÍDAÉ OBODY ZDOJE STŘÍDAÉHO NAPĚTÍ JEDNODUHÉ STŘÍDAÉ OBODY EZISTO JAKO ZÁTĚŽ 3 ÍKA JAKO ZÁTĚŽ 5 3 KONDENZÁTO JAKO ZÁTĚŽ 6 3 SÉIOÝ OBOD 7 3 IMPEDANE 3

Více

Řízení a regulace II. Analýza a řízení nelineárních systémů Verze 1.34 8. listopadu 2004

Řízení a regulace II. Analýza a řízení nelineárních systémů Verze 1.34 8. listopadu 2004 Řízení a regulace II Analýza a řízení nelineárních systémů Verze 1.34 8. listopadu 2004 Prof. Ing. František Šolc, CSc. Ing. Pavel Václavek, Ph.D. Prof. Ing. Petr Vavřín, DrSc. ÚSTAV AUTOMATIZACE A MĚŘICÍ

Více

ČÁST VI - K M I T Y A V L N Y

ČÁST VI - K M I T Y A V L N Y ČÁST VI - K M I T Y A V L N Y 23. Harmonický oscilátor 24. Vlnění 25. Elektromagnetické vlnění 26. Geometrická optika 27. Fyzikální optika 28. Nelineární optika 261 Periodické pohyby částic a těles (jako

Více

K přednášce NUFY028 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 01 10. Spojitá prostředí: rovnice struny Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 2014

K přednášce NUFY028 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 01 10. Spojitá prostředí: rovnice struny Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 2014 K přednášce NUFY8 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 1 1 Spojitá prostředí: rovnice strun Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 14 Spojitá prostředí: rovnice strun Dosud jsme se zabývali pohbem soustav

Více

Fakulta strojního inženýrství VUT v Brně Ústav konstruování. KONSTRUOVÁNÍ STROJŮ převody. Přednáška 6

Fakulta strojního inženýrství VUT v Brně Ústav konstruování. KONSTRUOVÁNÍ STROJŮ převody. Přednáška 6 Fakulta strojního inženýrství VUT v Brně Ústav konstruování KONSTRUOVÁNÍ STROJŮ převody Přednáška 6 Pevnostní výpočet čelních ozubených kol Don t force it! Use a bigger hammer. ANONYM Kontrolní výpočet

Více

Světlo v multimódových optických vláknech

Světlo v multimódových optických vláknech Světlo v multimódových optických vláknech Tomáš Tyc Ústav teoretické fyziky a astrofyziky, Masarykova univerzita, Kotlářská 2, 61137 Brno Úvod Optické vlákno je pozoruhodný fyzikální systém: téměř dokonalý

Více

Využití modální analýzy pro návrh, posouzení, opravy, kontrolu a monitorování mostů pozemních komunikací

Využití modální analýzy pro návrh, posouzení, opravy, kontrolu a monitorování mostů pozemních komunikací Ministerstvo dopravy TP 215 Odbor silniční infrastruktury Využití modální analýzy pro návrh, posouzení, opravy, kontrolu a monitorování mostů pozemních komunikací Technické podmínky Schváleno MD-OSI č.j.

Více

ZRYCHLENÍ KMITAVÉHO POHYBU

ZRYCHLENÍ KMITAVÉHO POHYBU Jaroslav Reichl, 011 ZRYCHLENÍ KMITAVÉHO POHYBU Pomůcky: tříosé čidlo zrychlení 3D-BTA (základní měření lze realizovat i s jednoosým čidlem zrychlení), optická závora VPG-BTD, větší lékovka (nebo nádobka

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P04 MECHANICKÉ KMITÁNÍ

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P04 MECHANICKÉ KMITÁNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ Prof. Ing. Bohumil Koktavý,CSc. FYZIKA PRŮVODCE GB01-P04 MECHANICKÉ KMITÁNÍ STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA 2 OBSAH 1 Úvod...5

Více

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Geometrie pro FST 1 Pomocný učební text František Ježek, Marta Míková, Světlana Tomiczková Plzeň 29. srpna 2005 verze 1.0 Předmluva

Více

(Auto)korelační funkce. 2. 11. 2015 Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada www.fzu.cz/ ~ cada

