Biologické a akustické signály
|
|
|
- Tomáš Němec
- před 9 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Přednáška 4 Zbyněk Koldovský Projekt ESF CZ.1.07/2.2.00/ a inovace výuky technických předmětů.
2 a inovace výuky technických předmětů 2 / 19 Část I Optimální filtry
3 Vstup, výstup, chyba x[n] je vstupní signál a inovace výuky technických předmětů 3 / 19
4 Vstup, výstup, chyba a inovace výuky technických předmětů 3 / 19 x[n] je vstupní signál Signál zpracováváme FIR filtrem w délky L, výstup je y[n] = w[0]x[n] + w[1]x[n 1] + + w[l 1]x[n L] L 1 = w[k]x[n k]. k=0
![zpracováváme FIR filtrem w délky L, výstup je y[n]](/docs-images/51/14684320/images/page_4.jpg "= w[0]x[n] + w[1]x[n 1] + + w[l 1]x[n L] L 1 =")
5 Vstup, výstup, chyba a inovace výuky technických předmětů 3 / 19 x[n] je vstupní signál Signál zpracováváme FIR filtrem w délky L, výstup je y[n] = w[0]x[n] + w[1]x[n 1] + + w[l 1]x[n L] L 1 = w[k]x[n k]. k=0 Vektorový zápis kde x n = x[n] x[n 1]. x[n L] y[n] = w T x n w = w[0] w[1]. w[l],
![= w[0]x[n] + w[1]x[n 1] + + w[l 1]x[n L] L 1 = w[k]x[n k].](/docs-images/51/14684320/images/page_5.jpg "k=0 Vektorový zápis kde x n = x[n] x[n 1].")
6 a inovace výuky technických předmětů 4 / 19 Vstup, výstup, chyba Necht d[n] značí ideální výstup
7 a inovace výuky technických předmětů 4 / 19 Vstup, výstup, chyba Necht d[n] značí ideální výstup Chyba výstupu je e[n] = d[n] y[n] = d[n] w T x n.
![d[n] značí ideální výstup Chyba](/docs-images/51/14684320/images/page_7.jpg "výstupu je e[n] = d[n] y[n] = d[n] w")
8 a inovace výuky technických předmětů 4 / 19 Vstup, výstup, chyba Necht d[n] značí ideální výstup Chyba výstupu je e[n] = d[n] y[n] = d[n] w T x n. Filtr w můžeme hledat optimalizací nějakého kritéria, např. kvadratického J n (w) = e[n] 2.
![= d[n] y[n] = d[n] w T x n.](/docs-images/51/14684320/images/page_8.jpg "Filtr w můžeme hledat optimalizací nějakého kritéria, např.")
9 a inovace výuky technických předmětů 5 / 19 Gradient J n (w) Gradient J n (w), tj. vektor parciálních derivací podle jednotlivých složek w, lze zapsat vektorově J n (w) = 2x n d(n) + 2x n x T n w.
10 a inovace výuky technických předmětů 5 / 19 Gradient J n (w) Gradient J n (w), tj. vektor parciálních derivací podle jednotlivých složek w, lze zapsat vektorově Zavedeme označení J n (w) = 2x n d(n) + 2x n x T n w. R n = x n x T n p n = x n d[n],
11 a inovace výuky technických předmětů 5 / 19 Gradient J n (w) Gradient J n (w), tj. vektor parciálních derivací podle jednotlivých složek w, lze zapsat vektorově Zavedeme označení J n (w) = 2x n d(n) + 2x n x T n w. R n = x n x T n p n = x n d[n], Gradient můžeme zapsat jako J n (w) = 2p n + 2R n w.
12 Least Mean Square (LMS) a inovace výuky technických předmětů 6 / 19 Položíme-li J n (w) roven nule, dostáváme rovnici R n w = p n
13 Least Mean Square (LMS) a inovace výuky technických předmětů 6 / 19 Položíme-li J n (w) roven nule, dostáváme rovnici R n w = p n Matice R n má hodnost 1, takže nemá inverzi.
14 Least Mean Square (LMS) a inovace výuky technických předmětů 6 / 19 Položíme-li J n (w) roven nule, dostáváme rovnici R n w = p n Matice R n má hodnost 1, takže nemá inverzi. Definujeme nové kritérium zprůměrováním J n (w) přes interval n = 1,..., N J LMS (w) = 1 N N J n (w) = 1 N n=1 N e[n] 2. n=1
15 Least Mean Square (LMS) a inovace výuky technických předmětů 6 / 19 Položíme-li J n (w) roven nule, dostáváme rovnici R n w = p n Matice R n má hodnost 1, takže nemá inverzi. Definujeme nové kritérium zprůměrováním J n (w) přes interval n = 1,..., N J LMS (w) = 1 N N J n (w) = 1 N n=1 N e[n] 2. n=1 Gradient J LMS (w) je průměr gradientů J n (w) J LMS (w) = 1 N N J n (w) n=1
16 Least Mean Square (LMS) Takže kde a inovace výuky technických předmětů 7 / 19 J LMS (w) = 2p + 2Rw R = 1 N p = 1 N N x n x T n = 1 N n=1 N x n d[n] = 1 N n=1 N n=1 R n N p n. n=1
17 Least Mean Square (LMS) Takže kde a inovace výuky technických předmětů 7 / 19 J LMS (w) = 2p + 2Rw R = 1 N p = 1 N N x n x T n = 1 N n=1 N x n d[n] = 1 N n=1 N n=1 R n N p n. n=1 Matice R již může mít inverzi (je-li interval n = 1,..., N dostatečně dlouhý). Proto w LMS = R 1 p.
![N n=1 N x n d[n] = 1 N n=1 N n=1 R n N p n.](/docs-images/51/14684320/images/page_17.jpg "n=1 Matice R již může mít inverzi (je-li interval n = 1,.")
18 Co jsou prvky R? Auto-kovariance x R ij = 1 N a inovace výuky technických předmětů 8 / 19 N x[n i + 1]x[n j + 1] n=1
19 Co jsou prvky R? Auto-kovariance x R ij = 1 N a inovace výuky technických předmětů 8 / 19 N x[n i + 1]x[n j + 1] n=1 Matici R lze též zapsat jako R = 1 N XXT kde X = x[1] x[2] x[n] 0 x[1] x[n 1] x[1]... x[n L]
![předmětů 8 / 19 N x[n i + 1]x[n j + 1] n=1 Matici R lze](/docs-images/51/14684320/images/page_19.jpg "též zapsat jako R = 1 N XXT kde X = x[1] x[2].")
20 Co jsou prvky R? Auto-kovariance x R ij = 1 N a inovace výuky technických předmětů 8 / 19 N x[n i + 1]x[n j + 1] n=1 Matici R lze též zapsat jako kde X = R = 1 N XXT x[1] x[2] x[n] 0 x[1] x[n 1] x[1]... x[n L] R je symetrická a positivně semidefinitní (má nezáporná vlastní čísla).
![x[n i + 1]x[n j + 1] n=1 Matici R lze též zapsat jako kde X = R = 1 N XXT](/docs-images/51/14684320/images/page_20.jpg "x[1] x[2]...... x[n] 0 x[1].")
21 a inovace výuky technických předmětů 9 / 19 Co jsou prvky p? Cross-kovariance p j = 1 N N x[n j + 1]d[n] n=1
22 a inovace výuky technických předmětů 9 / 19 Co jsou prvky p? Cross-kovariance p j = 1 N N x[n j + 1]d[n] n=1 Lze zapsat kde p j = 1 N Xd d = [ d[1], d[2],..., d[n] ] T
23 a inovace výuky technických předmětů 9 / 19 Co jsou prvky p? Cross-kovariance p j = 1 N N x[n j + 1]d[n] n=1 Lze zapsat kde p j = 1 N Xd d = [ d[1], d[2],..., d[n] ] T Celkově lze psát w LMS = (XX T ) 1 Xd
24 Wienerův filtr a inovace výuky technických předmětů 10 / 19 Vychází ze stochastického modelu signálů: x a d jsou slabě stacionární.
25 Wienerův filtr a inovace výuky technických předmětů 10 / 19 Vychází ze stochastického modelu signálů: x a d jsou slabě stacionární. Kritérium definujeme jako J(w) = E[e[n] 2 ]. Díky slabé stacionaritě je toto kritérium nezávislé na n (na čase).
26 Wienerův filtr a inovace výuky technických předmětů 10 / 19 Vychází ze stochastického modelu signálů: x a d jsou slabě stacionární. Kritérium definujeme jako J(w) = E[e[n] 2 ]. Díky slabé stacionaritě je toto kritérium nezávislé na n (na čase). Operátor střední hodnoty E[ ] je lineární a stejně tak operátor derivace (gradient).
27 Wienerův filtr a inovace výuky technických předmětů 10 / 19 Vychází ze stochastického modelu signálů: x a d jsou slabě stacionární. Kritérium definujeme jako J(w) = E[e[n] 2 ]. Díky slabé stacionaritě je toto kritérium nezávislé na n (na čase). Operátor střední hodnoty E[ ] je lineární a stejně tak operátor derivace (gradient). Gradient J(w) položíme roven nule, takže kde w wiener = R 1 p, R = E [ ] x n x T n p = E [ x n d[n] ].
28 LMS vs. Wienerův filtr a inovace výuky technických předmětů 11 / 19 Jsou-li x a d stacionární, pak N + w LMS w wiener
29 LMS vs. Wienerův filtr a inovace výuky technických předmětů 11 / 19 Jsou-li x a d stacionární, pak N + w LMS w wiener Pokud signály nejsou stacionární, nelze nic obecně usoudit.