(Auto)korelační funkce. 2. 11. 2015 Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada www.fzu.cz/ ~ cada (Auto)korelační funkce 1 Náhodné procesy Korelace mezi náhodnými proměnnými má široké uplatnění v elektrotechnické praxi, kde se snažíme o porovnávání dvou signálů, které by měly být stejné. Příkladem

Více

NÁVRH LQG ŘÍZENÍ PRO FYZIKÁLNÍ MODEL KULIČKY NA TYČI

NÁVRH LQG ŘÍZENÍ PRO FYZIKÁLNÍ MODEL KULIČKY NA TYČI NÁVRH LQG ŘÍZENÍ PRO FYZIKÁLNÍ MODEL KULIČKY NA TYČI Petr Vojčinák, Martin Pieš, Radovan Hájovský Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky Katedra měřicí a

Více

ROZPOZNÁVÁNÍ AKUSTICKÉHO SIGNÁLU ŘEČI S PODPOROU VIZUÁLNÍ INFORMACE

ROZPOZNÁVÁNÍ AKUSTICKÉHO SIGNÁLU ŘEČI S PODPOROU VIZUÁLNÍ INFORMACE TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky a mezioborových inženýrských studií ROZPOZNÁVÁNÍ AKUSTICKÉHO SIGNÁLU ŘEČI S PODPOROU VIZUÁLNÍ INFORMACE AUTOREFERÁT DISERTAČNÍ PRÁCE 2005 JOSEF CHALOUPKA

Více

ÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE DYNAMIKA ROTUJÍCÍCH SYSTÉMŮ

ÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE DYNAMIKA ROTUJÍCÍCH SYSTÉMŮ ÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE Přednáška č. 3 DYNAMIKA ROTUJÍCÍCH SYSTÉMŮ Prof. Ing. Vladimír Zeman, DrSc. OBSAH 1. Úvod. Základní výpočtový model v rotujícím prostoru 3. Základní výpočtový model rotoru

Více

Globální matice konstrukce

Globální matice konstrukce Globální matice konstrukce Z matic tuhosti a hmotnosti jednotlivých prvků lze sestavit globální matici tuhosti a globální matici hmotnosti konstrukce, které se využijí v řešení základní rovnice MKP: [m]{

Více

Vážení zákazníci, dovolujeme si Vás upozornit, že na tuto ukázku knihy se vztahují autorská práva, tzv. copyright. To znamená, že ukázka má sloužit výhradnì pro osobní potøebu potenciálního kupujícího

Více

Matematika I: Aplikované úlohy

Matematika I: Aplikované úlohy Matematika I: Aplikované úlohy Zuzana Morávková Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava 260. Řy 283 - Pálkař Zadání Pálkař odpálí míč pod úhlem α = 30 a rychlostí

Více

6. Střídavý proud. 6. 1. Sinusových průběh

6. Střídavý proud. 6. 1. Sinusových průběh 6. Střídavý proud - je takový proud, který mění v čase svoji velikost a smysl. Nejsnáze řešitelný střídavý proud matematicky i graficky je sinusový střídavý proud, který vyplývá z konstrukce sinusovky.

Více

2. RBF neuronové sítě

2. RBF neuronové sítě 2. RBF neuronové sítě Kapitola pojednává o neuronových sítích typu RBF. V kapitole je popsána základní struktura tohoto typu neuronové sítě. Poté následuje definice a charakteristika jednotlivých radiálně

Více

Dynamika soustav hmotných bodů

Dynamika soustav hmotných bodů Dynamika soustav hmotných bodů Mechanický model, jehož pohyb je charakterizován pohybem dvou nebo více bodů, nazýváme soustavu hmotných bodů. Pro každý hmotný bod můžeme napsat pohybovou rovnici. Tedy

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ DO MNSP STAVEBNÍ INŽENÝRSTVÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2008 2009

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ DO MNSP STAVEBNÍ INŽENÝRSTVÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2008 2009 FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ DO MNSP STAVEBNÍ INŽENÝRSTVÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2008 2009 OBOR: POZEMNÍ STAVBY (S) A. MATEMATIKA TEST. Hladina významnosti testu α při testování nulové hypotézy