30 Wienerův filtr ve frekvenční oblasti a inovace výuky technických předmětů 12 / 19 Výstup Y (θ) = W (θ)x(θ)
31 Wienerův filtr ve frekvenční oblasti a inovace výuky technických předmětů 12 / 19 Výstup Y (θ) = W (θ)x(θ) Minimalizujeme J(W (θ)) = E[ D(θ) W (θ)x(θ) 2 ]
32 Wienerův filtr ve frekvenční oblasti a inovace výuky technických předmětů 12 / 19 Výstup Y (θ) = W (θ)x(θ) Minimalizujeme Wienerův filtr je J(W (θ)) = E[ D(θ) W (θ)x(θ) 2 ] W (θ) = S dx(θ) S xx (θ), kde S dx (θ) = E[D(θ)X(θ)] a S xx (θ) = E[ X(θ) 2 ]
33 Příklad a inovace výuky technických předmětů 13 / 19 Vstup: zaručený signál s[n] nezávislým šumem v[n] x[n] = s[n] + v[n] X(θ) = S(θ) + V (θ)
34 Příklad a inovace výuky technických předmětů 13 / 19 Vstup: zaručený signál s[n] nezávislým šumem v[n] x[n] = s[n] + v[n] X(θ) = S(θ) + V (θ) Zde d[n] = s[n], tedy S dx (θ) = E[D(θ)X(θ)] = E[S(θ)(S(θ) + V (θ))] = E[ S(θ) 2 ] S dx (θ) = E[ X(θ) 2 ] = E[ S(θ) + V (θ) 2 ] = E[ S(θ) 2 ] + E[ V (θ) 2 ]
35 Příklad a inovace výuky technických předmětů 13 / 19 Vstup: zaručený signál s[n] nezávislým šumem v[n] x[n] = s[n] + v[n] X(θ) = S(θ) + V (θ) Zde d[n] = s[n], tedy S dx (θ) = E[D(θ)X(θ)] = E[S(θ)(S(θ) + V (θ))] = E[ S(θ) 2 ] S dx (θ) = E[ X(θ) 2 ] = E[ S(θ) + V (θ) 2 ] Wienerův filtr = E[ S(θ) 2 ] + E[ V (θ) 2 ] W (θ) = E[ S(θ) 2 ] E[ S(θ) 2 ] + E[ V (θ) 2 ]
36 a inovace výuky technických předmětů 14 / 19 Příklad Výstup Wienerova filtru Y (θ) = W (θ)x(θ) = E[ S(θ) 2 ] E[ S(θ) 2 ] + E[ V (θ) 2 ] X(θ)
37 a inovace výuky technických předmětů 14 / 19 Příklad Výstup Wienerova filtru Y (θ) = W (θ)x(θ) = Lze zapsat ve tvaru kde Y (θ) = E[ S(θ) 2 ] E[ S(θ) 2 ] + E[ V (θ) 2 ] X(θ) ξ(θ) X(θ), ξ(θ) = 1 SNR(θ) a SNR(θ) = E[ S(θ) 2 ] E[ V (θ) 2 ]
38 a inovace výuky technických předmětů 15 / 19 Část II Adaptivní filtry
39 Adaptivní LMS a inovace výuky technických předmětů 16 / 19 Cílem je průběžně měnit filtr w optimalizováním kritéria J n (w n ).
40 a inovace výuky technických předmětů 16 / 19 Adaptivní LMS Cílem je průběžně měnit filtr w optimalizováním kritéria J n (w n ). LMS: metoda největšího spádu kde µ je délka kroku. w n+1 = w n µ J n (w n ),
41 a inovace výuky technických předmětů 16 / 19 Adaptivní LMS Cílem je průběžně měnit filtr w optimalizováním kritéria J n (w n ). LMS: metoda největšího spádu kde µ je délka kroku. Po dosazení kde e[n] = d[n] y[n]. w n+1 = w n µ J n (w n ), w n+1 = w n + µx n e[n],
42 Adaptivní LMS a inovace výuky technických předmětů 16 / 19 Cílem je průběžně měnit filtr w optimalizováním kritéria J n (w n ). LMS: metoda největšího spádu kde µ je délka kroku. Po dosazení kde e[n] = d[n] y[n]. Normalizovaný LMS filtr: w n+1 = w n µ J n (w n ), w n+1 = w n + µx n e[n], x n w n+1 = w n + µ x n 2 e[n].
43 RLS (Recursive Least Square) a inovace výuky technických předmětů 17 / 19 Optimalizujeme kritérium, které akumuluje chybový signál s exponenciálním zapomínáním n Jn RLS (w n ) = λ n k e n [k] 2, k=1 kde 0 < λ 1 a chybový signál je definovaný jako e n [k] = d[k] w T n x k.
44 RLS (Recursive Least Square) a inovace výuky technických předmětů 17 / 19 Optimalizujeme kritérium, které akumuluje chybový signál s exponenciálním zapomínáním n Jn RLS (w n ) = λ n k e n [k] 2, k=1 kde 0 < λ 1 a chybový signál je definovaný jako e n [k] = d[k] w T n x k. Položením gradientu Jn RLS (w n ) dostaneme normálovou rovnici Φ n w n = z n, kde Φ n je obdobou R a z n je obdobou p n n Φ n = λ n k x k x T k a z n = λ n k x k d[k]. k=1 k=1
45 RLS (Recursive Least Square) a inovace výuky technických předmětů 18 / 19 Algoritmus je odvozený tak, abychom (Φ n ) 1 a z n nemuseli v každém kroku počítat znovu. Jsou počítány rekurzivně.
46 RLS (Recursive Least Square) a inovace výuky technických předmětů 18 / 19 Algoritmus je odvozený tak, abychom (Φ n ) 1 a z n nemuseli v každém kroku počítat znovu. Jsou počítány rekurzivně. Jeden krok algoritmu je počítán h n = P n 1 x n k n = h n λ + x T n h n ξ[n] = d[n] w T n 1 x n w n = w n 1 + k n ξ[n] P n = λ 1 P n 1 λ 1 k n x T n P n 1, kde P n značí (Φ n ) 1. Algoritmus bývá inicializován P 0 = δi a w 0 = [1, 0,..., 0] T.
47 a inovace výuky technických předmětů 19 / 19 Tento materiál vznikl v rámci projektu ESF CZ.1.07/2.2.00/ a inovace výuky technických předmětů, který je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR.
Kapitola 1. Tenzorový součin matic
Kapitola 1 Tenzorový součin matic Definice 1.1. Buď F komutativní těleso. Pro matice A F m n a B F r s definujeme tenzorový součin A B jako matici o rozměru mr ns zapsanou blokově: A 11 B A 12 B A 1n B
Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa
2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace
Biologické a akustické signály. March 8, 2011
Poznámky k předmětu Biologické a akustické signály Zbyněk Koldovský March 8, 2011 1 Základní fakta k předmětu: K udělení zápočtu za cvičení je nutná účast (max. 2 neomluvené absence) a odevzdání úloh,
Vlastnosti IIR filtrů:
IIR filtry Vlastnosti IIR filtrů: Výhody: jsou výrazně nižšího řádu než Fir filtry se stejnými vlastnostmi a z toho vyplývá že mají: Nevýhody: nižší výpočetní složitost v porovnání s Fir filtrem kratší
Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS )
LINEÁRNÍ ALGEBRA Úvod vektor Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) Kartézský souřadnicový systém -je taková soustava
Matematika I Lineární závislost a nezávislost
Matematika I Lineární závislost a nezávislost RNDr. Renata Klufová, Ph. D. Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích EF Katedra aplikované matematiky a informatiky Co u¾ známe? vektory - základní operace
Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.
Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak
Matice se v některých publikacích uvádějí v hranatých závorkách, v jiných v kulatých závorkách. My se budeme držet zápisu s kulatými závorkami.
Maticové operace Definice Skalár Představme si nějakou množinu, jejíž prvky lze sčítat a násobit. Pěkným vzorem jsou čísla, která už známe od mala. Prvky takové množiny nazýváme skaláry. Matice Matice
Vybrané problémy lineární algebry v programu Maple
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Vybrané problémy lineární algebry v programu Maple Vedoucí bakalářské práce: RNDr.
III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce. a = (x 0, y 0 ), h = (h 1, h 2 ).
III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce = f(x 0 + h 1, y 0 + h 2 ) f(x 0, y 0 ) f u (x 0, y 0 ), kde u = (h 1, h 2 ). ( ) = f(x 0 + h 1, y 0 ) f(x 0, y 0 ) x (x 0,
Vektory a matice. Matice a operace s nimi. Hodnost matice. Determinanty. . p.1/12
Vektory a matice Lineární (ne-)závislost vektorů n zê Matice a operace s nimi Hodnost matice Determinanty. p.1/12 Lineární (ne-)závislost vektorů zê n Příklad 9.1.1 Rozhodněte, zda jsou uvedené vektory
A0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly
Matice Matice typu (m, n) je uspořádaná m-tice prvků z řádky matice.. Jednotlivé složky této m-tice nazýváme Matice se zapisují Speciální typy matic Nulová matice všechny prvky matice jsou nulové Jednotková
Fakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR
DEN: ODR teoreticky: soustavy rovnic Soustava lineárních ODR 1 řádu s konstantními koeficienty je soustava ve tvaru y 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 + + a 1n y n + b 1 (x) y 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 + + a 2n y
5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant.
5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. Matice Matice typu m,n je matice složená z n*m (m >= 1, n >= 1) reálných (komplexních) čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců: R m,n (resp.
1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1.
2. Některá důležitá rozdělení Diskrétní rozdělení. Alternativní rozdělení Ap) Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy náhodná veličina X nabývá pouze dvou hodnot a a pro její pravděpodobnostní funkci platí:
Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.
Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný
Úvod do optimalizace
Přednáška Ú-Opt, February 19, 2006:1324 Petr Lachout 1 Úvod do optimalizace Prof. RNDr. Jitka Dupačová, DrSc. Doc. RNDr. Petr Lachout, CSc. KPMS MFF UK Verze 19. února 2006 2 Obsah 1 Úvod 5 2 Optimalizace
Regresní a korelační analýza
Přednáška STATISTIKA II - EKONOMETRIE Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Regresní analýza Cíl regresní analýzy: stanovení formy (trendu, tvaru, průběhu)
a m1 a m2 a mn zobrazení. Operaci násobení u matic budeme definovat jiným způsobem.