Více

EKONOMICKO-MATEMATICKÉ METODY

EKONOMICKO-MATEMATICKÉ METODY UNIVERZITA OBRANY KATEDRA EKONOMETRIE UČEBNÍ TEXT PRO DISTANČNÍ STUDIUM EKONOMICKO-MATEMATICKÉ METODY RNDr. Michal ŠMEREK doc. RNDr. Jiří MOUČKA, Ph.D. B r n o 2 0 0 8 Anotace: Skriptum Ekonomicko-matematické

Více

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 6a Z INŽENÝRSKÉ GEODÉZIE (Polohové vytyčovací sítě) 4. ročník bakalářského studia studijní program G studijní obor G

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 6a Z INŽENÝRSKÉ GEODÉZIE (Polohové vytyčovací sítě) 4. ročník bakalářského studia studijní program G studijní obor G SYLABUS PŘEDNÁŠKY 6a Z INŽENÝRSKÉ GEODÉZIE (Polohové vytyčovací sítě) 4. ročník bakalářského studia studijní program G studijní obor G říjen 2014 1 7. POLOHOVÉ VYTYČOVACÍ SÍTĚ Vytyčení je součástí realizace

Více

Ing. Petr BLAHA, PhD. Prof. Ing. Petr VAVŘÍN, DrSc.

Ing. Petr BLAHA, PhD. Prof. Ing. Petr VAVŘÍN, DrSc. Řízení a regulace I Základy regulace lineárních systémů - spojité a diskrétní Ing. Petr BLAHA, PhD. Prof. Ing. Petr VAVŘÍN, DrSc. ÚSTAV AUTOMATIZACE A MĚŘICÍ TECHNIKY Fakulta elektrotechniky a komunikačních

Více

Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie

Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie Jiří Kolafa Vektory. Vektorový prostor Vektor je často zaveden jako n-tice čísel, (v,..., v n ), v i R (pro reálný vektorový prostor);

Více

Petr Chvosta. vlevo, bude pravděpodobnost toho, že se tyč na počátku intervalu τ B nachází nad vpravo

Petr Chvosta. vlevo, bude pravděpodobnost toho, že se tyč na počátku intervalu τ B nachází nad vpravo MOLEKULÁRNÍ MOTORY Petr Chvosta. Automobil v krupobití aneb brzděním k pohybu Uvažme automobil stojící na mírném svahu a bombardovaný rovnoměrně ze všech stran obrovskými kroupami. Svah stoupá směrem doprava

Více

Bezkontaktní měření vzdálenosti optickými sondami MICRO-EPSILON

Bezkontaktní měření vzdálenosti optickými sondami MICRO-EPSILON Laboratoř kardiovaskulární biomechaniky Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky Fakulta strojní, ČVUT v Praze Bezkontaktní měření vzdálenosti optickými sondami MICRO-EPSILON 1 Měření: 8. 4. 2008 Trubička:

Více

Netlumené kmitání tělesa zavěšeného na pružině

Netlumené kmitání tělesa zavěšeného na pružině Netlumené kmitání tělesa zavěšeného na pružině Kmitavý pohyb patří k relativně jednoduchým pohybům, které lze analyzovat s použitím jednoduchých fyzikálních zákonů a matematických vztahů. Zároveň je tento

Více

Výpočtová studie 2D modelu stroje - Frotor

Výpočtová studie 2D modelu stroje - Frotor Objednávka: 2115/0003/07 V Plzni dne: 20.5.2007 Ing. Zdeněk Jůza Západočeská univerzita v Plzni FST KKE Na Čampuli 726 Univerzitní 8 Tlučná Plzeň 330 26 306 14 Technická zpráva Výpočtová studie 2D modelu

Více

Tlumené kmitání tělesa zavěšeného na pružině

Tlumené kmitání tělesa zavěšeného na pružině Tlumené kmitání tělesa zavěšeného na pružině Kmitavé pohyby jsou důležité pro celou fyziku a její aplikace, protože umožňují relativně jednoduše modelovat řadu fyzikálních dějů a jevů. V praxi ale na pohybující

Více

1 Rozdělení mechaniky a její náplň

1 Rozdělení mechaniky a její náplň 1 Rozdělení mechaniky a její náplň Mechanika je nauka o rovnováze a pohybu hmotných útvarů pohybujících se rychlostí podstatně menší, než je rychlost světla (v c). Vlastnosti skutečných hmotných útvarů