1 Matice Definice 1 Matice A typu (m, n) je zobrazení z kartézského součinu {1, 2,,m} {1, 2,,n} do množiny R Matici A obvykle zapisujeme takto: a 1n a 21 a 22 a 2n A =, a m1 a m2 a mn kde a ij R jsou její
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
Operace s maticemi Sčítání matic: u matic stejného typu sečteme prvky na stejných pozicích: A+B=(a ij ) m n +(b ij ) m n =(a ij +b ij ) m n.
1 Sylvestrova věta Platí: Nechť A je symetrická matice řádu n, označme a 11 a 12... a 1i a D i = 21 a 22... a 2i.... a i1 a i2... a ii Pak A(a příslušná KF) je pozitivně definitní, právěkdyž D i >0provšechna
Í ě ň ó Ř Š ě ě ě ě ě ě ě ě ě ě ó Ř ě ě ě ě ě ě ť ě ť Š ě ě ť ě ť ě ě Š ó Ř ó Ř Ý Ž É Č ň ň ě ě ť Ž ě ě ť ě ě ě ě ě ě ě ě ě ě ě ě ě Š ň ě ó Ř ó Ř ó ť ť ě ť ť ě ě ě ě ě ě ě Š ů ě ó ó Ř ó Ř ě ě ť ě ě ó Ř
š ó ó Š š ú ž Ó ž ů ď ů ó ů ú ť ť Ú ú ňó ž Ě ň ů ú Š ó ú ó š Ů ď ó ň Ň Ú ú ú ž ó ň ž ú Ú ú Ú ú š ň Ú Ú Ú Ú Ú ú Ú Ú Ó Ú Ú Š Š ú Ú Š Š š ú Ý ď É Š Š ň ň Ú Š É š Ů ň Ú Ď ž ú ž ň ň É É ď Ú Ů Ú Ú Éň ú ú É ň
9. Úvod do teorie PDR
9. Úvod do teorie PDR A. Základní poznatky o soustavách ODR1 Diferenciální rovnici nazveme parciální, jestliže neznámá funkce závisí na dvou či více proměnných (příslušná rovnice tedy obsahuje parciální
Elektrotechnická fakulta
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Elektrotechnická fakulta OPTIMÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ A ŘÍZENÍ Jan Štecha Katedra řídicí techniky 1999 Předmluva Toto skriptum je určeno posluchačům 4. ročníku oboru technická
Přepočet provozních stavů sítě daných: Výpočet ztrát a kapacitních proudů v síti: Výpočet zkratových poměrů v síti:
Přepočet provozních stavů sítě daných: změnou topologie sítě (nová přípojnice, transformátor, vedení resp. kabel v síti) změnou zapojení sítě (změna provozu přípojnic resp. směrů napájení sítě) změnou
x y +30x, 12x+30 18y 18y 18x+54
MA Řešené příklady 3 c phabala 00 MA: Řešené příklady Funkce více proměnných: Extrémy.Najděteaklasifikujtelokálníextrémyfunkce f(x,y)=x 3 +9xy +5x +7y..Najděteaklasifikujtelokálníextrémyfunkce f(x,y,z)=x
Lineární algebra II. Adam Liška. 9. února 2015. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak. rok 2007/2008
Lineární algebra II Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak rok 2007/2008 Adam Liška 9 února 2015 http://kammffcunicz/~fiala http://wwwadliskacom 1 Obsah 10 Permutace 3 11 Determinant
Matice. Přednáška MATEMATIKA č. 2. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.
Přednáška MATEMATIKA č. 2 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 13. 10. 2010 Uspořádané schéma vytvořené z m n reálných čísel, kde m, n N a 11 a 12 a
Funkce zadané implicitně
Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf
Hledání extrémů funkcí
Hledání extrémů funkcí Budeme se zabývat téměř výhradně hledáním minima. Přes nost nalezeného extrému Obecně není hledání extrému tak přesné jako řešení rovnic. Demonstrovat to můžeme na příkladu hledání
Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie
Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie Jiří Kolafa Vektory. Vektorový prostor Vektor je často zaveden jako n-tice čísel, (v,..., v n ), v i R (pro reálný vektorový prostor);
Lineární algebra. Soustavy lineárních rovnic
Lineární algebra Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/28.0326
Soustavy lineárních rovnic
7 Matice. Determinant Soustavy lineárních rovnic 7.1 Matice Definice 1. Matice typu (m, n) jesoustavam n reálných čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců a 11, a 12, a 13,..., a 1n a 21, a 22, a 23,...,
Matematika pro studenty ekonomie
w w w g r a d a c z vydání upravené a doplněné vydání Armstrong Grada Publishing as U Průhonu 7 Praha 7 tel: + fax: + e-mail: obchod@gradacz wwwgradacz Matematika pro studenty ekonomie MATEMATIKA PRO STUDENTY
1 Lineární stochastický systém a jeho vlastnosti. 2 Kovarianční funkce, výkonová spektrální hustota, spektrální faktorizace,
Lineární stochastický systém a jeho vlastnosti. Kovarianční funkce, výkonová spektrální hustota, spektrální faktorizace, tvarovací filtr šumu, bělicí filtr. Kalmanův filtr, formulace problemu, vlastnosti.
Některé zákony rozdělení pravděpodobnosti. 1. Binomické rozdělení
Přednáška 5/1 Některé zákony rozdělení pravděpodobnosti 1. Binomické rozdělení Předpoklady: (a) pst výskytu jevu A v jediném pokuse P (A) = π, (b) je uskutečněno n pokusů, (c) pokusy jsou nezávislé, tj.
Euklidovský prostor Stručnější verze
[1] Euklidovský prostor Stručnější verze definice Eulidovského prostoru kartézský souřadnicový systém vektorový součin v E 3 vlastnosti přímek a rovin v E 3 a) eprostor-v2, 16, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c)
Vedení tepla v MKP. Konstantní tepelné toky. Analogické úlohám statiky v mechanice kontinua
Vedení tepla v MKP Stacionární úlohy (viz dále) Konstantní tepelné toky Analogické úlohám statiky v mechanice kontinua Nestacionární úlohy (analogické dynamice stavebních konstrukcí) 1 Základní rovnice
Soustavy lineárních rovnic
Přednáška MATEMATIKA č 4 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz 27 10 2010 Soustava lineárních rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a
KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN
KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
Regulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím.
Regulární matice Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Věta. Pro každou čtvercovou matici A = (a ij ) řádu n nad tělesem (T, +, ) jsou následující podmínky ekvivalentní: (i) Řádky matice
Exponenciála matice a její užití. fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu
1 Tutoriál č. 3 Exponenciála matice a její užití řešení Cauchyovy úlohy pro lineární systémy užitím fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu 0.1 Exponenciála matice a její užití
TEORIE MATIC. Tomáš Vondra
TEORIE MATIC Tomáš Vondra 2 Obsah 1 Opakování 5 1.1 Základní operace s maticemi..................... 5 1.2 Determinant matice......................... 7 1.2.1 Cauchyův-Binedův vzorec..................
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice študenti MFF 15. augusta 2008 1 12 Matice Požadavky Matice a jejich hodnost Operace s maticemi a jejich vlastnosti Inversní matice Regulární matice,
2. RBF neuronové sítě
2. RBF neuronové sítě Kapitola pojednává o neuronových sítích typu RBF. V kapitole je popsána základní struktura tohoto typu neuronové sítě. Poté následuje definice a charakteristika jednotlivých radiálně
SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny
Základní radiometrické veličiny
Základní radiometrické veličiny Radiometrické veličiny se v textech, se kterými jsem se setkal, zavádějí velmi formálně, např. iradiance E= dφ da.pokusiljsemsepřesnějipopsat,cojednotlivéfunkceznamenají.formálnízápisyjsouzde
2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice
26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť
Lineární algebra a analytická geometrie sbírka úloh a ř ešených př íkladů
Lineární algebra a analytická geometrie sbírka úloh a ř ešených př íkladů Linear algebra and analytic geometry problems and solved examples Klára Javornická Bakalářská práce 2010 UTB ve Zlíně, Fakulta
1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010)
1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010) Pravděpodobnost pojmy 1. Diskrétní pravděpodobnostní prostor(definice, vlastnosti, příklad). Diskrétní pravděpodobnostní prostor je trojice(ω, A, P), kde
3. Matice a determinanty
. Matice a determinanty Teorie matic a determinantů představuje úvod do lineární algebry. Nejrozsáhlejší aplikace mají matice a determinanty při řešení systémů lineárních rovnic. Pojem determinantu zavedl
Metody operačního výzkumu cvičení
Opakování vektorové algebry domácí úkol ) Pojem vektorového prostoru praktická aplikace - je tvořen všemi vektory dané dimenze - operace s vektory (součin, sčítání, násobení vektoru skalární hodnotou)
FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV MATEMATIKY
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV MATEMATIKY FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING INSTITUTE OF MATHEMATICS OPTIMALIZACE V INŽENÝRSKÝCH ÚLOHÁCH
Problémy konstrukce a implementace modelů strukturální analýzy
Problémy konstrukce a implementace modelů strukturální analýzy Modely strukturální analýzy jsou určitou třídou lineárních modelů, tzn. že všechny obsažené funkce uvnitř těchto modelů mají lineární tvar.
Kmitání struny. Jelikožpředpokládáme,ževýchylkystrunyjsoumalé,budeplatitcosϕ 1,2 1,takže můžeme psát. F 2 F 1 = F 2 u x 2 x.
Kmitání struny 1 Odvození vnové rovnice Vnovou rovnici pro(příčné) vny šířící se na struně odvodíme za předpokadu, že výchykastruny u(x, t)vrovině,vnížstrunakmitá,jemaá,cožnámumožníprovésthned někoik zjednodušení.
10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo
0. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo (PEF PaA) Petr Gurka aktualizováno 9. prosince 202 Obsah Základní pojmy. Motivace.................................2 Aritmetický vektorový
6. T e s t o v á n í h y p o t é z
6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně
FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ. Matematika 3. RNDr. Břetislav Fajmon, PhD. Autoři textu:
FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Matematika 3 Garant předmětu: RNDr. Břetislav Fajmon, PhD Autoři textu: Mgr. Irena Růžičková RNDr. Břetislav Fajmon, PhD
Determinant. Definice determinantu. Permutace. Permutace, vlastnosti. Definice: Necht A = (a i,j ) R n,n je čtvercová matice.