Více

LBP, HoG Ing. Marek Hrúz Ph.D. Plzeň Katedra kybernetiky 29. října 2015

LBP, HoG Ing. Marek Hrúz Ph.D. Plzeň Katedra kybernetiky 29. října 2015 LBP, HoG Ing. Marek Hrúz Ph.D. Plzeň Katedra kybernetiky 29. října 2015 1 LBP 1 LBP Tato metoda, publikovaná roku 1996, byla vyvinuta za účelem sestrojení jednoduchého a výpočetně rychlého nástroje pro

Více

ANALÝZA PLANETOVÝCH SOUKOLÍ POMOCÍ VÝPOČETNÍHO SYSTÉMU MATLAB

ANALÝZA PLANETOVÝCH SOUKOLÍ POMOCÍ VÝPOČETNÍHO SYSTÉMU MATLAB ANALÝZA PLANETOVÝCH SOUKOLÍ POMOCÍ VÝPOČETNÍHO SYSTÉMU MATLAB Shrnutí Gabriela Achtenová České Vysoké Učení Technické v Praze, fakulta strojní Příspěvek se zabývá analýzou složených planetových soukolí

Více

Euklidovský prostor Stručnější verze

Euklidovský prostor Stručnější verze [1] Euklidovský prostor Stručnější verze definice Eulidovského prostoru kartézský souřadnicový systém vektorový součin v E 3 vlastnosti přímek a rovin v E 3 a) eprostor-v2, 16, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c)

Více

MATLAB V ANALÝZE NAMĚŘENÝCH DAT PRŮMYSLOVÉHO PODNIKU.

MATLAB V ANALÝZE NAMĚŘENÝCH DAT PRŮMYSLOVÉHO PODNIKU. MATLAB V ANALÝZE NAMĚŘENÝCH DAT PRŮMYSLOVÉHO PODNIKU. J. Šípal Fakulta výrobních technologií a managementu; Univerzita Jana Evangelisty Purkyně Abstrakt Příspěvek představuje model popisující dodávku tepelené

Více

Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory. Lenka Dohnalová

Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory. Lenka Dohnalová 1 / 40 Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory Lenka Dohnalová ČVUT, fakulta stavební, ZS 2015/2016 katedra stavební mechaniky a katedra matematiky, Odborné vedení: doc. Ing. Jan Zeman, Ph.D.,

Více

TZB - VZDUCHOTECHNIKA

TZB - VZDUCHOTECHNIKA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ JIŘÍ HIRŠ, GÜNTER GEBAUER TZB - VZDUCHOTECHNIKA MODUL BT02-11 HLUK A CHVĚNÍ VE VZDUCHOTECHNICE STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU

Více

KMS cvičení 6. Ondřej Marek

KMS cvičení 6. Ondřej Marek KMS cvičení 6 Ondřej Marek NETLUMENÝ ODDAJNÝ SYSTÉM S DOF analytické řešení k k Systém se stupni volnosti popisují pohybové rovnice: x m m x m x + k + k x k x = m x k x + k x = k x m x k x x m k x x m

Více

1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1.

1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1. 2. Některá důležitá rozdělení Diskrétní rozdělení. Alternativní rozdělení Ap) Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy náhodná veličina X nabývá pouze dvou hodnot a a pro její pravděpodobnostní funkci platí:

Více

Otočný stůl nové koncepce pro multifunkční obráběcí centrum

Otočný stůl nové koncepce pro multifunkční obráběcí centrum Otočný stůl nové koncepce pro multifunkční obráběcí centrum Ing. Ondřej Kubera Vedoucí práce: Ing. Lukáš Novotný, Ph.D. Abstrakt Příspěvek popisuje novou koncepci otočného stolu s prstencovým motorem,

Více

Mechatronické systémy s krokovými motory

Mechatronické systémy s krokovými motory Mechatronické systémy s krokovými motory V současné technické praxi v oblasti řídicí, výpočetní a regulační techniky se nejvíce používají krokové a synchronní motorky malých výkonů. Nejvíce máme možnost

Více

PLÁŠŤOVÉ PŮSOBENÍ TENKOSTĚNNÝCH KAZET

PLÁŠŤOVÉ PŮSOBENÍ TENKOSTĚNNÝCH KAZET ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ Doktorský studijní program: STAVEBNÍ INŽENÝRSTVÍ Studijní obor: POZEMNÍ STAVBY Ing. Jan RYBÍN THE STRESSED SKIN ACTION OF THIN-WALLED LINEAR TRAYS

Více

ELEKTRICKÉ SVĚTLO 1 Řešené příklady

ELEKTRICKÉ SVĚTLO 1 Řešené příklady ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNCKÉ V PRAE FAKULTA ELEKTROTECHNCKÁ magisterský studijní program nteligentní budovy ELEKTRCKÉ SVĚTLO Řešené příklady Prof. ng. Jiří Habel DrSc. a kolektiv Praha Předmluva Předkládaná

Více

Vývojové práce v elektrických pohonech

Vývojové práce v elektrických pohonech Vývojové práce v elektrických pohonech Pavel Komárek ČVUT Praha, Fakulta elektrotechnická, K 31 Katedra elektrických pohonů a trakce Technická, 166 7 Praha 6-Dejvice Konference MATLAB 001 Abstrakt Při

Více

MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu

MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z PŘEDNÁŠEK JAN MALÝ Obsah 1. Parciální diferenciální rovnice obecně 1. Kvaazilineární rovnice prvního řádu 1 3. Lineární rovnice druhého řádu

Více

4.1 Shrnutí základních poznatků

4.1 Shrnutí základních poznatků 4.1 Shrnutí základních poznatků V celé řadě konstrukcí se setkáváme s případy, kdy o nosnosti nerozhoduje pevnost materiálu, ale stabilitní stav rovnováhy. Tuto problematiku souhrnně nazýváme stabilita

Více

4 Spojovací a kloubové hřídele

4 Spojovací a kloubové hřídele 4 Spojovací a kloubové hřídele Spojovací a kloubové hřídele jsou určeny ke stálému přenosu točivého momentu mezi jednotlivými částmi převodného ústrojí. 4.1 Spojovací hřídele Spojovací hřídele zajišťují

Více

6. T e s t o v á n í h y p o t é z

6. T e s t o v á n í h y p o t é z 6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně

Více

Ele 1 elektromagnetická indukce, střídavý proud, základní veličiny, RLC v obvodu střídavého proudu

Ele 1 elektromagnetická indukce, střídavý proud, základní veličiny, RLC v obvodu střídavého proudu Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: ELEKTROTECHNIKA PRVNÍ ZDENĚK KOVAL Název zpracovaného celku: 30. 9. 203 Ele elektromagnetická indukce, střídavý proud, základní veličiny, RLC v obvodu střídavého proudu

Více

Měřicí a řídicí technika Bakalářské studium 2007/2008. odezva. odhad chování procesu. formální matematický vztah s neznámými parametry

Měřicí a řídicí technika Bakalářské studium 2007/2008. odezva. odhad chování procesu. formální matematický vztah s neznámými parametry MODELOVÁNÍ základní pojmy a postupy principy vytváření deterministických matematických modelů vybrané základní vztahy používané při vytváření matematických modelů ukázkové příklady Základní pojmy matematický

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Přednáška STATISTIKA II - EKONOMETRIE Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Regresní analýza Cíl regresní analýzy: stanovení formy (trendu, tvaru, průběhu)

Více

R10 F Y Z I K A M I K R O S V Ě T A. R10.1 Fotovoltaika

R10 F Y Z I K A M I K R O S V Ě T A. R10.1 Fotovoltaika Fyzika pro střední školy II 84 R10 F Y Z I K A M I K R O S V Ě T A R10.1 Fotovoltaika Sluneční záření je spojeno s přenosem značné energie na povrch Země. Její velikost je dána sluneční neboli solární

Více

Jednotkové rozhodování v energetice

Jednotkové rozhodování v energetice 24.11.2009 Literatura Gollmer, R., Nowak, M. P., Romisch, W. and Schultz, R., Unit commitment in power generation A basic model and some extensions, Annals of Operations Research, v96, pp. 167-189, 2000.