[] Definice determinantu BI-LIN, determinant, 9, P Olšák [2] Determinant je číslo jistým způsobem charakterizující čtvercovou matici det A 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici používá
AVDAT Vektory a matice
AVDAT Vektory a matice Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Vektory x = x 1 x 2. x p y = y 1 y 2. y p Řádkový vektor dostaneme transpozicí sloupcového vektoru x
2. Je dáno jevové pole (Ω;A) a na něm nezáporná normovaná funkce. Definujte distrubuční funkci náhodného vektoru.
Varianta I 1. Definujte pravděpodobnostní funkci. 2. Je dáno jevové pole (Ω;A) a na něm nezáporná normovaná funkce. Definujte distrubuční funkci náhodného vektoru. 3. Definujte Fisher-Snedecorovo rozdělení.
V praxi pracujeme s daty nominálními (nabývají pouze dvou hodnot), kategoriálními (nabývají více
9 Vícerozměrná data a jejich zpracování 9.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat, hledáme souvislosti mezi dvěmi, případně více náhodnými veličinami. V praxi pracujeme
Maticový a tenzorový počet
Maticový a tenzorový počet Doc. RNDr. Martin Kovár, Ph.D. Ústav matematiky Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Obsah. Test vstupních znalostí............................. 5 Matice
1 Funkce dvou a tří proměnných
1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2
LWS při heteroskedasticitě
Stochastické modelování v ekonomii a financích Petr Jonáš 7. prosince 2009 Obsah 1 2 3 4 5 47 1 Předpoklad 1: Y i = X i β 0 + e i i = 1,..., n. (X i, e i) je posloupnost nezávislých nestejně rozdělených
Í š Ť š ň ň Í Ř Ť Ť ň Ť Ť š Ť š Ď š š š ň š š š š š Í Ť Ť š ň š Ť š š É š ť Í Ť š Ž Š Ť Ť Ť Ť š š š š š Ť š Ť Í š Ť š Ť š Í š Ě Í š ň Ť š Ť Ť Ó š š š š š Ť Ž Ť Í Ř Ř Ť š š ť Ť š Ť š Ó š Ť Ť ň Ť š š š Ť
zejména Dijkstrův algoritmus pro hledání minimální cesty a hladový algoritmus pro hledání minimální kostry.
Kapitola Ohodnocené grafy V praktických aplikacích teorie grafů zpravidla graf slouží jako nástroj k popisu nějaké struktury. Jednotlivé prvky této struktury mají často přiřazeny nějaké hodnoty (může jít
MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu
MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z PŘEDNÁŠEK JAN MALÝ Obsah 1. Parciální diferenciální rovnice obecně 1. Kvaazilineární rovnice prvního řádu 1 3. Lineární rovnice druhého řádu
AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení
AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Opakování, náhodná veličina, rozdělení Náhodná veličina zobrazuje elementární
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které
11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice
11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice (r zné typy soustav rovnic a nerovnic, matice druhy matic, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice, Gaussova elimina ní metoda, determinanty
Kristýna Kuncová. Matematika B2
(8) Funkce více proměnných Kristýna Kuncová Matematika B2 Kristýna Kuncová (8) Funkce více proměnných 1 / 19 Parciální derivace Definice Derivaci funkce f : R R v bodě a definujeme jako limitu f f (a +
DYNAMICKÉ PROGRAMOVÁNÍ A PROBLÉM BATOHU
ČVUT V PRAZE FAKULTA INFORMAČNÍCH TECHNOLOGIÍ JAN SCHMIDT A PETR FIŠER MI-PAA DYNAMICKÉ PROGRAMOVÁNÍ A PROBLÉM BATOHU EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND PRAHA A EU: INVESTUJEME DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI Dynamické programování
Lenka Zalabová. Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita. zima 2012
Algebra - třetí díl Lenka Zalabová Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích zima 2012 Obsah 1 Dělitelnost 2 Grupy zbytkových tříd 3 Jedna z
Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic
Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic Michal Menkina TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Tento materiál vznikl v rámci projektu ESF CZ.1.07/2.2.00/07.0247,
AVDAT Klasický lineární model, metoda nejmenších
AVDAT Klasický lineární model, metoda nejmenších čtverců Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Lineární model y i = β 0 + β 1 x i1 + + β k x ik + ε i (1) kde y i
Práce, energie a další mechanické veličiny
Práce, energie a další mechanické veličiny Úvod V předchozích přednáškách jsme zavedli základní mechanické veličiny (rychlost, zrychlení, síla, ) Popis fyzikálních dějů usnadňuje zavedení dalších fyzikálních
NÁVRH LQG ŘÍZENÍ PRO FYZIKÁLNÍ MODEL KULIČKY NA TYČI
NÁVRH LQG ŘÍZENÍ PRO FYZIKÁLNÍ MODEL KULIČKY NA TYČI Petr Vojčinák, Martin Pieš, Radovan Hájovský Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky Katedra měřicí a
2. Matice, soustavy lineárních rovnic
Matice, soustavy lineárních rovnic Tento učební text byl podpořen z Operačního programu Praha- Adaptabilita Irena Sýkorová Některé vlastnosti matic Uvažujmečtvercovoumatici A=(a ij ) n n Matice Asenazývásymetrická,jestližeplatí
Poznámky z matematiky
Poznámky z matematiky Verze: 14. dubna 2015 Petr Hasil hasil@mendelu.cz http://user.mendelu.cz/hasil/ Ústav matematiky Lesnická a dřevařská fakulta Mendelova univerzita v Brně Vytvořeno s podporou projektu
Masarykova univerzita. Základy konvexní analýzy a optimalizace v R n.