Více

Funkce komplexní proměnné a integrální transformace

Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Fourierovy řady I. Marek Lampart Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na

Více

Mechanicke kmita nı a vlneˇnı

Mechanicke kmita nı a vlneˇnı Fysikální měření pro gymnasia III. část Mechanické kmitání a vlnění Gymnasium F. X. Šaldy Honsoft Liberec 2008 ÚVODNÍ POZNÁMKA EDITORA Obsah. Třetí část publikace Fysikální měření pro gymnasia obsahuje

Více

V. Zatížení stavebních konstrukcí stroji

V. Zatížení stavebních konstrukcí stroji Jiří Máca - katedra mechaniky - B325 - tel. 2 2435 4500 maca@fsv.cvut.cz V. Zatížení stavebních konstrukcí stroji 1. Typy základových konstrukcí 2. Budicí síly 3. Výpočet odezvy 4. Zmenšování dynamických

Více

8. Operaèní zesilovaèe

8. Operaèní zesilovaèe zl_e_new.qxd.4.005 0:34 StrÆnka 80 80 Elektronika souèástky a obvody, principy a pøíklady 8. Operaèní zesilovaèe Operaèní zesilovaèe jsou dnes nejvíce rozšíøenou skupinou analogových obvodù. Jedná se o

Více

REGULOVANÉ PŘEPLŇOVÁNÍ VOZIDLOVÝCH MOTORŮ

REGULOVANÉ PŘEPLŇOVÁNÍ VOZIDLOVÝCH MOTORŮ REGULOVANÉ PŘEPLŇOVÁNÍ VOZIDLOVÝCH MOTORŮ Doc.Ing. Karel Hofmann, CSc -Ústav dopravní techniky FSI-VUT v Brně 2000 ÚVOD Současnost je dobou prudkého rozvoje elektronické regulace spalovacího motoru a tím

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 10. Mgr. David Fiedor 27. dubna 2015 Nelineární závislost - korelační poměr užití v případě, kdy regresní čára není přímka, ale je vyjádřena složitější matematickou funkcí

Více

FYZIKÁLNÍ MODEL KYVADLA NA VOZÍKU

FYZIKÁLNÍ MODEL KYVADLA NA VOZÍKU FYZIKÁLNÍ MODEL KYVADLA NA VOZÍKU F. Dušek, D. Honc Katera řízení procesů, Fakulta elektrotechniky a informatiky, Univerzita Parubice Abstrakt Článek se zabývá sestavením nelineárního ynamického moelu

Více

excentrický klikový mechanismus, vyvažování klikového mechanismu, torzní kmitání, vznětový čtyřválcový motor

excentrický klikový mechanismus, vyvažování klikového mechanismu, torzní kmitání, vznětový čtyřválcový motor ABSTRAKT, KLÍČOVÁ SLOVA ABSTRAKT Cílem diplomové práce je vyhodnocení vlivu excentricity klikového mechanismu na síly působící mezi pístem a vložkou válce pro zadaný klikový mechanismu. Následně je vyšetřen

Více

Exponenciála matice a její užití. fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu

Exponenciála matice a její užití. fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu 1 Tutoriál č. 3 Exponenciála matice a její užití řešení Cauchyovy úlohy pro lineární systémy užitím fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu 0.1 Exponenciála matice a její užití

Více

KYBERNETIKA. Prof. Ing. Vilém Srovnal, CSc. Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava

KYBERNETIKA. Prof. Ing. Vilém Srovnal, CSc. Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava KYBERNETIKA Prof. Ing. Vilém Srovnal, CSc. Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava 28 . ÚVOD DO TECHNICKÉ KYBERNETIKY... 5 Co je to kybernetika... 5 Řídicí systémy... 6 Základní pojmy z teorie

Více

Matematika pro chemické inženýry. Drahoslava Janovská

Matematika pro chemické inženýry. Drahoslava Janovská Matematika pro chemické inženýry Drahoslava Janovská Přednášky ZS 2011-2012 Fázové portréty soustav nelineárních diferenciálních rovnic Obsah 1 Fázové portréty nelineárních soustav v rovině Klasifikace

Více

Aleš NEVAŘIL 1 ÚČINEK PŖETRŅENÍ LANA KOTVENÉHO STOŅÁRU THE EFFECT OF CABLE FAILURE ON THE GUYED MAST

Aleš NEVAŘIL 1 ÚČINEK PŖETRŅENÍ LANA KOTVENÉHO STOŅÁRU THE EFFECT OF CABLE FAILURE ON THE GUYED MAST Aleš NEVAŘIL 1 ÚČINEK PŖETRŅENÍ LANA KOTVENÉHO STOŅÁRU THE EFFECT OF CABLE FAILURE ON THE GUYED MAST Abstract The paper deals with the phenomena causing failures of anchoring cables of guyed masts and

Více

Analýza dynamiky pádu sportovní branky, vč. souvisejících aspektů týkajících se materiálu

Analýza dynamiky pádu sportovní branky, vč. souvisejících aspektů týkajících se materiálu ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta elektrotechnická katedra řídicí techniky Technická 2, 166 27 Praha 6 13. listopadu 2009 Analýza dynamiky pádu sportovní branky, vč. souvisejících aspektů týkajících

Více

Teoretické úlohy celostátního kola 53. ročníku FO

Teoretické úlohy celostátního kola 53. ročníku FO rozevřete, až se prsty narovnají, a znovu rychle tyč uchopte. Tuto dobu změříte stopkami velmi obtížně. Poměrně přesně dokážete zjistit, kam se posunulo na tyči místo úchopu. Vzdálenost obou míst, v nichž

Více

Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola

Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 6. Základní aproximační úlohu lze popsat následovně: Jsou dány body [x 0, y 0 ], [x 1, y 1 ],..., [x n, y n

Více

ELEKTRICKÉ SVĚTLO 1 Řešené příklady

ELEKTRICKÉ SVĚTLO 1 Řešené příklady ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNCKÉ V PRAE FAKULTA ELEKTROTECHNCKÁ magisterský studijní program nteligentní budovy ELEKTRCKÉ SVĚTLO Řešené příklady Prof. ng. Jiří Habel DrSc. a kolektiv Praha Předmluva Předkládaná

Více

KMS cvičení 5. Ondřej Marek

KMS cvičení 5. Ondřej Marek KMS cvičení 5 Ondřej Marek Ondřej Marek KMS 5 KINEMAICKÉ BUZENÍ ABSOLUNÍ SOUŘADNICE Pohybová rovnice: mx + b x x + k x x = mx + bx + kx = bx + kx Partikulární řešení: x = X e iωt x = iωx e iωt k m b x(t)

Více

Metody technické diagnostiky teorie a praxe Jan Blata Janusz Juraszek. VŠB Technická univerzita Ostrava

Metody technické diagnostiky teorie a praxe Jan Blata Janusz Juraszek. VŠB Technická univerzita Ostrava VŠB Technická univerzita Ostrava Fakulta strojní Katedra výrobních strojů a konstruování Metody technické diagnostiky teorie a praxe Jan Blata Janusz Juraszek VŠB - Technická univerzita Ostrava Fakulta

Více

Astronomická pozorování

Astronomická pozorování KLASICKÁ ASTRONOMIE Astronomická pozorování Základní úloha při pozorování nějakého děje, zejména pohybu těles je stanovení jeho polohy (rychlosti) v daném okamžiku Astronomie a poziční astronomie Souřadnicové

Více

3. Mechanická převodná ústrojí

3. Mechanická převodná ústrojí 1M6840770002 Str. 1 Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava 3.4 Výzkum metod posuzování deformací částí automobilových převodů 3.4.2 Experimentální stanovení tuhosti hřídelů a skříní a jejich

Více

Geometrie pro FST 2. Plzeň, 28. srpna 2013, verze 6.0

Geometrie pro FST 2. Plzeň, 28. srpna 2013, verze 6.0 Geometrie pro FST 2 Pomocný učební text František Ježek, Světlana Tomiczková Plzeň, 28. srpna 2013, verze 6.0 Předmluva Tento pomocný text vznikl pro potřeby předmětu Geometrie pro FST 2, který vyučujeme

Více

Rozeznáváme tři základní složky vibrací elektrických strojů točivých. Vibrace elektromagnetického původu

Rozeznáváme tři základní složky vibrací elektrických strojů točivých. Vibrace elektromagnetického původu Rozeznáváme tři základní složky vibrací elektrických strojů točivých Vibrace elektromagnetického původu Vibrace mechanického původu Vibrace - hluk ventilačního původu Od roku 1985 pozorují fenomén negativního

Více