Masarykova univerzita Ondřej Došlý Základy konvexní analýzy a optimalizace v R n. První vydání Brno 2004 Došlý Ondřej Název knihy c prof. RNDr. Ondřej Došlý, DrSc., 2005 Největší životní umění je neoptimalizovat
9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1
9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom
1 Vektorové prostory.
1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které
VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE. Optimalizace trasy při revizích elektrospotřebičů
VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY Hlavní specializace: Ekonometrie a operační výzkum Název diplomové práce Optimalizace trasy při revizích elektrospotřebičů Diplomant: Vedoucí
EKONOMICKO-MATEMATICKÉ METODY
UNIVERZITA OBRANY KATEDRA EKONOMETRIE UČEBNÍ TEXT PRO DISTANČNÍ STUDIUM EKONOMICKO-MATEMATICKÉ METODY RNDr. Michal ŠMEREK doc. RNDr. Jiří MOUČKA, Ph.D. B r n o 2 0 0 8 Anotace: Skriptum Ekonomicko-matematické
Matematika pro chemické inženýry. Drahoslava Janovská
Matematika pro chemické inženýry Drahoslava Janovská Přednášky ZS 2011-2012 Fázové portréty soustav nelineárních diferenciálních rovnic Obsah 1 Fázové portréty nelineárních soustav v rovině Klasifikace
21. Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic
21. Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic Aplikovaná matematika IV, NMAF074 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2014/15 21.1 Základní termíny Definice Vektor tvaru α = (α 1,...,α m ), kde α j N {0}, j
2.8 Zobecnění vztahů mezi zatížením a vnitřními silami prutu (rovinný prut zatížený v rovině) df x =f x.ds df z =f z.ds. M+dM x. ds=r.dϕ.
.8 Zobecnění vtahů mei atížením a vnitřními silami prutu (rovinný prut atížený v rovině) µ x N V M dm µ df df x =R. MdM x NdN VdV Náhradní břemena: df x = x. df =. dm µ =µ. Obecný rovinný prut: spojité
Parametrická rovnice přímky v rovině
Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou
Kapitola 11. Vzdálenost v grafech. 11.1 Matice sousednosti a počty sledů
Kapitola 11 Vzdálenost v grafech V každém grafu lze přirozeným způsobem definovat vzdálenost libovolné dvojice vrcholů. Hlavním výsledkem této kapitoly je překvapivé tvrzení, podle kterého lze vzdálenosti
Funkce více proměnných. April 29, 2016
Funkce více proměnných April 29, 2016 Příklad (Derivace vyšších řádů) Daná je funkce f (x, y) = x 2 y + y 3 x 4, určte její parc. derivace podle x a podle y prvního i druhého řádu, i smíšené. f x = 2xy
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
Tento text vzniká jako podklad pro seminář Úvod do stochastické analýzy,
Úvodem ento text vzniká jako podklad pro seminář Úvod do stochastické analýzy, určený především (ale nejen) studentům Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVU v Praze. Při sepisování textu kladu důraz
Přijímací zkoušky z matematiky pro akademický rok 2018/19 NMgr. studium Učitelství matematiky ZŠ, SŠ
Přijímací zkoušky z matematiky pro akademický rok 8/9 NMgr studium Učitelství matematiky ZŠ, SŠ Datum zkoušky: Varianta Registrační číslo uchazeče: Příklad 3 4 5 Celkem Body Ke každému příkladu uved te
2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2
Výpočet transformačních koeficinetů vybraných 2D transformací Jan Ježek červen 2008 Obsah Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací 2 Meto vyrovnání 2 2 Obecné vyjádření lineárních 2D transformací
0. Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04
0 Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04 V tomto krátkém textu se budeme zabývat lineárními rekurencemi, tj posloupnostmi definovanými rekurentní rovnicí typu A n+k = c 0 A n + c 1 A n+1 + + c k 1
Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat. Úvod. Róbert Lórencz. http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz
Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat Róbert Lórencz 1. přednáška Úvod http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz Róbert Lórencz (ČVUT FEL, 2007) Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování
Balanční vlastnosti pevného bodu substituce
Úvod Karel Břinda Edita Pelantová Theoretical Informatics Group FJFI ČVUT v Praze 14. prosince 2010 Schéma postupu Úvod Abelovská komplexita Balanční funkce Diskrepanční funkce Funkce S f u (N) Matice